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- 2021-05-10 发布
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中考数学专题压轴题
1. 已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.
(1)求证:AC与⊙O相切;
(2)当BD=6,sinC=时,求⊙O的半径.
证明:(1)连接OE,
∵AB=BC且D是AC中点,∴BD⊥AC,
∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE,
∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BD,
∵BD⊥AC, ∴OE⊥AC,
∵OE为⊙O半径,∴AC与⊙O相切.
(2)解:∵BD=6,sinC=,BD⊥AC,
∴BC=10, ∴AB=BC=10,
设⊙O 的半径为r,则AO=10﹣r,
∵AB=BC, ∴∠C=∠A,
∴sinA=sinC=,
∵AC与⊙O相切于点E, ∴OE⊥AC,
∴sinA===, ∴r=,
答:⊙O的半径是.
2. 如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠ACD=∠AOC,AD⊥CD于点D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=10,AD=2,求AC的长.
解:(1)∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC,
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°, ∴∠AOC+2∠OCA=180°,
∴∠AOC+∠OCA=90°,
∵∠ACD=∠AOC, ∴∠ACD+∠OCA=90°,即∠DCO=90°,
又∵OC是半径, ∴CD是⊙O的切线; …(3分)
(2)过点A作AE⊥OC,垂足为E,可得∠AEC=90°,
由(1)得∠DCO=90°,
∵AD⊥CD, ∴∠D=90°,
∴四边形DCEA是矩形,又AD=2, ∴CE=AD=2,…(4分)
∵AB是直径,且AB=10, ∴OA=OC=5,
∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3, ∴在Rt△AEO中,OA=5,OE=3,
根据勾股定理得:AE==4,…(5分)
∴在Rt△ACE中,CE=2,AE=4,
根据勾股定理得:AC==2.…(6分)
3. 如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=1,AC=,求⊙O的半径长.
证明:(1)连接OC.
∵OA=OC, ∴∠ACO=∠CAO.
∵CD切⊙O于C, ∴OC⊥CD,
又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO, ∴∠DAC=∠ACO, ∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠BAD;
(2)解法一:如图2①,过点O作OE⊥AC于E.
在Rt△ADC中,AD===3,
∵OE⊥AC, ∴AE=AC=.
∵∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°, ∴△AEO∽△ADC,
∴,即, ∴AO=,即⊙O的半径为.
解法二:如图2②,连接BC.
在Rt△ADC中,AD===3.
∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=∠DAC,∠ACB=∠ADC=90°, ∴△ABC∽△ACD,
∴, 即,
∴AB=, ∴=, 即⊙O的半径为.
4. 如图,⊙O的直径AB=10,C、D是圆上的两点,且.设过点D的切线ED交AC的延长线于点F.连接OC交AD于点G.
(1)求证:DF⊥AF.
(2)求OG的长.
解:(1)连接OD,则OD⊥EF,
∵, ∴∠CAD=∠DAB=30°,
∵AO=DO, ∴∠OAD=∠ADO,
∴∠FAD=∠ADO, ∴AF∥DO,
∴DF⊥AF.
(2)在Rt△ABD中,∠BAD=30°,AB=10,
∴BD=5,
∵=, ∴OG垂直平分AD, ∴OG是△ABD的中位线,
∴OG=BD=.
5. 已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.
(1)求证:点P是线段AC的中点;
(2)求sin∠PMC的值.
证明:(1)连结OM,如图,
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M, ∴PM=PA,OM⊥MP,BA⊥AC,
∴∠OMP=90°,∠BAC=90°, ∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,
而∠2=∠B,
∴∠1=∠C,∴PC=PM,∴PA=PC, ∴点P是线段AC的中点;
(2)解:由(1)∠PMC=∠C,
在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,
∴BC==5,∴sin∠C==,
即sin∠PMC=.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙0的切线.(2)如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.
证明:(1)连接OD,如图,
∵AB为⊙0的直径, ∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC, ∴AD平分BC,即DB=DC,
∵OA=OB, ∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切线;
(2)解:∵∠DAC=∠DAB, ∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD==,而AB=10, ∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE==, ∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA, ∴=, 即=,
∴BF=.
7.如图,AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点E是的中点,连接AE交BC于点F,当BD=5,CD=4时,求AF的值.
解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠B=∠CAD,∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC,
∴∠BAC=∠ADC=90°, ∴BA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵BD=5,CD=4, ∴BC=9,
∵△ADC∽△BAC(已证),
∴=,即AC2=BC×CD=36,
解得:AC=6,
在Rt△ACD中,AD==2,
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD, ∴CA=CF=6,
∴DF=CA﹣CD=2,
在Rt△AFD中,AF==2.
8. 如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
证明:(1)∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°, ∴∠BAC+∠ABD=90°,
∵∠DBC=∠BAC, ∴∠DBC+∠ABD=90°,
∴AB⊥BC,
∵AB为直径, ∴BC是⊙O切线;
(2)解:连接OD,过O作OM⊥BD于M,
∵∠BAC=30°, ∴∠BOD=2∠A=60°,
∵OB=OD, ∴△OBD是等边三角形,
∴OB=BD=OD=2, ∴BM=DM=1,
由勾股定理得:OM=,
∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣.
9. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
证明:(1)连接AD、OD,如图,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,∴AD垂直平分BC,即DC=DB,
∴OD为△BAC的中位线,∴OD∥AC,
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OD⊥DE,DE⊥AC,
∴四边形OAED为矩形,
而OD=OA,
∴四边形OAED为正方形,∴AE=AO,
∴tan∠ABE==;
(3)解:∵AB是⊙O的直径, ∴∠AFB=90°,
∴∠ABF+∠FAB=90°,
而∠EAP+∠FAB=90°,
∴∠EAP=∠ABF,
∴tan∠EAP=tan∠ABE=,
在Rt△EAP中,AE=2,
∵tan∠EAP==, ∴EP=1,
∴AP==.
10.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
证明:(1)连接OD,OE,
∵AB为圆O的直径, ∴∠ADB=∠BDC=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴DE=BE,
在△OBE和△ODE中,
,
∴△OBE≌△ODE(SSS), ∴∠ODE=∠ABC=90°,
则DE为圆O的切线;
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴BC=AC, ∵BC=2DE=4,
∴AC=8,
又∵∠C=60°,DE=DC,
∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,
则AD=AC﹣DC=6.
11. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.
解:(1)BD=CD.
理由如下:∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,,
∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=CD,
∵AF=BD, ∴BD=CD;
(2)当△ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD, ∴∠ADB=90°,
∴▱AFBD是矩形.
12. (一定要看会)已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以C(4, 0),E(0, 2).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;
(3) △AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)
解:(1)由已知得:解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
(3)相似
如图,BD=
BE=
DE=
所以, 即: ,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
14.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.
(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
A
O
x
y
B
F
C
H
M
G
A
O
x
y
B
F
C
解:过点作的垂线交轴于点,则点为点关于直线的对称点.连接交于点,则点即为所求. 11分
过点作轴于点,则,.
,
同方法一可求得.
在中,,,可求得,
为线段的垂直平分线,可证得为等边三角形,
垂直平分.
即点为点关于的对称点. 12分
设直线的解析式为,由题意得
解得
13分
解得
在直线上存在点,使得的周长最小,此时.
15. 已知:如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.
(1)写出直线的解析式.
(2)求的面积.
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O
解:(1)在中,令
,
, 1分
又点在上
的解析式为 2分
(2)由,得 4分
,
, 5分
6分
(3)过点作于点
7分
8分
由直线可得:
在中,,,则
, 9分
10分
11分
此抛物线开口向下,当时,
当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为.
16. 已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)
解:( 1)由已知得:解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
(3)相似
如图,BD=
BE=
DE=
所以, 即: ,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
17. (2014.临夏州)如图14(1),抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,).[图14(2)、图14(3)为解答备用图]
(1) ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
图14(2)
解:(1), 1分
A(-1,0), 2分
B(3,0). 3分
(2)如图14(1),抛物线的顶点为M(1,-4),连结OM.
4分
则 △AOC的面积=,△MOC的面积=,
△MOB的面积=6, 6分
∴ 四边形 ABMC的面积
=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9. 7分
说明:也可过点M作抛物线的对称轴,将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和.
(3)如图14(2),设D(m,),连结OD.
则 0<m<3, <0.
且 △AOC的面积=,△DOC的面积=,
△DOB的面积=-(), 9分
∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=
=. 11分
∴ 存在点D,使四边形ABDC的面积最大为. 12分
18. (2014.白银)如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
解:①∵函数的图象与x轴相交于O,
∴0=k+1,∴k=﹣1,
∴y=x2﹣3x,
②假设存在点B,过点B做BD⊥x轴于点D,
∵△AOB的面积等于6,∴AO•BD=6,
当0=x2﹣3x,
x(x﹣3)=0,解得:x=0或3,
∴AO=3,∴BD=4
即4=x2﹣3x,
解得:x=4或x=﹣1(舍去).
又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25).
∵2.25<4,∴x轴下方不存在B点,
∴点B的坐标为:(4,4);
③∵点B的坐标为:(4,4),
∴∠BOD=45°,BO==4,
当∠POB=90°,
∴∠POD=45°,
设P点横坐标为:﹣x,则纵坐标为:x2﹣3x,
即﹣x=x2﹣3x,
解得x=2 或x=0,
∴在抛物线上仅存在一点P (2,﹣2).
∴OP==2,
使∠POB=90°,
∴△POB的面积为: PO•BO=×4×2=8.
19. 如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在⊙C上.
(1)求∠ACB的大小;
(2)写出A,B两点的坐标;
(3)试确定此抛物线的解析式;
(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)作CH⊥x轴,H为垂足,
∵CH=1,半径CB=2,
∵∠BCH=60°,
∴∠ACB=120°.
(2)∵CH=1,半径CB=2
∴HB=,故A(1﹣,0),
B(1+,0).
(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3)
设抛物线解析式y=a(x﹣1)2+3,
把点B(1+,0)代入上式,解得a=﹣1;
∴y=﹣x2+2x+2.
(4)假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD.
∵PC∥y轴,
∴点D在y轴上.
又∵PC=2,
∴OD=2,即D(0,2).
又D(0,2)满足y=﹣x2+2x+2,
∴点D在抛物线上
所以存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.
20. 已知二次函数y=﹣x2+(k+1)x﹣k的图象经过一次函数y=﹣x+4的图象与x轴的交点A.(如图)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标;
(3)若二次函数图象与y轴交于点D,平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1:2的两部分,则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少?(直接写出结果)
解:(1)由y=﹣x+4,得A(4,0),
又二次函数图象经过点A,
则0=﹣16+4(k+1)﹣k,
解得k=4,
所以二次函数解析式为y=﹣x2+5x﹣4.
(2)由,
解得,,
所以点B的坐标为(2,2).
(3)令y=0代入二次函数得x=1或x=4,
则C点坐标为(1,0)
令x=0代入2此函数得y=﹣4,则D点坐标为(0,﹣4)
∴四边形面积为:×(4﹣1)×2+×(4﹣1)×4=9,
①若直线在点B的左侧,
令平行于y轴的直线交BC于E,交CA于F,交AD于G,
求得BC的函数为y=2x﹣2
则=,
同理求得AD的函数为y=x﹣4,∴AF=FG,
设CF=a>0,
则EF=2a,AF=3﹣a,FG=3﹣a,
∴S△EFC+S四边形FCDG=S△EFC+S梯形OFGD﹣S△OCD=a•2a+(3﹣a+4)•(a+1)﹣×1×4=,
解得:a=<0(舍去);
②若直线在点B的左侧,
令平行于y轴的直线交AB于E,交CA于F,交AD于G,
求得AB的函数为y=﹣x+4,
则EF=FA,
同理求得AD的函数为y=x﹣4,
∴AF=FG,
设AF=a>0,
则EF=a,AF=a,FG=a,∴S△EFC+S△AFG=a•a+a•a=,
解得:a=,∴EG=3.
故线段长为3.
21. 如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
解:①∵函数的图象与x轴相交于O,
∴0=k+1,∴k=﹣1,∴y=x2﹣3x,
②假设存在点B,过点B做BD⊥x轴于点D,
∵△AOB的面积等于6,∴AO•BD=6,
当0=x2﹣3x,
x(x﹣3)=0,
解得:x=0或3,∴AO=3,∴BD=4
即4=x2﹣3x,
解得:x=4或x=﹣1(舍去).
又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25).
∵2.25<4,∴x轴下方不存在B点,
∴点B的坐标为:(4,4);
③∵点B的坐标为:(4,4),
∴∠BOD=45°,BO==4,
当∠POB=90°,∴∠POD=45°,
设P点横坐标为:﹣x,则纵坐标为:x2﹣3x,
即﹣x=x2﹣3x,
解得x=2 或x=0,
∴在抛物线上仅存在一点P (2,﹣2).∴OP==2,
使∠POB=90°,
∴△POB的面积为: PO•BO=×4×2=8.
22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点M、A、B坐标;
(2)联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
解:(1)抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣3,
顶点M(1,﹣3),
令x=0,则y=(0﹣1)2﹣3=﹣2,
点A(0,﹣2),
x=3时,y=(3﹣1)2﹣3=4﹣3=1,
点B(3,1);
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,
∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,
同理可求∠FAM=∠FMA=45°,
∴△ABE∽△AMF,∴==,
又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°,∴tan∠ABM==;
(3)过点P作PH⊥x轴于H,
∵y=(x﹣1)2﹣3=x2﹣2x﹣2,
∴设点P(x,x2﹣2x﹣2),
①点P在x轴的上方时,=,
整理得,3x2﹣7x﹣6=0,
解得x1=﹣(舍去),x2=3,
∴点P的坐标为(3,1);
②点P在x轴下方时,=,
整理得,3x2﹣5x﹣6=0,
解得x1=(舍去),x2=,
x=时,x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣,
∴点P的坐标为(,﹣),
综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,﹣).
23.点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.
所以点B的坐标为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B,.解得.
所以抛物线的解析式为.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.
当P在时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.
综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.
图2 图3
24. 已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
解:(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以.
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3 图4