天津市南开区中考圆证明题专项复习试卷含答案 13页

‎2018年 九年级数学中考复习 圆 证明题 专项复习卷 ‎1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．‎ ‎2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．‎ ‎(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；    ‎ ‎(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．    ‎ ‎3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．‎ ‎（1）求证：BP平分∠ABC；    ‎ ‎（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．    ‎ ‎4、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线．‎ ‎（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．‎ ‎5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．‎ 求证：MN是⊙O的切线．‎ ‎6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠BDC=∠A；‎ ‎（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．‎ ‎7、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．‎ ‎（1）求证：DC=BD ‎（2）求证：DE为⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：DC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．‎ ‎9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．‎ ‎（1）求证：NQ⊥PQ；‎ ‎（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．‎ ‎10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．   ‎ ‎ (1)求证：DC=BD ‎ ‎ (2)求证：DE为⊙O的切线 ‎11、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．‎ ‎12、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．‎ ‎⑴求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎⑵已知AD=3，CD=2，求BC的长．‎ ‎13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．‎ ‎14、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．‎ ‎15、如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．‎ 参考答案 ‎1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，‎ ‎∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，‎ 而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．‎ ‎2、（1）解：PC与圆O相切，理由为：  过C点作直径CE，连接EB，如图， ∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切； （2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD， ∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9， 在Rt△AMC中，AM= =6， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r， 在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2， 即32+（6﹣r）2=r2， 解得r=， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴ = ，即 = ，∴PC= ‎ ‎3、（1）证明：连接OP， ∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC， ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠‎ ABC （2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1， 在Rt△APH中，AH= =2 ，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC， ∴ = ，∴ = ，∴AB=3 ，∴BH=AB﹣AH= ， 在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH= ．       4、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，‎ ‎∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，‎ ‎∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，‎ ‎∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，‎ 在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．‎ ‎5、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，‎ ‎∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．‎ ‎6、（1）证明：连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，‎ ‎∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；‎ ‎（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，‎ ‎∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2‎ ‎∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6‎ 在在Rt△ADB中  可得BD=3∴根据勾股定理可得 ‎7、证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；‎ ‎（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，‎ 又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．‎ ‎8、（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．‎ ‎∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．‎ ‎∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．‎ ‎9、（1）证明：连结OP，如图，∴直线PQ与⊙O相切，∴OP⊥PQ，‎ ‎∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ；‎ ‎（2）解：连结PM，如图，∵MN是⊙O的直径，∴∠MPN=90°，‎ ‎∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，‎ ‎∴=，即=，∴NQ=3．‎ ‎10、（1）证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．‎ 又∵AB=AC∴DC=BD ‎（2）连接半径OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．‎ 又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．‎ ‎11、（1）证明：连接CE，如图所示：‎ ‎∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．‎ ‎∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．‎ ‎∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，‎ ‎∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．‎ ‎∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，‎ ‎∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．‎ ‎∴AD==．‎ ‎　‎ ‎12、1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则=，即可得出BC=； ‎ ‎13、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°； ‎ ‎（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．‎ ‎14、（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；‎ ‎ （2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，‎ ‎∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，‎ ‎∴•2=4CD，∴CD=．‎ ‎15、（1）证明：连结OD、OC，如图，∵D是弧BE的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠3=90°，‎ ‎∵∠3=∠2，∴∠D+∠2=90°，∵AF=AC，OD=OC，∴∠1=∠2，∠D=∠4，‎ ‎∴∠1+∠4=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=OE﹣EF=r﹣5，‎ 在Rt△ODF中，∵OD2+OF2=DF2，∴r2+（r﹣5）2=（）2，‎ 整理得r2﹣5r﹣6=0，解得r1=6，r2=﹣1，∴，⊙O的半径为6．‎