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- 2021-05-10 发布
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2014年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编
多边形与平行四边形
一、选择题
1. (2014•四川巴中,第11题3分)若一个正多边形的一个内角等于135°,那么这个多边形是正 边形.
考点:正多边形的内角和.
分析:一个正多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.
解答:外角是180﹣135=45度,360÷45=8,则这个多边形是八边形.
点评:根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握.
2. (2014山东济南,第8题,3分)下列命题中,真命题是
A.两对角线相等的四边形是矩形 B.两对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.两对角线互相垂直的四边形是菱形 D.两对角线相等的四边形是等腰梯形
【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形,也不一定是等腰梯形,所以A,D都不是真命题.又两对角线互相垂直如果不平分,此时的四边形不是菱形,故选B.
3. (2014山东济南,第10题,3分)在□中,延长AB到E,使BE=AB,连接DE交BC于F,则下列结论不一定成立的是
A
B
C
D
E
F
第10题图
A. B. C. D.
【解析】由题意可得,于是A,B都一定成立;
又由BE=AB,可知,所以C所给结论一定成立,于是不一定成立的应选D.
4. (2014年贵州黔东南3.(4分))如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB∥DC,AD=BC B. AB∥DC,AD∥BC C. AB=DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD
考点: 平行四边形的判定.
分析: 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.
解答: 解:A、“一组对边平行,另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形,故本选项符合题意;
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不符合题意;
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不符合题意;
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不符合题意;
故选:A.
点评: 此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握判定定理:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.(2014•十堰6.(3分))如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是( )
A.
7
B.
10
C.
11
D.
12
考点:
平行四边形的性质;线段垂直平分线的性质.
分析:
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC,再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4,AD=BC=6,进而可以算出△CDE的周长.
解答:
解:∵AC的垂直平分线交AD于E,
∴AE=EC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=4,AD=BC=6,
∴△CDE的周长为:EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10,
故选:B.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质,关键是掌握平行四边形两组对边分别相等.
6.(2014•十堰6.(3分))如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是( )
A.
7
B.
10
C.
11
D.
12
考点:
平行四边形的性质;线段垂直平分线的性质.
分析:
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC,再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4,AD=BC=6,进而可以算出△CDE的周长.
解答:
解:∵AC的垂直平分线交AD于E,
∴AE=EC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=4,AD=BC=6,
∴△CDE的周长为:EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10,
故选:B.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质,关键是掌握平行四边形两组对边分别相等.
7. (2014•山东临沂,第7题3分)将一个n边形变成n+1边形,内角和将( )
A.
减少180°
B.
增加90°
C.
增加180°
D.
增加360°
考点:
多边形内角与外角.
分析:
利用多边形的内角和公式即可求出答案.
解答:
解:n边形的内角和是(n﹣2)•180°,n+1边形的内角和是(n﹣1)•180°,
因而(n+1)边形的内角和比n边形的内角和大(n﹣1)•180°﹣(n﹣2)•180=180°.
故选C.
点评:
本题主要考查了多边形的内角和公式,是需要识记的内容.
8.(2014•四川泸州,第5题,3分)如图,等边△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则∠DEC的度数为( )
A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°
解答:
解:由等边△ABC得∠C=60°,
由三角形中位线的性质得DE∥BC,
∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°,
故选:C.
点评:
本题考查了三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
9.(2014•广东梅州,第8题3分)下列各数中,最大的是( )
A.
0
B.
2
C.
﹣2
D.
﹣
考点:
有理数大小比较.
专题:
常规题型.
分析:
用数轴法,将各选项数字标于数轴之上即可解本题.
解答:
解:画一个数轴,将A=0、B=2、C=﹣2、D=﹣标于数轴之上,
可得:
∵D点位于数轴最右侧,
∴B选项数字最大.
故选B.
点评:
本题考查了数轴法比较有理数大小的方法,牢记数轴法是解题的关键.
10.如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB =4,AC =6,则BD的长是( )
(A)8 (B) 9 (C)10 (D)11
答案:C
解析:根据平行四边形的性质勾股定理可得,Rt△ABO,OA=AC=×6=3,AB=4,∴OB=5,又BD=2OA=2×5=10.故C正确。
6.
7.
8.
二、填空题
1. (2014•上海,第15题4分)如图,已知在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AB=3EB.设=,=,那么= ﹣ (结果用、表示).
考点:
*平面向量
分析:
由点E在边AB上,且AB=3EB.设=,可求得,又由在平行四边形ABCD中,=,求得,再利用三角形法则求解即可求得答案.
解答:
解:∵AB=3EB.=,
∴==,
∵平行四边形ABCD中,=,
∴==,
∴=﹣=﹣.
故答案为:﹣.
点评:
此题考查了平面向量的知识.此题难度不大,注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用,注意掌握数形结合思想的应用.
2. (2014•四川巴中,第19题3分)在四边形ABCD中,(1)AB∥CD,(2)AD∥BC,(3)AB=CD,(4)AD=BC,在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
考点:平行四边形的判定,求简单事件的概率.
分析:列表得出所有等可能的情况数,找出能判定四边形ABCD是平行四边形的情况数,即可求出所求的概率.
解答:列表如下:
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
﹣﹣﹣
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
﹣﹣﹣
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种,其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种,分别为(2,1);(3,1);(1,2);(4,2);(1,3);(4,3);(2,4);(3,4),
则P==.故答案为:
点评:此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
3.(2014•娄底20.(3分))如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是 9 .
考点:
平行四边形的性质;三角形中位线定理.
分析:
根据平行四边形的性质得出DE=AD=BC,DO=BD,AO=CO,求出OE=CD,求出△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD),代入求出即可.
解答:
解:∵E为AD中点,四边形ABCD是平行四边形,
∴DE=AD=BC,DO=BD,AO=CO,
∴OE=CD,
∵△BCD的周长为18,
∴BD+DC+B=18,
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD)=×18=9,
故答案为:9.
点评:
本题考查了平行四边形的性质,三角形的中位线的应用,解此题的关键是求出DE=BC
,DO=BD,OE=DC.
4. (2014•山东临沂,第17题3分)如图,在▱ABCD中,BC=10,sinB=,AC=BC,则▱ABCD的面积是 18 .
考点:
平行四边形的性质;解直角三角形.
分析:
作CE⊥AB于点E,解直角三角形BCE,即可求得BE、CE的长,根据三线合一定理可得AB=2BE,然后利用平行四边形的面积公式即可求解.
解答:
解:作CE⊥AB于点E.
在直角△BCE中,sinB=,
∴CE=BC•sinB=10×=9,
∴BE===,
∵AC=BC,CE⊥AB,
∴AB=2BE=2,
则▱ABCD的面积是2×9=18.
故答案是:18.
点评:
本题考查了平行四边形的面积公式,以及解直角三角形的应用,三线合一定理,正确求得AB的长是关键.
5.(2014•四川内江,第14题,5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AD∥BC,请添加一个条件: AD=BC(答案不唯一) ,使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).
考点:
平行四边形的判定.
专题:
开放型.
分析:
直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案.
解答:
解;当AD∥BC,AD=BC时,四边形ABCD为平行四边形.
故答案为:AD=BC(答案不唯一).
点评:
此题主要考查了平行四边形的判定,正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键.
6.(2014•四川遂宁,第11题,4分)正多边形一个外角的度数是60°,则该正多边形的边数是 6 .
考点:
多边形内角与外角.
分析:
根据正多边形的每一个外角都相等,多边形的边数=360°÷60°,计算即可求解.
解答:
解:这个正多边形的边数:360°÷60°=6.
故答案为:6.
点评:
本题考查了多边形的内角与外角的关系,熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键.
7.(2014•四川泸州,第15题,3分)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和,则它的面积为 4 .
解答:
解:∵平行四边形两条对角线互相平分,
∴它们的一半分别为2和,
∵22+()2=32,
∴两条对角线互相垂直,
∴这个四边形是菱形,
S=4×2=4.
点评:
本题考查了菱形的判定与性质,利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形,菱形的面积是对角线乘积的一半.
8.(2014•福建福州,第14题4分)如图,在ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则
ABCD的周长是 .
∴ABCD的周长是2(6+4)=20.
考点:1. 平行四边形的性质;2.平行的性质;3.等腰三角形的判定.
9.内角和与外角和相等的多边形的边数为 四 .
考点:
多边形内角与外角.
分析:
根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解.
解答:
解:设这个多边形是n边形,
则(n﹣2)•180°=360°,
解得n=4.
故答案为:四.
点评:
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理,熟记内角和公式,外角和与多边形的边数无关,任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. (2014•上海,第23题12分)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD相交于点F,点E是边BC延长线上一点,且∠CDE=∠ABD.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)联结AE,交BD于点G,求证:=.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.
分析:
(1)证△△BAD≌≌△CDA,推出∠ABD=∠ACD=∠CDE,推出AC∥DE即可;
(2)根据平行得出比例式,再根据比例式的性质进行变形,即可得出答案.
解答:
证明:(1)∵梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,
∴∠BAD=∠CDA,
在△BAD和△CDA中
∴△BAD≌△CDA(SAS),
∴∠ABD=∠ACD,
∵∠CDE=∠ABD,
∴∠ACD=∠CDE,
∴AC∥DE,
∵AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形;
(2)∵AD∥BC,
∴=,=,
∴=,
∵平行四边形ACED,AD=CE,
∴=,
∴=,
∴=,
∴=.
点评:
本题考查了比例的性质,平行四边形的判定,平行线的判定的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,题目比较好,难度适中.
2. (2014•山东枣庄,第22题8分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.
考点:
全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;矩形的判定
专题:
计算题.
分析:
(1)由DF与BE平行,得到两对内错角相等,再由O为AC的中点,得到OA=OC,又AE=CF,得到OE=OF,利用AAS即可得证;
(2)若OD=AC,则四边形ABCD为矩形,理由为:由OD=AC,得到OB=AC,即OD=OA=OC=OB,利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证.
解答:
(1)证明:∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,
∵O为AC的中点,即OA=OC,AE=CF,
∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF,
在△BOE和△DOF中,
,
∴△BOE≌△DOF(AAS);
(2)若OD=AC,则四边形ABCD是矩形,理由为:
证明:∵△BOE≌△DOF,
∴OB=OD,
∴OA=OB=OC=OD,即BD=AC,
∴四边形ABCD为矩形.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
3. (2014•江苏徐州,第21题7分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
考点: 平行四边形的判定与性质.菁优网
专题: 证明题.
分析: 根据平行四边形的性质,可得对角线互相平分,根据对角线互相平分的四边形式平行四边形,可得证明结论.
解答: 证明:如图,连接BC,设对角线交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OD,OB=OC.
∵AE=DF,OA﹣AE=OD﹣DF,
∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
点评: 本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了平行四边形的对角线互相平分,对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.(2014•四川凉山州,第21题,8分)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质
专题:
证明题;压轴题.
分析:
(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;
(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
解答:
证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF
∴AF=BC,
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
,
∴△AFE≌△BCA(HL),
∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD,
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
点评:
此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形,然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形.
5.(2014•四川内江,第21题,9分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式;
(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
考点:
反比例函数综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)由AC=BC,且OC垂直于AB,利用三线合一得到O为AB中点,求出OB的长,确定出B坐标,将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,确定出一次函数解析式,将P坐标代入反比例解析式求出m的值,即可确定出反比例解析式;
(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,由一次函数解析式求出C坐标,得出直线BC斜率,求出过P且与BC平行的直线PD解析式,与反比例解析式联立求出D坐标,检验得到四边形BCPD为菱形,符合题意.
解答:
解:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,A(﹣4,0),
∴O为AB的中点,即OA=OB=4,
∴P(4,2),B(4,0),
将A(﹣4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得:,
解得:k=,b=1,
∴一次函数解析式为y=x+1,
将P(4,2)代入反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=;
(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,
对于一次函数y=x+1,令x=0,得到y=1,即C(0,1),
∴直线BC的斜率为=﹣,
设过点P,且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣(x﹣4),即y=,
与反比例解析式联立得:,
消去y得:=,
整理得:x2﹣12x+32=0,即(x﹣4)(x﹣8)=0,
解得:x=4(舍去)或x=8,
当x=8时,y=1,
∴D(8,1),
此时PD==,BC==,即PD=BC,
∵PD∥BC,
∴四边形BCPD为平行四边形,
∵PC==,即PC=BC,
∴四边形BCPD为菱形,满足题意,
则反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1).
点评:
此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,两点间的距离公式,两直线平行时斜率满足的关系,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
6.(10分)(2014•甘肃白银,第26题10分)D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.
(1)如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由.)
考点:
三角形中位线定理;平行四边形的判定;菱形的判定.
分析:
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答.
解答:
(1)证明:∵D、E分别是AB、AC边的中点,
∴DE∥BC,且DE=BC,
同理,GF∥BC,且GF=BC,
∴DE∥GF且DE=GF,
∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)解:当OA=BC时,平行四边形DEFG是菱形.
点评:
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系,熟记的定理和性质是解题的关键.
7.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先证明△ABC≌△BDC,得出AC=DE,BC=BE,连接CE,进一步得出△BCE为等边三角形;
②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.
解答:
解:(1)正方形、矩形、直角梯形均可;
证明:(2)①∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,
∵∠CBE=60°,
∴△BCE是等边三角形;
②∵△ABC≌△DBE,
∴BE=BC,AC=ED;
∴△BCE为等边三角形,
∴BC=CE,∠BCE=60°,
∵∠DCB=30°,
∴∠DCE=90°,
在Rt△DCE中,
DC2+CE2=DE2,
∴DC2+BC2=AC2.
点评:
此题主要考查勾股定理,三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,是一道综合性很强的题目.