2018中考数学分类汇编考点33命题与证明 18页

2018 中考数学试题分类汇编：考点 33 命题与证明 一．选择题（共 19 小题） 1．（2018•包头）已知下列命题： ①若 a3＞b3，则 a2＞b2； ②若点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在二次函数 y=x2﹣2x﹣1 的图象上，且满足 x1 ＜x2＜1，则 y1＞y2＞﹣2； ③在同一平面内，a，b，c 是直线，且 a∥b，b⊥c，则 a∥c； ④周长相等的所有等腰直角三角形全等． 其中真命题的个数是（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】依据 a，b 的符号以及绝对值，即可得到 a2＞b2 不一定成立；依据二次 函数 y=x2﹣2x﹣1 图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得 y1＞y2＞﹣2；依据 a∥b，b⊥c，即可得到 a∥c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相 等，即可得到它们全等． 【解答】解：①若 a3＞b3，则 a2＞b2 不一定成立，故错误； ②若点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在二次函数 y=x2﹣2x﹣1 的图象上，且满足 x1 ＜x2＜1，则 y1＞y2＞﹣2，故正确； ③在同一平面内，a，b，c 是直线，且 a∥b，b⊥c，则 a⊥c，故错误； ④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确． 故选：C． 　 2．（2018•嘉兴）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的 位置关系只能是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内 【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛 盾；（3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那 么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题． 【解答】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关 系只能是：点在圆上或圆内． 故选：D． 　 3．（2018•通辽）下列说法错误的是（　　） A．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等 B．“对顶角相等”的逆命题是真命题 C．圆内接正六边形的边长等于半径 D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、圆内接多边形的性质、随机事 件的概念判断即可． 【解答】解：通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，A 正确，不符合题意； “对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，B 错误，符合题意； 圆内接正六边形的边长等于半径，C 正确，不符合题意； “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D 正确，不符合题意； 故选：B． 　 4．（2018•岳阳）下列命题是真命题的是（　　） A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540° D．圆内接四边形的对角相等 【分析】根据平行四边形的性质、三角形的重心的概念、多边形内角和的计算公 式、圆内接四边形的性质判断即可． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题； 三角形的重心是三条边的中线的交点，B 是假命题； 五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C 是真命题； 圆内接四边形的对角互补，D 是假命题； 故选：C． 　 5．（2018•台州）下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，B 错误； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 正确； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 故选：C． 　 6．（2018•台湾）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比 为 9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，已知 小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙 述何者正确？（　　） A．只使用苹果 B．只使用芭乐 C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多 【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的 颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量， 即可得出结论． 【解答】解：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6， ∴设苹果为 9x 颗，芭乐 7x 颗，铆钉 6x 颗（x 是正整数）， ∵小柔榨果汁时没有使用柳丁， ∴设小柔榨完果汁后，苹果 a 颗，芭乐 b 颗， ∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4， ∴ ， ， ∴a=9x，b= x， ∴苹果的用量为 9x﹣a=9x﹣9x=0， 芭乐的用量为 7x﹣b=7x﹣ x= x＞0， ∴她榨果汁时，只用了芭乐， 故选：B． 　 7．（2018•嘉兴）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两 队赛一场），胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后， 甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连 续奇数，则与乙打平的球队是（　　） A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁 【分析】直接利用已知得出甲得分为 7 分，2 胜 1 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平， 丙得分 3 分，1 胜 0 平，丁得分 1 分，0 胜 1 平，进而得出答案． 【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得 分恰好是四个连续奇数， ∴甲得分为 7 分，2 胜 1 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平，丙得分 3 分，1 胜 0 平， 丁得分 1 分，0 胜 1 平， ∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平， ∵丙得分 3 分，1 胜 0 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平， ∴与乙打平的球队是甲与丁． 故选：B． 　 8．（2018•荆门）下列命题错误的是（　　） A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形 B．矩形一定有外接圆 C．对角线相等的菱形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】A、任意多边形的外角和为 360°，然后利用多边形的内角和公式计算即 可； B、判断一个四边形是否有外接圆，要看此四边形的对角是否互补，矩形的对角 互补，一定有外接圆； C、根据正方形的判定方法进行判断； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解答】解：A、一个多边形的外角和为 360°，若外角和=内角和=360°，所以这 个多边形是四边形，故此选项正确； B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆， 则矩形一定有外接圆，故此选项正确； C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相 等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误； 本题选择错误的命题， 故选：D． 　 9．（2018•滨州）下列命题，其中是真命题的为（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排 除法得出答案． 【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误； B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误； C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确． 故选：D． 　 10．（2018•荆门）如图，等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点， P 为 AC 边上的动点，OQ⊥OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运 动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】连接OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，利用等 腰直角三角形的性质得 AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠ OCB=45°，再证明 Rt△AOP≌△COQ 得到 AP=CQ，接着利用△APE 和△BFQ 都为 等腰直角三角形得到 PE= AP= CQ，QF= BQ，所以 PE+QF= BC=1，然后 证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH= ，即可判定点 M 到 AB 的距离为 ， 从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到 点 M 所经过的路线长． 【解答】解：连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图， ∵△ACB 为到等腰直角三角形， ∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°， ∵O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在 Rt△AOP 和△COQ 中 ， ∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形， ∴PE= AP= CQ，QF= BQ， ∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= × =1， ∵M 点为 PQ 的中点， ∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线， ∴MH= （PE+QF）= ， 即点 M 到 AB 的距离为 ， 而 CO=1， ∴点 M 的运动路线为△ABC 的中位线， ∴当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= AB=1． 故选：C． 　 11．（2018•广安）下列命题中： ①如果 a＞b，那么 a2＞b2 ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 ④关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a≤1 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定合一元二次方程根的判别 式分别判断得出答案． 【解答】解：①如果 a＞b，那么 a2＞b2，错误； ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误； ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确； ④关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a≤1 且 a≠0， 故此选项错误． 故选：A． 　 12．（2018•重庆）下列命题正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线平分且相等；菱形的 对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分进行分析即可． 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题； B、矩形的对角线互相垂直平分，是假命题； C、菱形的对角线互相平分且相等，是假命题； D、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题； 故选：D． 　 13．（2018•永州）下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为 360° D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据菱形的判定方法对 B 进行判 断；根据多边形的内角和对 C 进行判断；根据三角形中位线性质对 D 进行判 断． 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项为假命题； C、任意多边形的外角和为 360°，所以 C 选项为假命题； D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命 题． 故选：D． 　 14．（2018•淄博）甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要 比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是 （　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】四个人共有6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两 种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场；由此进行分析即可． 【解答】解：四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同， 所以只有两种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场； 若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾， 所以甲只能是胜两场， 即：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，也就是胜 0 场． 答：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，丁胜 0 场． 故选：D． 　 15．（2018•贵港）下列命题中真命题是（　　） A． =（ ）2 一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形 【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概 念逐一判断即可得． 【解答】解：A、 =（ ）2 当 a＜0 不成立，假命题； B、位似图形在位似比为 1 时全等，假命题； C、正多边形都是轴对称图形，真命题； D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题； 故选：C． 　 16．（2018•怀化）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．相似三角形的面积比等于相似比 C．菱形的对角线相等 D．相等的两个角是对顶角 【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判 断即可． 【解答】解：两直线平行，同位角相等，A 是真命题； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，B 是假命题； 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C 是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，D 是假命题； 故选：A． 　 17．（2018•重庆）下列命题是真命题的是（　　） A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是 0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是 1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是 0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是 0 【分析】根据相反数是它本身的数为 0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于 它本身的数为 1 和 0；算术平方根等于本身的数为 1 和 0 进行分析即可． 【解答】解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是 0， 是真命题； B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是 1，是假命题； C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是 0，是假命题； D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是 0，是假命题； 故选：A． 　 18．（2018•衡阳）下列命题是假命题的是（　　） A．正五边形的内角和为 540° B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补 【分析】根据正多边形的内角和的计算公式、矩形的性质、菱形的判定、圆内接 四边形的性质判断即可． 【解答】解：正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A 是真命题； 矩形的对角线相等，B 是真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 是假命题； 圆内接四边形的对角互补，D 是真命题； 故选：C． 　 19．（2018•眉山）下列命题为真命题的是（　　） A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 B．相似三角形面积之比等于相似比 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形 【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、菱形的判定定理、 中点四边形的性质判断即可． 【解答】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A 是真命题； 相似三角形面积之比等于相似比的平方，B 是假命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 是假命题； 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D 是假命题； 故选：A． 　 二．填空题（共 5 小题） 20．（2018•无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　菱形的四条边 相等　． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等， 故答案为：菱形的四条边相等． 　 21．（2018•达州）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点 D 是 BC 边上 一点且 CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作 等腰 Rt△AOP．当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为　 2 　． 【分析】过O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到 OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌ △OPF，所以 AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分∠ ACP，从而可判断当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线 段，接着证明 CE= （AC+CP），然后分别计算 P 点在 D 点和 B 点时 OC 的长， 从而计算它们的差即可得到 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径 长． 【解答】解：过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图， ∵△AOP 为等腰直角三角形， ∴OA=OP，∠AOP=90°， 易得四边形 OECF 为矩形， ∴∠EOF=90°，CE=CF， ∴∠AOE=∠POF， ∴△OAE≌△OPF， ∴AE=PF，OE=OF， ∴CO 平分∠ACP， ∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段， ∵AE=PF， 即 AC﹣CE=CF﹣CP， 而 CE=CF， ∴CE= （AC+CP）， ∴OC= CE= （AC+CP）， 当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= ×（2+1）= ， 当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= ×（2+5）= ， ∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长= ﹣ =2 ． 故答案为 2 ． 　 22．（2018•宿迁）如图，将含有 30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系， 顶点 A、B 分别落在 x、y 轴的正半轴上，∠OAB=60°，点 A 的坐标为（1， 0）．将三角板 ABC 沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60°， 再绕点 C 按顺时针方向旋转 90°…），当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动 的路径与两坐标轴围成的图形面积是　 　． 【分析】利用三角函数能把三角形ABC 各边长度解出，画出几个旋转过程，点 B 运动的轨迹，结合图形分析可得所求面积转化为扇形面积与三角形面积之和． 【解答】解：由点 A 的坐标为（1，0）．得 OA=1，又∵∠OAB=60°，∴AB=2， ∵∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，BC= ， 在旋转过程中，三角板的长度和角度不变， ∴ 点 B 运 动 的 路 径 与 两 坐 标 轴 围 成 的 图 形 面 积 = ． 故答案： 　 23．（2018•北京）用一组 a，b，c 的值说明命题“若 a＜b，则 ac＜bc”是错误的， 这组值可以是 a=　1　，b=　2　，c=　﹣1　． 【分析】根据题意选择 a、b、c 的值即可． 【解答】解：当 a=1，b=2，c=﹣2 时，1＜2，而 1×（﹣1）＞2×（﹣1）， ∴命题“若 a＜b，则 ac＜bc”是错误的， 故答案为：1；2；﹣1． 　 24．（2018•恩施州）在 Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成 的封闭图形的面积为　 π+ 　．（结果不取近似值） 【分析】先得到∠ACB=30°，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分： 第一部分为以直角三角形 30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧 长；第二部分为以直角三角形 60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120° 的弧长，第三部分为△ABC 的面积；然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的 路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=30°，BC= ， 将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，点 B 路径分部分：第一部分为以 直角三角形 30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分 为以直角三角形 60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长；第三 部分为△ABC 的面积； ∴点 B 所经 过的 路径 与直线 l 所围 成的 封闭图 形的 面积= + + •1• = + ． 故答案为 π+ ． 　 三．解答题（共 2 小题） 25．（2018•无锡）如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针 方向旋转 θ（0°＜θ＜90°）得到矩形 A1BC1D1，点 A1 在边 CD 上． （1）若 m=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D1 所经过路径的长度； （2）将矩形 A1BC1D1 继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2，点 D2 在 BC 的延长线上，设边 A2B 与 CD 交于点 E，若 = ﹣1，求 的值． 【分析】（1）作 A1H⊥AB 于 H，连接 BD，BD1，则四边形 ADA1H 是矩形．解直 角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题； （2）由△BCE∽△BA2D2，推出 = = ，可得 CE= 由 = ﹣1 推出 = ，推出 A1C= • ，推出 BH=A1C= = • ，可得 m2﹣n2=6• ， 可得 1﹣ =6• ，由此解方程即可解决问题； 【解答】解：（1）作 A1H⊥AB 于 H，连接 BD，BD1，则四边形 ADA1H 是矩 形． ∴AD=HA1=n=1， 在 Rt△A1HB 中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为 30°， ∵BD= = ， ∴D 到点 D1 所经过路径的长度= = π． （2）∵△BCE∽△BA2D2， ∴ = = ， ∴CE= ∵ = ﹣1 ∴ = ， ∴AC= • ， ∴BH=AC= = • ， ∴m2﹣n2=6• ， ∴m4﹣m2n2=6n4， 1﹣ =6• ， ∴ = （负根已经舍弃）． 　 26．（2018•江西）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组 成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图 2 是其俯视 简化示意图，已知轨道 AB=120cm，两扇活页门的宽 OC=OB=60m，点 B 固定， 当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变．（所有的结果保留小数点后 一位） （1）若∠OBC=50°，求 AC 的长； （2）当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长． 参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π 取 3.14． 【分析】（1）作 OH⊥BC 于 H，如图 2，利用等腰三角形的性质得 BH=CH，在 Rt △OBH 中利用余弦定义计算出 BH，从而得到 BC 的长，然后计算 AB﹣BC 即可； （2）先判断△OBC 为等边三角形得到∠OBC=60°，再根据圆的定义得到点 O 在 此过程中运动路径是以 B 点为圆心，BO 为半径，圆心角为 60°的弧，然后根据弧 长公式计算即可． 【解答】解：（1）作 OH⊥BC 于 H，如图 2， ∵OB=OC， ∴BH=CH， 在 Rt△OBH 中，∵cos∠OBH= ， ∴BH=60•cos50°=60×0.64=38.4， ∴BC=2BH=2×38.4=76.8， ∴AC=AB﹣BC=120﹣76.8=43.2． 答：AC 的长为 43.2cm； （2）∵OB=OC=60， 而 BC=60， ∴△OBC 为等边三角形， ∴∠OBC=60°， ∴当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，点 O 在此过程中运动路径是以 B 点为圆心， BO 为半径，圆心角为 60°的弧， ∴点 O 在此过程中运动的路径长= =20π≈62.8（cm）．