中考数学复习专题8一元二次方程含中考真题解析 35页

专题08 一元二次方程 ‎☞年中考 ‎【2015年题组】‎ ‎1．（2015来宾）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：以，为根的一元二次方程，故选A． ‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎3．（2015贵港）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△==且，∴且，∴整数a的最大值为0．故选B．‎ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．‎ ‎4．（2015钦州）用配方法解方程，配方后可得（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方程，整理得：，配方得：，即，故选A．‎ 考点：解一元二次方程-配方法．‎ ‎5．（2015成都）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．且 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵是一元二次方程，∴，∵有两个不想等的实数根，则，则有，∴，∴且，故选D．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎6．（2015攀枝花）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A． B．且 C． D．‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．‎ ‎7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（　　）‎ A．5 B．‎7 C．5或7 D．10‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解方程，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，；‎ ‎∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；‎ ‎∴等腰三角形的底为1，腰为3；‎ ‎∴三角形的周长为1+3+3=7．‎ 故选B．‎ 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．‎ ‎8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．‎ ‎9．（2015达州）方程有两个实数根，则m的取值范围（　　）‎ A． B．且 C． D．且 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意得：，解得且．故选B．‎ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．‎ ‎10．（2015泸州）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，‎ A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；‎ B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；‎ C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；‎ D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；‎ 故选B．‎ 考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．‎ ‎11．（2015南充）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C．‎ 考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．‎ ‎12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了‎2m，另一边减少了‎3m，剩余一块面积为‎20m2‎的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）‎ A．‎7m B．‎8m C．‎9m D．‎‎10m ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长‎7m．故选A．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．‎ ‎13．（2015怀化）设，是方程的两个根，则的值是（　　）‎ A．19 B．‎25 C．31 D．30‎ ‎【答案】C．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎14．（2015安顺）若一元二次方程无实数根，则一次函数 的图象不经过第（　　）象限．‎ A．四 B．三 C．二 D．一 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵一元二次方程无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+‎4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数的图象不经过第一象限，故选D．‎ 考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．‎ ‎15．（2015山西省）我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（　　）‎ A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．‎ 考点：解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎16．（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则m+n的值是（　　）‎ A．﹣10 B．‎10 C．﹣6 D．2‎ ‎【答案】A．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎17．（2015淄博）若a满足不等式组，则关于x的方程 的根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解不等式组，得a＜﹣3，∵△==‎2a+2，∵a＜﹣3，∴△=‎2a+2＜0，∴方程没有实数根，故选C．‎ 考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．‎ ‎18．（2015烟台）如果，那么x的值为（　　）‎ A．2或﹣1 B．0或‎1 C．2 D．﹣1‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：，，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C．‎ 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．‎ ‎19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为（　　）‎ A．9 B．‎10 C．9或10 D．8或10‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．‎ ‎20．（2015大庆）方程的根是 ．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方程变形得：，分解因式得：，可得或，解得：，．故答案为：，．‎ 考点：解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎21．（2015甘孜州）若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为 ．‎ ‎【答案】5．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方程，即，解得：，，则矩形ABCD的对角线长是：=5．故答案为：5．‎ 考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．‎ ‎22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 ．‎ ‎【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．‎ 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．‎ ‎23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数和关于x的一元二次方程中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，‎ 将m=0代入中得，，△=﹣4＜0，无实数根；‎ 将代入中得，，，有实数根，但不是一元二次方程；‎ 将代入中得，，△=4+4=8＞0，有实数根．‎ 故m=．故答案为：．‎ 考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．‎ ‎24．（2015凉山州）已知实数m，n满足，，且，则= ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵时，则m，n是方程的两个不相等的根，∴，．‎ ‎∴原式===，故答案为：．‎ 考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．‎ ‎25．（2015泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为 ．‎ ‎【答案】27．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎26．（2015绵阳）关于m的一元二次方程的一个根为2，则= ．‎ ‎【答案】26．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：把m=2代入得，整理得：，所以，所以原式===26．故答案为：26．‎ 考点：一元二次方程的解．‎ ‎27．（2015内江）已知关于x的方程的两根分别是，，且满足，则k的值是 ．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵关于x的方程的两根分别是，，∴，，，解得：k=2，故答案为：2．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎28．（2015咸宁）将配方成的形式，则m= ．‎ ‎【答案】3．‎ 考点：配方法的应用．‎ ‎29．（2015荆州）若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．‎ ‎【答案】0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵m，n是方程的两个实数根，∴，，则原式==1﹣1=0，故答案为：0．‎ 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．‎ ‎30．（2015曲靖）一元二次方程有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．‎ ‎【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=‎ ‎，解得，∵，，c是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．‎ 考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．‎ ‎31．（2015呼和浩特）若实数a、b满足，则=__________．‎ ‎【答案】或1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设=x，则由原方程，得：，整理，得：，解得，．则的值是或1．故答案为：或1．‎ 考点：换元法解一元二次方程．‎ ‎32．（2015吉林省）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．‎ ‎【答案】答案不唯一，只要即可，如：0．‎ 考点：1．根的判别式；2．开放型．‎ ‎33．（2015毕节）关于x的方程与有一个解相同，则a= ．‎ ‎【答案】1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由关于x的方程，得：（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程无意义；当x=3时，，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．‎ 考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．‎ ‎34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液‎40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液‎10L，则每次倒出的液体是 L．‎ ‎【答案】20．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设每次倒出液体xL，由题意得：，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．‎ 考点：一元二次方程的应用．‎ ‎35．（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式= ．‎ ‎【答案】2026．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎36．（2015成都）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．‎ ‎①方程是倍根方程；‎ ‎②若是倍根方程，则；‎ ‎③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；‎ ‎④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．‎ ‎【答案】②③．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 ‎，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：‎ 对于①， ，因此本选项错误；‎ 对于②，，而，∴，因此本选项正确；‎ 对于③，显然，而，因此本选项正确；‎ 对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．‎ 故答案为：②③．‎ 考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．‎ ‎37．（2015黄石）解方程组：．‎ ‎【答案】，．‎ 考点：高次方程．‎ ‎38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用‎58m长的篱笆围成一个面积为‎200m2‎的矩形场地，求矩形的长和宽．‎ ‎【答案】当矩形长为‎25米时宽为‎8米，当矩形长为‎50米时宽为‎4米．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．‎ 试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：，，∴另一边为‎8米或‎50米．‎ 答：当矩形长为‎25米时宽为‎8米，当矩形长为‎50米时宽为‎4米．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．‎ ‎ ‎ ‎39．（2015巴中）如图，某农场有一块长‎40m，宽‎32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为‎1140m2‎，求小路的宽．‎ ‎【答案】‎2m．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．‎ ‎ ‎ ‎40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长‎40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．‎ ‎（1）要使这两个正方形的面积之和等于58，李明应该怎么剪这根铁丝？‎ ‎（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48．你认为他的说法正确吗？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）‎12cm和‎28cm；（2）正确．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．‎ ‎41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．‎ ‎（1）求每年市政府投资的增长率；‎ ‎（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？‎ ‎【答案】（1）50%；（2）18．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；‎ ‎（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．‎ 试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：，解得，（不符合题意舍去）‎ 答：政府投资平均增长率为50%；‎ ‎（2）（万平方米） ‎ 答：2015年建设了18万平方米廉租房．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．‎ ‎42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=‎120mm，高AD=‎80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△ABC；‎ ‎（2）求这个正方形零件的边长；‎ ‎（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．‎ ‎43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．‎ ‎（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？‎ ‎【答案】（1）100+200x；（2）1．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．‎ ‎44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．‎ 计算：．‎ 令，则 原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 问题：（1）计算 ‎；‎ ‎（2）解方程．‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ 考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5‎ ‎．综合题．‎ ‎ ‎ ‎45．（2015十堰）已知关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；‎ ‎（2）由根与系数的关系得到，，由和，得到，即，代入即可得到结果．‎ 试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△≥0，即，∴；‎ ‎（2）根据题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．‎ 考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．‎ ‎46．（2015潜江）已知关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．‎ 考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．‎ ‎47．（2015鄂州）关于x的一元二次方程有两个不等实根，．‎ ‎（1）求实数k的取值范围．‎ ‎（2）若方程两实根，满足，求k的值．‎ ‎【答案】（1）k＞；（2）k=2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=，求出k的取值范围；‎ ‎（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可．‎ 试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△===，解得：k＞；‎ ‎（2）∵k＞，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵k＞，∴k=2．‎ 考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．‎ ‎【2014年题组】‎ ‎1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2﹣‎4ac满足的条件是（ ）‎ A. b2﹣‎4ac=0 B. b2﹣‎4ac＞‎0 C. b2﹣‎4ac＜0 D. b2﹣‎4ac≥0‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣‎4ac＞0．故选B．‎ 考点：一元二次方程根的判别式．‎ ‎2. （2014年广西贵港中考）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ）‎ A．﹣10 B．‎10 C．﹣6 D．﹣1‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．‎ ‎3. （2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）‎ A. x1=2，x2=1 B. x1=﹣2，x2=‎1 C. x1=2，x2=﹣1 D. x1=﹣2，x2=﹣1‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C．‎ 考点：因式分解法解一元二次方程．‎ ‎4. （2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c，两边同除以a，得，两边同加上一次项一半的平方，得，∴．故选A．‎ 考点：配方法解一元二次方程．‎ ‎5. （2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．‎ ‎【答案】1．‎ 考点：一元二次方程和解的定义．‎ ‎6. （2014年广西桂林中考）已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是 ．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴或．‎ ‎∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，∴若，则；‎ 若，则方程有两相等的实数根，∴．‎ ‎∴或．‎ 考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．‎ ‎7. （2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为 ．‎ ‎【答案】x1=0 或x2=2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0 或x2=2．‎ 考点：因式分解法解一元二次方程．‎ ‎8. （2014年江西省中考）若是方程的两个实数根，则 ．‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵是方程的两根，∴．∴‎ ‎．‎ 考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．‎ ‎9. （2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．‎ ‎【答案】．‎ 考点：公式法解一元二次方程．‎ ‎10. （2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？‎ ‎【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．‎ 解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x﹣52）=200个，不符合题意舍去．‎ 答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．‎ 考点：一元二次方程的应用（销售问题）．‎ ‎☞考点归纳 归纳 1：一元二次的有关概念 基础知识归纳： ‎ ‎1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．‎ ‎2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．‎ ‎3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．‎ 基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．‎ 注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．‎ ‎【例1】若x=﹣2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）‎ A. 1或4 B. ﹣1或﹣‎4 C. ﹣1或4 D. 1或﹣4‎ ‎【答案】B．‎ 考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．‎ 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳：‎ 一元二次方程的解法 ‎1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根．‎ ‎2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．‎ ‎3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．‎ 一元二次方程的求根公式：‎ ‎4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．‎ 基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;‎ ‎（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;‎ ‎（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;‎ ‎（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．‎ 注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．‎ ‎【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．‎ ‎【答案】（其中b2﹣‎4ac≥0）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．‎ 考点：解一元二次方程-配方法．‎ 归纳 3：一元二次方程的根的判别式 基础知识归纳：‎ 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：‎ ‎（1）b2－‎4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）b2－‎4ac＝0⇔方程有两个的实数根；‎ ‎（3）b2－‎4ac＜0⇔方程没有实数根．‎ 基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．‎ 注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．‎ ‎【例3】下列方程没有实数根的是（ ）‎ A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0‎ C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；‎ B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；‎ C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；‎ D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．‎ 故选C．‎ 考点：根的判别式．‎ 归纳 4：根与系数的关系 基础知识归纳：‎ 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．‎ 基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．‎ 注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．‎ ‎【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（ ）‎ A. -8 B. ‎32 C. 16 D. 40‎ ‎【答案】C．‎ 考点：根与系数的关系．‎ 归纳 5：一元二次方程的应用 ‎ 基础知识归纳：‎ ‎1、一元二次方程的应用 ‎1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．‎ ‎2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：‎ ‎（1）增长率等量关系:‎ A.增长率＝ ×100%；‎ B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．‎ ‎（2）利润等量关系:‎ A.利润＝售价-成本；‎ B.利润率＝利润成本×100%．‎ ‎（3）面积问题 ‎3、解应用题的书写格式： ‎ ‎　　设→根据题意→解这个方程→答．‎ 基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．‎ 注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．‎ ‎【例5】如图，某小区规划在一个长‎30m、宽‎20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为‎78m2‎，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为m，由题意列得方程 ‎ ‎【答案】．‎ 考点:由实际问题抽象出一元二次方程（几何问题）．‎ ‎☞1年模拟 ‎1．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当a﹣6=0，即a=6时，方程是﹣8x+6=0，解得x==；当a﹣6≠0，即a≠6时，△=（﹣8）2﹣4（a﹣6）×6=208﹣‎24a≥0，解上式，得a≤≈8.6，取最大整数，即a=8．故选C．‎ 考点：1．根的判别式；2．最值问题．‎ ‎2．（2015届安徽省安庆市中考二模）用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（ ）‎ A．（x+3）2=8 B．（x﹣3）2=‎1 C．（x﹣3）2=10 D．（x+3）2=4‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：x2+6x=﹣1，x2+6x+9=﹣1+9，（x+3）2=8．故选A．‎ 考点：解一元二次方程-配方法．‎ ‎3．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如果a，b是一元二次方程x2-2x-4=0的两个根，那么a3b‎-2a2b的值为（ ）‎ A．-8 B．‎8 C．-16 D．16‎ ‎【答案】C．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎4．（2015届山东省日照市中考一模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）‎ A．20% B．40% C．-220% D．30%‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%．故选A．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．‎ ‎5．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）‎ A．k＞2 B．k＜2且k≠‎1 C．k＜2 D．k＞2且k≠1‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵a=1-k，b=-2，c=-1，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2‎-4ac=22-4×（1-k）×（-1）＞0，解得：k＜2，∵1-k是二次项系数，不能为0，∴k＜2且k≠1 故选B．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎6．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）‎ A．k＞2 B．k＜2且k≠‎1 C．k＜2 D．k＞2且k≠1‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵a=1-k，b=-2，c=-1，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2‎-4ac=22-4×（1-k）×（-1）＞0，解得：k＜2，∵1-k是二次项系数，不能为0，∴k＜2且k≠1 故选B．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎7．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（ ）‎ A．2016（1﹣x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160‎ C．1500（1﹣x）2=2160 D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160‎ ‎【答案】B．‎ 考点：一元二次方程的应用．‎ ‎8．（2015届广东省广州市中考模拟）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（ ）‎ A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵5k+20＜0，即k＜-4，∴△=16+ 4k＜0，则方程没有实数根．故选A．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎9．（2015届河北省中考模拟二）若一元二次方程9x2-12x-39996=0的两根为a，b，且a＜b，则a+3b的值为（ ）‎ A．136 B．‎268 C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵9x2-12x-39996=0，∴9（x-）2=40000，∴x1=，x2=-66，∵一元二次方程9x2-12x-39996=0的两根为a，b，且a＜b，∴a=-66，b=，a+3b=-66+202=136．故选A．‎ 考点：解一元二次方程-配方法．‎ ‎10．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的进分率为x，根据题意列方程正确的是（ ）．‎ A．180（1+x）2=100 B．180（1﹣x2）=100‎ C．180（1﹣2x）=100 D．180（1﹣x）2=100‎ ‎【答案】D．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎11．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+=0，则第三边长为 ．‎ ‎【答案】、或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵|x2-4|≥0，，∴x2-4=0，y2-5y+6=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：；‎ ‎②当2，3均为直角边时，斜边为；‎ ‎③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是．‎ 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．‎ ‎12．（2015届山东省日照市中考一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+‎2m+2015= ．‎ ‎【答案】2026．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+‎2m+2015=2（n+3）-mn+‎2m+2015=2n+6-mn+‎2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎13．（2015届山东省日照市中考模拟）为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为 ．‎ ‎【答案】20（1+x）2=25．‎ 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．‎ ‎14．（2015届山东省聊城市中考模拟）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如 4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1 ﹡x2= ．‎ ‎【答案】3或－3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2，当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32-3×2=3；‎ ‎②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2-32=-3．‎ 故答案为：3或－3．‎ 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．分类讨论．‎ ‎15．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自2015年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆，若该商城自2015起每个月自行车销量的月平均增长率相同，求月平均增长率．若设月平均增长率为x，由题意可得方程： ．‎ ‎【答案】64（1+x）2=100．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2=100．故答案为：64（1+x）2=100．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎16．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0有一个根是1，则另一个根是 ．‎ ‎【答案】-2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设方程的另一根为x1，由根据根与系数的关系可得：x1•1=-2，∴x1=-2．故答案为：-2．‎ 考点：根与系数的关系．‎ ‎17．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+‎3a+2014b=__________．‎ ‎【答案】-2014．‎ 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解；3．条件求值．‎ ‎18．（2015届北京市平谷区中考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根．‎ ‎【答案】（1）；（2）x1＝0，x2＝1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出△＝5+‎4m＞0即可求出m的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．‎ 试题解析：解：（1）△＝1+4（m＋1）＝5+‎4m＞0，∴．‎ ‎（2）∵为符合条件的最小整数，∴m=﹣1．∴原方程变为，∴x1＝0，x2＝1．‎ 考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．‎ ‎19．（2015届北京市门头沟区中考二模）已知关于x的方程（m≠0）．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）或．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎20．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）某工厂一种产品2013年的产量是300万件，计划2015年的产量达到363万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．‎ ‎（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；‎ ‎（2）2014年这种产品产量应达到多少万件？‎ ‎【答案】（1）10%．（2）330万件．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是300（1+x），第二年的产量是300（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．‎ ‎（2）2014年的产量是300（1+x）．‎ 试题解析：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则 ‎　300（1+x）2=363，解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．‎ 答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．‎ ‎（2）2014年这种产品的产量为：300×（1+0.1）=330（万件）．‎ 答：2014年这种产品的产量应达到330万件．‎ 考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．‎ ‎21．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．‎ ‎（1）求sin∠ABC的值； ‎ ‎（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？ ‎ ‎（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（，），F4（-，）．‎ 考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．‎ ‎22．（2015届广东省广州市中考模拟）已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根都0是整数，求正整数m的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析．（2）正整数m的值为1或2．‎ 考点：根的判别式．‎ ‎23．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）解方程组：．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．‎ 试题解析：解： ，由②得， ③，把③代入①得，，解得，y1=0，y2=，当y=0时，x=3，当y=时，x=+3，则方程组的解为：，．‎ 考点：高次方程．‎