2015年杭州市中考数学试题及答案(解析精校版) 14页

‎2015年浙江省杭州市中考数学试卷解析 ‎（本试卷满分120分，考试时间100分钟）‎ 一、仔细选一选(10个小题，每小题3分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． ‎ ‎1、统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为【 】‎ A. 11.4×104 B. 1.14×104 C. 1.14×105 D. 0.114×106‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点】科学记数法.‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，∵11.4万=114 000一共6位，∴11.4万=114 000=1.14×105.故选C.‎ ‎2、下列计算正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点】有理数的计算. ‎ ‎【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：‎ A. ，选项错误； ‎ B. ，选项错误； ‎ C. ，选项正确； ‎ D. ，选项错误.‎ 故选C.‎ ‎3、下列图形是中心对称图形的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A．‎ ‎【考点】中心对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，‎ A、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；‎ B、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；‎ C、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；‎ D、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．‎ 故选A．‎ ‎4、下列各式的变形中，正确的是【 】‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A．‎ ‎【考点】代数式的变形. ‎ ‎【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：‎ A. ，选项正确； ‎ B. ，选项错误； ‎ C. ，选项错误； ‎ D. ，选项错误.‎ 故选A．‎ ‎5、圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=【 】‎ A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质. ‎ ‎【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，‎ ‎∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.‎ 故选D．‎ ‎6、若 (k是整数)，则k=【 】‎ A. 6 B. 7 C.8 D. 9‎ ‎【答案】D．‎ ‎【考点】估计无理数的大小. ‎ ‎【分析】∵，‎ ‎∴k=9.‎ 故选D．‎ ‎7、林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程【 】‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点】由实际问题列方程.‎ ‎【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为公顷，林地面积为公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即. 故选B. ‎ ‎8、如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是【 】‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点】折线统计图；中位数. ‎ ‎【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：‎ ‎①18日的PM2.5浓度最低，原说法正确；‎ ‎②这六天中PM2.5浓度按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数是第3，4个数的平均数，为µg/cm2，原说法错误；‎ ‎③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确；‎ ‎④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，原说法正确.‎ ‎∴正确的说法是①③④.‎ 故选C.‎ ‎9、如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点】概率；正六边形的性质.‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，‎ 如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长度为：AC、AE、BD、BF、CE、DF，‎ ‎∴所求概率为.‎ 故选B.‎ ‎10、设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系.‎ ‎【分析】∵一次函数的图象经过点，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ 又∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，函数的图象与轴仅有一个交点，‎ ‎∴函数是二次函数，且它的顶点在轴上，即.‎ ‎∴..‎ 令，得，即.‎ 故选B.‎ 二、认真填一填(本题有6个小题，每小题4分，共24分)‎ ‎11、数据1，2，3，5，5的众数是 ▲ ，平均数是 ▲ ‎ ‎【答案】5；3.2.‎ ‎【考点】众数；平均数 ‎【分析】这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是.‎ ‎12. 分解因式： ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.‎ ‎【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，‎ 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：.‎ ‎13、函数，当y=0时，x= ▲ ；当时，y随x的增大而 ▲ (填写“增大”或“减小”)‎ ‎【答案】；增大.‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】函数，当y=0时，即，解得.‎ ‎∵，‎ ‎∴二次函数开口上，对称轴是，在对称轴右侧y随x的增大而增大.‎ ‎∴当时，y随x的增大而增大.‎ ‎14、如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为 ▲ _度(用关于α的代数式表示)‎ ‎【答案】. ‎ ‎【考点】平角定义；平行的性质.‎ ‎【分析】∵度，∴度.‎ ‎∵CD平分∠ECB，∴度.‎ ‎∵FG∥CD，∴度.‎ ‎15、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数的图象经过点Q，则= ▲ ‎ ‎【答案】或 ‎【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.‎ ‎【分析】∵点P(1，t)在反比例函数的图象上，∴.∴P(1，2).‎ ‎∴OP=.‎ ‎∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，‎ ‎∴Q或Q.‎ ‎∵反比例函数的图象经过点Q，‎ ‎∴当Q时，；Q时，.‎ ‎16、如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= ▲ ‎ ‎【答案】或.‎ ‎【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用. ‎ ‎【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.‎ 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：‎ 如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，‎ 易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.‎ 设BN=DN=，则NH=.‎ 根据题意，得，∴BN=DN=2， NH=1.‎ 易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在中，CN=.‎ ‎∴CD=.‎ 如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H，‎ 易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°.‎ 设BC=CE =，则BH=.‎ 根据题意，得，∴BC=CE =2， BH=1.‎ 在中，CH=，∴EH=.‎ 易证，∴，即.‎ ‎∴.‎ 综上所述，CD=或.‎ 三、全面答一答(本题有7个小题，共66分) 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．‎ ‎ 17、杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图.‎ ‎（1）试求出m的值；‎ ‎（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.‎ ‎【答案】解：（1）.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴其中混杂着的玻璃类垃圾约为1.8吨. ‎ ‎【考点】扇形统计图；用样本估计总体.‎ ‎【分析】（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可.‎ ‎（2）根据用样本估计总体的观点，用计算即可.‎ ‎18、如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN.‎ ‎【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴.‎ 又∵AB=AC，∴.‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴.‎ 又∵AD=AD，∴.‎ ‎∴DM=DN.‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质. ‎ ‎【分析】要证DM=DN只要即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分∠BAC，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC证得. ‎ ‎19、如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.‎ ‎【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.∴点B的反演点B′与点B重合.‎ 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，‎ ‎∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形.‎ ‎∵，∴B′M⊥OM.‎ ‎∴在中，由勾股定理得.‎ ‎【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. ‎ ‎【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得A′B′的长.‎ ‎20、设函数 (k是常数)‎ ‎（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；‎ ‎（2）根据图象，写出你发现的一条结论；‎ ‎（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.‎ ‎【答案】解：（1）作图如答图：‎ ‎（2）函数 (k是常数)的图象都经过点（1，0）.（答案不唯一）‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为.‎ ‎∴当时，函数y3的最小值为.‎ ‎【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质. ‎ ‎【分析】（1）当时，函数为，据此作图.‎ ‎（2）答案不唯一，如：‎ 函数 (k是常数)的图象都经过点；‎ 函数 (k是常数)的图象总与轴交于（1，0）；‎ 当k取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称；‎ 等等.‎ ‎（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移后的表达式，根据二次函数的性质求出最值.‎ ‎21、 “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 ‎（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表 示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；‎ ‎（2）用直尺和圆规作出三边满足aAC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E ‎（1）若，AE=2，求EC的长 ‎（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由 ‎【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.‎ ‎∴.‎ ‎∵，AE=2，∴，解得.‎ ‎（2）①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎∴. ∴.‎ 又∵，∴. ∴.‎ ‎∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.‎ ②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：‎ ‎∵，‎ 又∵DE⊥AC，∴. ∴.‎ ‎∴. ∴CP2⊥FG2.‎ ‎∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.‎ ③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.‎ ‎【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.‎ ‎【分析】（1）证明DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.‎ ‎（2）分，和CD为∠ACB的平分线三种情况讨论即可.‎ ‎23、方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：‎ ‎（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；‎ ‎（2）当20