中考数学压轴题及答案精选三 77页

‎2015年中考数学压轴题汇编（三）‎ ‎61．（12分）（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；‎ ‎（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；‎ ‎（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，‎ α+β=，αβ=﹣2，‎ ‎∵=﹣2，‎ ‎∴=﹣2，即=﹣2，‎ 解得：m=1，‎ 故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；‎ ‎（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，‎ ‎∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，‎ ‎∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），‎ 又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，‎ ‎∴E点坐标为：（4，2），‎ 作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，‎ 则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），‎ 连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，‎ 此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：‎ 延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，‎ 则D′E′===10，‎ 设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，‎ ‎∴DE===2，‎ ‎∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；‎ ‎（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，‎ 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，‎ ‎∴PH=DG=4，‎ ‎∴|y|=4，‎ ‎∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，‎ 解得：x1=2+，x2=2﹣，‎ 当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，‎ 解得：x3=2+，x4=2﹣，‎ 故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．‎ ‎62．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；‎ ‎（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；‎ ‎（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，‎ y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴点D的坐标为：（1，﹣4）；‎ ‎（2）S1+S3=S2，‎ 过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，‎ 由题意得，CD=，BD=2，BC=3，‎ CD2+BC2=BD2，‎ ‎∴△BCD是直角三角形，‎ S1=×OA×OC=，‎ S2=×OB×OC=‎ S3，=×CD×BC=3，‎ ‎∴S1+S3=S2；‎ ‎（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，‎ 设点M的坐标为（m，0），‎ ‎∵﹣1＜m＜3，‎ ‎∴MA=m+1，AC=，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，AN=（m+1），‎ ‎∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，‎ ‎∴△AMN∽△ACM，‎ ‎∴=，即（m+1）2=•（m+1），‎ 解得，m1=，m2=﹣1（舍去），‎ ‎∴点M的坐标为（，0），‎ 设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，‎ ‎，解得，‎ 则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，‎ ‎∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，‎ b=﹣，‎ ‎∴直线MN的解析式为y=x﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的运用．‎ ‎　‎ ‎63．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；‎ ‎（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 几何变换综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到==，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；‎ ‎（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；‎ ‎（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣x2+x，根据三角形面积公式得到•（﹣x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（，）；再求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，‎ ‎），则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，‎ ‎∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，‎ ‎∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，‎ ‎∵∠PBQ=90°，‎ ‎∴∠ABP=∠MBQ，‎ ‎∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，‎ ‎∴==，‎ 设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PB•MQ=xy，‎ ‎∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，‎ ‎∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，‎ ‎∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，‎ ‎∴BM=5，‎ ‎∴BE=BM+ME=5+2=7，‎ ‎∴AD=7；‎ ‎（2）∵AB=BM，‎ ‎∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，‎ ‎∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，‎ ‎∵BQ2+MQ2=BM2，‎ ‎∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，‎ ‎∴BQ=7﹣3=4，‎ ‎∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM ‎=×（4+7）×4﹣×4×3‎ ‎=16；‎ 设直线AM的解析式为y=kx+b，‎ 把A（0，5），M（7，4）代入得，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为y=﹣x+5；‎ ‎（3）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，‎ ‎∴B（3，1），‎ 而A（0，5），D（7，5），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5；‎ ‎（4）存在．‎ 当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2，‎ 设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），‎ ‎∴KP=﹣x+5﹣（x2﹣x+5）=﹣x2+x，‎ ‎∵S△PAM=，‎ ‎∴•（﹣x2+x）•7=，‎ 整理得7x2﹣46x+75，解得x1=3，x2=，此时P点坐标为（3，1）、（，），‎ 求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），‎ ‎∴AA′=5﹣=，‎ 把直线AM向上平移个单位得到l′，则A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，‎ 解方程组得或，此时P点坐标为（，）或（，），‎ 综上所述，点P的坐标为（3，1）、（，）、（，）、（，）．‎ 点评：‎ 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．‎ ‎64．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．‎ ‎（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．‎ ‎（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）①先求的直线y=‎ x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；‎ ‎（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；‎ ‎（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．‎ 解答：‎ 解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，‎ ‎∴C（0，2），A（﹣4，0），‎ 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，‎ ‎∴点B的坐标为1，0）．‎ ‎②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），‎ 又∵抛物线过点C（0，2），‎ ‎∴2=﹣4a ‎∴a=‎ ‎∴y=x2x+2．‎ ‎（2）设P（m，m2m+2）．‎ 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，‎ ‎∴Q（m，m+2），‎ ‎∴PQ=m2m+2﹣（m+2）‎ ‎=m2﹣2m，‎ ‎∵S△PAC=×PQ×4，‎ ‎=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，‎ ‎∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，‎ 此时P（﹣2，3）．‎ ‎（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，‎ ‎∴∠CAO=∠BCO，‎ ‎∵∠BCO+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠CAO+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABC∽△ACO∽△CBO，‎ 如下图：‎ ‎①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；‎ ‎②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；‎ ‎③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）‎ ‎∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4‎ 当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）‎ 整理得：n2+2n﹣8=0‎ 解得：n1=﹣4（舍），n2=2‎ ‎∴M（2，﹣3）；‎ 当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），‎ 整理得：n2﹣n﹣20=0‎ 解得：n1=﹣4（舍），n2=5，‎ ‎∴M（5，﹣18）．‎ 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．‎ ‎　‎ ‎65．（10分）（2015•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；‎ ‎（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；‎ ‎（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），‎ ‎∴把A、B两点坐标代入可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣；‎ ‎（2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，‎ ‎∵⊙A与BC相切，‎ ‎∴AD为⊙A的半径，‎ 由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），‎ ‎∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，‎ 在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，‎ ‎∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，‎ ‎∴△ABD∽△CBO，‎ ‎∴=，即=，解得AD=，‎ 即⊙A的半径为；‎ ‎（3）∵C（0，﹣），‎ ‎∴可设直线BC解析式为y=kx﹣，‎ 把B点坐标代入可求得k=，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣，‎ 过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，‎ 设P（x，﹣x2+2x﹣），则Q（x，x﹣），‎ ‎∴PQ=（﹣x2+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），‎ ‎∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎66、（10分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．‎ ‎（1）求点A，B，C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；‎ ‎（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），再代入解析式，即可解答；‎ ‎（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据，即可解答．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，‎ ‎∴x1=﹣4，x2=﹣1，‎ 令x=0，得y=4，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）．‎ ‎（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），‎ ‎∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx﹣4，‎ 将（4，0），（1，0）代入上式，得 解得：，‎ ‎∴y=﹣x2+5x﹣4．‎ ‎（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，‎ 由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，‎ ‎∴四边形AMA′M′为平行四边形，‎ 又知AA′与MM′不垂直，‎ ‎∴平行四边形AMA′M′不是菱形，‎ 过点M作MD⊥x轴于点D，‎ ‎∵y=，‎ ‎∴M（），‎ 又∵A（﹣4，0），A′（4，0）‎ ‎∴AA′=8，MD=，‎ ‎∴=‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意菱形的判定与数形结合思想的应用．‎ ‎67．（12分）（2015•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎（1）求出这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）求正方形DEFG的边长；‎ ‎（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）首先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADE∽△ABC，得出正方形DEFG的边长；‎ ‎（3）首先求出AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A′D′的解析式得出Q′的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9），‎ 设函数解析式为：y=a（x﹣4）2+9（a≠0），‎ 把点（0，5）代入y=a（x﹣4）2+9，‎ 解得：a=﹣．‎ ‎∴函数解析式为：y=﹣（x﹣4）2+9；‎ ‎（2）设正方形DEFG的边长为m，‎ ‎∵AK⊥x轴，‎ ‎∴∠AKC=90°，‎ ‎∵∠DEF=∠EFG=90°，‎ ‎∴四边形HEFK为矩形，‎ ‎∴HK=EF=m，‎ ‎∵点A在抛物线y=﹣（x﹣4）2+9上，横坐标为2，‎ ‎∴y=﹣（x﹣4）2+9=8，‎ ‎∴点A的坐标为：（2，8），‎ ‎∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m，‎ 由题意可得：B（﹣2，0），C（10，0），‎ ‎∴BC=12，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=﹣，‎ ‎∴正方形的边长为：；‎ ‎（3）存在，‎ 理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4，‎ 设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8），‎ ‎∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴AB所在直线解析式为：y=2x+4，‎ ‎∵D在直线AB上，DG=，‎ ‎∴点D的纵坐标为：，‎ 由2x+4=，‎ 解得：x=，‎ ‎∴点D的坐标为：（，），‎ 设点D关于x轴对称点为D′，则D′（，﹣），‎ 连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ，‎ 则四边形ADQP的周长最小，‎ 设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线A′D′的解析式为：y=x﹣，‎ 当x=4时，y=×4﹣=，∴P（4，），‎ 当y=0时，x=，‎ ‎∴Q点坐标为：（，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用轴对称得出四边形ADQP的周长最小时P的位置是解题关键．‎ ‎　‎ ‎68．（12分）（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．‎ ‎（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；‎ ‎（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；‎ ‎（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；‎ ‎（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意得：，‎ 解之得：，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3‎ ‎∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），‎ ‎∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，‎ 得，‎ 解之得：，‎ ‎∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；‎ ‎（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．‎ 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，‎ ‎∴M（﹣1，2），‎ 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；‎ ‎（3）设P（﹣1，t），‎ 又∵B（﹣3，0），C（0，3），‎ ‎∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，‎ ‎①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；‎ ‎②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，‎ ‎③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；‎ 综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．‎ ‎69．（12分）（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．‎ ‎（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；‎ ‎（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；‎ ‎（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．‎ 解答：‎ 解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），‎ 又∵直线BC过C、F两点，‎ 故得方程组：‎ 解之，得，‎ 所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1； ‎ ‎（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，‎ 设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），‎ ‎∵MD∥y轴，‎ ‎∴MD=﹣x+1﹣x2，‎ 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，‎ ‎①当﹣x+1﹣x2=1时，‎ 解得x1=0（舍）或x1=﹣3，‎ 所以M（﹣3，），‎ ‎②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，‎ 解得，x=，‎ 所以M（，）或M（，），‎ 综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，‎ M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；‎ ‎（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，‎ ‎∵点B（m，n）在抛物线上，‎ ‎∴m2=4n，‎ 在Rt△BTF中，‎ BF=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵n＞0，‎ ‎∴BF=n+1，‎ 又∵BR=n+1，‎ ‎∴BF=BR．‎ ‎∴∠BRF=∠BFR，‎ 又∵BR⊥l，EF⊥l，‎ ‎∴BR∥EF，‎ ‎∴∠BRF=∠RFE，‎ ‎∴∠RFE=∠BFR，‎ 同理可得∠EFS=∠CFS，‎ ‎∴∠RFS=∠BFC=90°，‎ ‎∴△RFS是直角三角形．‎ 点评：‎ 本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．‎ ‎　‎ ‎70．（12分）（2015•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．‎ ‎①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；‎ ‎②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；‎ ‎（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；‎ ‎②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：‎ 解得：b=1，c=4，‎ ‎∴y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，‎ ‎①根据题意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4‎ ‎∵ON∥MH ‎∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，‎ 即t=﹣t2+t+4‎ 解得：t=2或t=﹣2（不合题意舍去）‎ 把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2‎ ‎∴H（2，2）；‎ ‎②存在，‎ 当PF⊥BC时，‎ ‎∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，‎ ‎∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，‎ ‎∴根据题意列方程组：‎ 解得：‎ ‎∴F（，）‎ 当PF⊥BP时，‎ ‎∵点P（1，），B（4，0），‎ ‎∴直线BP的解析式为：y=﹣x+6，‎ ‎∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，‎ ‎∴根据题意列方程组：‎ 解得：‎ ‎∴F（，），‎ 综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，求顶点坐标，矩形的判定与性质以及两直线互相垂直的性质，本题有一定的综合性，难度不大，关键是掌握两直线互相垂直的性质．‎ ‎　‎ ‎71．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；‎ ‎（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，‎ ‎（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC ‎，再根据△BPD∽△BOC，得出=（）2，=（）2，求出S=S△BPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（）2，得出=（）2，求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣，再整理即可．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 则抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3；‎ ‎（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，‎ ‎∵AC==，‎ ‎∴CN=，‎ ‎∵△CNM1∽△COA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CM1=，‎ ‎∴OM1=OC﹣CM1=3﹣=，‎ ‎∴M1的坐标是（0，），‎ 当CA=CM2=时，则△AM2C是等腰三角形，‎ 则OM2=3+，‎ M2的坐标是（0，3+），‎ 当CA=AM3=时，则△AM3C是等腰三角形，‎ 则OM3=3，‎ M3的坐标是（0，﹣3），‎ 当CA=CM4=时，则△AM4C是等腰三角形，‎ 则OM4=﹣3，‎ M4的坐标是（0，3﹣），‎ ‎（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，‎ 设直线与BC交与点D，‎ ‎∵OB=4，OC=3，‎ ‎∴S△BOC=6，‎ ‎∵BP=BO﹣OP=4﹣t，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△BPD∽△BOC，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∴S=S△BPD=t2﹣3t+6（0≤t＜4）；‎ 当点P在y轴左侧时，‎ 设直线与AC交与点E，‎ ‎∵OP=﹣t，AP=t+2，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=（）2，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∴S△APE=，‎ ‎∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣=﹣t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎71．（12分）（2015•攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，‎ ‎（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=﹣t2+t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值，‎ ‎（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y=﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，根据得点Q的坐标为（，﹣），（，﹣）．‎ 解答：‎ 解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，‎ ‎（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，‎ 则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；‎ ‎（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，‎ ‎∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，‎ 由得Q的坐标为（2，3），‎ ‎∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∴M的坐标为（1，2），‎ 设PM与x轴交于点E，‎ ‎∵PM=EM=2，‎ ‎∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，‎ 由得或，‎ ‎∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），‎ ‎∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形梯形的面积、直线与抛物线的交点，关键是作出辅助线，求出符合条件的所有点的坐标．‎ ‎72．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．‎ ‎（1）求抛物线解析式．‎ ‎（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．‎ ‎（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式；‎ ‎（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）；‎ ‎（3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），‎ 连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．‎ 解答：‎ 解：（1）由已知对称轴为x=1，得﹣=1，‎ ‎∴b=2，‎ 抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），‎ 即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1，‎ ‎（m﹣2）+（2m+1）=2，‎ ‎3m=3，‎ m=1，‎ 将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得，‎ ‎（1﹣2）（2+1）=﹣c，‎ ‎∴c=3，‎ ‎∴m=1，c=3，‎ 抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）由，‎ ‎∴x2+（k﹣2）x﹣1=0，‎ x1+x2=﹣（k﹣2），x1x2=﹣1，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（k﹣2）2+4，‎ ‎∴当k=2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2，‎ ‎∴x2﹣1=0，x1=1，x2=﹣1，即y1=4，y2=0，‎ ‎∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；‎ ‎（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），‎ O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，‎ ‎∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，‎ ‎∴要使L最小，只需BP+CO最短，‎ 如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，‎ ‎∴C′（3，3），‎ 作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），‎ 连接C′P′与x轴交于点B′，‎ 设C′P′解析式为y=ax+n，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴y=x﹣，‎ 当y=0时，x=，‎ ‎∴B′（，0），‎ 又3﹣=，‎ 故点B向左平移，平移到B′，‎ 同时，点O向左平移，平移到0′（﹣，0）．‎ 即线段OB向左平移时，周长L最短，‎ 此时，线段BP，CO之和最短为P′C′==，O′B′=OB=3，CP=，‎ ‎∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′（﹣，0），点B平移到B′（，0）时，周长L最短为++3．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注．‎ ‎73．（12分）（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．‎ ‎（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；‎ ‎（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；‎ ‎（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；‎ ‎（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论；‎ ‎（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．‎ ‎∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．‎ ‎∵a≠0，‎ ‎∴a＞﹣且a≠0．‎ 令x=0，得y=a，‎ ‎∴A（0，a）．‎ 由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．‎ ‎（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（0，a），M（﹣1，1+a），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，‎ 联立得，，解得，‎ ‎∴N（，﹣）．‎ ‎∵点P是点N关于y轴的对称点，‎ ‎∴P（﹣，﹣）．‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．‎ ‎∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，‎ ‎∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|xp|﹣|AC|•|x0|‎ ‎=••（3﹣1）‎ ‎=；‎ ‎（3）①当点P在y轴左侧时，‎ ‎∵四边形APCN是平行四边形，‎ ‎∴AC与PN互相平分，N（，﹣），‎ ‎∴P（﹣，）；‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，‎ ‎∴P（﹣，）．‎ ‎②当点P在y轴右侧时，‎ ‎∵四边形ACPN是平行四边形，‎ ‎∴NP∥AC且NP=AC，‎ ‎∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），‎ ‎∴P（，﹣）．‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，‎ ‎∴P（，﹣）．‎ 综上所述，当点P（﹣，）和（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．‎ ‎74．（11分）（2015•眉山）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．‎ ‎（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；‎ ‎（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；‎ ‎（3）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）由A、B点的函数值相等，得 A、B关于对称轴对称．‎ A（4﹣0），对称轴是x=1，得 B（﹣2，0）．‎ 将A、B、D点的坐标代入解析式，得 ‎，‎ 解得，‎ 抛物线所对应的二次函数的表达式y=x2﹣x﹣4；‎ ‎（2）如图1作C点关于原点的对称点D，‎ OC=OD=OA=4，‎ ‎∠OAC=∠DAO=45°，‎ AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，‎ 直线AD的解析式为y=﹣x+4，‎ 联立AD于抛物线，得，‎ 解得x=﹣4或x=4，‎ ‎∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，‎ P点的横坐标的取值范围是﹣4＜m＜0；‎ ‎（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，如图2，‎ ‎，‎ 设P（a，a2﹣a﹣4），‎ 由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．‎ ‎∴△PQO∽△COB，‎ ‎∴=即=，‎ 化简，得a2﹣3a﹣8=0．‎ 解得a=，a=（不符合题意，舍），‎ a2﹣a﹣4=（）2﹣﹣4=，‎ P点坐标为（，）．‎ 点评：‎ 本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AD之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．‎ ‎75．（12分）（2015•泸州）如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；‎ ‎（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，﹣2k﹣2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标；‎ ‎（3）可设出D点坐标，从而表示出△ACD的面积，由条件求得D点坐标，可求得DE的长，当DE为边时，根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2，从而可求得P点坐标；当DE为对角线时，可知P点为抛物线的顶点，可求得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，‎ ‎∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．‎ ‎∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点，‎ ‎∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1．‎ ‎∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣4），即y=x2﹣3x﹣4．‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、C坐标代入可得，解得，‎ ‎∴线段AC的解析式为y=﹣2x﹣2，‎ 设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）．‎ ‎∵G与C点不重合，‎ ‎∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．‎ ‎∴=．‎ ‎∵AB=5，AC==3，AG==|k+1|，‎ ‎∴=，‎ ‎∴|k+1|=‎ ‎∴k=或k=﹣（舍去），‎ ‎∴点G的坐标为（，﹣）．‎ ‎（3）能．理由如下：‎ 如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，‎ ‎∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），‎ ‎∴H（m，﹣2m﹣2）．‎ ‎∵点D（m，n）在图象M上，‎ ‎∴D（m，m2﹣3m﹣4）．‎ ‎∵△ACD的面积为，‎ ‎∴[﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]=，即4m2﹣4m+1=0，‎ 解得m=．‎ ‎∴D（，﹣）．‎ ‎∵y=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴图象M的对称轴l为x=．‎ ‎∵点D关于l的对称点为E，‎ ‎∴E（，﹣），‎ ‎∴DE=﹣=2，‎ 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：‎ 当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ=DE=2．‎ ‎∴点P的横坐标为+2=或﹣2=﹣，‎ ‎∴点P的纵坐标为（﹣）2﹣=﹣，‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；‎ 当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（，﹣）；‎ 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口，在（3）中求得D点的坐标从而求得DE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎76．（12分）（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．‎ ‎（1）求m的值．‎ ‎（2）求A、B两点的坐标．‎ ‎（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；‎ ‎（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；‎ ‎（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）∵抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，‎ ‎∴方程x2﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴（m+3）2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9，‎ 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，‎ ‎∴m=3；‎ ‎（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣6x+9，联立一次函数y=x+3，‎ 可得，解得或，‎ ‎∴A（1，4），B（6，9）；‎ ‎（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，‎ ‎∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），‎ ‎∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，‎ ‎∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15，‎ S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15），‎ 又S△PAB=2S△ABC，‎ ‎∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15，‎ ‎∴b=15+a，‎ ‎∵P点在抛物线上，‎ ‎∴b=a2﹣6a+9，‎ ‎∴15+a=a2﹣6a+9，解得a=，‎ ‎∵﹣3＜a＜1，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴b=15+=．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎77．（13分）（2015•乐山）如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．‎ ‎①求点P的运动路程；‎ ‎②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用tan∠ABC=3，得出C但坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；‎ ‎（2）①当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，则P的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；‎ ‎②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；‎ ‎（3）首先得出C△PEF=AD+EF，进而得出EG=PE，EF=PE=AD，利用C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，得出最小值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0两根为：﹣8，2，‎ ‎∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB=2，‎ 又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，﹣6），‎ 将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx﹣6中，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2+x﹣6；‎ ‎（2）①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，‎ 当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，‎ ‎∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，‎ ‎∴HK=BC，‎ 在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，‎ ‎∴BC=2，∴HK=，‎ 即P的运动路程为：；‎ ‎②∠EPF的大小不会改变，‎ 理由如下：如图2，∵DE⊥AB，‎ ‎∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，‎ ‎∴PE=AD=PA，‎ ‎∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，‎ 同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，‎ ‎∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），‎ 即∠EPF=2∠EAF，‎ 又∵∠EAF大小不变，‎ ‎∴∠EPF的大小不会改变；‎ ‎（3）设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE+PF+EF，‎ ‎∵PE=AD，PF=AD，‎ ‎∴C△PEF=AD+EF，‎ 在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，‎ ‎∴∠EPC=∠EPF=∠BAC，‎ ‎∵tan∠BAC==，‎ ‎∴tan∠EPG==，‎ ‎∴EG=PE，EF=PE=AD，‎ ‎∴C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，‎ 又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，‎ 又S△ABC=30，‎ ‎∴BC×AD=30，‎ ‎∴AD=3，‎ ‎∴C△PEF最小值为：AD=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．‎ ‎78．（13分）（2015•新疆）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，‎ ‎（1）求a，k的值；‎ ‎（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；‎ ‎（2）过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC；过C作平行AB的直线，在C点两侧分别截取CQ3=CQ4=AB，则Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离，可分别求得满足条件的Q点的坐标；‎ ‎（3）由A、C关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点M，则M即为所求，由B、C可求得直线BC的解析式，可求得M点的坐标，容易求得其周长；‎ ‎（4）可设N点坐标为（2，n），可分别表示出AB、AN、BN的长，由勾股定理可得到关于n的议程，可求得N点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，‎ ‎∴A（1，0），B（0，3），‎ 分别代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，‎ 即a为1，k为﹣1；‎ ‎（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1，‎ 令y=0，可求得x=1或x=3，‎ ‎∴C（3，0），‎ ‎∴AC=3﹣1=2，AB=，‎ 过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC=2，如图1，‎ ‎∵B（0，3），‎ ‎∴Q1（﹣2，3），Q2（2，3）；‎ 过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ3=CQ4=AB=，如图2，‎ ‎∵B（0，3），‎ ‎∴Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，‎ ‎∴Q3（2，3）、Q4（4，﹣3）；‎ 综上可知满足条件的Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；‎ ‎（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，‎ ‎∵A、C两点关于对称轴对称，‎ ‎∴AM=MC，‎ ‎∴BM+AM最小，‎ ‎∴△ABM周长最小，‎ ‎∵B（0，3），C（3，0），‎ ‎∴可设直线BC解析式为y=mx+3，‎ 把C点坐标代入可求得m=﹣1，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3，‎ 当x=2时，可得y=1，‎ ‎∴M（2，1）；‎ ‎∴存在满足条件的M点，‎ 此时BC=3，且AB=，‎ ‎∴△ABM的周长的最小值为3+；‎ ‎（4）由条件可设N点坐标为（2，n），‎ 则NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，‎ 当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，‎ ‎∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，‎ 即N点坐标为（2，1）或（2，2），‎ 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出Q点的位置是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键，在（4）中设出N点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　79．（12分）（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A，B，C的坐标；‎ ‎（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．‎ ‎①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；‎ ‎②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；‎ ‎（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；‎ ‎②存在，求得抛物线y=x2﹣x+2的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．‎ 解答：‎ 解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即x2﹣x+2=0，‎ 解得：x1=2，x2=4，∵OA＜OB，‎ ‎∴A（2，0），B（4，0），‎ 在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，‎ ‎∴C（0，2），‎ ‎（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，‎ ‎∵DE∥OB，‎ ‎∴△CDE∽△CBO，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴DE=4﹣2t，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2始终为正数，且t=1时，1﹣（t﹣1）2有最大值1，‎ ‎∴t=1时，有最小值1，‎ 即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，‎ ‎∴E（0，1），P（2，0）；‎ ‎②存在，‎ ‎∵抛物线y=x2﹣x+2的对称轴方程为x=3，‎ 设F（3，m），‎ ‎∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，‎ 当△EFP为直角三角形时，‎ ‎①当∠EPF=90°时，‎ EP2+PF2=EF2，‎ 即5+1+m2=（m﹣1）2+32，‎ 解得：m=2，‎ ‎②当∠EFP=90°时，‎ EF2+FP2=PE2，‎ 即（m﹣1）2+3+（3﹣2）2+m2=5，‎ 解得；m=0或m=1，不合题意舍去，‎ ‎∴当∠EFP=90°时，‎ 这种情况不存在，‎ ‎③当∠PEF=90°时，‎ EF2+PE2=PF2，‎ 即（m﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m2，‎ 解得：m=7，‎ ‎∴F（3，2），（3，7）．‎ 点评：‎ 本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，求代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎　‎ ‎80．（12分）（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．‎ ‎（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，解答下列问题：‎ ‎①求出△ABC的面积；‎ ‎②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；‎ ‎（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）把C坐标代入抛物线解析式求出m的值即可；‎ ‎（2）①对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标；令x=0，求出y的值，确定出C坐标，求出三角形ABC面积即可；‎ ‎②如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；‎ ‎（3）在第四现象内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线过G（2，2），‎ ‎∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），‎ 解得：m=4；‎ ‎（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，‎ 解得：x1=﹣2，x2=m，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（m，0），‎ 把m=4代入得：B（4，0），‎ ‎∴AB=6，‎ 令x=9，得到y=2，即C（0，2），‎ ‎∴OC=2，‎ 则S△ABC=×6×2=6；‎ ‎②∵A（﹣2，0），B（4，0），‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，‎ 如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ 把B与C坐标代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+2，‎ 令x=1，得到y=，即H（1，）；‎ ‎（3）在第四现象内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，‎ 分两种情况考虑：‎ ‎（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB2=AC•AM，‎ ‎∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，‎ ‎∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，‎ 如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，‎ ‎∴OA+ON=2+ON=MN，‎ 设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），‎ 把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），‎ ‎∵x＞0，∴x+2＞0，‎ ‎∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），‎ ‎∴AM==2（m+1），‎ ‎∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，‎ ‎∴（m+2）2=2•2（m+1），‎ 解得：m=2±2，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=2+2；‎ ‎（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB2=CB•MA，‎ ‎∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，‎ ‎∴△ANM∽△BOC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OB=m，设ON=x，‎ ‎∴=，即MN=（x+2），‎ 令M（x，﹣（x+2））（x＞0），‎ 把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），‎ ‎∵x＞0，∴x+2＞0，‎ ‎∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），‎ ‎∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），‎ ‎∴（m+2）2=•，‎ 整理得：=0，显然不成立，‎ 综上，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎81．（10分）（2015•广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c顶点E在直线l上．‎ ‎（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；‎ ‎（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；‎ ‎（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）通过直线l的解析式求得B的坐标，进而根据正方形的边长即可求得A、D的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；‎ ‎（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为m+2，然后根据三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数解析式；‎ ‎（3）根据平行四边形的性质得出AC=EQ，AC∥EQ，易证得△EHQ≌△CDA，从而得出E的横坐标为﹣1，然后代入直线l的解析式即可求得E的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），‎ ‎∴1=x+2，解得x=﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，1），‎ ‎∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），‎ ‎∵抛物线经过A，D两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；‎ ‎（2）∵顶点E（m，n）在直线l上，‎ ‎∴n=m+2，‎ ‎∴S=×1×（m+2）=m+1，‎ 即S=m+1（m≠4）；‎ ‎（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，‎ 作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，‎ ‎∴GH=AD=1，‎ ‎∴E的横坐标为±1，‎ ‎∵顶点E在直线l上，‎ ‎∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=‎ ‎∴E（﹣1，）或（1，）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，确定GH=AD=1是解题的关键．‎ ‎82．（12分）（2015•甘孜州）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求直线BC的解析式；‎ ‎（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；‎ ‎（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；‎ ‎（3）设N（x，ax2‎ ‎﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，‎ ‎∴a﹣5a+2=0，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；‎ ‎（2）抛物线的对称轴为直线x=，‎ ‎∴点B（4，0），C（0，2），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得 ‎，‎ 解得k=﹣，b=2，‎ ‎∴直线BC的解析式y=﹣x+2；‎ ‎（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：‎ ‎①当△OBC∽△HNB时，如图1，‎ ‎=，‎ 即=，‎ 解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），‎ ‎∴点N坐标（5，2）；‎ ‎②当△OBC∽△HBN时，如图2，‎ ‎=，‎ 即=﹣，‎ 解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），‎ ‎∴点N坐标（2，﹣1）；‎ 综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．‎ ‎83．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；‎ ‎（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）分别作A关于x轴的对称点E，作B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于D，交y轴于C，连接AD、BC，则此时AD+DC+BC的值最小，根据A、B的坐标求出AB，求出E、F的坐标，求出EF的长，即可求出答案；‎ ‎（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得 ‎，‎ 解得．‎ 故二次函数的表达式y=x2﹣x+4；‎ ‎（2）如图：‎ 延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，‎ GD=GD′EF=E′F，‎ ‎（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE，‎ 由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．‎ 由勾股定理，得 DE==，D′E′==，‎ ‎（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；‎ ‎（3）如下图：‎ OD=．‎ ‎∵S△ODP的面积=12，‎ ‎∴点P到OD的距离==3．‎ 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，‎ 在Et△OGF中，OG===6，‎ ‎∴直线GF的解析式为y=x﹣6．‎ 将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，‎ 解得：，，‎ 将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2=‎ ‎∴点P1（，），P2（，）‎ 如下图所示：‎ 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，‎ 在Rt△PFO中，OG==6‎ ‎∴直线FG的解析式为y=x+6，‎ 将y=x+6代入y=得：x+6=‎ 解得：，‎ y1=x1+6=，y2=x2+6=‎ ‎∴p3（，），p4（，）‎ 综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．‎ ‎84．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；‎ ‎（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；‎ ‎（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．‎ ‎（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，根据最值确定a的值即可；‎ ‎（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，‎ 解得x1=﹣1，x2=3‎ ‎∵点A在点B的左侧，‎ ‎∴A（﹣1，0），‎ 如图1，作DF⊥x轴于F，‎ ‎∴DF∥OC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵CD=4AC，‎ ‎∴==4，‎ ‎∵OA=1，‎ ‎∴OF=4，‎ ‎∴D点的横坐标为4，‎ 代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，‎ ‎∴D（4，5a），‎ 把A、D坐标代入y=kx+b得，‎ 解得，‎ ‎∴直线l的函数表达式为y=ax+a．‎ ‎（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），‎ ‎∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，‎ ‎∴有最大值﹣a=，‎ ‎∴a=﹣；‎ ‎（3）设P（1，p），Q（q，a（q+1）（q﹣3）），A（﹣1，0），D（4，5a），‎ ‎①以AD为对角线，APDQ为矩形，坐标满足．‎ xP+xQ=xA+xD，yP+yQ=yA+yD，‎ ‎1+q=﹣a+4，p+a（q+1）（q﹣3）=5a，‎ ‎∴q=2，a（q+1）（q﹣3）=5a﹣p ‎∴Q（2，5a﹣p），‎ ‎∵5a﹣p=a（2+1）（2﹣3），‎ ‎∴5a﹣p=﹣3a，p=8a，‎ 如图2，过P作PG∥x轴，过A作AF⊥PG，DG⊥PG，‎ 则△APF∽△PDG，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴P（1，﹣4）；‎ ‎②以AC为边，AP为对角线，‎ xP+xA=xQ+xD，yP+yA=yQ+yD，‎ ‎1+（﹣1）=q+4，P+O=a（q+1）（q﹣3）+5a，‎ ‎∴q=﹣4，a（q+1）（q﹣3）=P﹣5a ‎∴Q（﹣4，21a），‎ ‎∵21a=p﹣5a，‎ ‎∴p=26a，‎ ‎∴P（1，26a），‎ ‎∵AD⊥AQ，‎ ‎∴kAD•kAQ=1，‎ 即﹣7a•a=﹣1‎ ‎∴a2=，‎ ‎∴a=或a=﹣（舍），‎ ‎∴P（1，﹣）；‎ ‎③以AD为边，AQ为对角线，‎ xP+xD=xA+xQ，yP+yD=yA+yQ，‎ ‎1+4=q﹣1，p+5a=a（q+1）（q﹣3）+O，‎ ‎∴q=6，a（q+1）（q﹣3）=P+5a ‎∴Q（6，21a），‎ ‎∵5a﹣p=21a ‎∴p=16a，‎ ‎∵AD⊥AP，‎ ‎∴kAD•kAP=1，‎ 即8a•a=﹣1，‎ a2=﹣（舍），‎ 综上：P1（1，﹣4）；，P2（1，﹣）；‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎85．（12分）（2015•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；‎ ‎（2）先求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设E（m，m﹣4），然后分三种情况讨论即可求得；‎ ‎（3）利用△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD即可求得．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4；‎ ‎（2）由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3，‎ ‎∴D（3，0），‎ ‎∵C（8，0），‎ ‎∴CD=5，‎ 由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣4，‎ 设E（m，m﹣4），‎ 当DC=CE时，EC2=（m﹣8）2+（m﹣4）2=CD2，‎ 即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），‎ ‎∴E（8﹣2，﹣）；‎ 当DC=DE时，ED2=（m﹣3）2+（m﹣4）2=CD2，‎ 即（m﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），‎ ‎∴E（0，﹣4）；‎ 当EC=DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5=5.5，‎ ‎∴E（，﹣）．‎ 综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．‎ ‎（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，‎ ‎∵P点的横坐标为m，‎ ‎∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4，‎ ‎∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4‎ ‎=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+‎ ‎∴当m=时，△PBD的最大面积为，‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣）．‎ 点评：‎ 此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．‎ ‎86．（9分）（2015•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．‎ ‎（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．‎ ‎（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当=时；②当=时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵x=﹣=，b=，‎ ‎∴a=﹣，‎ 把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c，‎ 可得（）×42+×4+c=0，‎ 解得c=2，‎ 则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．‎ ‎（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，‎ ‎，‎ ‎∵y=﹣x2+x+2，‎ ‎∴当x=0时，y=2，‎ ‎∴C点的坐标是（0，2），‎ 设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），‎ 把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，‎ 可得，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AC解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，‎ ‎∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），‎ ‎∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，‎ ‎∵CM=CH，OC=GE=2，‎ ‎∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，‎ 又∵MH=﹣m2+2m，‎ ‎∴﹣m2+2m=m，‎ 即m（m﹣2）=0，‎ 解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），‎ ‎∴m=2，‎ 当m=2时，‎ y=﹣×22+×2+2=3，‎ ‎∴点M的坐标为（2，3）．‎ ‎（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：‎ ‎∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ ‎∵AC==2，BC==，AB=5，‎ ‎∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2=25，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，‎ 设P点坐标为（n，0），‎ 则N点坐标为（n，﹣n2+n+2），‎ ‎①如图2，‎ 当=时，‎ ‎∵∠N1P1G=∠ACB=90°，‎ ‎∴△N1P1G∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ 解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），‎ 当n1=3时，‎ y=﹣×32+×3+2=2，‎ ‎∴P的坐标为（3，2）．‎ ‎②当=时，‎ ‎∵∠N2P2G=∠BCA=90°，‎ ‎∴△N2P2G∽△BCA，‎ ‎∴，‎ 解得：n1=1，n2=1﹣（不符合题意，舍去），‎ 当n1=1时，‎ y=﹣×（1+）2+×（1）+2=，‎ ‎∴P的坐标为（1，）．‎ 又∵点P在线段GA上，‎ ‎∴点P的纵坐标是0，‎ ‎∴不存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．‎ ‎（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．‎ ‎（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．‎ ‎87．（9分）（2015•云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．‎ ‎（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，‎ ‎∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），‎ 把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，‎ 解得：k=﹣，n=3，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3；‎ 由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，‎ 把C（0，3）代入得：a=，‎ 则抛物线解析式为y=x2﹣x+3；‎ ‎（2）存在．‎ 如图所示，分两种情况考虑：‎ ‎∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，‎ ‎∴其对称轴x=﹣=﹣=．‎ 当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形，‎ ‎∵直线BC的斜率为﹣，‎ ‎∴直线PC斜率为，‎ ‎∴直线PC解析式为y﹣3=x，即y=x+3，‎ 与抛物线对称轴方程联立得，‎ 解得：，‎ 此时P（，）；‎ 当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，‎ 同理得到直线P′B的斜率为，‎ ‎∴直线P′B方程为y=（x﹣4）=x﹣，‎ 与抛物线对称轴方程联立得：，‎ 解得：，‎ 此时P′（，﹣2）．‎ 综上所示，P（，）或P′（，﹣2）．‎ 点评：‎ 此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎88．（12分）（2015•甘孜州）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求直线BC的解析式；‎ ‎（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；‎ ‎（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；‎ ‎（3）设N（x，ax2﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，‎ ‎∴a﹣5a+2=0，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；‎ ‎（2）抛物线的对称轴为直线x=，‎ ‎∴点B（4，0），C（0，2），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得 ‎，‎ 解得k=﹣，b=2，‎ ‎∴直线BC的解析式y=﹣x+2；‎ ‎（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：‎ ‎①当△OBC∽△HNB时，如图1，‎ ‎=，‎ 即=，‎ 解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），‎ ‎∴点N坐标（5，2）；‎ ‎②当△OBC∽△HBN时，如图2，‎ ‎=，‎ 即=﹣，‎ 解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），‎ ‎∴点N坐标（2，﹣1）；‎ 综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．‎ ‎89．（12分）（2015•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）用含m的代数式表示线段CO的长；‎ ‎（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；‎ ‎（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m，再根据=，求出OC；‎ ‎（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD的正弦值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，‎ ‎∴点B的坐标是（0，﹣4），‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴OA==2，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，0），‎ 把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，‎ 解得：a=1，‎ 则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；‎ ‎（2）∵点P的横坐标为m，‎ ‎∴点P的坐标为（m，m2﹣4），‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，‎ ‎∴OE=m，PE=m2﹣4，‎ ‎∴AE=2+m，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CO=2m﹣4；‎ ‎（3）∵tan∠ODC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OD=OC=×（2m﹣4）=，‎ ‎∵△ODB∽△EDP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m1=﹣1（舍去），m2=3，‎ ‎∴OC=2×3﹣4=2，‎ ‎∵OA=2，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∴∠PAD=45°，‎ ‎∴sin∠PAD=sin45°=．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．‎ ‎90．（12分）（2015•张家界）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：‎ ‎①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；‎ ‎（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；‎ ‎（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D（4，﹣5），求出AD=，AB=4，BC=，设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=﹣4.5即可得到或P（﹣4.5，0）；‎ ‎②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到，求得BF=，BD=，求得，由于DM=，DN=‎ ‎，于是得到===，即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意知：，‎ 解得，‎ ‎∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴B（3，0），‎ 由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，‎ ‎∴0=1+b，‎ ‎∴b=﹣1，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1；‎ ‎（3）①∵BC∥AD，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA，‎ ‎∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，‎ 解得D（4，﹣5），‎ ‎∴AD=，AB=4，BC=，‎ 设P的坐标为（x，0），‎ 即或，‎ 解得或x=﹣4.5，‎ ‎∴或P（﹣4.5，0），‎ ‎②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，‎ 在Rt△AFB中，∠BAF=45°，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF=，BD=，‎ ‎∴，‎ ‎∵DM=，DN=，‎ 又∵，NE=，∴===，‎ ‎∴当时，S△MDN的最大值为．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎