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- 2021-05-10 发布
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反比例函数分类精选
一、选择题
1.(2010安徽芜湖)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数y= 与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图象可能是()
A. B. C. D.
【答案】B
2.(2010甘肃兰州) 已知点(-1,),(2,),(3,)在反比例函数的图像上. 下列结论中正确的是
A. B. C. D.
【答案】B
3.(2010山东青岛)函数与(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
【答案】D
4.(2010山东日照)已知反比例函数y=,则下列点中在这个反比例函数图象的上的是
(A)(-2,1) (B)(1,-2) (C)(-2,-2) (D)(1,2)
【答案】D
5.(2010四川凉山)已知函数是反比例函数,且图像在第二、四象限内,则的值是
A.2 B. C. D.
【答案】B
6.(2010浙江宁波)已知反比例函数,下列结论不正确的是
(A)图象经过点 (B)图象在第一、三象限
(C)当时, (D)当时,随着的增大而增大
【答案】D
7.(2010 浙江台州市)反比例函数图象上有三个点,,,其中,则,,的大小关系是(▲)
A. B. C. D.
【答案】B
8.(2010四川眉山)如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(,4),则△AOC的面积为
A.12 B.9 C.6 D.4
【答案】B
9.(2010浙江绍兴)已知(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)是反比例函数的图象上的三个点,且x1<x2<0,x3>0,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A. y3<y1<y2 B. y2<y1<y3 C. y1<y2<y3 D. y3<y2<y1
【答案】A
10.(2010 嵊州市)如图,直线与双曲线交于两点,则的值为( )
A.-5 B.-10 C.5 D.10
【答案】B
11.(2010山东聊城)函数y1=x(x≥0),y2=(x>0)的图象如图所示,下列结论:
①两函数图象的交点坐标为A(2,2);
②当x>2时,y2>y1;
③直线x=1分别与两函数图象相交于B、C两点,则线段BC的长为3;
④当x逐渐增大时,y1的值随x的增大而增大,y2的值随x的增大减少.
其中正确的是( )
A.只有①② B.只有①③ C.只有②④ D.只有①③④
y
y1=x
y2=
x
第11题图
【答案】D
12.(2010 四川南充)如图,直线与双曲线相交于点A,点A的纵坐标为3,k的值为( ).
O
x
y
A
3
(第9题)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【答案】C
13.(2010江西)如图,反例函数图象的对称轴的条数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1
2
3
3
1
2
4
4
-4
-1
-2
-3
(第6题图)
【答案】C
14.(2010福建福州)已知反比例函数的图象y=过点P(1,3),则该反比例函数图象位于( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
【答案】B
15.(2010江苏无锡)如图,已知梯形ABCO的底边AO在轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C的双曲线 交OB于D,且OD:DB=1:2,若△OBC的面积等于3,则k的值 ( )
A. 等于2 B.等于 C.等于 D.无法确定
(第10题)
【答案】B
16.(2010年上海)在平面直角坐标系中,反比例函数 y = ( k<0 ) 图像的量支分别在( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
【答案】B
17.(2010山东临沂) 已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是、、,能正确反映、、的大小关系的是
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
18.(2010 山东莱芜)已知反比例函数,下列结论不正确的是
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限内 D.若x>1,则y>-2
【答案】B
19.(2010福建宁德)反比例函数(x>0)的图象如图所示,随着x值的增大,y值( ).
x
y
O
第8题图
A.减小 B.增大 C.不变 D.先减小后不变
【答案】A
20.(2010年贵州毕节)函数的图象与直线没有交点,那么k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
21.(2010浙江湖州)如图,已知在直角梯形AOBC中,AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9,对角线OC、AB交于点D,点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点,以O为原点,直线OB为x轴建立平面直角坐标系,则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图像上的是( )
A.点G B.点E C.点D D.点F.
(第10题)
【答案】A.
22.(2010江苏常州)函数的图像经过的点是
A. B. C. D.
【答案】A
23.(2010 山东滨州)如图,P为反比例函数y=的图象上一点,PA⊥x轴于点A, △PAO的面积为6.下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是( )
A.(2,3) B. (-2,6) C. (2,6) D. (-2,3)
【答案】B
24.(2010湖北荆门)在同一直角坐标系中,函数y=kx+1和函数y=(k是常数且k≠0)的图象只可能是
A. B. C. D.
【答案】B
25.(2010山东潍坊)若正比例函数y=2kx与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(m,1),则k的值是( ).
A.或- B.或- C. D.
【答案】B
26.(2010湖南怀化)反比例函数的图象如图1所示,
随着值的增大,值( )
图1
A.增大 B.减小
C.不变 D.先增大后减小
【答案】A
27.(2010湖北荆州)如图,直线l是经过点(1,0)且与y轴平行的直线.Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3.将BC边在直线l上滑动,使A,B在函数的图象上.
那么k的值是
A .3 B.6
C.12 D.
【答案】D
28.(2010湖北鄂州)正比例函数y=x与反比例函数(k≠0)的图像在第一象限交于点A,且AO=,则k的值为
A. B.1 C. D.2
【答案】B
29.(2010山东泰安)函数y=2x+1与函数y=的图象相交于点(2,m),则下列各点不在函数y=的图象上的是
( )
A.(-2,-5) B.(,4) C.(-1,10) D.(5,2)
【答案】C
30.(2010云南红河哈尼族彝族自治州)不在函数图像上的点是
A.(2,6) B.(-2,-6) C.(3,4) D.(-3,4)
【答案】D
31.(2010黑龙江哈尔滨)反比例函数的图像,当时,随的增大而增大,则的数值范围是( )
(A) (B) (C) (D).
【答案】A
32.(2010四川内江)函数y=中自变量x的取值范围是
A.x≥-1 B.x>-1 C.x≥-1且x≠0 D.x>-1且x≠0
【答案】C
33.(2010四川内江)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为
A
B
C
D
E
y
x
O
M
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
34.(2010 福建三明)在反比例函数的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可能是 ( )
A.—1 B.0 C.1 D.2
【答案】D
35.(2010 山东东营)如图所示,反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是,若,则的取值范围在数轴上表示为( )
1
2
0
(A)
1
2
0
(B)
1
2
0
(C)
1
2
0
(D)
【答案】D
36.(2010 湖北孝感)双曲线在第一象限内的图象如图所示,作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】A
37.(2010 广东汕头)已知一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点坐标为(2,1),那么另一个交点的坐标是( )
A.(-2,1) B.(-1,-2) C.(2,-1) D.(-1,2)
【答案】B
38.(2010 云南玉溪)如图2所示的计算程序中,y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是
输入x
取倒数
×(-5)
输出y
图2
A. 第一象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、四象限
【答案】C
39.(2010 湖南湘潭)在同一坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象大致是
y
o
y
x
A
o
x
B
y
o
x
C
8题图
y
o
x
D
【答案】B
40.(2010 甘肃)如图,矩形的面积为3,反比例函数的图象过点,则=( )
A. B. C. D.
第8题图
【答案】C
41.(2010广西桂林)若反比例函数的图象经过点(-3,2),则的值为 ( ).
A.-6 B.6 C.-5 D.5
【答案】A
42.(2010湖北十堰)方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x-1=0的实根x所在范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
43.(2010 广西玉林、防城港)直线l与双曲线C在第一象限相交于A、B两点,其图象信息如图4所示,则阴影部分(包括边界)横、纵坐标都是整数的点(俗称格点)有: ( )
A.4个 B.5 个 C.6个 D.8个
【答案】B
44.(2010 山东荷泽)某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该
A.不大于m3 B.小于m3
C.不小于m3 D.小于m3
V(m3)
P(kPa)
60
1.6
0
(1.6,60)
【答案】C
45.如图,平面直角坐标系中,OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(1,2)。将△AOB
绕点A逆时针旋转90°,点O的对应点C恰好落在双曲线y=(x>0)上,则k的值为
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
46.(2010鄂尔多斯)定义新运算: a⊕b=,则函数y=3⊕x的图象大致是
【答案】B
47.(2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团) 若点A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=-的图像上,且x1<0<x2,则y1、y2和0的大小关系是( )
A. y1>y2 > 0 B. y1<y2 <0 C. y1>0>y2 D. y1<0<y2
【答案】C
48.(2010辽宁大连)如图2,反比例函数和正比例函数的图像都经过点,若,则的取值范围是()
A. B. C. 或D. 或
x
y
O
A
图2
【答案】D
49.(2010广东深圳)如图2,点P(,)是反比例函数()与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为,则反比例函数的解析式为
A. B. C. D.
【答案】D
50.(2010辽宁本溪)如图所示,已知菱形OABC,点C在x轴上,直线y=x经过点A,菱形OABC的面积是.若反比例函数的图象经过点B,则此反比例函数表达式为( )
O
A
B
C
x
y
y=x
A. B. C. D.180°
【答案】C
51.(2010辽宁沈阳)反比例函数的图像在
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限
【答案】D
52.(2010云南曲靖)函数y=kx-k与y在同一坐标系中的大致图像是( )
【答案】C
53.(2010吉林)反比例函数的图象如图所示,则k的值可能是( )
A.-1 B. C.1 D.2
【答案】B
54.已知函数的图象如图所示,当x≥-1时,y的取值范围是( )
A.y<-1 B.y≤-1 C. y≤-1或y>0 D. y<-1或y≥0
【答案】C
55.(2010广东清远)下列各点中,在反比例函数y=的图象上的是( )
A.(-1,4) B.(1,-4) C.(1,4) D.(2,3)
【答案】C
56.(2010湖南娄底)一次函数y=kx+b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图像2所示,则下列判断正确的是( )
A. k>0, b>0 B. k>0, b<0 C. k<0, b>0 D. k<0, b<0
【答案】B
57.(2010内蒙呼和浩特)已知:点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是函数y=-图像上的三点,且x1<0<x2<x3则y1、y2、y3的大小关系是 ( )
A.y1< y2< y3 B. y2<y3<y1 C. y3<y2<y1 D.无法确定
【答案】B
58.(2010四川攀枝花)如图5,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y = x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y = (k≠0)与△ABC的边有交点,则k的取值范围是( )
A.1<k<2 B.1≤k≤3
C.1≤k≤4 D.1≤k<4
A
O
y
x
B
C
图5
【答案】C
59.(2010湖北黄石)如图,反比例函数(k>0)与一次函数的图象相交于两点A(,),B(,),线段AB交y轴与C,当|- |=2且AC = 2BC时,k、b的值分别为( )
A.k=,b=2 B.k=,b=1 C.k=,b= D.k=,b=
【答案】D
二、填空题
1.(2010安徽蚌埠二中)已知点(1,3)在函数的图像上。正方形的边在轴上,点是对角线的中点,函数的图像又经过、两点,则点的横坐标为__________。
【答案】
2.(10湖南益阳)如图6,反比例函数的图象位于第一、三象限,其中第一象限内的图象经过点A(1,2),请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P,你选择的P点坐标为 .
【答案】答案不唯一,、满足且即可
3.(2010江苏南京)若反比例函数的图像经过点(-2,-1),则这个函数的图像位于第 象限.
【答案】一、三
4.(2010江苏盐城)如图,A、B是双曲线 上的点, A、B两点的横坐标
分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则
k= ▲ .
y
x
O
B
C
A
(第18题)
【答案】4
5.(2010辽宁丹东市)写出具有“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”的反
比例函数__ __(写出一个即可).
【答案】等
6.(2010山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y=的图像上,则菱形的面积为____________。
【答案】4
7.(2010 浙江省温州)若一个反比例函数的图象位于二、四象限,则它的解析式可能是▲.(写出一个即可)
【答案】
8.(2010 福建德化)如图,直线与双曲线()交于点.将
直线向下平移个6单位后,与双曲线()交于点,与轴交于点C,则C点的坐标为___________;若,则 .
O
x
y
A
B
C
【答案】(,12
9.(2010湖南长沙)已知反比例函数的图象如图,则m的取值范围是 .
【答案】m<0.
10.(2010 山东济南)若是双曲线上的两点,
且,则{填“>”、“=”、“<”}.
【答案】<
11.(2010湖南邵阳)如图(七),直线y=kx与双曲线y=相交于点P、Q.若点P的坐标为(1,2),则点Q的坐标为_____.
图(七)
【答案】)(-1,-2)
12.(2010重庆綦江县)有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=2m3时,气体的密度是_______kg/m3.
【答案】4
13.(2010湖南衡阳)如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为3,则k=____________.
【答案】2
14.(2010 浙江衢州) 若点(4,m)在反比例函数(x≠0)的图象上,则m的值是 .
【答案】2
15.(2010湖北武汉)如图,直线y=与y轴交于点A,与双曲线y=在第一象限交于点B,C两点,且ABAC=4,则k= .
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答案:
16.(2010 四川巴中)点,点是双曲线上的两点,若,则y1 y2(填“=”、“>”、“<”)。
【答案】>
17.(2010江苏淮安)若一次函数y=2x+l的图象与反比例函数图象的一个交点横坐标为l,则反比例函数关系式为 .
【答案】B
18.(2010湖北荆门)函数y=k(x-1)的图象向左平移一个单位后与反比例函数y=的图象的交点为A、B,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为______.
【答案】(-1,-2)
19.(2010 四川成都)已知是正整数,是反比例函数图象上的一列点,其中.记,,若(是非零常数),则A1·A2·…·An的值是________________________(用含和的代数式表示).
【答案】
20.(2010广东中山)已知一次函数与反比例函数的图象,有一个交点的纵坐标是2,则的b值为 .
A.a﹣2 B.2﹣a C.a D.﹣a
【答案】-1
21.(2010湖北省咸宁)如图,一次函数的图象与轴,轴交于A,B两点,
与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两
点作轴,轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.
有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等; ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF; ④.
其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
y
x
D
C
A
B
O
F
E
(第16题)
【答案】①②④(多填、少填或错填均不给分)
22.(2010江苏扬州)反比例函数的图象经过点(-2,3),则此反比例函数的关系式是__________.
【答案】y=—
23.(2010湖北恩施自治州)在同一直角坐标系中,正比例函数
的图象与反比例函数的图象有公共点,则 0(填“>”、“=”或“<”).
【答案】>
24.(2010山东泰安)如图,一次函数y=ax(a是常数)与反比例函数y=(k是常数)的图象相交与A、B两点,若A点的坐标为(-2,3),则B点的坐标为 .
【答案】(2,-3)
25.(2010云南楚雄)点(-2,3)在反比例函数的图像上,则这个反比例函数的表达式是 .
【答案】y=-
26.(2010云南昆明) 如图,点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线上,且,;分别过点A、B向x
轴、y轴作垂线段,垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点,四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为 .
第15题图
G
【答案】
27.(2010陕西西安)已知都在反比例函数的图象上。若
,则的值为 。
【答案】-12
28.(2010江苏 镇江)反比例函数的图象在第二、四象限,则n的取值范围为 ,为图象上两点,则y1 y2(用“<”或“>”填空)
【答案】
29.(2010 四川泸州)在反比例函数的图象上,有一系列点、、…、、,若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点、、…、、作轴与轴的垂线段,构成若干个矩形如图8所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、,则________________,+++…+_________________.(用n的代数式表示)
【答案】5,
30.(2010 内蒙古包头)如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点,与轴相交于点轴于点,的面积为1,则的长为 (保留根号).
y
O
x
A
C
B
【答案】
31.(2010 贵州贵阳)若点(-2,1)在反比例函数的图象上,则该函数的图象位于第 ▲ 象限.
【答案】二、四
32.(2010 福建泉州南安)如图,已知点A在双曲线y=上,且OA=4,过A作
AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B.
(1)则△AOC的面积= ,(2)△ABC的周长为 .
【答案】(1),(2).
33.(2010 四川自贡)两个反比例子函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,……,P2010在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,……,x2010,纵坐标分别是1,3,5,……,共2010个连续奇数,过点P1,P2,P3,……,P2010分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),……,Q2010(x2010,y2010),则y2010=_______________。
【答案】2009.5
34.(2010 湖北咸宁)如图,一次函数的图象与轴,轴交于A,B两点,
与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两
点作轴,轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.
有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等; ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF; ④.
其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
y
x
D
C
A
B
O
F
E
(第16题)
【答案】①②④
35.(2010 广西钦州市)反比例函数(k >0)的图象与经过原点的直线l相交于A、B
两点,已知A点的坐标为(2,1),那么B点的坐标为 ▲ .
第6题
l
【答案】(-2,-1)
36.(2010青海西宁)根据反比例函数和一次函数的图象,请写出它们的一个共同点 ;一个不同点 . .
【答案】(答案不惟一)例如:相同点:图象都经过第一、三象限;不同点:一次函数图象是一条直线,反比例函数图象是双曲线等.
37.(2010吉林长春)如图,双曲线与直线的一个交点的横坐标为2,当x=3时, (填“>”“<”或“=”).
【答案】<
38.(2010新疆乌鲁木齐)已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系为 (用“>”或“<”连接)
【答案】
39.(2010广西南宁)如图7所示,点、、在轴上,且,分别过点、、作轴的平行线,与分比例函数的图像分别 交于点
、、,分别过点、、作轴的平行线,分别与 轴交于点、、,连接、、,那么图中阴影部分的面积之和为 .
【答案】
40.(2010年山西)如图,A是反比例函数图象上一点,过点A作轴于点B,点P在x轴上,△ABP面积为2,则这个反比例函数的解析式为 。
【答案】
41.(2010贵州遵义)如图,在第一象限内,点P(2,3),M(α,2)是双曲线y=(k≠0)上的两点,PA⊥χ轴于点B,MB⊥χ轴于点B,PA与OM交于点C,则∠OAC的面积为 .
【答案】
42.(2010广东佛山)根据反比例函数y=的图象(请画图)回答问题:当函数值为正时,x的取值范围是 .
【答案】图略,x<0
43.(2010福建南平)函数y= 和y=在第一象限内的图像如图,点P是y= 的图像上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图像于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________.
第18题
D
O
C
A
P
B
y
x
【答案】:①③④
44.(2010广西河池)如图3,Rt△ABC在第一象限,,AB=AC=2,
点A在直线上,其中点A的横坐标为1,且AB∥轴,
AC∥轴,若双曲线与△有交点,则k的
取值范围是 .
y
1
x
O
A
B
C
图3
【答案】
45.(2010内蒙赤峰)已知反比例函数,当-4≤x≤-1时,y的最大值是___________.
【答案】
三、解答题
1.(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数(x>0)的图象经过点B.
(1)求k的值;
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、MA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
【答案】
2.(2010安徽省中中考) 点P(1,)在反比例函数的图象上,它关于轴的对称点在一次函数的图象上,求此反比例函数的解析式。
【答案】
3.(2010广东广州,23,12分)已知反比例函数y=(m为常数)的图象经过点A(-1,6).
(1)求m的值;
(2)如图9,过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点C的坐标.
【答案】解:(1)∵ 图像过点A(-1,6),. ∴
(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点D、E,
由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE,
∴△CBE∽△CAD,∴ .
∵AB=2BC,∴
∴,∴BE=2.
即点B的纵坐标为2
当y=2时,x=-3,易知:直线AB为y=2x+8,
∴C(-4,0)
4.(2010甘肃兰州)(本小题满分6分) 已知:y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比例,且x=1时,y=3;x=-1时,y=1. 求x=-时,y的值.
【答案】(2)(本小题满分6分)
解:解:y1与x2成正比例,y2与x成反比例
设y1=k1x2,y2=,y=k1x2+…………………………………………………2分
把x=1,y=3,x=-1,y=1分别代入上式得 ……………………3分
∴ …………………………………………5分
当x=-, y=2×(-)2+=-2=- ………………………………6分
5.(2010甘肃兰州)(本题满分9分)如图,P1是反比例函数在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标为(2,0).
(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1O A1的面积
将如何变化?
(2)若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形,求
此反比例函数的解析式及A2点的坐标.
【答案】
(1)解:(1)△P1OA1的面积将逐渐减小. …………………………………2分
(2)作P1C⊥OA1,垂足为C,因为△P1O A1为等边三角形,
所以OC=1,P1C=,所以P1. ……………………………………3分
代入,得k=,所以反比例函数的解析式为. ……………4分
作P2D⊥A1 A2,垂足为D、设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a,
所以P2. ……………………………………………………………6分
代入,得,化简得
解的:a=-1± ……………………………………………7分
∵a>0 ∴ ………………………………8分
所以点A2的坐标为﹙,0﹚ ………………………………………………9分
6.(2010江苏南通)(本小题满分9分)
如图,直线与双曲线相交于A(2,1)、B两点.
(1)求m及k的值;
(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标;
(3)直线经过点B吗?请说明理由.
A
B
O
x
y
(第21题)
2
1
2
3
-3
-1
-2
1
3
-3
-1
-2
【答案】(1) 把A(2,1)分别代入直线与双曲线的解析式得:m= -1, k=2;
(2) B的坐标(-1,-2);
(3)当x=-1, m=-1代入,得y= -2×(-1)+4×(-1)=2-4=-2, 所以直线经过点B(-1,-2);
7.(2010山东济宁)如图,正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点,过点作轴的垂线,垂足为,已知的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合),且点的横坐标为1,在轴上求一点,使最小.
(第20题)
【答案】
解:(1) 设点的坐标为(,),则.∴.
∵,∴.∴.
∴反比例函数的解析式为. 3分
(2) 由 得 ∴为(,). 4分
设点关于轴的对称点为,则点的坐标为(,).
令直线的解析式为.
∵为(,)∴∴
∴的解析式为. 6分
当时,.∴点为(,). 7分
8.(2010山东威海)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙-2,-5﹚C﹙5,n﹚,交y轴于点B,交x轴于点D.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式;
(2) 连接OA,OC.求△AOC的面积.
O
A
B
C
x
y
D
【答案】解:(1)∵ 反比例函数的图象经过点A﹙-2,-5﹚,
∴ m=(-2)×( -5)=10.
∴ 反比例函数的表达式为. ……………………………………………………2分
∵ 点C﹙5,n﹚在反比例函数的图象上,
∴ .
∴ C的坐标为﹙5,2﹚. …………………………………………………………………3分
∵ 一次函数的图象经过点A,C,将这两个点的坐标代入,得
解得 ………………………………………………………5分
∴ 所求一次函数的表达式为y=x-3. …………………………………………………6分
(2) ∵ 一次函数y=x-3的图像交y轴于点B,
∴ B点坐标为﹙0,-3﹚. ………………………………………………………………7分
∴ OB=3.
∵ A点的横坐标为-2,C点的横坐标为5,
∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=. ………………10分
9.(2010浙江杭州) (本小题满分6分)
给出下列命题:
命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;
命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;
命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;
… … .
(1)请观察上面命题,猜想出命题(是正整数);
(2)证明你猜想的命题n是正确的.
【答案】
(1)命题n: 点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数).
(2)把 代入y = nx,左边= n2,右边= n·n = n2,
∵左边 =右边, ∴点(n,n2)在直线上.
同理可证:点(n,n2)在双曲线上,
∴点(n,n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点,命题正确.
10.(2010浙江嘉兴)一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为和.
(1)求k和m的值;
(2)若行驶速度不得超过60(km/h),则汽车通过该路段最少需要多少时间?
(第20题)
【答案】(1)将代入,得,解得.
函数解析式为:.当时,,解得.
所以,,. …4分
(2)令,得.
结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要小时. …4分
11.(2010 浙江义乌)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D,
y
x
P
B
D
A
O
C
且S△PBD=4,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
(3)根据图象写出当时,一次函数的值大于反比例
函数的值的的取值范围.
【答案】
解:(1)在中,令得 ∴点D的坐标为(0,2)
(2)∵ AP∥OD ∴Rt△PAC ∽ Rt△DOC
∵ ∴ ∴AP=6
又∵BD= ∴由S△PBD=4可得BP=2
∴P(2,6) 把P(2,6)分别代入与可得 全品中考网
一次函数解析式为:y=2x+2
反比例函数解析式为:
(3)由图可得x>2
12.(2010 重庆)已知:如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与反比例函数在第一象限内的图象交于点,连结,若.
(1)求该反比例函数的解析式和直线的解析式;
22题图
A
B
C
O
x
y
(2)若直线与轴的交点为,求△的面积.
【答案】
解:(1)由,得 .
∵点在第一象限内,.
∴.∴. (2分)
∴点的坐标是. (3分)
设该反比例函数的解析式为.
将点的坐标代入,得 , ∴. (4分)
∴反比例函数的解析式为:. (5分)
设直线的解析式为.
将点,的坐标分别代入,得 (6分)
解得 (7分)
∴直线的解析式为. (8分)
(2)在中,令,得.
∴点的坐标是.∴. (9分)
∴. (10分)
13.(2010重庆市潼南县)(10分)如图, 已知在平面直角坐标系xOy中,一次函数(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象相交于A、B两点,且点B的纵坐标为,过点A作AC⊥x轴于点C, AC=1,OC=2.
求:(1)求反比例函数的解析式;(2)求一次函数的解析式.
【答案】解:(1)∵AC⊥x轴 AC=1 OC=2
∴点A的坐标为(2,1)------------------------------1分
∵反比例函数的图像经过点A(2,1)
∴ m=2------------------------------------------4分
∴反比例函数的解析式为---------------------5分
(2)由(1)知,反比例函数的解析式为
∵反比例函数的图像经过点B且点B的纵坐标为-
∴点B的坐标为(-4,-)---------------------------6分
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,1)点B(-4,-)
∴
解得:k= b=----------------------------------9分
∴一次函数的解析式为----------------------10分
14.(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)观察图象,可知一次函数值小于反比例函数值的的取值范围是 ▲ .(把答案直接写在答题卡相应位置上)
O
B
y
x
A
【答案】解:(1)由题意得: ………………………………………2分
解之得: 或 ………………………………………4分
∴A、B两点坐标分别为A、B ……………………6分
(2)的取值范围是:或 ……………………………10分
15.(2010浙江金华)(本题10分)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.
y
P
Q
M
N
O
x
1
2
-1
-2
-3
-3
-2
-1
1
2
3
(第23题图)
(1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标; M1的坐标是 ▲
(2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ ▲ , 若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ▲ ;
(3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.
【答案】解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2)
M1
P
Q
M
N
O
y
1
2
3
-1
-2
-3
-3
-2
-1
1
2
3
Q1
N1
(2),
(3)由(2)知,直线M1 M的解析式为
x
则(,)满足
解得 ,
∴ ,
∴M1,M的坐标分别为(,),(,).
16.(2010 山东济南)如图,已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
【答案】(1)∵点A横坐标为4 ,
∴当 x = 4时,y = 2
∴ 点A的坐标为(4,2 ) …………2’
∵点A是直线与双曲线(k>0)的交点,
∴ k = 4×2 = 8 ………….3’
(2)解法一:
∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1
∴ 点C的坐标为(1,8)………..4’
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON
S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4
S△AOC= S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM
= 32-4-9-4 = 15 ………..6’
解法二:
过点 C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1。
∴ 点C的坐标为(1,8)
∵ 点C、A都在双曲线上,
∴ S△COE = S△AOF = 4
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA
∵ S梯形CEFA =×(2+8)×3 = 15,
∴ S△COA = 15
(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ,OA=OB
∴ 四边形APBQ是平行四边形
∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6
设点P的横坐标为m(m > 0且),
得P(m,) …………..7’
过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4
若0<m<4,
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6
∴
解得m= 2,m= - 8(舍去)
∴ P(2,4) ……………8’
若 m> 4,
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6
∴,
解得m= 8,m =-2 (舍去)
∴ P(8,1)
∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)………….9’
17.(2010江苏泰州)保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2009年1 月的利润为200万元.设2009年1 月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2009年1 月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式.
⑵治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2009年1月的水平?
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?
【答案】⑴①当1≤≤5时,设,把(1,200)代入,得,即;②当时,,所以当>5时,;
⑵当y=200时,20x-60=200,x=13,所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后,该厂利润达到200万元;
⑶对于,当y=100时,x=2;对于y=20x-60,当y=100时,x=8,所以资金紧张的时间为8-2=6个月.
18.(2010 河北)如图13,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
x
M
N
y
D
A
B
C
E
O
图13
(3)若反比例函数(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
【答案】解:(1)设直线DE的解析式为,
∵点D ,E的坐标为(0,3)、(6,0),∴
解得 ∴ .
∵ 点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,
∴ 点M的纵坐标为2.
又 ∵ 点M在直线上,
∴ 2 = .∴ x = 2.∴ M(2,2).
(2)∵(x>0)经过点M(2,2),∴ .∴.
又 ∵ 点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.
∵ 点N在直线上, ∴ .∴ N(4,1).
∵ 当时,y == 1,∴点N在函数 的图象上.
(3)4≤ m ≤8.
19.(2010 山东省德州) ●探究 (1) 在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.
第22题图1
O
x
y
D
B
A
C
①若A (-1,0), B (3,0),则E点坐标为__________;
②若C (-2,2), D (-2,-1),则F点坐标为__________;
(2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b) ,B(c,d),
求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的
代数式表示),并给出求解过程.
O
x
y
D
B
第22题图2
A
●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A(a,b),B(c,d), AB中点为D(x,y) 时,
x=_________,y=___________.(不必证明)
●运用 在图2中,一次函数与反比例函数
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
第22题图3
的图象交点为A,B.
①求出交点A,B的坐标;
②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,
请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
【答案】解: 探究 (1)①(1,0);②(-2,);
(2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
A′
D′
B′
O
x
y
D
B
A
,, ,则∥∥.
∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得
=.
∴O=.
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
O
P
即D点的横坐标是
同理可得D点的纵坐标是.
∴AB中点D的坐标为(,).
归纳:,.
运用 ①由题意得
解得或.
∴即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1) .
②以AB为对角线时,
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1) .
∵平行四边形对角线互相平分,
∴OM=OP,即M为OP的中点.
∴P点坐标为(2,-2) .
同理可得分别以OA,OB为对角线时,
点P坐标分别为(4,4) ,(-4,-4) .
∴满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2) ,(4,4) ,(-4,-4) .
20.(2010 广东珠海)已知:正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点M(a,1),MN⊥x轴于点N(如图),若△OMN的面积等于2,求这两个函数的解析式.
【答案】解:∵MN⊥x轴,点M(a,1)
∴S△OMN==2
∴a=4
∴M(4,1)
∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点M(4,1)
∴ 解得
∴正比例函数的解析式是,反比例函数的解析式是
21.(2010四川 巴中)一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,1),B(-1,n)两点。
(1)求反比例函数的解析式
(2)求一次例函数的解析式
(3)求△AOB的面积
x
y
图10
O
B
A
C
D
【答案】(1)解:因为经过A(2,1),∴m=2,∴反比例函数的解析式为y=.
(2)因为B(-1,n)在y=上,∴n=-2,∴B的坐标是(-1,-2)
把A(2,1)、B(-1,-2)代入y=kx+b,得
,解得:,∴y=x-1.
(3)设直线y=x-1与坐标轴分别交于C、D,则C(1,0)、D(0,-1)
∴S△AOB=S△BOD+S△COD+S△AOC=。
22.(2010 四川成都)如图,已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点.
(1)试确定这两个函数的表达式;
(2)求出这两个函数图象的另一个交点的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围.
【答案】解:(1)∵已知反比例函数经过点,
∴,即
∴
∴A(1,2)
∵一次函数的图象经过点A(1,2),
∴
∴
∴反比例函数的表达式为,
一次函数的表达式为。
(2)由消去,得。
即,∴或。
∴或。
∴或
∵点B在第三象限,∴点B的坐标为。
由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,的取值范围是或。
23.(2010湖南常德)已知图7中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支.
(1)求常数的取值范围;
(2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为A (2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.
x
y
O
A
图7
【答案】解:(1)∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限,
,解得.
(2)∵点A (2,)在正比例函数的图象上,
,则A点的坐标为(2,4) .
又点在反比例函数的图象上,
,即.
反比例函数的解析式为 .
24.(2010湖南郴州) 已知:如图,双曲线y=的图象经过A(1,2)、B(2,b)两点.
(1)求双曲线的解析式;
(2)试比较b与2的大小.
第21题
【答案】 解:(1)因为点A(1,2)在函数y=上
所以2=,即k=2
所以双曲线的解析式为;
(2)由函数的性质可得在第一象限y随x的增大而减小
因为2>1 所以b<2
(注:还可用点在函数图象上求出b的值,从而比较b与2的大小)25.(2010湖北荆州)已知:关于x 的一元二次方程的两根满足
,双曲线(x>0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D,与直角边AB交于C(如图),求.
【答案】解:有两根
∴
即
由得:
当时, 解得 ,不合题意,舍去
当时,,
解得: 符合题意
∴双曲线的解析式为:
过D作DE⊥OA于E,
则
∵DE⊥OA,BA⊥OA
∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA
∴ ∴
∴
26.(2010北京)已知反比例函数y= 的图像经过点A(—,1)
(1)试确定此反比例函数的解析式.
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在反比例函数的图像上,并说明理由.
(3)已知点P(m,m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m <0),过p点作x轴的的垂线,交x轴于点M,若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2-2n+q的值.
【答案】解:(1)由题意德 1=
解得 k= -
∴ 反比例函数的解析式为y=
(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C, 全品中考网
在Rt△AOC中,OC=,AC=1
可得OA==2,∠AOC=30°
由题意,∠AOC=30°,OB=OA=2,
∴∠BOC=60°
过点B做x轴的垂线交x轴于点D,
在Rt△BOD中,可得, BD=, OD=1
∴ 点B坐标(-1,)
将x=-1代入y= 中,得y=.
∴点B(-1,)在反比例函数y= 的图像上.
(3)由y= 得xy=-
∵ 点P(m,m+6)在反比例函数的y= 的图像上,m<0
∴ m(m+6 )=-
∴
∵PQ⊥x轴
∴Q点的坐标(m,n)
∵ △OQM的面积为
∴OM.QM=
∵ m<0
∴ m.n=-1
∴
∴
∴.
27.(2010河南)如图,直线y=x+6与反比例函数y=等(x>0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.
(1)求、的值;
(2)直接写出x +6一 >0时的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于E,CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由.
【答案】(1)由题意知 k2 = 1×6 = 6
∴反比例函数的解析式为 y = .
又B(a,3)在y = 的图象上,∴a = 2 ∴B(2,3).
∵ 直线y = k1x + b 过A(1,6),B(2,3)两点,
∴ ∴
(2)x 的取值范围为1< x < 2.
(3)当S梯形OBCD = 12时,PC= PE
设点P的坐标为(m,n),∵BC∥OD,CE⊥OD,BO = CD,B(2,3).
∴C(m,3),CE = 3,BC = m – 2,OD = m +2.
∴当S梯形OBCD = ,即12 =
∴m = 4 .又mn = 6 ,∴n = .即PE = CE.
∴PC = PE.
28.(2010四川乐山)如图(8)一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点B,且点B的横坐标为1,过点B作y轴的垂线,C为垂足,若,
求一次函数和反比例函数的解析式
.
【答案】解:∵一次函数过点B,且点B的横坐标为1,
∴
解得b=6, ∴B(1,3)
∴一次函数的解析式为
又∵过点B,
∴反比例函数的解析式为
29.(2010江苏徐州)如图,已知A(n,-2),B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOC的面积;
(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案).
【答案】
30.(2010广东东莞)如图,一次函数y=kx-1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(2,1).
⑴试确定k、m的值;
⑵求B点的坐标.
x
y
2
1
A
B
O
【答案】⑴把点(2,1)分别代入函数解析式得:,解得
⑵根据题意,得解得, (舍去)所以B点坐标为(-1,-2)
31.(2010湖北襄樊)已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当-3≤x≤-1时,求反比例函数y的取值范围.
【答案】解:(1)由题意,得2x=2,∴x=1.
将x=1,y=2代入中,得k=1×2=2.
∴所求反比例函数的解析式为.
(2)当x=-3时,y=;当x=-1时,y= -2.
∵2>0,∴反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小.
∴当-3≤x≤-1时,反比例函数y的取值范围为-2≤y≤.
32.(2010 四川绵阳)如图,已知正比例函数y = ax(a≠0)的图象与反比例函致(k≠0)的图象的一个交点为A(-1,2-k2),另—个交点为B,且A、B关于原点O对称,D为OB的中点,过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E.
(1)写出反比例函数和正比例函数的解析式;
(2)试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍.
E
D
B
A
x
y
O
C
【答案】(1)由图知k>0,a>0.∵ 点A(-1,2-k2)在图象上,
∴ 2-k2 =-k,即 k2-k-2 = 0,解得 k = 2(k =-1舍去),得反比例函数为.
此时A(-1,-2),代人y = ax,解得a = 2,∴ 正比例函数为y = 2x.
(2)过点B作BF⊥x轴于F.∵ A(-1,-2)与B关于原点对称,
∴ B(1,2),即OF = 1,BF = 2,得 OB =.
由图,易知 Rt△OBF∽Rt△OCD,∴ OB : OC = OF : OD,而OD = OB∕2 =∕2,
∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5.由 Rt△COE∽Rt△ODE得 ,
所以△COE的面积是△ODE面积的5倍.
33.(2010 四川泸州)如图6,已知反比例函数y1=的图像与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A(-2,1)、B(a,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C,求△AOC的面积(O为坐标原点);
(3)求使y1>y2时x的取值范围.
【答案】(1)∵函数y1=的图像过点A(-2,1) 即1=,∴m=-2,即y1=,又∵点B(a,-2)在y1=上,∴a=1,∴B(1,-2),又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点, 即,解之得,∴y2=-x-1
(2)∵x=0,∴y2=-x-1=-1,即y2=-x-1与y轴交点C(0,-1),设点A的横坐标为xA,
∴△AOC的面积S△AOC=
(3)要使y1>y2,即函数y1的图象总在函数y2的图象上方,∴-2<x<0,或x>1.
34.(2010 天津)已知反比例函数(为常数,).
(Ⅰ)若点在这个函数的图象上,求的值;
(Ⅱ)若在这个函数图象的每一支上,随的增大而减小,求的取值范围;
(Ⅲ)若,试判断点,是否在这个函数的图象上,并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵ 点在这个函数的图象上,
∴ .解得. ..............................2分
(Ⅱ)∵ 在函数图象的每一支上,随的增大而减小,
∴ .解得. ..............................4分
(Ⅲ)∵ ,有.
∴ 反比例函数的解析式为.
将点的坐标代入,可知点的坐标满足函数关系式,
∴ 点在函数的图象上.
将点的坐标代入,由,可知点的坐标不满足函数关系式,
∴ 点不在函数的图象上. ..............................8分
35.(2010湖北十堰)(本小题满分8分)如图所示,直线AB与反比例函数图像相交于A,B两点,已知A(1,4).
(1)求反比例函数的解析式;
x
y
O
B
C
A(1,4)
x
y
O
B
C
A(1,4)
(2)连结OA,OB,当△AOB的面积为时,求直线AB的解析式.
【答案】解:(1)设反比例函数解析式为y= ,
∵点A(1,4)在反比例函数的图象上
∴4=,∴k=4,∴反比例函数的解析式为y=.
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b(a>0,b>0),则当x=1时,a+b=4即b=4-a.
联立,得ax2 +bx-4=0,即ax2 +(4-a)x-4=0,
方法1:(x-1)(ax+4)= 0,解得x1=1或x=-,
设直线AB交y轴于点C,则C(0,b),即C(0,4-a)
由S△AOB=S△AOC+S△BOC=,整理得
a2+15a-16=0,∴a=1或a=-16(舍去) ∴b=4-1=3
∴ 直线AB的解析式为y=x+3
方法2:由S△AOB= |OC|·|x2-x1|=
而|x2-x1|====,
|OC|=b=4-a,可得,解得a=1或a=-16(舍去).
36.(2010 重庆江津)如图,反比例函数的图像经过点,
过点作轴于点B,△AOB的面积为.
(1)求和的值;
(2)若一次函数的图象经过点,
求这个一次函数的解析式.
【答案】解:(1)
即
……………………………………………………………4分
又点在双曲线上
……………………………………………………7分
(2)点又在直线上
……………………………………………………………10分
37.(2010广西梧州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),∠OBA=90°,BC∥OA,OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动,现点E、F同时出发,当F点到达B点时,E、F两点同时停止运动。
(1)求梯形OABC的高BG的长。
(2)连接EF并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形。
(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图像上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由。
H
D
A
B
C
O
y
F
G
E
x
【答案】(1)在Rt△ABO中,OB=8,OA=10
根据勾股定理得AB=6
∵S△ABO= OB·AB= OA·BG,∴BG==48
(2)Rt△ABG中,AB=6,BG= 48,根据勾股定理得AG=36,
若四边形ABED是等腰梯形,则OD=10-36-36-t=28-t,OF=2t,BF=8-2t,
∵BC∥OA,∴△EBF∽△DOF,∴,
即:,得到: t=。
(3)动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上。t=。
理由:因为AG=36,∴EC=10-36-t=64-t,所以点E的坐标为(64-t,48)
作FH⊥AO于点H,得△OHF∽△OBA,∴FH=×2t=t,OH=×2t=t,如果E、F同时在某个反比例函数的图像上,则E、F两点的横纵坐标乘积相等,即:48(64-t)=t﹒t,得2t2 +5t-32=0,解得t=,或t=(舍去),
38.(2010广西柳州)如图13,过点P(-4,3)作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线(k≥2)于E、F两点.
(1)点E的坐标是________,点F的坐标是________;(均用含k的式子表示)
(2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
(3)记,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.
x
A
B
O
E
F
P
y
图13
x
A
B
O
E
F
P
P′
M
N
【答案】
解:(1)E(-4,-),F(,3) …………………………………………………3分
(说明:只写对一个点的坐标给2分,写对两个点的坐标给3分)
(2)(证法一)结论:EF∥AB ……………………………………………………4分
证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-),F(,3),
即得:PE=3+,PF=+4 …………………………………………5分
∵ ,
∠APB=∠EPF
∴ △PAB∽△PEF ……………………………………………………………6分
∴ ∠PAB=∠PEF …………………………………………………………… 7分
∴ EF∥AB ……………………………………………………………………4分
(证法二)结论:EF∥AB ……………………………………………………4分
证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-),F(,3),
即得:PE=3+,PF=+4 …………………………………………………5分
在Rt△PAB中,tan∠PAB=
在Rt△PEF中,tan∠PEF=
∴ tan∠PAB= tan∠PEF
∴ ∠PAB=∠PEF ……………………………………………………………6分
∴ EF∥AB ……………………………………………………………………7分
(3)(方法一)
S有最小值 ……………………………………………………………………8分
∵
∴ ……………………………9分
由(2)知,
∴ S= ……………………………………10分
= ……………………………………………………11分
又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大,
∴ 当k=2时,
∴S的最小值是.…………………………………………………………12分
(方法二)
S有最小值. ………………………………………………………………………8分
分别过点E、F作PF、PE的平行线,交点为P′.
由(2)知,P′
∵ 四边形PEP′为矩形,
∴ S△P′EF= S△PEF
∴ S=S△PEF - S△OEF
= S△P′EF - S△OEF
= S△OME +S矩形OMP′N+ S△ONF …………………………………………………9分
= …………………………………………………………………10分
=+k
= ……………………………………………………………11分
又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大,
∴ 当k=2时,S最小=
∴ S的最小值是. …………………………………………………………12分
39(2010年福建省泉州))我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.
如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、,已知点、.
(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形的形状一定是 ;
(2)①当点为时,四边形是矩形,试求、α、和有值;
②观察猜想:对①中的值,能使四边形为矩形的点共有几个?(不必说理)
(3)试探究:四边形能不能是菱形?若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.
【答案】解:(1)平行四边形 …………(3分)
(2)①∵点在的图象上,∴
∴………………………………(4分)
过作,则
在中,
α=30° ……………………………………………………………(5分)
∴
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
∴点B、D关于原点O成中心对称 ………………………………………(6分)
∴OB=OD=
∵四边形为矩形,且
∴………………………………………………………(7分)
∴; ……………………………………………………………(8分)
②能使四边形为矩形的点B共有2个; ………………………………(9分)
(3)四边形不能是菱形. ……………………………………………(10分)
法一:∵点、的坐标分别为、
∴四边形的对角线在轴上.
又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.
∴对角线与不可能垂直.
∴四边形不能是菱形
法二:若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分,
因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0)
所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上. ……………………………………(11分)
所以BD应在y轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,
所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………(12分)
402010广东肇庆)如图6是反比例函数y=的图象的一支,根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?
(2)若函数的图象经过(3,1),求n的值.
(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1<a2,试比较b1和b2的大小.
解:(1)图象的另一支在第三象限,
∵反比例函数的图象在一、三象限
∴2n-4>0,即n>2.
(2)∵反比例函数y=的图象经过(3,1)
∴1=
n=3.5
(3)∵反比例函数解析式为:y=,3>0
∴y随x的增大而减小
∵a1<a2
∴b>1b2.
41(2010四川广安)如右图,若反比例函数与一次函数的图象都经过点.
(1) 求A点的坐标及一次函数的解析式;
(2) 设一次函数与反比例函数图象的另一交点为B,求B点坐标,并利用函数图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
【答案】(1)反比例函数图象经过,∴,,∴A(-4,2);
又一次函数的图象也经过点A,∴,,;
(2)把反比例函数和一次函数的解析式联立成方程组得,
解得,∴B点坐标为(2,-4),从反比例函数和一次函数的可得:当或时,一次函数的值小于反比例函数的值。
42(2010四川达州)近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图11,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,井下3 km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
图11
【答案】.解:(1)因为爆炸前浓度呈直线型增加,
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点(0,4)与(7,46)
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(不取=0不扣分,=7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降,
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点(7,46),
∴. ∴,
∴,此时自变量的取值范围是>7.
(2)当=34时,由得,6+4=34,=5 .
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).
(3)当=4时,由得, =80.5,80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
43(2010广东湛江)病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后2小时,每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。已知服药后,2小时前每毫升血液中的含量y(毫克)与时间x(小时)成正比例;2小时后y与x成反比例(如图所示)。根据以上信息解答下列问题:
(1).求当时,y与x的函数关系式;
(2).求当时,y与x的函数关系式;
(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
【答案】.解:(1)当时,设函数解析式为,由题意得………………1分
,解得………………………………………3分
∴当时,函数解析式为………………4分
(2)当时,设函数解析式为,由题意得………………5分
,解得………………………………………7分
∴当时,函数解析式为……………………………8分
(3)把y=2代入y=2x中,得x=1……………………………9分
把y=2代入中,得x=4……………………………10分
∴4-1=3……………………………11分
答:服药一次,治疗疾病的有效时间是3小时…………………………12分
44(2010内蒙呼和浩特)在平面直角坐标系中,函数y=(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,b),其中a>1.过点A作x中的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD相交于点M,连结AD、DC、CB与AB.
(1)求m的值;
(2)求证:DC∥AB;
(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式.
【答案】解:(1)∵点A(1,4)在函数y=的图像上,
∴4=,得m=4.……………………………2分
(2)∵点B(a,b)在函数y=的图像上,∴ab=4.
又∵AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D交AC于M,∴AC⊥BD于M
∴M(1,b),D(0,b),C(1,0)
∴tan∠BAC====,tan∠DCM==……………4分
∴tan∠BAC =tan∠DCM,
所以锐角∠BAC=∠DCM,DC∥AB………………………………………………6分
说明:利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,易证△ABM∽△CDM,易得∠BAC=∠DCM.评分标准为证出相似得到4分,证出平行得到6分.
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b
∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.
① 四边形ABCD是平行四边形时,AC与BD互相平分,
又∵AC⊥BD,∴B(2,2)
∴,解得
∴直线AB的解析式为:y=-2x+6.………………8分
②当四边形ABCD是等腰梯形时,
BD与AC相等且垂直,∵AC=BD=4,
∴B(4,1)
∴同理可求直线AB的解析式为y=-x+5.…………………10分
45(2010广西百色)如图,反比例函数(>0)与正比例函数的图象分别交矩形的边于
(4,1),(4,5)两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式;
(2)若一个点的横坐标、纵坐标都是整数,则称这个点为格点.请你写出图中阴影区域(不含边界)内的所有格点关于轴对称的点的坐标.
【答案】解:(1)∵的图象经过点
∴ ………………………………………………………1′
∴ …………………………………………………………1′
∴反比例函数的解析式为 ……………………1′
∵的图象经过点
∴ ……………………1′
∴ …………………………1′
∴一次函数的解析式为 ……………………1′
(2) 阴影区域(不含边界)内的格点:(3,3)(3,2) …………1′
所求点的坐标为:(-3,3)、(-3,2) ……………………1′