山东省潍坊市中考数学试题word版含解析 22页

‎2015年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的3分，选错、不选或选出的答案超出一个均记0分．）‎ ‎1．（3分）（2015•潍坊）在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎|﹣2|‎ B．‎ ‎20‎ C．‎ ‎2﹣1‎ D．‎ 考点：‎ 实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．.‎ 分析：‎ 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可．‎ 解答：‎ 解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是|﹣2|．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．‎ ‎（3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•潍坊）如图所示几何体的左视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．.‎ 分析：‎ 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ 解答：‎ 解：从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•潍坊）2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童约为11.1万人．11.1万用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1.11×104‎ B．‎ ‎11.1×104‎ C．‎ ‎1.11×105‎ D．‎ ‎1.11×106‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将11.1万用科学记数法表示为1.11×105．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形．.‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、是中心对称图形．故错误；‎ B、不是中心对称图形．故正确；‎ C、是中心对称图形．故错误；‎ D、是中心对称图形．故错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•潍坊）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎+=‎ B．‎ ‎3x2y﹣x2y=3‎ ‎　‎ C．‎ ‎=a+b D．‎ ‎（a2b）3=a6b3‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分；二次根式的加减法．.‎ 分析：‎ A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可．‎ B：根据合并同类项的方法判断即可．‎ C：根据约分的方法判断即可．‎ D：根据积的乘方的运算方法判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵，‎ ‎∴选项A不正确；‎ ‎∵3x2y﹣x2y=2x2y，‎ ‎∴选项B不正确；‎ ‎∵，‎ ‎∴选项C不正确；‎ ‎∵（a2b）3=a6b3，‎ ‎∴选项D正确．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．‎ ‎（2）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．‎ ‎（3）此题还考查了合并同类项，以及约分的方法的应用，要熟练掌握．‎ ‎　[来源:学,科,网]‎ ‎6．（3分）（2015•潍坊）不等式组的所有整数解的和是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的整数解．.‎ 分析：‎ 先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵解不等式①得；x＞﹣，‎ 解不等式②得；x≤3，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣＜x≤3，‎ ‎∴不等式组的整数解为0，1，2，3，‎ ‎0+1+2+3=6，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集，难度适中．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•潍坊）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎70°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎45°‎ D．‎ ‎20°‎ 考点：‎ 切线的性质．.‎ 分析：‎ 由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．‎ 解答：‎ 解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，‎ ‎∴∠OBC=90°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠A=∠ABO=20°，‎ ‎∴∠BOC=40°，‎ ‎∴∠C=50°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•潍坊）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．.‎ 分析：‎ 首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．‎ 解答：‎ 解：∵式子+（k﹣1）0有意义，‎ ‎∴‎ 解得k＞1，‎ ‎∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，‎ ‎∴一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．‎ ‎（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．‎ ‎（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；‎ 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；‎ 第三步，连接DE、DF．‎ 若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.‎ 分析：‎ 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE=DE，AF=DF，‎ ‎∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴∠EDA=∠CAD，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 同理DF∥AE，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF，‎ ‎∵AF=4，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF=4，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BD=6，AE=4，CD=3，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=8，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（π﹣4）cm2‎ B．‎ ‎（π﹣8）cm2‎ C．‎ ‎（π﹣4）cm2‎ D．‎ ‎（π﹣2）cm2‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；扇形面积的计算．.‎ 分析：‎ 作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积．‎ 解答：‎ 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，‎ ‎∵OA=OD=4，CD=2，‎ ‎∴OC=2，‎ 在RT△AOC中，sin∠OAC==，‎ ‎∴∠OAC=30°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ AC==2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB=﹣××2=（π﹣4）cm2‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2015•潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm2‎ B．‎ cm2‎ C．‎ cm2‎ D．‎ cm2‎ 考点：‎ 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.‎ 分析：‎ 如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．‎ ‎∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，‎ ‎∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．‎ ‎∵折叠后是一个三棱柱，‎ ‎∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．‎ ‎∴∠ADO=∠AKO=90°．‎ 连结AO，‎ 在Rt△AOD和Rt△AOK中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．‎ ‎∴∠OAD=∠OAK=30°．‎ 设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，‎ ‎∴DE=6﹣2x，‎ ‎∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，‎ ‎=﹣6（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，纸盒侧面积最大为．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．.‎ 分析：‎ ‎①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．‎ ‎②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4ac=0．‎ ‎③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=0，确定出a的取值范围即可．‎ ‎④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵对称轴在y轴左边，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，‎ ‎∴c+2＞2，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＞0，‎ ‎∴结论①不正确；‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，‎ ‎∴△=0，‎ 即b2﹣4ac=0，‎ ‎∴结论②正确；‎ ‎∵对称轴x=﹣=﹣1，‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∵b2﹣4ac=0，‎ ‎∴4a2﹣4ac=0，‎ ‎∴a=c，‎ ‎∵c＞0，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∴结论③不正确；‎ ‎∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，‎ ‎∴x=﹣2时，y＞2，‎ ‎∴4a﹣2b+c+2＞2，‎ ‎∴4a﹣2b+c＞0．‎ ‎∴结论④正确．‎ 综上，可得 正确结论的个数是2个：②④．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．）‎ ‎13．（3分）（2015•潍坊）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是　5　．‎ 考点：‎ 算术平均数；众数．.‎ 分析：‎ 首先根据众数为5得出x=5，然后根据平均数的概念求解．‎ 解答：‎ 解：∵这组数据的众数是5，‎ ‎∴x=5，‎ 则平均数为：=5．‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•潍坊）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=50，AB=20，∠B=60°，则AD=　30　．‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质．.‎ 分析：‎ 首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=AB=20，AD=EC，易得△ABE是等边三角形，即可求得AD的长．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE∥CD交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=AB=20，AD=EC，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴BE=AB=AE=20，‎ ‎∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30．‎ 故答案为：30‎ 点评：‎ 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•潍坊）因式分解：ax2﹣7ax+6a=　a（x﹣1）（x﹣6）　．‎ 考点：‎ 因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式提取a，再利用十字相乘法分解即可．‎ 解答：‎ 解：原式=a（x2﹣7x+6）=a（x﹣1）（x﹣6），‎ 故答案为：a（x﹣1）（x﹣6）‎ 点评：‎ 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是　135　m．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析：‎ 根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．‎ 解答：‎ 解：∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，‎ ‎∴∠ADB=30°，‎ 在Rt△ABD中，‎ tan30°=，‎ 解得，=，‎ ‎∴AD=45，‎ ‎∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴在Rt△ACD中，‎ CD=AD•tan60°=45×=135米．‎ 故答案为135米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2015•潍坊）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=　（）n　．（用含n的式子表示）‎ 考点：‎ 等边三角形的性质．.‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．‎ 解答：‎ 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，‎ ‎∴BB1=1，AB=2，‎ 根据勾股定理得：AB1=，‎ ‎∴S1=××（）2=（）1；‎ ‎∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，‎ ‎∴B1B2=，AB1=，‎ 根据勾股定理得：AB2=，‎ ‎∴S2=××（）2=（）2；‎ 依此类推，Sn=（）n．‎ 故答案为：（）n．‎ 点评：‎ 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是　﹣2＜x＜0或x＞2　．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．.‎ 分析：‎ 由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程×4n×2=8，解方程求出n的值，然后利用图象可知满足y1＞y2的实数x的取值范围．‎ 解答：‎ 解：∵正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，‎ ‎∴B（﹣n，﹣4）．‎ ‎∵△AMB的面积为8，‎ ‎∴×4n×2=8，‎ 解得n=2，‎ ‎∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）．‎ 由图形可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数y1=mx（m＞0）的图象在反比例函数y2=（k≠0）图象的上方，即y1＞y2．‎ 故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．（9分）（2015•潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．‎ ‎（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；‎ ‎（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）‎ 考点：‎ 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；‎ ‎（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，‎ 由题意得，‎ 解得．‎ 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．‎ ‎（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，‎ 由题意得100a+60×2a≥11000，‎ 解得a≥50，‎ ‎150+50=200（元）．‎ 答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．‎ 点评：‎ 此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2015•潍坊）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：‎ 阅读本数n（本）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 人数（名）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎12‎ x ‎7‎ y ‎1‎ 请根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）分别求出统计表中的x、y的值；‎ ‎（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；‎ ‎（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．.‎ 分析：‎ ‎（1）首先求得总分数，然后即可求得x和y的值；‎ ‎（2）首先求得样本中的优秀率，然后用样本估计总体即可；‎ ‎（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50，‎ 则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30，‎ ‎∴x=30﹣（12+7）=11，‎ y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3．‎ ‎（2）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，‎ ‎∴，估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32；‎ ‎（3）用A、B、C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读9本的学生，列表得到：‎ A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由列表可知，共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种，‎ 所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为=；‎ 点评：‎ 考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是能够通过列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．‎ ‎（1）求证：直线DF与⊙O相切；‎ ‎（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图，‎ 连接OD．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴∠ODC=∠C，‎ ‎∴∠ODC=∠B，‎ ‎∴OD∥AB，‎ ‎∵DF⊥AB，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∵点D在⊙O上，‎ ‎∴直线DF与⊙O相切；‎ ‎（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠AED+∠ACD=180°，‎ ‎∵∠AED+∠BED=180°，‎ ‎∴∠BED=∠ACD，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BED∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OD∥AB，AO=CO，‎ ‎∴BD=CD=BC=3，‎ 又∵AE=7，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．‎ 点评：‎ 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎　‎ ‎22．（11分）（2015•潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班．王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分钟）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段OA、AB和BC组成．设线段OC上有一动点T（t，0），直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）．‎ ‎（1）①当t=2分钟时，速度v=　200　米/分钟，路程s=　200　米；‎ ‎②当t=15分钟时，速度v=　300　米/分钟，路程s=　4050　米．‎ ‎（2）当0≤t≤3和3＜t≤15时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式；‎ ‎（3）求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）①根据图象得出直线OA的解析式，代入t=2解答即可；‎ ‎②根据图象得出t=15时的速度，并计算其路程即可；‎ ‎（2）利用待定系数法得出0≤t≤3和3＜t≤15时的解析式即可；‎ ‎（3）根据当3＜t≤15时的解析式，将y=750代入解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①直线OA的解析式为：y=t=100t，‎ 把t=2代入可得：y=200；‎ 路程S==200，‎ 故答案为：200；200；‎ ‎②当t=15时，速度为定值=300，路程=，‎ 故答案为：300；4050；‎ ‎（2）①当0≤t≤3，设直线OA的解析式为：y=kt，由图象可知点A（3，300），‎ ‎∴300=3k，‎ 解得：k=100，‎ 则解析式为：y=100t；‎ 设l与OA的交点为P，则P（t，100t），‎ ‎∴s=，‎ ‎②当3＜t≤15时，设l与AB的交点为Q，则Q（t，300），‎ ‎∴S=，‎ ‎（3）∵当0≤t≤3，S最大=50×9=450，‎ ‎∵750＞50，‎ ‎∴当3＜t≤15时，450＜S≤4050，‎ 则令750=300t﹣450，‎ 解得：t=4．‎ 故王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间4分钟．‎ 点评：‎ 此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2015•潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．‎ ‎（1）求证：DE⊥AG；‎ ‎（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．‎ ‎①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；‎ ‎②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．‎ 考点：‎ 几何变换综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；‎ ‎（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；‎ ‎②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，‎ ‎∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，‎ ‎∴OA=OD，OA⊥OD，‎ ‎∵OG=OE，‎ 在△AOG和△DOE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOG≌△DOE，‎ ‎∴∠AGO=∠DEO，‎ ‎∵∠AGO+∠GAO=90°，‎ ‎∴∠AGO+∠DEO=90°，‎ ‎∴∠AHE=90°，‎ 即DE⊥AG；‎ ‎（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：‎ ‎（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，‎ ‎∵OA=OD=OG=OG′，‎ ‎∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，‎ ‎∴∠AG′O=30°，‎ ‎∵OA⊥OD，OA⊥AG′，‎ ‎∴OD∥AG′，‎ ‎∴∠DOG′=∠AG′O=30°，‎ 即α=30°；‎ ‎（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，‎ 同理可求∠BOG′=30°，‎ ‎∴α=180°﹣30°=150°．‎ 综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．‎ ‎②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴OA=OD=OC=OB=，‎ ‎∵OG=2OD，‎ ‎∴OG′=OG=，‎ ‎∴OF′=2，‎ ‎∴AF′=AO+OF′=+2，‎ ‎∵∠COE′=45°，‎ ‎∴此时α=315°．‎ 点评：‎ 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）（2015•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；‎ ‎（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；‎ ‎（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，‎ ‎∴x1+x2=8，‎ 由 解得：‎ ‎∴B（2，0）、C（6，0）‎ 则4m﹣16m+4m+2=0，‎ 解得：m=，‎ ‎∴该抛物线解析式为：y=；‎ ‎（2）可求得A（0，3）‎ 设直线AC的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，‎ 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：‎ ‎①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），‎ ‎∵P（t，），∴PF=，‎ ‎∴S△APC=S△APF+S△CPF ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 此时最大值为：，‎ ‎②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），‎ ‎∵P（t，），∴PM=，‎ ‎∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当t=8时，取最大值，最大值为：12，‎ 综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；‎ ‎（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，‎ Q（t，3），P（t，），‎ ‎①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，‎ 若：△AOB∽△AQP，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍），或t=，‎ 若△AOB∽△PQA，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍）或t=2（舍），‎ ‎②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，‎ 若：△AOB∽△AQP，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍），或t=，‎ 若△AOB∽△PQA，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍）或t=14，‎ ‎∴t=或t=或t=14．‎ 点评：‎ 本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结．‎