中考总复习专题一次函数反比例函数的图像性质与应用师用 24页

中考专题总复习3---一次函数、反比例函数的图像、性质与应用 ‎★重点★正、反比例函数，一次函数的图象和性质。‎ 一、平面直角坐标系 ‎1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点 ‎3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 ‎ 1 函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。‎ ‎2．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。‎ ‎3．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。‎ ‎4．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。‎ 三、几种特殊函数（定义→图象→性质）‎ 1． 正比例函数 ‎⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。‎ ‎⑵图象：直线（过原点）‎ ‎⑶性质：①k>0，…②k<0，…‎ 2． 一次函数 ‎⑴定义：y=kx+b(k≠0)‎ ‎⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。‎ x o y ‎(k>0,b>0)‎ x o y ‎(k<0,b>0)‎ x o y ‎(k>0,b<0)‎ x o y ‎(k<0,b<0)‎ ‎⑶性质：①k>0,…②k<0,…‎ ‎⑷图象的四种情况：‎ ‎4.反比例函数 ‎⑴定义：三种形式：或xy=k(k≠0)。‎ ‎⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。‎ ‎⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。‎ 四、重要解题方法 1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、‎ 一．填空题 ‎1．（2010年上海）一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____________.‎ 图3‎ ‎【答案】y=100x－40‎ ‎2．（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数的图像上。正方形的边在轴上，点 是对角线的中点，函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎3．（10湖南益阳）如图6，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为　　　　．‎ ‎ ‎ ‎【答案】答案不唯一,、满足且即可 ‎4．（2010江苏盐城）如图，A、B是双曲线 上的点， A、B两点的横坐标 分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则 k= ▲ ．‎ y x O B C A ‎（第18题）‎ ‎【答案】4‎ ‎5．（2010 福建德化）如图，直线与双曲线（）交于点．将 直线向下平移个6单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点C，则C点的坐标为___________；若，则 ．‎ O x y A B C ‎【答案】（，12‎ ‎6．（2010湖南衡阳）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎7．（2010湖北武汉）如图，直线y＝与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于点B，C两点，且ABAC＝4，则k＝ ．‎ ‎ 全品中考网 答案： ‎ ‎8．（2010湖北荆门）函数y=k（x－1）的图象向左平移一个单位后与反比例函数y=的图象的交点为A、B，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为______．‎ ‎【答案】（-1，-2）‎ ‎9．（2010 四川成都）已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎10都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．‎ 第15题图 G ‎【答案】‎ ‎11．（2010陕西西安）已知都在反比例函数的图象上。若，则的值为 。‎ ‎【答案】-12‎ ‎12．（2010 四川泸州）在反比例函数的图象上,有一系列点、、…、、，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、，则________________,+++…+_________________.(用n的代数式表示)‎ ‎【答案】5,‎ ‎13．（2010 内蒙古包头）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为 （保留根号）．‎ y O x A C B ‎【答案】 ‎ ‎14．（2010 福建泉州南安）如图，已知点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作 AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．‎ ‎（1）则△AOC的面积=　 　，（2）△ABC的周长为　 　．‎ ‎【答案】（1），（2）．‎ ‎15．（2010 四川自贡）两个反比例子函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……，P2010在反比例函数y＝图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，……，x2010，纵坐标分别是1，3，5，……，共2010个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2010分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），……，Q2010（x2010，y2010），则y2010＝_______________。‎ ‎【答案】2009.5‎ ‎16．（2010 湖北咸宁）如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．‎ 有下列四个结论：‎ ‎①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE；‎ ‎③△DCE≌△CDF； ④．‎ 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）‎ y x D C A B O F E ‎（第16题）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎17．（2010广西南宁）如图7所示，点、、在轴上，且,分别过点、、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别 交于点、、，分别过点、、作轴的平行线，分别与 轴交于点、、，连接、、,那么图中阴影部分的面积之和为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎18．（2010贵州遵义）如图，在第一象限内，点P（2，3），M（α，2）是双曲线y=(k≠0)上的两点，PA⊥χ轴于点B，MB⊥χ轴于点B，PA与OM交于点C，则∠OAC的面积为　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎19．（2010福建南平）函数y= 和y=在第一象限内的图像如图，点P是y= 的图像上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________.‎ 第18题 D O C A P B y x ‎【答案】:①③④‎ ‎20．（2010广西河池）如图3，Rt△ABC在第一象限，，AB=AC=2，‎ 点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且AB∥轴，‎ AC∥轴，若双曲线与△有交点，则k的 取值范围是 .‎ y ‎1‎ x O A B C 图3‎ ‎【答案】‎ 二．解答题：‎ ‎1．(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x＞0)的图象经过点B．‎ ‎ (1)求k的值；‎ ‎ (2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵ 图像过点A(－1，6)，． ∴ ‎（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，‎ 由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，‎ ‎∴△CBE∽△CAD，∴ ．‎ ‎∵AB＝2BC，∴‎ ‎∴，∴BE＝2．‎ 即点B的纵坐标为2‎ 当y＝2时，x＝－3，易知：直线AB为y＝2x＋8，‎ ‎∴C(－4，0)‎ ‎3．（2010甘肃兰州）（本题满分9分）如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)．‎ ‎ （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积 ‎ ‎ 将如何变化？‎ ‎ （2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及A2点的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）解：（1）△P1OA1的面积将逐渐减小． …………………………………2分 ‎（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形，‎ 所以OC=1，P1C=，所以P1． ……………………………………3分 代入，得k=，所以反比例函数的解析式为． ……………4分 作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，‎ 所以P2． ……………………………………………………………6分 代入，得，化简得 解的：a=-1± ……………………………………………7分 ‎∵a＞0 ∴ ………………………………8分 所以点A2的坐标为﹙，0﹚ ………………………………………………9分 当时，.∴点为（，）. 7分 ‎4．（2010浙江杭州） (本小题满分6分) ‎ 给出下列命题：‎ 命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;‎ 命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;‎ 命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;‎ ‎ … … .‎ ‎（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);‎ ‎（2）证明你猜想的命题n是正确的.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)命题n: 点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数). ‎ ‎ (2)把 代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，‎ ‎∵左边 =右边， ∴点(n，n2)在直线上. ‎ 同理可证：点(n，n2)在双曲线上，‎ ‎∴点(n，n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确. ‎ ‎5．（2010浙江金华）(本题10分）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.‎ y P Q M N O x ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(第23题图)‎ ‎（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是 ▲ ‎ ‎（2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦ ▲ ， 若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦ ▲ ；‎ ‎ （3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）如图；M1 的坐标为（－1，2） ‎ M1‎ P Q M N O y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ Q1‎ N1‎ ‎（2）， ‎ ‎ （3）由（2）知，直线M1 M的解析式为 x ‎ 则(，)满足 ‎ 解得 ，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ∴M1，M的坐标分别为（，），（，）．‎ ‎6．（2010 山东济南）如图,已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4. ‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；‎ ‎（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．‎ ‎【答案】(1）∵点A横坐标为4 ， ‎ ‎∴当 x = 4时，y = 2 ‎ ‎∴ 点A的坐标为（4，2 ） …………2’ ‎ ‎∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，‎ ‎∴ k = 4×2 = 8 ………….3’ ‎ ‎(2)解法一：‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为（1，8）………..4’ ‎ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON ‎ S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 ‎ S△AOC= S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM ‎ ‎= 32－4－9－4 = 15 ………..6’ ‎ ‎（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ，‎ ‎∴ OP=OQ，OA=OB ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6‎ 设点P的横坐标为m（m > 0且），‎ 得P（m，） …………..7’‎ 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4‎ 若0＜m＜4，‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF，‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎∴ ‎ 解得m= 2，m= － 8（舍去） ‎ ‎∴ P（2，4） ……………8’ ‎ 若 m＞ 4，‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE，‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎ ∴，‎ 解得m= 8，m =－2 （舍去）‎ ‎∴ P（8，1）‎ ‎∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）………….9’‎ ‎7．（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．‎ ‎（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；‎ ‎（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；‎ x M N y D A B C E O 图13‎ ‎（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）设直线DE的解析式为，‎ ‎∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ‎ 解得 ∴ ． ‎ ‎∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，‎ ‎∴ 点M的纵坐标为2．‎ 又 ∵ 点M在直线上，‎ ‎∴ 2 = ．∴ x = 2．∴ M（2，2）． ‎ ‎（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），∴ ．∴. ‎ 又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．‎ ‎∵ 点N在直线上， ∴ ．∴ N（4，1）． ‎ ‎∵ 当时，y == 1，∴点N在函数 的图象上． ‎ ‎（3）4≤ m ≤8． ‎ ‎8．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．‎ 第22题图1‎ O x y D B A C ‎①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；‎ ‎②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；‎ ‎(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，‎ 求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的 代数式表示），并给出求解过程．‎ O x y D B 第22题图2‎ A ‎●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，‎ 当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，‎ x=_________，y=___________．（不必证明）‎ ‎●运用 在图2中，一次函数与反比例函数 x y y=‎ y=x-2‎ A B O 第22题图3‎ 的图象交点为A，B．‎ ‎①求出交点A，B的坐标；‎ ‎②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，‎ 请利用上面的结论求出顶点P的坐标．‎ ‎【答案】解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；‎ ‎(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为 A′‎ D′‎ B′‎ O x y D B A ‎，， ，则∥∥．‎ ‎∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得 ‎=．‎ ‎∴O=．‎ x y y=‎ y=x-2‎ A B O O P 即D点的横坐标是 同理可得D点的纵坐标是．‎ ‎∴AB中点D的坐标为(，)．‎ 归纳：，．‎ 运用 ①由题意得 解得或．‎ ‎∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．‎ ‎②以AB为对角线时，‎ 由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分，‎ ‎∴OM=OP，即M为OP的中点．‎ ‎∴P点坐标为(2，-2) ．‎ 同理可得分别以OA，OB为对角线时，‎ 点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．‎ ‎∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．‎ ‎9．（2010湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程的两根满足，双曲线(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求．‎ ‎【答案】解：有两根 ‎ ∴ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 由得： ‎ ‎ 当时， 解得 ，不合题意，舍去 ‎ 当时，，‎ ‎ 解得： 符合题意 ‎ ∴双曲线的解析式为： ‎ 过D作DE⊥OA于E， ‎ ‎ 则 ‎ ∵DE⊥OA，BA⊥OA ‎∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴‎ ‎10．（2010北京）已知反比例函数y= 的图像经过点A（—，1）‎ ‎（1）试确定此反比例函数的解析式．‎ ‎（2）点O是坐标原点，将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在反比例函数的图像上，并说明理由．‎ ‎（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图像上（其中m ＜0），过p点作x轴的的垂线，交x轴于点M，若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2－2n+q的值．‎ ‎【答案】解：（1）由题意德 1=‎ 解得 k= －‎ ‎ ∴ 反比例函数的解析式为y= ‎ ‎ （2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C， 全品中考网 ‎ 在Rt△AOC中，OC=，AC=1‎ 可得OA==2，∠AOC=30° ‎ ‎ 由题意，∠AOC=30°，OB=OA=2，‎ ‎ ∴∠BOC=60°‎ 过点B做x轴的垂线交x轴于点D，‎ ‎ 在Rt△BOD中，可得， BD=， OD=1 ‎ ‎ ∴ 点B坐标（－1，）‎ ‎ 将x=－1代入y= 中，得y=．‎ ‎∴点B（－1，）在反比例函数y= 的图像上．‎ ‎（3）由y= 得xy=－‎ ‎ ∵ 点P（m，m+6）在反比例函数的y= 的图像上，m＜0‎ ‎∴ m（m+6 ）=－ ‎ ‎∴‎ ‎∵PQ⊥x轴 ‎∴Q点的坐标（m，n）‎ ‎∵ △OQM的面积为 ‎∴OM.QM=‎ ‎∵ m＜0‎ ‎∴ m.n=－1 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎11．（2010河南）如图，直线y=x+6与反比例函数y=等(x>0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎(2)直接写出x +6一 >0时的取值范围；‎ ‎ (3)如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD,OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）由题意知 k2 = 1×6 = 6 ‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为 y = .‎ ‎ 又B（a，3）在y = 的图象上，∴a = 2 ∴B（2,3）.‎ ‎ ∵ 直线y = k1x + b 过A（1,6），B（2,3）两点，‎ ‎ ∴ ∴ ‎ ‎ （2）x 的取值范围为1< x < 2. ‎ ‎ （3）当S梯形OBCD = 12时，PC= PE ‎ 设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO = CD，B（2,3）.‎ ‎ ∴C（m，3），CE = 3，BC = m – 2，OD = m +2.‎ ‎ ∴当S梯形OBCD = ,即12 =‎ ‎ ∴m = 4 .又mn = 6 ，∴n = .即PE = CE.‎ ‎ ∴PC = PE. ‎ ‎12．（2010江苏徐州）如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．‎ ‎ (1)求反比例函数和一次函数的关系式；‎ ‎ (2)求△AOC的面积；‎ ‎ (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．‎ ‎【答案】‎ ‎13．（2010 四川绵阳）如图，已知正比例函数y = ax（a≠0）的图象与反比例函致（k≠0）的图象的一个交点为A（－1，2－k2），另—个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．‎ ‎（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；‎ ‎（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍．‎ E D B A x y O C ‎【答案】（1）由图知k＞0，a＞0．∵ 点A（－1，2－k2）在图象上，‎ ‎∴ 2－k2 =－k，即 k2－k－2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为．‎ 此时A（－1，－2），代人y = ax，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x．‎ ‎（2）过点B作BF⊥x轴于F．∵ A（－1，－2）与B关于原点对称，‎ ‎∴ B（1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB =．‎ 由图，易知 Rt△OBF∽Rt△OCD，∴ OB : OC = OF : OD，而OD = OB∕2 =∕2，‎ ‎∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5．由 Rt△COE∽Rt△ODE得 ，‎ 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍．‎ ‎14．（2010广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动，现点E、F同时出发，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动。‎ ‎（1）求梯形OABC的高BG的长。‎ ‎（2）连接EF并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形。‎ ‎（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图像上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由。‎ H D A B C O y F G E x ‎【答案】（1）在Rt△ABO中，OB=8，OA=10‎ 根据勾股定理得AB=6‎ ‎∵S△ABO= OB·AB= OA·BG，∴BG==48‎ ‎（2）Rt△ABG中，AB=6，BG= 48，根据勾股定理得AG=36，‎ 若四边形ABED是等腰梯形，则OD=10-36-36-t=28-t，OF=2t，BF=8-2t，‎ ‎∵BC∥OA，∴△EBF∽△DOF，∴，‎ 即：，得到： t=。‎ ‎（3）动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上。t=。‎ 理由：因为AG=36，∴EC=10-36-t=64-t，所以点E的坐标为（64-t，48）‎ 作FH⊥AO于点H，得△OHF∽△OBA，∴FH=×2t=t，OH=×2t=t，如果E、F同时在某个反比例函数的图像上，则E、F两点的横纵坐标乘积相等，即：48（64-t）=t﹒t，得2t2 +5t-32=0,解得t=，或t=（舍去），‎ ‎15．（2010广西柳州）如图13，过点P(－4，3)作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（k≥2）于E、F两点．‎ ‎（1）点E的坐标是________，点F的坐标是________；（均用含k的式子表示）‎ ‎（2）判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）记，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．‎ x A B O E F P y 图13‎ x A B O E F P P′‎ M N ‎【答案】解：（1）E（-4，-），F（，3） …………………………………………………3分 ‎（说明：只写对一个点的坐标给2分，写对两个点的坐标给3分）‎ ‎ （2）（证法一）结论：EF∥AB ……………………………………………………4分 证明：∵ P（-4，3） ∴ E（-4，-），F（，3），‎ ‎ 即得：PE=3+，PF=+4 …………………………………………5分 ‎∵ ，‎ ‎ ∠APB=∠EPF ‎∴ △PAB∽△PEF ……………………………………………………………6分 ‎∴ ∠PAB=∠PEF …………………………………………………………… 7分 ‎∴ EF∥AB ……………………………………………………………………4分 ‎（证法二）结论：EF∥AB ……………………………………………………4分 证明：∵ P（-4，3） ∴ E（-4，-），F（，3），‎ 即得：PE=3+，PF=+4 …………………………………………………5分 在Rt△PAB中，tan∠PAB=‎ 在Rt△PEF中，tan∠PEF=‎ ‎∴ tan∠PAB= tan∠PEF ‎∴ ∠PAB=∠PEF ……………………………………………………………6分 ‎∴ EF∥AB ……………………………………………………………………7分 ‎（3）（方法一）‎ ‎ S有最小值 ……………………………………………………………………8分 ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ……………………………9分 ‎ 由（2）知，‎ ‎ ∴ S= ……………………………………10分 ‎ = ……………………………………………………11分 ‎ 又∵ k≥2，此时S的值随k值增大而增大，‎ ‎ ∴ 当k=2时，‎ ‎∴S的最小值是．…………………………………………………………12分 ‎（方法二）‎ ‎ S有最小值． ………………………………………………………………………8分 ‎ 分别过点E、F作PF、PE的平行线，交点为P′．‎ ‎ 由（2）知，P′‎ ‎ ∵ 四边形PEP′为矩形，‎ ‎ ∴ S△P′EF= S△PEF ‎ ∴ S=S△PEF - S△OEF ‎ ‎ = S△P′EF - S△OEF ‎ ‎= S△OME +S矩形OMP′N+ S△ONF …………………………………………………9分 ‎= …………………………………………………………………10分 ‎=+k ‎ = ……………………………………………………………11分 又∵ k≥2，此时S的值随k值增大而增大，‎ ‎ ∴ 当k=2时，S最小=‎ ‎ ∴ S的最小值是． …………………………………………………………12分 ‎16（2010年福建省泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 ‎ 可以利用这一结论解决问题.‎ 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.‎ ‎（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是 ; ‎ ‎（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；‎ ‎②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)‎ ‎（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）平行四边形 …………（3分）‎ ‎（2）①∵点在的图象上，∴‎ ‎∴………………………………（4分）‎ 过作，则 在中，‎ α=30° ……………………………………………………………（5分）‎ ‎∴‎ 又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，‎ ‎∴点B、D关于原点O成中心对称 ………………………………………（6分）‎ ‎∴OB=OD= ‎ ‎∵四边形为矩形，且 ‎ ‎∴………………………………………………………（7分）‎ ‎∴； ……………………………………………………………（8分）‎ ②能使四边形为矩形的点B共有2个； ………………………………（9分）‎ ‎（3）四边形不能是菱形. ……………………………………………（10分）‎ 法一：∵点、的坐标分别为、‎ ‎∴四边形的对角线在轴上.‎ 又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.‎ ‎∴对角线与不可能垂直.‎ ‎∴四边形不能是菱形 法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，‎ 因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）‎ 所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ……………………………………（11分）‎ 所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，‎ 所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………（12分）‎ ‎17（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图像经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1.过点A作x中的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB.‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求证：DC∥AB；‎ ‎（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式. ‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（1，4）在函数y＝的图像上，‎ ‎∴4＝，得m＝4.……………………………2分 ‎（2）∵点B（a，b）在函数y＝的图像上，∴ab＝4.‎ 又∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D交AC于M，∴AC⊥BD于M ‎∴M（1，b），D（0，b），C（1，0）‎ ‎∴tan∠BAC＝＝＝＝，tan∠DCM＝＝……………4分 ‎∴tan∠BAC ＝tan∠DCM，‎ 所以锐角∠BAC＝∠DCM，DC∥AB………………………………………………6分 说明：利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，易证△ABM∽△CDM，易得∠BAC＝∠DCM.评分标准为证出相似得到4分，证出平行得到6分.‎ ‎（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b ‎∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.‎ ① 四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，‎ 又∵AC⊥BD，∴B（2，2）‎ ‎∴，解得 ‎∴直线AB的解析式为：y＝－2x＋6.………………8分 ‎②当四边形ABCD是等腰梯形时，‎ BD与AC相等且垂直，∵AC＝BD＝4，‎ ‎∴B（4，1）‎ ‎∴同理可求直线AB的解析式为y＝－x＋5.…………………10分