中考数学第一轮复习资料超全 94页

数 学 2016 年中考一轮复习（2 月 3 日--4 月 30 日） 目　录 第一部分　数与代数 第一章　数与式 第 1 讲　实数 83 第 2 讲　代数式 84 第 3 讲　整式与分式 85 第 1 课时　整式 85 第 2 课时　因式分解 86 第 3 课时　分式 87 第 4 讲　二次根式 89 第二章　方程与不等式 第 1 讲　方程与方程组 90 第 1 课时　一元一次方程与二元一次方程组 90 第 2 课时　分式方程 91 第 3 课时　一元二次方程 93 第 2 讲　不等式与不等式组 94 第三章　函数 第 1 讲　函数与平面直角坐标系 97 第 2 讲　一次函数 99 第 3 讲　反比例函数 101 第 4 讲　二次函数 103 第二部分　空间与图形 第四章　三角形与四边形 第 1 讲　相交线和平行线 106 第 2 讲　三角形 108 第 1 课时　三角形 108 第 2 课时　等腰三角形与直角三角形 110 第 3 讲　四边形与多边形 112 第 1 课时　多边形与平行四边形 112 第 2 课时　特殊的平行四边形 114 第 3 课时　梯形 116 第五章　圆 第 1 讲　圆的基本性质 118 第 2 讲　与圆有关的位置关系 120 第 3 讲　与圆有关的计算 122 第六章　图形与变换 第 1 讲　图形的轴对称、平移与旋转 124 第 2 讲　视图与投影 126 第 3 讲　尺规作图 127 第 4 讲　图形的相似 130 第 5 讲　解直角三角形 132 第三部分　统计与概率 第七章　统计与概率 第 1 讲　统计 135 第 2 讲　概率 137 第一部分　数与代数 第一章　数与式 第 1 讲　实数 考点一、实数的概念及分类 （3 分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 +8 等； （3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如 sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3 分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的 点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a= -b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看 成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大 于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分） 1、平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数 a 的平方 根记做“ ”。 2、算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （ 0） 3 2,7 3 π a± a a a ≥ 0≥a ； 注意 的双重非负性： - （ <0） 0 3、立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6 分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起 到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做 的形式，其中 ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3 分） 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一 不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设 a、b 是实数， （3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 。 （5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 A 级　基础题　 　　　　　 　　　　　 　　　 1．在－1,0,1,2 这四个数中，既不是正数也不是负数的是(　　) A．－1 B．0 C．1 == aa 2 a a a a ≥ 33 aa −=− na 10×± 101 <≤ a ,0 baba >⇔>− ,0 baba =⇔=− baba <⇔<− 0 ;1;1;1 bab abab abab a <⇔<=⇔=>⇔> baba <⇔> baba <⇔> 22 abba +=+ )()( cbacba ++=++ baab = )()( bcacab = acabcba +=+ )( D．2 2．－2 的绝对值等于(　　) A．2 B．－2 C.1 2 D．±2 3．－4 的倒数的相反数是(　　) A．－4 B．4 C．－1 4 D.1 4 4．－3 的倒数是(　　) A．3 B．－3 C.1 3 D．－1 3 5．无理数－ 3的相反数是(　　) A．－ 3 B. 3 C. 1 3 D．－ 1 3 6．下列各式，运算结果为负数的是(　　) A．－(－2)－(－3) B．(－2)×(－3) C．(－2)2 D．(－3)－3 7．某天最低气温是－5 ℃，最高气温比最低气温高 8 ℃，则这天的最高气温是 ________℃. 8．如果 x－y＜0，那么 x 与 y 的大小关系是 x____y(填“＜”或“＞”)． 9．(山东泰安)已知一粒米的质量是 0.000 021 千克，这个数字用科学记数法表示为(　　) A．21×10－4 千克 B．2.1×10－6 千克 C．2.1×10－5 千克 D．2.1×10－4 千 克 10．(河北)计算：|－5|－( 2－3)0＋6× ＋(－1)2. 图 X1－1－1 B 级　中等题 11．实数 a，b 在数轴上的位置如图 X1－1－1 所示，下列式子错误的是(　　) A．a|b| C．－a<－b D．b－a>0 12．北京时间 2011 年 3 月 11 日，日本近海发生 9.0 级强烈地震．本次地震导致地球当天 自 转 快 了 0.000 001 6 秒 ． 这 里 的 0.000 001 6 秒 请 你 用 科 学 记 数 法 表 示 ________________________秒． 13．将 1，2，3， 6按下列方式排列．若规定(m，n)表示第 m 排从左向右第 n 个数，则 (5,4)与(14,5)表示的两数之积是________． 1 1 3 2  −   14．计算：|－3 3|－2cos30°－2－2＋(3－π)0. 15．计算：－22＋ －2cos60°＋|－3|. C 级　拔尖题 16．如图 X1－1－2，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在数轴上，CD＝6，点 A 对应的数为－1， 则点 B 所对应的数为__________． 图 X1－1－2 17．观察下列等式： 第 1 个 等 式 ： a1 ＝ 1 1 × 3 ＝1 2 × ； 第 2 个 等 式 ： a2 ＝ 1 3 × 5 ＝1 2 × ； 第 3 个等式：a3＝ 1 5 × 7 ＝1 2 × ； 第 4 个等式：a4＝ 1 7 × 9 ＝1 2 × ； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第 5 个等式： a5＝______________＝______________； (2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an＝______________＝______________(n 为正整数)； (3)求 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 的值． 选做题 18．请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－7 6 ，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－ 4 15 ，… 你规定的新运算 a⊕b＝________(用 a，b 的一个代数式表示)． -11 3      11 3  −   1 1 3 5  −   1 1 5 7  −   1 1 7 9  −   第 2 讲　代数式 考点一、整式的有关概念 （3 分） 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是 代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 ，这种表示就是错误的，应写成 。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做 这个单项式的次数。如 是 6 次单项式。 考点二、多项式 （11 分） 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项 叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：1. 2. 3. 4. 5. 6. 整式的除法： 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的 符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6） （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单 项式除以多项式是不能这么计算的。 ba 2 3 14− ba 2 3 13− cba 235− ),( 都是正整数nmaaa nmnm +=• ),( 都是正整数）（ nmaa mnnm = )()( 都是正整数nbaab nnn = 22))(( bababa −=−+ 222 2)( bababa ++=+ 222 2)( bababa +−=− )0,,( ≠=÷ − anmaaa nmnm 都是正整数 ),0(1);0(10 为正整数paaaaa p p ≠=≠= − A 级　基础题 　 　　　　　 　　　　　 　　　 1．某省初中毕业学业考试的同学约有 15 万人，其中男生约有 a 万人，则女生约有(　　) A．(15＋a)万人 B．(15－a)万人 C．15a 万人 D.15 a 万人 2．若 x＝ m－ n，y＝ m＋ n，则 xy 的值是(　　) A．2 m B。2 n C．m＋n D．m－n 3．若 x＝1，y＝1 2 ，则 x2＋4xy＋4y2 的值是(　　) A．2 B．4 C.3 2 D . 1 2 4．已知 a－b＝1，则代数式 2a－2b－3 的值是(　　) A．－1 B．1 C．－5 D．5 5．已知实数 x，y 满足 x－2＋(y＋1)2＝0，则 x－y 等于(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 6．若|x－3|＋|y＋2|＝0，则 x＋y 的值为__________． 7．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低 a 元后， 再次下调了 20%，现在收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准每分钟是____________元． 8．已知代数式 2a3bn＋1 与－3am＋2b2 是同类项，2m＋3n＝________. 9．如图 X1－2－1，点 A，B 在数轴上对应的实数分别为 m，n，则 A，B 间的距离是 ________(用含 m，n 的式子表示)． 图 X1－2－1 10．已知 2x－1＝3，求代数式(x－3)2＋2x(3＋x)－7 的值． B 级　中等题 11．若 a2－b2＝1 4 ，a－b＝ 1 2 ，则 a＋b 的值为(　　) A．－ 1 2 B.1 2 C．1 D．2 12 ． 化 简 m2－16 3m－12 得 ____________ ； 当 m ＝ － 1 时 ， 原 式 的 值 为 ________ ． 13．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片[如图 X1－2－1(1)]不重叠的放在一个底面 为长方形(长为 m cm，宽为 n cm)的盒子底部[如图 X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部 分用阴影表示，则图 X1－2－1(2)中两块阴影部分的周长和是(　　) 图 X1－2－1 A．4m cm　　　　 B．4n cm C．2(m＋n) cm　　　　 D．4(m－n) cm 14．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式， 如 a＋b＋c 就是完全对称式．下列三个代数式： ①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a. 其中是完全对称式的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．已知 A＝2x＋y，B＝2x－y，计算 A2－B2. C 级　拔尖题 16．若 3x＝4,9y＝7，则 3x－2y 的值为(　　) A.4 7 B.7 4 C．－3 D.2 7 17．一组按一定规律排列的式子(a≠0)： －a2，a5 2 ，－a8 3 ，a11 4 ，…， 则第 n 个式子是________(n 为正整数)． 选做题 18．)已知，x＝2 009，y＝2 010，求代数式x－y x ÷ 的值． 19．如图 X1－2－3，从边长为(a＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm 的正方 形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(　　) 22xy yx x  −−    图 X1－2－3 A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2 第 3 讲　整式与分式 第 1 课时　整式 A 级　基础题 1．计算(－x)2·x3 的结果是(　　) A．x5 B．－x5 C．x6 D．－x6 2．下列运算正确的是(　　) A．3a－a＝3 B．a2·a3＝a5 C．a15÷a3＝a5(a≠0)D．(a3)3＝a6 3．下列运算正确的是(　　)A．a＋a＝a2 B．(－a3)2＝a5C．3a·a2＝a3 D．( 2a)2＝2a2 4．在下列代数式中，系数为 3 的单项式是(　　)A．xy2 B．x3＋y3 C．x3y D．3xy 5．下列计算正确的是(　　) A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4 6．下列等式一定成立的是(　　) A．a2＋a3＝a5 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．(2ab2)3＝6a3b6 D．(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab 7．计算(－5a3)2 的结果是(　　) A．－10a5 B．10a6 C．－25a5 D．25a6 8．(湖北荆州)将代数式 x2＋4x－1 化成(x＋p)2＋q 的形式为(　　) A．(x－2)2＋3 B．(x＋2)2－4 C．(x＋2)2－5 D．(x＋2)2＋4 9．计算： (1)( 3＋1)( 3－1)＝____________； (2)(山东德州)化简：6a6÷3a3＝________. (3)(－2a)· ＝________. 10．化简：(a＋b)2＋a(a－2b)． B 级　中等题 11．已知一个多项式与 3x2＋9x 的和等于 3x2＋4x－1，则这个多项式是(　　) A．－5x－1 B．5x＋1 C．13x－1 D．13x＋1 31 14 a −   12．(安徽芜湖)如图 X1－3－1，从边长为(a＋4) cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm 的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为(　　)． 图 X1－3－1 A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2 C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2 13．(湖南株洲)先化简，再求值：(2a－b)2－b2，其中 a＝－2，b＝3. 14．(吉林)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中 a＝1，b＝ 2. 15．(山西)先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中 x＝－ 3. C 级　拔尖题 16．(四川宜宾)将代数式 x2＋6x＋2 化成(x＋p)2＋q 的形式为(　　) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 17．若 2x－y＋|y＋2|＝0，求代数式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x 的值． 选做题 18．观察下列算式： ①1×3－22＝3－4＝－1； ②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1； ④__________________________. …… (1)请你按以上规律写出第 4 个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 19．(江苏苏州)若 3×9m×27m＝311，则 m 的值为____________． 第 2 课时　因式分解 考点三、因式分解 （11 分） 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式。 2、因式分解的常用方法 （1）提公因式法： （2）运用公式法： （3）分组分解法： （4）十字相乘法： 3、因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝 试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4 项式 以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 A 级　基础题 1．(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是(　　) A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2 2．(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是(　　) A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 3．(内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是(　　) A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1) C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2) 4．(湖南邵阳)因式分解：a2－b2＝______ 5．(辽宁沈阳)分解因式：m2－6m＋9＝______. 6．(广西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(浙江丽水)分解因式：2x2－8＝　________. 8．(贵州六盘水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________. 9．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a>b)[如图 X1－3－2(1)]，把余下的 部分拼成一个矩形[如图 X1－3－2(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(　　) )( cbaacab +=+ ))((22 bababa −+=− 222 )(2 bababa +=++ 222 )(2 bababa −=+− ))(()()( dcbadcbdcabdbcadac ++=+++=+++ ))(()(2 qapapqaqpa ++=+++ 图 X1－3－2 A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 10．若 m2－n2＝6 且 m－n＝3，则 m＋n＝________. B 级　中等题 11．对于任意自然数 n，(n＋11)2－n2 是否能被 11 整除，为什么？ 12．(山东临沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝____________. 13．(四川内江)分解因式：ab3－4ab＝______________. 14．(山东潍坊)分解因式：x3－4x2－12x＝______________. 15．(江苏无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1 的结果是(　　) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 16．(山东德州)已知：x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求x2－2xy＋y2 x2－y2 的值． C 级　拔尖题 17．(江苏苏州)若 a＝2，a＋b＝3，则 a2＋ab＝________. 18．(湖北随州)设 a 2＋2a－1＝0，b 4－2b2－1＝0，且 1－ab 2≠0，则 ＝ ________. 52 2 3 1ab b a a  + − +     选做题 19．分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________. 20．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足 a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC 的形状． 21．(贵州黔东南州)分解因式 x3－4x＝______________________. 第 3 课时　分式 考点一、分式 （8~10 分） 1、分式的概念 一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成 的形式，如果 B 中含有字母，式子 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 （1）， （2）。 （3） （4） A 级　基础题 1．(浙江湖州)要使分式1 x 有意义，x 的取值范围满足(　　) A．x＝0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0 2．(四川德阳)使代数式 x 2x－1 有意义的 x 的取值范围是(　　) A．x≥0 B．x≠1 2 C．x≥0 且 x≠1 2 D．一切实数 3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立： B A B A ;; bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =×=÷=× );()( 为整数nb a b a n n n = ;c ba c b c a ±=± bd bcad d c b a ±=± (1) 2 ab ＝ (　　) 2xa2b2 b (2)a3－ab2 (a－b)2 ＝a(　　) a－b 4．约分：56x3yz4 48x5y2z ＝____________； x2－9 x2－2x－3 ＝____________. 5．已知a－b a＋b ＝1 5 ，则a b ＝__________. 6．当 x＝______时，分式x2－2x－3 x－3 的值为零． 7．(福建漳州)化简：x2－1 x＋1 ÷x2－2x＋1 x2－x . 8．(浙江衢州)先化简 x2 x－1 ＋ 1 1－x ，再选取一个你喜欢的数代入求值． 9．先化简，再求值： x－2 x2－4 － x x＋2 ，其中 x＝2. 10．(山东泰安)化简： ÷ m m2－4 ＝____________________. B 级　中等题 11．若分式 x－1 (x－1)(x－2)有意义，则 x 应满足的条件是(　　) A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1 且 x≠2 D．以上结果都不对 12．先化简，再求值： ÷ x＋2 x2－2x＋1. 2 2 2 m m m m  − + −  2 3 4 2 1 1 x x x + − − −  13．(湖南常德)先化简，再求值. ÷x－1 x＋1 ，其中 x＝2. 14．(四川资阳)先化简，再求值： a－2 a2－1÷ ，其中 a 是方程 x2－x＝6 的根． C 级　拔尖题 15．先化简再求值：ab＋a b2－1 ＋ b－1 b2－2b＋1 ，其中 b－2＋36a2＋b2－12ab＝0. 选做题 16．已知 x2－3x－1＝0，求 x2＋1 x2 的值． 第 4 讲　二次根式 考点一、二次根式 （初中数学基础，分值很大） 1、二次根式 式子 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是 非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式 的形式，然后利用分母有理化进行化简。 2 2 1 2 1 1 1 x x x x  − ++ + −  2 11 1 aa a − − − +  )0( ≥aa （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因 式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根 式。 4、二次根式的性质 （1） （2） （3） （4） 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算 括号里的（或先去括号）。 A 级　基础题 1．下列二次根式是最简二次根式的是(　　) A. 1 2 B. 4 C. 3 D. 8 2．下列计算正确的是(　　) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. (－3)2＝－3 3．若 a＜1，化简 (a－1)2－1＝(　　) A．a－2 B．2－a C．a D．－a 4．(广西玉林)计算：3 2－ 2＝(　　) A．3 B. 2 C．2 2 D．4 2 5．如图 X1－3－3，数轴上 A、B 两点表示的数分别为－1 和 3，点 B 关于点 A 的对称点 为 C，则点 C 所表示的数为(　　) 图 X1－3－3 A．－2－ 3 B．－1－ 3 C．－2＋ 3 D．1＋ 3 6．(湖南衡阳)计算： 12＋ 3＝__________.7．(辽宁营口)计算 18－2 1 2 ＝________. 8．已知一个正数的平方根是 3x－2 和 5x＋6，则这个数是__________． )0()( 2 ≥= aaa )0( ≥aa == aa 2 )0( <− aa )0,0( ≥≥•= babaab )0,0( ≥≥= ba b a b a 9．若将三个数－ 3，7， 11表示在数轴上，其中能被如图 X1－3－4 所示的墨迹覆盖的 数是__________． 图 X1－3－4 10．(四川内江)计算： 3tan30°－(π－2 011)0＋ 8－|1－ 2|. B 级　中等题 11．(安徽)设 a＝ 19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是(　　) A．1 和 2 B．2 和 3 C．3 和 4 D．4 和 5 12．(山东烟台)如果 (2a－1)2＝1－2a，则(　　) A．a＜1 2 B．a≤1 2 C．a＞1 2 D．a≥1 2 13．(浙江)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的值为(　　) A．9 B．±3 C．3 D．5 14．(福建福州)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为________． 15．(贵州贵阳)如图 X1－3－5，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边 AB 长为 1，OA 在数轴 上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数 是(　　) 图 X1－3－5 A．2.5 B．2 2 C. 3 D. 5 16．(四川凉山州)计算：(sin30°)－2＋ －|3－ 18|＋83×(－0.125)3. C 级　拔尖题 03 5 2    −  17．(湖北荆州)若 x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，则 x＋y 的值为(　　) A．3 B．9 C．12 D．27 18．(山东日照)已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1) 1－y＝0，那么 x2 011－y2 011＝ ______. 选做题 19．(四川凉山州)已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为(　　) A．－15 B．15 C．－15 2 D.15 2 第二章　方程与不等式 第 1 讲　方程与方程组 第 1 课时　一元一次方程与二元一次方程组 考点一、一元一次方程的概念 （6 分） 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常 数项。 考点二、二元一次方程组 （8~10 分） 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式 是（ 2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组 两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4 二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组 的解。 5、二元一次方正组的解法 ）为未知数，（ 0ax0 ≠=+ bax （1）代入法（2）加减法 6、三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。 7、三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方 程组 A 级　基础题 1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高 30%后标价，再打 8 折(标价的 80%) 销售，售价为 2 080 元．设该电器的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是(　　) A．x(1＋30%)×80%＝2 080 　B．x×30%×80%＝2 080 C．2 080×30%×80%＝x D．x×30%＝2 080×80% 2．(广西桂林)二元一次方程组 的解是(　　) A. B. C. D. 3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和 乒乓球拍，若购 1 副羽毛球拍和 1 副乒乓球拍共需 50 元，小强一共用 320 元购买了 6 副同样 的羽毛球拍和 10 副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为 x 元，每副乒乓球拍为 y 元，列二 元一次方程组得(　　) A. B. C. D. 4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树， 要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔 5 米栽 1 棵，则树苗缺 21 棵； 如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完．设原有树苗 x 棵，则根据题意列出方程正确的是(　　) A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1) C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x 5．已知关于 x 的方程 3x－2m＝4 的解是 x＝m，则 m 的值是________． 6．方程组 的解是__________． 7．(湖南湘潭)湖南省 2011 年赴台旅游人数达 7.6 万人．我市某九年级一学生家长准备中 考后全家 3 人去台湾旅游，计划花费 20 000 元．设每人向旅行社缴纳 x 元费用后，共剩 5 000 元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________． 8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资 源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的1 5 ，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800 3. 2 4 x y x + =  = 3, 0 x y =  = 1, 2 x y =  = 5, 2 x y =  = − 2, 1 x y =  = 50, 6( ) 320 x y x y + =  + = 50, 6 10 320 x y x y + =  + = 50, 6 320 x y x y + =  + = 50, 10 6 320 x y x y + =  + = 2, 2 1 x y x y − =  + = m3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)? B 级　中等题 9．(贵州黔西南)已知－2xm－1y3 与 1 2xnym＋n 是同类项，那么(n－m)2 012＝______. 10．(山东菏泽)已知 是二元一次方程组的解 则 2m－n 的算术平方根为 (　　) A．± 2 B. 2　 C．2　 　 D．4 11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住 3 个单人间和 6 个双人间共需 1 020 元，入住 1 个单人间和 5 个双人间共需 700 元，则入住单人间和双人间各 5 个共需 ____________元． 12．(内蒙古呼和浩特)解方程组： C 级　拔尖题 13．如图 X2－1－1，直线 l1：y＝x＋1 与直线 l2：y＝mx＋n 相交于点 P(1，b)． (1)求 b 的值． (2)不解关于 x，y 的方程组 请你直接写出它的解． (3)直线 l3：y＝nx＋m 是否也经过点 P？请说明理由． 2, 1 x y =  = 8, 1, mx ny nx my + =  − = 4( 1) 3(1 ) 2, 2.2 3 x y y x y − − = − − + = 1, , y x y mx n = +  = + 图 X2－1－1 14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈说：“今天买这两样菜共花了 45 元，上月买同重量的这两样菜只要 36 元”； 爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%”； 小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)． 选做题 15．(上海)解方程组： 16．若关于 x，y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 2x＋3y＝6 的解， 则 k 的值为(　　) A．－3 4 　　 B.3 4 　 C.4 3 　　　　　 D．－4 3 第 2 课时　分式方程 考点一、分式方程 （8 分） 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就 是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形 式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 A 级　基础题 　 　　　　　 　　　　　 　　　 1．(广西北海)分式方程 7 x－8 ＝1 的解是(　　) A．－1 B．1　 C．8　 D．15 2 2 2, 2 3 0. x y x xy y − =  − − = 5 , 9 x y k x y k + =  − = 2．(浙江丽水)把分式方程 2 x＋4 ＝1 x 化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(　　) A．x　 B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 3．(湖北随州)分式方程 100 20＋v ＝ 60 20－v 的解是(　　) A．v＝－20　 B．v＝5　 C．v＝－5　 D．v＝20 4．(四川成都)分式方程 3 2x ＝ 1 x－1 的解为(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 5．(四川内江)甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用的时间相同．已知乙车每小时比 甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为 x 千米/时，依题意列方程正确的是(　　) A.30 x ＝ 40 x－15 B. 30 x－15 ＝40 x C.30 x ＝ 40 x＋15 D. 30 x＋15 ＝40 x 6．方程 x2－1 x＋1 ＝0 的解是________． 7．(江苏连云港)今年 6 月 1 日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器 的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴 200 元，若同样 用 1 万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多 10%，则条例实施前此款空调 的售价为 __________元． 8．(山东德州)解方程： 2 x2－1 ＋ 1 x＋1 ＝1. 9．(江苏泰州)当 x 为何值时，分式3－x 2－x 的值比分式 1 x－2 的值大 3? 10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮 颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一 年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若一年滞尘 1 000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． B 级　中等题 11．(山东莱芜)对于非零实数 a，b，规定 a⊕b＝1 b －1 a.若 2⊕(2x－1)＝1，则 x 的 值为(　　) A.5 6 　　 B.5 4 C.3 2 　 D．－1 6 12．(四川巴中)若关于 x 的方程 2 x－2 ＋x＋m 2－x ＝2 有增根，则 m 的值是________． 13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的 单价比文学书的单价多 4 元，用 12 000 元购进的科普书与用 8 000 元购进的文学书的本数相 等． C 级　拔尖题 15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的 10%； 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺 标价的 10%，但要缴纳租金的 10%作为管理费用． (1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资 收益率＝ 投资收益 实际投资额×100%)? (2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人获 得的收益将相差 5 万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 选做题 14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店 规定一次购买 400 个以上，可享受 8 折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受 8 折 优惠，需付款 1 936 元；若多买 88 个，就可享受 8 折优惠，同样只需付款 1 936 元．请问该 学校九年级学生有多少人？ 15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作 8 800 件投入市场，服装厂有 A， B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍，A，B 两车间共同完成一半后， A 车间出现故障停产，剩下全部由 B 车间单独完成，结果前后共用 20 天完成，求 A，B 两车 间每天分别能加工多少件． 第 3 课时　一元二次方程 考点一、一元二次方程 （6 分） 1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边 是零，其中 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做 常数项。 考点二、一元二次方程的解法 （10 分） 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法 适用于解形如 的一元二次方程。根据平方根的定义可知， 是 b 的平方根，当 时， ， ，当 b<0 时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领 域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 ，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有 。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 的求根公式： 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元 二次方程最常用的方法。 考点三、一元二次方程根的判别式 （3 分） 根的判别式 )0(02 ≠=++ acbxax 2ax bax =+ 2)( ax + 0≥b bax ±=+ bax ±−= 222 )(2 bababa +=+± 222 )(2 bxbbxx ±=+± )0(02 ≠=++ acbxax )04(2 4 2 2 ≥−−±−= acba acbbx 一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的 根的判别式，通常用“ ”来表示，即 考点四、一元二次方程根与系数的关系 （3 分） 如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是 说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系 数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 A 级　基础题 1．(江苏泰州)一元二次方程 x2＝2x 的根是(　　) A．x＝2　　 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 2．方程 x2－4＝0 的根是(　　) A．x＝2　　　 B．x＝－2 C．x1＝2，x2＝－2　　　 D．x＝4 3．(安徽)一元二次方程 x(x－2)＝2－x 的根是(　　) A．－1　　　 B．2 C．1 和 2　　 D．－1 和 2 4．(贵州安顺)已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0 的一个根，则 m 的值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定 5．(湖北武汉)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 x1＋x2 的值是(　　) A．－2 B．2　 C．3 D．1 6．(湖南常德)若一元二次方程 x2＋2x＋m＝0 有实数解，则 m 的取值范围是(　　) A．m≤－1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤1 2 7．(江西南昌)已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2x－a＝0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 (　　) A．1　 B．－1　 C.1 4 D．－1 4 8．(上海)如果关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋c＝0(c 是常数)没有实根，那么 c 的取值范围是 __________． )0(02 ≠=++ acbxax acb 42 − )0(02 ≠=++ acbxax ∆ acb 42 −=∆ )0(02 ≠=++ acbxax 21 xx ， a bxx −=+ 21 a cxx =21 9．(山东滨州)某商品原售价为 289 元，经过连续两次降价后售价为 256 元，设平均每次降价 的分率为 x, 可列方程为_______________________________________________。 10．解方程： (x－3)2＋4x(x－3)＝0. B 级　中等题 11．(内蒙古呼和浩特)已知：x1，x2 是一元二次方程 x2＋2ax＋b＝0 的两个根，且 x1＋x2＝3， x1x2＝1，则 a，b 的值分别是(　　) A．a＝－3，b＝1　 B．a＝3，b＝1 C．a＝－3 2 ，b＝－1 D．a＝－3 2 ，b＝1 12．(山东潍坊)关于 x 的方程 x2＋2kx＋k－1＝0 的根的情况描述正确的是(　　) A．k 为任何实数，方程都没有实数根 B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两 个相等的实数根三种 13．(山东德州)若 x1，x2 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，则 x21＋x22＝__________. 14．(2011 年江苏苏州)已知 a，b 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根，则代数式(a－ b)(a＋b－2)＋ab 的值等于________． 15．(山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天 可售出 100 千克．后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千 克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2 240 元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 16．(湖南湘潭)如图 X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一 个矩形花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，试设 计一种砌法，使矩形花园的面积为 300 m2. X2－1－2 C 级　拔尖题 17．(湖北襄阳)如果关于 x 的一元二次方程 kx2－ 2k＋1x＋1＝0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是(　　) A．k＜1 2 B．k＜1 2 且 k≠0 C．－1 2 ≤k＜1 2 D．－1 2 ≤k＜1 2 且 k≠0 选做题 18．(江苏南通)设 α，β 是一元二次方程 x2＋3x－7＝0 的两个根，则 α2＋4α＋β＝________. 19．三角形的每条边的长都是方程 x2－6x＋8＝0 的根，则三角形的周长是________． 第 2 讲　不等式与不等式组 考点一、不等式的概念 （3 分） 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式 的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不 等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 （3~5 分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考试题型： 考点三、一元一次不等式 （6~8 分） 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的 不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组 （8 分） 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 A 级　基础题 　 　　　　　 　　　　　 　 1．不等式 3x－6≥0 的解集为(　　) A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 2．(湖南长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图 X2－2－1，则下列符合条件的不等 式组为(　　) 图 X2－2－1 图 X 2－2 A. B. C. D. 3．函数 y＝kx＋b 的图象如图 X2－2－2，则当 y＜0 时，x 的取值范围是(　　) A．x＜－2 B．x＞－2 C．x＜－1 D．x＞－1 　　　 4．直线 l1：y＝k1x＋b 与直线 l2：y＝k2x＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图 X2－2－3， 则关于 x 的不等式 k1x＋b＜k2x＋c 的解集为( 　　) A．x＞1 B．x＜1 C．x＞－2 D．x＜－2 2, 1 x x >  ≤ − 2, 1 x x <  > − 2, 1 x x <  ≥ − 2, 1 x x <  ≤ − 5．若关于 x 的不等式组 的解集是 x＞2，则 m 的取值范围是________． 6．(江苏扬州)在平面直角坐标系中，点 P(m，m－2)在第一象限内，则 m 的取值范围是 ________． 7．不等式组 的整数解是__________ 8．8．(江苏苏州)解不等式组： 9．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人．如果给每个 老人分 5 盒，则剩下 38 盒，如果给每个老人分 6 盒，则最后一个老人不足 5 盒，但至少分得 1 盒． (1)设敬老院有 x 名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含 x 的代数式表示)? (2)该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？ B 级　中等题 11．(湖北荆门)已知点 M(1－2m，m－1)关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在数 轴上表示正确的是(　　) 　 12．(湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失 10%，假设不计超市其 他费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提 高(　　) A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 13 ． ( 湖 北 黄 石 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 组 有 实 数 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 2,x x m    ＞ ＞ 1 4,2 1 2 4 x x + ≤  − < 3 2 2, 8 1 3( 1). x x x x − < +  − ≥ − − 2 3 3, 3 5 x x x a > −  − > ____________． 14．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、 乙两种票的单价比为 4∶3，单价和为 42 元． (1)甲乙两种票的单价分别是多少元？ (2)学校计划拿出不超过 750 元的资金，让七年级一班的 36 名学生首先观看，且规定购买 甲种票必须多于 15 张，有哪几种购买方案？ C 级　拔尖题 15．试确定实数 a 的取值范围，使不等式组 恰有两个整数解． 16．(四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达 了生产 A 种板材 48 000 m2 和 B 种板材 24 000 m2 的任务． (1)如果该厂安排 210 人生产这两种板材，每人每天能生产 A 种板材 60 m2 或 B 种板材 40 m2.请问：应分别安排多少人生产 A 种板材和 B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？ (2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共 400 间，已知 建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示： 板房 A 种板材/m2 B 种板材/m2 安置人数/人 甲型 108 61 12 乙型 156 51 10 问这 400 间板房最多能安置多少灾民？ 选做题 17．若关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x＋y＜2，则实数 a 的取值范围为 ______． 18．(2011 年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所 1 02 3 5 4 4 ( 1)3 3 x x ax x a + + > + + > + + 3 1 , 3 3 x y a x y + = +  + = 示： 类别 冰箱 彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价 13%的政府补贴．农民田大伯到该 商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？ (2)为满足农民需求，商场决定用不超过 85 000 元采购冰箱、彩电共 40 台，且冰箱的数 量不少于彩电数量的5 6.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？ 最大获利是多少？ 第三章　函数 第 1 讲　函数与平面直角坐标系 考点一、平面直角坐标系 （3 分） 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上 为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面， 叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫 做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐 标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时，（a，b）和（b，a）是两个 不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3 分） 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 点 P(x,y)在第四象限 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 ba ≠ 0,0 >>⇔ yx 0,0 ><⇔ yx 0,0 <<⇔ yx 0,0 <>⇔ yx 0=⇔ y 0=⇔ x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 A 级　基础题 1．(山东荷泽)点(－2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(四川成都)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(－3,5)关于 y 轴的对称点的坐标为(　　) A．(－3，－5) B．(3,5) C．(3，－5) D．(5，－3) 3．已知 y 轴上的点 P 到 x 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为(　　) A．(3,0) B．(0,3) C．(0,3)或(0，－3) D．(3,0)或(－3,0) 4．(浙江绍兴)在如图 X3－1－1 所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点 A 的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点 A 落在点 A′(5，－1)处，则此平移可以是(　　) 图 X3－1－1 图 X3－1－2 A．先向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位 B．先向右平移 5 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 D．先向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位 5．(山东枣庄)在平面直角坐标系中，点 P(－2，x2＋1)所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(湖北孝感)如图 X3－1－2，△ABC 在平面直角坐标系中第二象限内，顶点 A 的坐标是(－ 2,3)，先把△ABC 向右平移 4 个单位得到△A 1B1C1，再作△A1B1C1 关于 x 轴的对称图形△ A2B2C2，则顶点 A2 的坐标是(　　) A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1) y x 22 yx + 7.(贵州毕节)如图 X3－1－3，在平面直角坐标系中，以原点 O 为中心，将△ABO 扩大到原来 的 2 倍，得到△A′B′O.若点 A 的坐标是(1,2)，则点 A′的坐标是(　　) A．(2,4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1) X3－1－3 8．(浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图 X3－1－4)．若 小亮上坡、平路、下坡的速度分别为 v1、v2、v3，且 v10 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增 大。 k>0 b<0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增 大。 b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大 而减小 K<0 b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y 随 x 的增大 而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数 有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地，一次函数 有下列性质： （1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 kxy = bkxy += 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数 k。确定一个一次函数，需 要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 A 级　基础题 1．(江西)已知一次函数 y＝－x＋b 的图象经过第一、二、四象限，则 b 的值可能是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．(重庆)直线 y＝x－1 的图象经过的象限是(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 3．(广西桂林)直线 y＝kx－1 一定经过点(　　) A．(1,0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1) 4．(湖南怀化)在平面直角坐标系中，把直线 y＝x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为 (　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2 5．(黑龙江牡丹江)在平面直角坐标系中，点 O 为原点，直线 y＝kx＋b 交 x 轴于点 A(－ 2,0)，交 y 轴于点 B.若△AOB 的面积为 8，则 k 的值为(　　) A．1 B．2 C.－2 或 4 D．4 或 －4 6．(湖南张家界)关于的一次函数 y＝kx＋k2＋1 的图象可能是(　　) 7．(山东济南)一次函数 y＝(k－2)x＋b 的图象如图 X3－2－1 所示，则 k 的取值范围是 (　　) A．k＞2 B．k＜2 C．k＞3 D．k＜3 图 X3－2－2 图 X3－2－1 8．(湖南怀化)一次函数 y＝－2x＋3 中，y 的值随 x 值增大而__________(填“增大”或“减 小”)． 9．(浙江义乌)一次函数 y＝2x－1 的图象经过点(a,3)，则 a＝________. 10．(江苏淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴 120 元．种粮大户老王今年种了 150 亩地，计划明年再承租 50～150 亩土地种粮以增加收 入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本 y(单位：元)与种粮面积 x(单位：亩)之间的函数关 系如图 X3－2－2 所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ kxy = ≠ bkxy += ≠ (2)根据图象，求 y 与 x 之间的函数关系式． B 级　中等题 11．(山西)如图 X3－2－3，一次函数 y＝(m－1)x－3 的图象分别与 x 轴、y 轴的负半轴相交于 A，B，则 m 的取值范围是(　　)A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0 图 X3－2－4 图 X3－2－5 图 X3－2－3 12．(广西玉林)一次函数 y＝mx＋|m－1|的图象过点(0,2)且 y 随 x 的增大而增大，则 m＝ (　　) A．－1 B．3 C．1 D．－1 或 3 13．如图 X3－2－4，直线 y1＝x 2 与 y2＝－x＋3 相交于点 A，若 y1＜y2，那么(　　) A．x＞3 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 　 14．(湖南衡阳)如图经 3－2－5，一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象平 行且经过点 A(1，－2)，则 kb＝________ C 级　拔尖题 15．(广西北海)如图 X3－2－6，点 A 的坐标为(－1,0)，点 B 在直线 y＝2x－4 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是__________．图 X3－2－6 16．某商店经营一种小商品，进价为每件 20 元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件 25 元时，可卖出 105 件，而售价每上涨 1 元，就少卖 5 件． (1)当售价定为每件 30 元时，一个月可获利多少元？ (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 17．(山东济宁)“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用 160 000 元购进 一批家电，这批家电的进价和售价如下表： 类别 彩电(元/台) 冰箱(元/台) 洗衣机(元/台) 进价 2 000 1 600 1 000 售价 2 200 1 800 1 100 (1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共 100 台，问商家可以购买彩电和洗衣机各多少台？ (2)若在现有资金 160 000 元允许的范围内，购买上表中三类家电共 100 台，其中彩电台 数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方 案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？请求出最大利润(利润＝售价 －进价)． 选做题 18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示： 类别 冰箱 彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价 13%的政府补贴．农民田大伯到该 商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？ (2)为满足农民需求，商场决定用不超过 85 000 元采购冰箱、彩电共 40 台，且冰箱的数 量不少于彩电数量的5 6.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？ 最大获利是多少？ 第 3 讲　反比例函数 1、反比例函数的概念:(考点、反比例函数 3~10 分） 一般地，函数 （k 是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的形 式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们 关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即 双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比 例函 数 k 的 符号 K > 0 K < 0 x ky = ≠ 1−= kxy ≠ ≠ ≠ )0( ≠= kx ky 图像 Y O x y O x 性质 ①x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k>0 时，函数图像的两个分支分 别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k<0 时，函数图像的两个分支 分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对 应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN= 。 。 A 级　基础题　 　　　　　 　　　　　 　　 1．(甘肃兰州)如图 X3－3－1，某反比例函数的图象过点(－2,1)，则此反比例函数表达式 为(　　) 图 X3－3－1 A．y＝2 x B．y＝－2 x C．y＝ 1 2x D．y＝－ 1 2x 2．(山东枣庄)对反比例函数 y＝1 x ，下列结论中不正确的是(　　) A．图象经过点(－1，－1) B．图象在第一、三象限 C．当 x>1 时，01 B．m>0 C．m<1 D．m<0 图 X3－3－2 6．(江苏无锡)若双曲线 y＝k x 与直线 y＝2x＋1 一个交点的横坐标为－1，则 k 的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 7．(四川南充)矩形的长为 x，宽为 y，面积为 9，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致为(　　) 8．(四川达州)一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 y2＝m x(m≠0)，在同一直角坐标系中的图 象如图 X3－3－3 所示，若 y1>y2，则 x 的取值范围是(　　) 图 X3－3－3 A．－21 B．x<－2 或 01 D．－20)的图象 交于 A(m,6)，B(n,3)两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当 kx＋b－6 x>0 时，x 的取值范围． 图 X3－3－4 B 级　中等题 12.(山东青岛)点 A(x 1 ，y 1)，B(x 2 ，y 2)，C(x 3 ，y 3)都在反比例函数 y＝ －3 x 的图象上，若 x1y2. 图 X3－3－10 20．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生 工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中， 室内空气中每立方米含药量(单位；毫克)与燃烧时间(单位；分钟)之间的关系如图 X3－3－11 所示(即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒 开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 图 X3－3－11 第 4 讲　二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 （3~8 分） 1、二次函数的概念 一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： )0,,(2 ≠++= acbacbxaxy 是常数， )0,,(2 ≠++= acbacbxaxy 是常数， a bx 2 −= （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将 这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗 略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点， 画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 （10~16 分） 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 有实根 和 存在 时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数 可转化为两 根式 。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 （10 分） 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 时， 。 如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在 此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内 的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当 时， ；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ， 当 时， 。 考点四、二次函数的性质 （6~14 分） 1、二次函数的性质 函数 二次函数 a>0 a<0 图像 y 0 x y 0 x cbxaxy ++= 2 )0,,(2 ≠++= acbacbxaxy 是常数， )0,,()( 2 ≠+−= akhakhxay 是常数， cbxaxy ++= 2 02 =++ cbxax 1x 2x ))(( 21 2 xxxxacbxax −−=++ cbxaxy ++= 2 ))(( 21 xxxxay −−= a bx 2 −= a bacy 4 4 2−=最值 21 xxx ≤≤ a b 2 − 21 xxx ≤≤ a b 2 − a bacy 4 4 2−=最值 21 xxx ≤≤ 2xx = cbxaxy ++= 2 2 2最大 1xx = cbxaxy ++= 1 2 1最小 1xx = cbxaxy ++= 1 2 1最大 2xx = cbxaxy ++= 2 2 2最小 )0,,(2 ≠++= acbacbxaxy 是常数， 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （ 2 ） 对 称 轴 是 x= ， 顶 点 坐 标 是 （ ， ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< 时，y 随 x 的增大 而减小；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增 大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （ 2 ） 对 称 轴 是 x= ， 顶 点 坐 标 是 （ ， ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< 时，y 随 x 的增 大而增大；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最大值， 2、二次函数 中， 的含义： 表示开口方向： >0 时,抛物线开口向上 <0 时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为 x= 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（0， ） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点。 补充： 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 A 2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点， 对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 左加右减、上加下减 0 x A 级　基础题 1．(上海)抛物线 y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是(　　) A．(2，－3) B．(－2,3) C．(2,3) D．(－2，－3) 2．(山东泰安)将抛物线 y＝3x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线 的解析式为(　　) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3 a b 2 − a b 2 − a bac 4 4 2− a b 2 − a b 2 − a b 2 − a bacy 4 4 2−=最小值 a b 2 − a b 2 − a bac 4 4 2− a b 2 − a b 2 − a b 2 − a bacy 4 4 2−=最大值 )0,,(2 ≠++= acbacbxaxy 是常数， cb、、a a a a b a b 2 − c c ac4b2 −=∆ ∆ ∆ ∆ ( ) ( )2 21 2 21 yyxx −+− 3．(重庆)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图 X3－4－1 所示， 则下列结论中，正确的是(　　) A．a＞0 B B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c＞0 图 X3－4－1 图 X3-4－2 4．(山东泰安)二次函数 y＝a(x＋m)2＋n 的图象如图 X3－4－2，则一次函数 y＝mx＋n 的图象 经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．(山东济南)如图 X3－4－3，二次函数的图象经过(－2，－1)，(1,1)两点，则下列关于此二 次函数的说法正确的是(　　) A．y 的最大值小于 0 B．当 x＝0 时，y 的值大于 1 C．当 x＝－1 时，y 的值大于 1 D．当 x＝－3 时，y 的值小于 0 图 X3－4－3 　　 图 X3－4－4 6．(山东日照)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 X3－4－4 所示，给出下列结论：①b2 －4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．(广西玉林)已知拋物线 y＝－1 3x2＋2，当 1≤x≤5 时，y 的最大值是(　　) A．2 B.2 3 C.5 3 D.7 3 8．(山东滨州)抛物线 y＝－3x2－x＋4 与坐标轴的交点个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 9．(江苏淮安)抛物线 y＝x2－2x－3 的顶点坐标是__________． 10．(山东枣庄)二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图 X3－4－5 所示．当 y＜0 时，自变量 x 的 取值范围是____________． 图 X3－4－5 11．(江苏盐城)已知二次函数 y＝－1 2x2－x＋3 2. (1)在如图 X3－4－6 的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当 y＜0 时，x 的取值范围； (3)若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． 图 X3－4－6 B 级　中等题 12．(山东枣庄)抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过点(2,4)，则代数式 8a＋4b＋1 的值为(　　) A．3 B．9 C．15 D．－15 13．(湖北襄阳)已知二次函数 y＝(k－3)x 2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 (　　) A．k<4 B．k≤4 C．k<4 且 k≠3 D．k≤4 且 k≠3 14．(甘肃兰州)如图 X3－4－7 所示的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象中，刘星同学观察得出 了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误的有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个 图 X3－4－7 　　 图 X3－4－8 15．(安徽芜湖)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 X3－4－8 所示，则反比例函数 y＝a x 与一 次函数 y＝bx＋c 在同一坐标系中的大致图象是(　　) A B　 C D 16．某商场购进一种单价为 40 元的篮球，如果以单价 50 元出售，那么每月可售出 500 个，根据销售经验，售价每提高 1 元，销售量相应减少 10 个． (1)假设销售单价提高 x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球 每月的销售量是__________个；(用含 x 的代数式表示) (2)8 000 元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求 出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元． C 级　拔尖题 17．(山东济南)如图 X3－4－10，抛物线 y＝ax2＋bx＋3 与 x 轴相交于点 A(－3,0)，B(－1,0)， 与 y 轴相交于点 C，⊙O1 为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D. (1)求抛物线的解析式； (2)求 cos∠CAB 的值和⊙O1 的半径； (3)如图 X3－4－11，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M 为弦 BD 中点，若点 N 在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标． 图 X3－4－10 　图 X3－4－11 18．(广东肇庆)已知二次函数 y＝mx2＋nx＋p 图象的顶点横坐标是 2，与 x 轴交于 A(x1,0)， B(x2,0)，x1<00 且二次函数图象与直线 y＝x＋3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 选做题 19．(浙江温州)如图 X3－4－12，经过原点的抛物线 y＝－x2＋2mx(m>0)与 x 轴的另一个 交点为 A.过点 P(1，m)作直线 PM⊥x 轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的 对称点为 C(B，C 不重合)．连结 CB，CP. (1)当 m＝3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长； (2)当 m>1 时，连结 CA，问 m 为何值时 CA⊥CP? (3)过点 P 作 PE⊥PC 且 PE＝PC，问是否存在 m，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求 出所有满足要求的 m 的值，并写出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由． 图 X3－4－12 20．(广东广州)如图 X3－4－13，抛物线 y＝－3 8x2－3 4x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. (1)求点 A，B 的坐标； (2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求 点 D 的坐标； (3)若直线 l 过点 E(4,0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A，B，M 为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线 l 的解析式． 图 X3－4－13 第二部分　空间与图形 第四章　三角形与四边形 第 1 讲　相交线和平行线 考点一、直线、射线和线段 （3 分） 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 注意： （1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。 （2）直线和射线无长度，线段有长度。 （3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。 （4）点和直线的位置关系有线面两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 7、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直 线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 考点二、角 （3 分） 1、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。 2、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 3、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 度记作 “1°”，n 度记作“n°”。 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1’”。 把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1””。 1°=60’=60” 4、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 5、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 考点三、相交线 （3 分） 1、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两 个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补 角。 临补角互补，对顶角相等。 直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截）， 构成八个角。其中∠1 与∠5 这两个角分别在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的 同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3 与∠5 这两个角都在 AB， CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3 与∠ 6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁 内角。 2、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 直线 AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于 CD”（或“CD 垂直于 AB”）。 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 考点四、平行线 （3~8 分） 1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB 平行 于 CD”。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 2、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等， 两直线平行。 平行线的两条判定定理： （1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平 行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 4、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 考点五、命题、定理、证明 （3~8 分） 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 考点六、投影与视图 （3 分） 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视 图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 A 级　基础题 1．(广西桂林)如图 X4－1－1，与∠1 是内错角的是(　　) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 图 X4－1－1 图 X4－1－2 2．(福建福州)如图 X4－1－2，直线 a∥b，∠1＝70°，那么∠2 的度数是(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° 3．(吉林长春)如图 X4－1－3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.D 为边 CA 延长线上的一点，DE∥ AB，∠ADE＝42°，则∠B 的大小为(　　) A．42° B．45° C．48° D．58° 图 X4－1－3 图 X4－1－4 4．如图 X4－1－4，已知直线 a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.则∠3＝(　　) A．100° B．60° C．40° D．20° 5．(浙江丽水)如图 X4－1－5，小明在操场上从点 A 出发，先沿南偏东 30°方向走到点 B，再 沿南偏东 60°方向走到点 C.这时，∠ABC 的度数是(　　) A．120° B．135° C．150° D．160° 图 X4－1－5 　 图 X4－1－6 6．(四川内江)如图 X4－1－6，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝(　　) A．100° B．105° C．110° D．115° 7．下列命题中，属于真命题的是(　　) A．相等的角是直角 B．不相交的两条线段平行 C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线 8．(四川宜宾)如图 X4－1－7，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝________. 图 X4－1－7 图 X4－1－8 9．(浙江湖州)如图 X4－1－8，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝______度． 10．(四川绵阳)如图 X4－1－9，AB∥CD，AD 与 BC 交于点 E，EF 是∠BED 的平分线， 若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________度． 图 X4－1－9 图 X4－1－10 11．(湖南长沙)如图 X4－1－10，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________ 度． 12．(山东淄博)如图 X4－1－11，直线 AB，CD 分别与直线 AC 相交于点 A，C，与直线 BD 相交于点 B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4 的度数． 图 X4－1－11 B 级　中等题 13．(2012 年湖北襄阳)如图 X4－1－12，直线 l∥m，将含有 45°角的三角板 ABC 的直角 顶点 C 放在直线 m 上，若∠1＝25°，则∠2 的度数为(　　) 图 X4－1－12 A．20° B．25° C．30° D．35° 1 4．(四川广元)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个 拐弯的角度为(　　) A．先向左转 130°，再向左转 50° B．先向左转 50°，再向右转 50° C．先向左转 50°，再向右转 40° D．先向左转 50°，再向左转 40° 15．观察下列各图(如图 X4－1－13)，寻找对顶角(不含平角)： ① 　 ② 　 ③ 图 X4－1－13 (1)如图①，图中共有________ 对对顶角； (2)如图②，图中共有________ 对对顶角； (3)如图③，图中共有________ 对对顶角； (4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一点， 则可形成________对对顶角； (5)若有 2 008 条直线相交于一点，则可形成______对对顶角． C 级　拔尖题 16．如图 X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线 OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC. (1)求∠MON 的度数； (2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON 的度数； (3)如果(1)中，∠BOC＝β(β 为锐角)，其他条件不变，求∠MON 的度数； (4)从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？ 图 X4－1－14 选做题 17．如图 X4－1－15①，已知直线 m∥n，点 A，B 在直线 n 上，点 C，P 在直线 m 上． (1)写出图 X4－1 中面积相等的各对三角形：________________________________； (2)如图①，A，B，C 为三个顶点，点 P 在直线 m 上移动到任一位置时，总有____________ 与△ABC 的面积相等； (3)如图②，一个五边形 ABCDE，你能否过点 E 作一条直线交 BC(或其延长线)于点 M， 使四边形 ABME 的面积等于五边形 ABCDE 的面积． 　　　 图 X4－1－15 第 2 讲　三角形 考点一、三角形 （3~8 分） 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很 广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“ ”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ ABC”，读作“三角形 ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： ∆ ∆ 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积 三角形的面积= ×底×高 考点二、全等三角形 （3~8 分） 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重 合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中 有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： 2 1 （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 （8~10 分） 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则