2020年山东省潍坊市中考数学试卷(含解析） 26页

‎2020年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）‎ ‎1．（3分）（2020•潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．（3分）（2020•潍坊）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a+3b＝5ab B．a3•a2＝a5 ‎ C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2b）3＝a6b ‎3．（3分）（2020•潍坊）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）‎ A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106‎ ‎4．（3分）（2020•潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）（2020•潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：‎ 一分钟跳绳个数（个）‎ ‎141‎ ‎144‎ ‎145‎ ‎146‎ 第26页（共26页）‎ 学生人数（名）‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 则关于这组数据的结论正确的是（　　）‎ A．平均数是144 B．众数是141 ‎ C．中位数是144.5 D．方差是5.4‎ ‎6．（3分）（2020•潍坊）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．（3分）（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE‎=‎‎1‎‎2‎，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）‎ A．21 B．28 C．34 D．42‎ ‎8．（3分）（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．无实数根 D．无法确定 ‎9．（3分）（2020•潍坊）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y‎=‎mx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b‎＞‎mx的解集为（　　）‎ A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1 ‎ C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1‎ ‎10．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA 第26页（共26页）‎ 上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎3‎‎4‎ C．1 D．‎‎3‎‎2‎ ‎11．（3分）（2020•潍坊）若关于x的不等式组‎3x-5≥1‎‎2x-a＜8‎有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）‎ A．0≤a≤2 B．0≤a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2‎ ‎12．（3分）（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b‎=‎a-b(a≥2b)‎a+b-6(a＜2b)‎，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）‎ ‎13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•潍坊）若|a﹣2|‎+b-3‎=‎0，则a+b＝　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于‎1‎‎2‎DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　 　°．‎ 第26页（共26页）‎ ‎16．（3分）（2020•潍坊）若关于x的分式方程‎3xx-2‎‎=m+3‎x-2‎+‎1有增根，则m＝　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AC，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝　 　．‎ ‎18．（3分）（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA‎1‎的圆心为点A，半径为AD；A‎1‎B‎1‎的圆心为点B，半径为BA1；B‎1‎C‎1‎的圆心为点C，半径为CB1；C‎1‎D‎1‎的圆心为点D，半径为DC1；‎⋯DA‎1‎，A‎1‎B‎1‎，B‎1‎C‎1‎，‎C‎1‎D‎1‎，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则A‎2020‎B‎2020‎的长是　 　．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ 第26页（共26页）‎ ‎19．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1‎-‎x+1‎x‎2‎‎-2x+1‎）‎÷‎x-3‎x-1‎，其中x是16的算术平方根．‎ ‎20．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．‎ ‎21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：‎ ‎①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；‎ ‎②图1和图2是两幅不完整的统计图．‎ 根据以上信息解答问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；‎ ‎（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；‎ ‎（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．‎ ‎22．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．‎ ‎（1）求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ 第26页（共26页）‎ ‎23．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数表达式；‎ ‎（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）‎ ‎24．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC‎=‎2‎+‎1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．‎ ‎（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；‎ ‎（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；‎ ‎（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．‎ ‎25．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC‎=‎‎3‎‎5‎S△ABC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第26页（共26页）‎ ‎2020年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）‎ ‎1．（3分）（2020•潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；‎ D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）（2020•潍坊）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a+3b＝5ab B．a3•a2＝a5 ‎ C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a2b）3＝a6b ‎【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；‎ B、a3•a2＝a5，故选项B计算正确；‎ C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项C计算错误；‎ D、（a2b）3＝a6b3，故选项D计算错误．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）（2020•潍坊）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）‎ A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106‎ ‎【解答】解：∵1109万＝11090000，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴11090000＝1.109×107．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）（2020•潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：‎ 一分钟跳绳个数（个）‎ ‎141‎ ‎144‎ ‎145‎ ‎146‎ 学生人数（名）‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 则关于这组数据的结论正确的是（　　）‎ A．平均数是144 B．众数是141 ‎ C．中位数是144.5 D．方差是5.4‎ ‎【解答】解：根据题目给出的数据，可得：‎ 平均数为：x‎=‎141×5+144×2+145×1+146×2‎‎5+2+1+2‎=143‎，故A选项错误；‎ 众数是：141，故B选项正确；‎ 中位数是：‎141+144‎‎2‎‎=142.5‎，故C选项错误；‎ 方差是：S‎2‎‎=‎1‎‎10‎[‎(141-143)‎‎2‎×5+‎(144-143)‎‎2‎×2+‎(145-143)‎‎2‎×1+‎(146-143)‎‎2‎×2]=‎4.4，故D选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）（2020•潍坊）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：∵m2+2m＝1，‎ ‎∴4m2+8m﹣3‎ ‎＝4（m2+2m）﹣3‎ ‎＝4×1﹣3‎ ‎＝1．‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE‎=‎‎1‎‎2‎，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）‎ A．21 B．28 C．34 D．42‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CF，AB＝CD，‎ ‎∴△ABE∽△DFE，‎ ‎∴DEAE‎=FDAB=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵DE＝3，DF＝4，‎ ‎∴AE＝6，AB＝8，‎ ‎∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．无实数根 D．无法确定 ‎【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）‎ ‎＝k2﹣6k+9﹣4+4k 第26页（共26页）‎ ‎＝k2﹣2k+5‎ ‎＝（k﹣1）2+4，‎ ‎∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）（2020•潍坊）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y‎=‎mx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b‎＞‎mx的解集为（　　）‎ A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1 ‎ C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1‎ ‎【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx(m≠0)‎的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，‎ ‎∴不等式kx+b＞‎mx的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎3‎‎4‎ C．1 D．‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．‎ 第26页（共26页）‎ ‎∵CD⊥OB，‎ ‎∴∠DCB＝90°，‎ 又∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠DCB＝∠AOB，‎ ‎∴CD∥AO ‎∴‎BCBO‎=‎CDAO ‎∵OC＝2，OB＝4，‎ ‎∴BC＝2，‎ ‎∴‎2‎‎4‎‎=‎CD‎3‎，解得，CD‎=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎∵CD∥AO，‎ ‎∴EOEC‎=‎PODC，即‎2‎‎4‎‎=‎PO‎3‎，解得，PO‎=‎‎3‎‎4‎ 故选：B．‎ ‎11．（3分）（2020•潍坊）若关于x的不等式组‎3x-5≥1‎‎2x-a＜8‎有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）‎ A．0≤a≤2 B．0≤a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2‎ ‎【解答】解：解不等式3x﹣5≥1得：x≥2，‎ 解不等式2x﹣a＜8得：x‎＜‎‎8+a‎2‎，‎ ‎∴不等式组的解集为：2≤x‎＜‎‎8+a‎2‎，‎ ‎∵不等式组‎3x-5≥1‎‎2x-a＜8‎有三个整数解，‎ ‎∴三个整数解为：2，3，4，‎ ‎∴4‎＜‎8+a‎2‎≤‎5，‎ 解得：0＜a≤2，‎ 故选：C．‎ 第26页（共26页）‎ ‎12．（3分）（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b‎=‎a-b(a≥2b)‎a+b-6(a＜2b)‎，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4，‎ ‎∴当x≤4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝x+2﹣x+1＝3，‎ 即：y＝3，‎ 当x＞4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）+（x﹣1）﹣6＝x+2+x﹣1﹣6＝2x﹣5，‎ 即：y＝2x﹣5，‎ ‎∴k＝2＞0，‎ ‎∴当x＞4时，y＝2x﹣5，函数图象向上，y随x的增大而增大，‎ 综上所述，A选项符合题意．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）‎ ‎13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝　y（x+3）（x﹣3）　．‎ ‎【解答】解：x2y﹣9y，‎ ‎＝y（x2﹣9），‎ ‎＝y（x+3）（x﹣3）．‎ ‎14．（3分）（2020•潍坊）若|a﹣2|‎+b-3‎=‎0，则a+b＝　5　．‎ ‎【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，‎ 解得a＝2，b＝3，‎ ‎∴a+b＝2+3＝5．‎ 故答案为：5．‎ 第26页（共26页）‎ ‎15．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于‎1‎‎2‎DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　55　°．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，‎ ‎∴∠B+∠BAC＝90°，‎ ‎∵∠B＝20°，‎ ‎∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，‎ ‎∵AM是∠BAC的平分线，‎ ‎∴‎∠2=‎1‎‎2‎∠BAC=‎1‎‎2‎×70°=35°‎，‎ ‎∵PQ是AB的垂直平分线，‎ ‎∴△AMQ是直角三角形，‎ ‎∴∠AMQ+∠2＝90°，‎ ‎∴∠AMQ＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，‎ ‎∵∠α与∠AMQ是对顶角，‎ ‎∴∠α＝∠AMQ＝55°．‎ 故答案为：55°．‎ 第26页（共26页）‎ ‎16．（3分）（2020•潍坊）若关于x的分式方程‎3xx-2‎‎=m+3‎x-2‎+‎1有增根，则m＝　3　．‎ ‎【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，‎ ‎∵关于x的分式方程‎3xx-2‎‎=m+3‎x-2‎+1‎有增根，即x﹣2＝0，‎ ‎∴x＝2，‎ 把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，‎ 解得：m＝3；‎ 故答案为：3．‎ ‎17．（3分）（2020•潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AC，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝　‎7‎‎25‎　．‎ ‎【解答】解：矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，‎ ‎∴GE‎=GC‎2‎+CE‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5‎，‎ 根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，∠B＝∠AFG＝90°，‎ ‎∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG+∠EFG＝90°，‎ ‎∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，‎ ‎∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF＝180°，‎ ‎∴∠AGE＝90°，‎ ‎∴Rt△EGF∽Rt△EAG，‎ ‎∴EGEA‎=‎EFEG，即‎5‎EA‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴EA=‎‎25‎‎3‎，‎ ‎∴DE‎=AE‎2‎-AD‎2‎=‎(‎25‎‎3‎)‎‎2‎‎-‎‎8‎‎2‎=‎‎7‎‎3‎，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴sin∠DAE=DEAE=‎7‎‎3‎‎25‎‎3‎=‎‎7‎‎25‎，‎ 故答案为：‎7‎‎25‎．‎ ‎18．（3分）（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA‎1‎的圆心为点A，半径为AD；A‎1‎B‎1‎的圆心为点B，半径为BA1；B‎1‎C‎1‎的圆心为点C，半径为CB1；C‎1‎D‎1‎的圆心为点D，半径为DC1；‎⋯DA‎1‎，A‎1‎B‎1‎，B‎1‎C‎1‎，‎C‎1‎D‎1‎，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则A‎2020‎B‎2020‎的长是　4039π　．‎ ‎【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，‎ 故A‎2020‎B‎2020‎的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，A‎2020‎B‎2020‎的弧长‎=‎90‎‎180‎×8078π=4039π．‎ 故答案为：4039π．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1‎-‎x+1‎x‎2‎‎-2x+1‎）‎÷‎x-3‎x-1‎，其中x是16的算术平方根．‎ ‎【解答】解：原式‎=(x‎2‎‎-2x+1‎x‎2‎‎-2x+1‎-x+1‎x‎2‎‎-2x+1‎)÷‎x-3‎x-1‎，‎ ‎=(x‎2‎‎-3xx‎2‎‎-2x+1‎)×‎x-1‎x-3‎‎，‎ 第26页（共26页）‎ ‎=x(x-3)‎‎(x-1)‎‎2‎×‎x-1‎x-3‎‎，‎ ‎=‎xx-1‎‎．‎ ‎∵x是16的算术平方根，‎ ‎∴x＝4，‎ 当x＝4时，原式‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎20．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．‎ ‎【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，‎ 由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120，‎ 在Rt△ACD中，AD‎=CDtan60°‎=‎120‎‎3‎=‎40‎3‎（米），‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵∠CBD＝45°，‎ ‎∴BD＝CD＝120（米），‎ ‎∴AB＝AD+BD＝（40‎3‎‎+‎120）（米）．‎ 答：桥AB的长度为（40‎3‎‎+‎120）米．‎ ‎21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10‎ 第26页（共26页）‎ ‎．根据调查情况，给出了部分数据信息：‎ ‎①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；‎ ‎②图1和图2是两幅不完整的统计图．‎ 根据以上信息解答问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；‎ ‎（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；‎ ‎（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，‎ 因此A档共有：12﹣4＝8人，‎ ‎8÷20%＝40人，‎ 补全图形如下：‎ ‎（2）1200‎×‎16‎‎40‎=‎480（人），‎ 答：全校B档的人数为480．‎ ‎（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，‎ 第26页（共26页）‎ 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，‎ 所以P（2名学生来自不同年级）‎=‎10‎‎12‎=‎‎5‎‎6‎．‎ ‎22．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．‎ ‎（1）求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：（1）连接BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴BF∥CE，‎ 连接OC，‎ ‎∵点C为劣弧BF的中点，‎ ‎∴OC⊥BF，‎ ‎∵BF∥CE，‎ ‎∴OC⊥CE，‎ ‎∵OC是⊙O的半径，‎ ‎∴CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OF，‎ ‎∵OA＝OC，∠BAC＝30°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∵点C为劣弧BF的中点，‎ ‎∴FC‎=‎BC，‎ ‎∴∠FOC＝∠BOC＝60°，‎ ‎∵AB＝4，‎ ‎∴FO＝OC＝OB＝2，‎ ‎∴S扇形FOC‎=‎60⋅π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎2‎‎3‎π，‎ 即阴影部分的面积为：‎2‎‎3‎π．‎ ‎23．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数表达式；‎ ‎（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）‎ ‎【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，‎ 将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：‎100=60k+b‎80=70k+b，‎ 解得：k=-2‎b=220‎，‎ 故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；‎ 第26页（共26页）‎ ‎（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：‎ w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，‎ ‎∵﹣2＜0，函数有最大值，‎ ‎∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，‎ 故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．‎ ‎24．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC‎=‎2‎+‎1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．‎ ‎（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；‎ ‎（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；‎ ‎（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．‎ ‎【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，‎ ‎∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠CAE＝∠BAD，‎ 在△ACE和△ABD中，‎ AC=AB‎∠CAE=∠BADAE=AD‎，‎ ‎∴△ACE≌△ABD（SAS），‎ ‎∴CE＝BD；‎ ‎（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，‎ 在△ACE和△ABD中，‎ AC=AB‎∠CAE=∠BADAE=AD‎，‎ ‎∴△ACE≌△ABD（SAS），‎ ‎∴∠ACE＝∠ABD，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，‎ ‎∴∠ABD+∠FEB＝90°，‎ ‎∴∠EFB＝90°，‎ ‎∴CF⊥BD，‎ ‎∵AB＝AC‎=‎2‎+1‎，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，‎ ‎∴BC‎=‎‎2‎AB‎=‎2‎+2‎，CD＝AC+AD‎=‎2‎+2‎，‎ ‎∴BC＝CD，‎ ‎∵CF⊥BD，‎ ‎∴CF是线段BD的垂直平分线；‎ ‎（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，‎ ‎∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：‎ ‎∵∵AB＝AC‎=‎2‎+1‎，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，‎ ‎∴AG‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎‎2‎‎+2‎‎2‎，∠GAB＝45°，‎ ‎∴DG＝AG+AD‎=‎2‎‎+2‎‎2‎+1=‎‎2‎‎+4‎‎2‎，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，‎ ‎∴△BCD的面积的最大值为：‎1‎‎2‎BC⋅DG=‎1‎‎2‎(‎2‎+2)(‎2‎‎+4‎‎2‎)=‎‎3‎2‎+5‎‎2‎，‎ 旋转角α＝135°．‎ ‎25．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ 第26页（共26页）‎ ‎（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC‎=‎‎3‎‎5‎S△ABC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），‎ ‎∴‎4a-2b+8=0‎‎64a+8b+8=0‎，解得a=-‎‎1‎‎2‎b=3‎，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+3x+8‎；‎ ‎（2）当x＝0时，y＝8，‎ ‎∴C（0，8），‎ ‎∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，‎ ‎∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎⋅AB⋅OC=‎1‎‎2‎×10×8=40‎，‎ ‎∴S‎△PBC‎=‎3‎‎5‎S‎△ABC=24‎，‎ 过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，‎ 设P(t，-‎1‎‎2‎t‎2‎+3x+8)‎，‎ ‎∴F（t，﹣t+8），‎ ‎∴PF=-‎1‎‎2‎t‎2‎+4t，‎ ‎∴S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎PF⋅OB=24‎，‎ 第26页（共26页）‎ 即‎1‎‎2‎‎×(-‎1‎‎2‎t‎2‎+4t)×8=24‎，‎ ‎∴t1＝2，t2＝6，‎ ‎∴P1（2，12），P2（6，8）；‎ ‎（3）∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，‎ ‎∴△OBC为等腰直角三角形，‎ 抛物线y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+3x+8‎的对称轴为x=-b‎2a=-‎3‎‎2×(-‎1‎‎2‎)‎=3‎，‎ ‎∴点E的横坐标为3，‎ 又∵点E在直线BC上，‎ ‎∴点E的纵坐标为5，‎ ‎∴E（3，5），‎ 设M(3，m)，N(n，-‎1‎‎2‎n‎2‎+3n+8)‎，‎ ‎①当MN＝EM，∠EMN＝90°，‎ 当△NME～△COB时，则m-5=n-3‎‎-‎1‎‎2‎n‎2‎+3n+8=m，‎ 解得n=6‎m=8‎或n=-2‎m=0‎（舍去），‎ ‎∴此时点M的坐标为（3，8），‎ 第26页（共26页）‎ ‎②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，‎ 则m-5=n-3‎‎-‎1‎‎2‎n‎2‎+3n+8=5‎，解得：m=5+‎‎15‎n=3+‎‎15‎或m=5-‎‎15‎n=3-‎‎15‎（舍去），‎ ‎∴此时点M的坐标为‎(3，5+‎15‎)‎；‎ ‎③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，‎ 连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE～△COB，‎ 此时四边形CMNE为正方形，‎ ‎∴CM＝CE，‎ ‎∵C（0，8），E（3，5），M（3，m），‎ ‎∴CM=‎3‎‎2‎‎+‎‎(m-8)‎‎2‎，CE=‎3‎‎2‎‎+‎‎(5-8)‎‎2‎=3‎‎2‎，‎ ‎∴‎3‎‎2‎‎+‎‎(m-8)‎‎2‎‎=3‎‎2‎，‎ 解得：m1＝11，m2＝5（舍去），‎ 此时点M的坐标为（3，11）；‎ 第26页（共26页）‎ 故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），‎(3，5+‎15‎)‎或（3，11）．‎ 第26页（共26页）‎