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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编150套专题九一元二次方程

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一、选择题 1.(2010 江苏苏州)下列四个说法中,正确的是 A.一元二次方程 有实数根; B.一元二次方程 有实数根; C.一元二次方程 有实数根; D.一元二次方程 x2+4x+5=a(a≥1)有实数根. 【答案】D 3.(2010 安徽芜湖)关于 x 的方程(a -5)x2-4x-1=0 有实数根,则 a 满足() A.a≥1 B.a>1 且 a≠5 C.a≥1 且 a≠5 D.a≠5 【答案】A 4.(10 湖南益阳)一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 满足的条件是     A. =0 B. >0 C. <0 D. ≥0 【答案】B 5.(2010 山东日照)如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2,x2=1,那么 p,q 的值分别是 (A)-3,2 (B)3,-2 (C)2,-3 (D)2,3 【答案】A 6.(2010 四川眉山)已知方程 的两个解分别为 、 ,则 的 值为 A. B. C.7 D.3 【答案】D 7.(2010 台湾) 若 a 为方程式(x− )2=100 的一根,b 为方程式(y−4)2=17 的一根, 且 a、b 都是正数,则 a−b 之值为何? (A) 5 (B) 6 (C) (D) 10− 。 【答案】B 8.(2010 浙江杭州)方程 x2 + x – 1 = 0 的一个根是 A. 1 – B. C. –1+ D. 【答案】D 2 24 5 2x x+ + = 2 34 5 2x x+ + = 2 54 5 3x x+ + = )0(02 ≠=++ acbxax acb 42 − acb 42 − acb 42 − acb 42 − acb 42 − 2 5 2 0x x− + = 1x 2x 1 2 1 2x x x x+ − ⋅ 7− 3− 17 83 17 5 2 51− 5 2 51+− 9 . ( 2010 嵊 州 市 ) 已 知 是 方 程 的 两 根 , 且 ,则 的值等于 ( ) A.-5 B.5 C.-9 D.9 【答案】C 10.(2010 年上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 【答案】B 11.(2010 年贵州毕节)已知方程 有一个根是 ,则下列代数式的 值恒为常数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D. 12.(2010 湖北武汉)若 是方程 =4 的两根,则 的值是( ) A.8 B.4 C.2 D.0 【答案】D 13.(2010 山东滨州) 一元二次方程 x2+kx-3=0 的一个根是 x=1,则另一个根是( ) A.3 B.-1 C.-3 D.-2 【答案】C 14.(2010 山东潍坊)关于 x 的一元二次方程 x2-6x+2k=0 有两个不相等的实数根,则实 数 k 的取值范围是( ). A.k≤ B.k< C.k≥ D.k> 【答案】B 15.(2010 湖南常德)方程 的两根为( ) A. 6 和-1 B.-6 和 1 C.-2 和-3 D.2 和 3 【答案】A 16.(2010 云南楚雄)一元二次方程 x2-4=0 的解是( ) A.x1=2,x2=-2 B.x=-2 C.x=2 D. x1=2,x2=0 【答案】A 17.(2010 河南)方程 的根是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 18.(2010 云南昆明)一元二次方程 的两根之积是( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 【答案】B 19.(2010 四川内江)方程 x(x-1)=2 的解是 nm, 0122 =−− xx 8)763)(147( 22 =−−+− nnamm a 2 0x bx a+ + = ( 0)a a− ≠ ab a b a b+ a b− 1 2,x x 2x 1 2x x+ 9 2 9 2 9 2 9 2 2 5 6 0x x− − = 2 3 0x − = 3x = 1 23, 3x x= = − 3x = 1 23, 3x x= = − 2 2 0x x+ − = A.x=-1 B.x=-2 C.x1=1,x2=-2     D.x1=-1,x2 =2 【答案】D 20.(2010 湖北孝感)方程 的估计正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 21.(2010 内蒙古包头)关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且 ,则 的值是( ) A.1 B.12 C.13 D.25 【答案】C 22.(2010 广西桂林)一元二次方程 的解是 ( ). A. , B. , C. , D. , 【答案】A 23.(2010四川攀枝花)下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) A.x +1=0 B.9 x —6x+1=0 C.x —x+2=0 D.x -2x-2=0 【答案】D 二、填空题 1.(2010 甘肃兰州) 已知关于x 的一元二次方程 有实数根,则 m 的 取值范围是 . 【答案】 2.(2010 江苏苏州)若一元二次方程 x2-(a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是 3、b,则 a+b= ▲ . 【答案】5 2.(2010 安徽芜湖)已知 x1、x2 为方程 x2+3x+1=0 的两实根,则 x 12+8x2+20= __________. 【答案】-1 3.(2010 江苏南通)设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x-3=0 的两个根, 2x1(x22+5x2-3)+a =2,则 a= ▲ . x 2 2 1 0x mx m− + − = 1 2x x、 2 2 1 2 7x x+ = 2 1 2( )x x− 01)1 2 =++− xxm( 11 2 ,022 xxxx 下面对的一较小根为=−− 12 1 −<<− x 01 1 <<− x 10 1 << x 21 1 << x 2 3 4 0x x+ − = 1 1x = 2 4x = − 1 1x = − 2 4x = 1 1x = − 2 4x = − 1 1x = 2 4x = 2 2 2 2 【答案】8 4.(2010 山东烟台)方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则(x1-1) (x1-1)=_________。 【答案】-2 5.(2010 四川眉山)一元二次方程 的解为___________________. 【答案】 6.(2010 福建德化)已知关于 的一元二次方程的一个根是 1,写出一个符合条件的方 程: . 【答案】如 等 7.(2010 江苏无锡)方程 的解是 ▲ . 【答案】 8.(2010 年上海)方程 x + 6= x 的根是____________. 【答案】x=3 9.(2010 江苏连云港)若关于 x 的方程 x2-mx+3=0 有实数根,则 m 的值可以为 ___________.(任意给出一个符合条件的值即可) 【答案】 10.(2010 河北)已知 x = 1 是一元二次方程 的一个根,则 的值为 . 【答案】1 11.(2010 湖北荆门)如果方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实数根,则实数 a 的取值范围是 【答案】a<1 且 a≠0 12 .( 2010 四 川 成 都 ) 设 , 是 一 元 二 次 方 程 的 两 个 实 数 根 , 则 的值为__________________. 【答案】7 13.(2010 湖北鄂州)已知α、β是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根,则代数式(α-3) (β-3)= . 【答案】-6 14.(2010 陕西西安)方程 的解是 。 【答案】 15.(2010 四川绵阳)若实数 m 满足 m2- m + 1 = 0,则 m4 + m-4 = . 【答案】62 x 12 =x 22 6 0x − = 3x = ± 2 3 1 0x x− + = 1 2 3 5 3 5,2 2x x + −= = 02 =++ nmxx 22 2 nmnm ++ 1x 2x 2 3 2 0x x− − = 2 2 1 1 2 23x x x x+ + 042 =− xx 40 == xx 或 10 16.(2010 四川 泸州)已知一元二次方程 的两根为 、 ,则 _____________. 【答案】 17.(2010 云南玉溪)一元二次方程 x2-5x+6=0 的两根分别是 x1,x2, 则 x1+x2 等于   A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 【答案】A 18.(2010 贵州贵阳)方程 x +1=2 的解是 ▲ . 【答案】x =±1 19.(2010 四川自贡)关于 x 的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0 无实数根, 则 m 的取值范围是_______________。 【答案】<- 20.(2010 山东荷泽)已知 2 是关于 的一元二次方程 x2+4x-p=0 的一个根,则该方程 的另一个根是 . 【答案】-6 21.(2010 广西钦州市)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +kx +1 =0 有两个相等的实数根, 则 k = ▲ . 【答案】±2 22.(2010 广西梧州)方程 x2-9=0 的解是 x=_________ 【答案】±3 23.(2010 广西柳州)关于 x 的一元二次方程(x+3)(x-1)=0 的根是_____________. 【答案】x=1 或 x=-3 24.(2010 辽宁本溪)一元二次方程 的解是 . 【答案】x=±2 25.(2010 福建南平)写出一个有实数根的一元二次方程___________________. 【答案】答案不唯一,例如: x2-2x+1 =0 26.(2010 福建莆田)如果关于 的方程 有两个相等的实数根,那么 a= . 【答案】1 27.(2010 广西河池)方程 的解为 . 【答案】 28.方程 2x(x-3)=0 的解是 . ( )2 3 1 3 1 0x x− + + − = 1x 2x 1 2 1 1 x x + = 2 3+ 2 5 4 x 21 1 04 x − = x 2 2 0x x a− + = ( )1 0x x − = 1 20, 1x x= = 【答案】x1=0,x2=3 29.(2010 湖南娄底)阅读材料: 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为 x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系: x1+x2= -b a,x1x2= c a 根据上述材料填空: 已知 x1、x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根,则 1 x1+1 x2=_________. 【答案】-2 30 .( 2010 内 蒙 呼 和 浩 特 ) 方 程 ( x ﹣ 1 )( x + 2 ) = 2 ( x + 2 ) 的 根 是 . 【答案】x1 =﹣2,x2 = 3 31.(2010 广西百色)方程 -1 的两根之和等于 . 【答案】2 三、解答题 1.(2010 江苏苏州)解方程: . 【答案】 2.(2010 安徽省中中考)在国家下身的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/ 下降到 5 月分的 12600 元/ ⑴问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少?(参考数据: ) ⑵如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌 破 10000 元/ ?请说明理由。 【答案】 xx 22 = ( )2 2 1 1 2 0x x x x − −− − = 2m 2m 95.09.0 ≈ 2m 3.(2010 广东广州,19,10 分)已知关于 x 的一元二次方程 有两个 相等的实数根,求 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根,因此⊿= ,可得出 a、b 之间的 关系,然后将 化简后,用含 b 的代数式表示 a,即可求出这个分式的 值. 【答案】解:∵ 有两个相等的实数根, ∴⊿= ,即 . 全品中考网 ∵ ∵ ,∴ 4.(2010 四川南充)关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围. (2)请选择一个 k 的负整数值,并求出方程的根. 【答案】解:(1)方程有两个不相等的实数根,∴   >0.     即  ,解得, .             ……(4 分) (2)若 k 是负整数,k 只能为-1 或-2.             ……(5 分)   如果 k=-1,原方程为  .   解得, , .             ……(8 分)   (如果 k=-2,原方程为 ,解得, , .) )0(012 ≠=++ abxax 4)2( 22 2 −+− ba ab 2 4 0b a− = 4)2( 22 2 −+− ba ab )0(012 ≠=++ abxax 2 4 0b ac− = 2 4 0b a− = 2 2 22 2 22 2 22 2 44444)2( a ab baa ab baa ab ba ab =+−=−++−=−+− 0a ≠ 4 2 2 2 == a b a ab 2 3 0x x k− − = 2( 3) 4( )k− − − 4 9k > − 9 4k > − 2 3 1 0x x− + = 1 3 5 2x += 2 3 5 2x −= 2 3 2 0x x− + = 1 1x = 2 2x = 5.(2010 重庆綦江县)解方程:x2-2x-1=0. 【答案】解方程:x2-2x-1=0 解: ∴ ; 6.(2010 广东珠海)已知 x1=-1 是方程 的一个根,求 m 的值及方程的 另一根 x2。 【答案】解:由题意得: 解得 m=-4 当 m=-4 时,方程为 解得:x1=-1 x2=5 所以方程的另一根 x2=5 7.(2010 年贵州毕节)已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 . (1)求实数 的取值范围; (2)当 时,求 的值. 【答案】解:(1)由题意有 , 解得 . 全品中考网 即实数 的取值范围是 . (2)由 得 . 若 ,即 ,解得 . ∵ > , 不合题意,舍去. 若 ,即 ,由(1)知 . 故当 时, . 2 2 1 2x x- += 2( 1) 2x − = 1 2x − = ± 1 1 2x = + 2 1 2x = − 052 =−+ mxx 05)1()1( 2 =−×−+− m 0542 =−− xx x 2 2(2 1) 0x m x m+ − + = 1x 2x m 2 2 1 2 0x x− = m 2 2(2 1) 4 0m m∆ = − − ≥ 1 4m≤ m 1 4m≤ 2 2 1 2 0x x− = 1 2 1 2( )( ) 0x x x x+ − = 1 2 0x x+ = (2 1) 0m− − = 1 2m = 2 1 4 1 1 2m∴ = 1 2 0x x− = 1 2x x= 0∴∆ = 1 4m = 2 2 1 2 0x x− = 1 4m = 8.(2010 湖北武汉)解方程:x2+x-1=0. 【答案】: a=1,b=1,c=-2,b2-4ac=1-4×1×(-2)=9>0 = = ∴ , . 9.(2010 江苏常州)解方程 【答案】 10.(2010 四川成都)若关于 的一元二次方程 有两个实数根,求 的取 值范围及 的非负整数值. 【答案】(2)解:∵关于 的一元二次方程 有两个实数根, ∴△= 解得 ∴ 的非负整数值为 0,1, 11.(2010 广东中山)已知一元二次方程 . (1)若方程有两个实数根,求 m 的范围; (2)若方程的两个实数根为 , ,且 +3 =3,求 m 的值。 【答案】解:(1)Δ=4-4m 因为方程有两个实数根 所以,4-4m≥0,即 m≤1 (2)由一元二次方程根与系数的关系,得 + =2 又 +3 =3 所以, = 再把 = 代入方程,求得 = ac acbbx 4 42 −±−= 8 91 − ±− 8 31 − ±− 2 1 1 =x 4 1 2 −=x 2 6 6 0x x− − = x 2 4 2 0x x k+ + = k k x 2 4 2 0x x k+ + = 24 4 1 2 16 8 0k k− × × = − ≥ 2k ≤ k 022 =+− mxx 1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2x 2x 2 1 2x 2 1 m 4 3 12.(2010 北京)已知关于x 的一元二次方程 x²-4x+m-1=0 有两个相等实数根,求的 m 值及 方程的根. 【答案】解:由题意可知△=0. 即(-4)2-4x(m-1)=0. 解得 m=5. 当时,原方程化为. x2-4x+4 =0 解得 x1=x2=2 所以原方程的根为 x1=x2=2。 13.(2010 四川乐山)从甲、乙两题中选做一题。如果两题都做,只以甲题计分. 题甲:若关于 的一元二次方程 有实数根 . (1) 求实数 k 的取值范围; (2) 设 ,求 t 的最小值. 题乙:如图(11),在矩形 ABCD 中,P 是 BC 边上一点,连结 DP 并延长,交 AB 的延长线 于点 Q. (1) 若 ,求 的值; (2) 若点 P 为 BC 边上的任意一点,求证 .   我选做的是_______题. 【答案】题甲 解:(1)∵一元二次方程 有实数根 , ∴ , ………………………………………………………………………2 分 即 , 解得 .……………………………………………………………………4 分 (3)由根与系数的关系得: , ………………… 6 分 ∴ , …………………………………………7 分 x 012)2(2 22 =++−− kxkx βα、 kt βα += 图(11) P Q D C BA 3 1= PC BP AQ AB 1== BQ AB BP BC 012)2(2 22 =++−− kxkx βα、 0≥∆ 0)12(4)2(4 22 ≥−−− kk 2−≤k kk 24)]2(2[ −=−−−=+ βα 2424 −=−=+= kk k kt βα ∵ ,∴ , ∴ , 即 t 的最小值为-4. ………………………………………………………10 分 题乙 (1)解:四边形 ABCD 为矩形, ∵AB=CD,AB∥DC,………………………………………………………………1 分 ∴△DPC ∽△QPB, ………………………………………………………………3 分 ∴ , ∴ , 全品中考网 ∴ . ………………………………………………………5 分 (2)证明:由△DPC ∽△QPB, 得 ,……………………………………………………………………6 分 ∴ ,……………………………………………………………………7 分 .…………………………10 分 14.(2010 四川绵阳)已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为 x1, x2. (1)求 m 的取值范围; (2)设 y = x1 + x2,当 y 取得最小值时,求相应 m 的值,并求出最小值. 【答案】(1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0. ∵ 原方程有两个实数根, ∴ △= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 4≥0,得 m≤ . (2) ∵ x1,x2 为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0 的两根, ∴ y = x1 + x2 =-2m + 2,且 m≤ . 因而 y 随 m 的增大而减小,故当 m = 时,取得极小值 1. 2−≤k 0242 <−≤− k 2244 −<−≤− k 3 1== CP PB DC BQ BQDC 3= 4 3 3 3 =+= BQBQ BQ BQ AB BP PC BQ DC = BP PC BQ AB = 11 =−+=−+=− BQ AB BP PC BQ AB BP PCBP BQ AB BP BC 2 1 2 1 2 1 15.(2010 湖北孝感)关于 x 的一元二次方程 、 (1)求 p 的取值范围;(4 分) (2)若 的值.(6 分) 【答案】解:(1)由题意得: …………2 分 解得: …………4 分 (2)由 得, …………6 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分 说明:1.可利用 代入原求值式中求解; 16.(2010 山东淄博)已知关于 x 的方程 . (1)若这个方程有实数根,求 k 的取值范围; (2)若这个方程有一个根为 1,求 k 的值; (3)若以方程 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在 反比例函数 的图象上,求满足条件的 m 的最小值. 【答案】解: (1)由题意得△= ≥0  化简得 ≥0,解得 k≤5. ( 2 ) 将 1 代 入 方 程 , 整 理 得 , 解 这 个 方 程 得 , . (3)设方程 的两个根为 , , 1 2 01 xpxx 有两实数根=−+− .2x pxxxx 求,9)]1(2)][1(2[ 2211 =−+−+ .0)1(4)1( 2 ≥−−−=∆ p 4 5≤p 9)]1(2)][1(2[ 2211 =−+−+ xxxx .9)2)(2( 2 22 2 11 =−+−+ xxxx .1,1 ,01,01 ,01, 2 22 2 11 2 2 21 2 1 2 21 −=−−=−∴ =−+−=−+−∴ =−+− pxxpxx pxxpxx pxxxx 的两实数根是方程 .9)1(,9)12)(12( 2 =+=−+−+∴ ppp 即 .4,2 −==∴ pp 或 .4,4 5 −=∴≤ ppp 的值为所求 ,1,1 2121 xxxx −==+ 得 12 1 xx −= 014)3(2 22 =−−+−− kkxkx 014)3(2 22 =−−+−− kkxkx x my = ( )[ ] ( )14432 22 −−×−−− kkk 102 +− k 2 6 6 0k k− + = 1 3 3k = − 2 3 3k = + 014)3(2 22 =−−+−− kkxkx 1x 2x 根据题意得 .又由一元二次方程根与系数的关系得 , 那么 ,所以,当 k=2 时 m 取得最小值-5 17.(2010 广西玉林、防城港)(6 分)当实数 k 为何值时,关于 x 的方程 x -4x+3-k=0 有两个相等的实数根?并求出这两个相等的实数根。 【答案】⊿=b -4ac=16-4(3-k)=4+4k 因方程有两个相等实数根,所以⊿=0, 故 4+4k=0 k=-1,代入原方程得:x -4x+4=0 x =x =2 18.(2010 重庆江津)在等腰△ABC中,三边分别为 、 、 ,其中 ,若关于 的 方程 有两个相等的实数根,求△ABC的周长. 【答案】解:根据题意得:△ 解得: 或 (不合题意,舍去) ∴ ………………………………………………………………………………4分 (1)当 时, ,不合题意 (2)当 时, ……………………6分 19.(2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团)解方程:2x2-7x+6=0 【答案】解: 20.(2010 广东茂名)已知关于 的一元二次方程 ( 为常数). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设 , 为方程的两个实数根,且 ,试求出方程的两个实数根和 的 值. 【 答 案 】 解 : ( 1 ) ,················ ·2 分 因 此 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 1 2m x x= 2 1 2 4 1x x k k= − − ( ) 5214 22 −−=−−= kkkm 2 2 2 1 2 a b c 5a = x ( )2 2 6 0x b x b+ + + − = ( ) ( )22 4 6b b= + − − 2 8 20 0b b= + − = 2b = 10b = − 2b = 2c b= = 4 5b c+ = < 5c a= = 12a b c+ + = 032 72 =+− xx 16 49316 49 2 72 +−=+− xx 16 1)4 7( 2 =−x 4 1 4 7 ±=−x 21 =x 2 3 2 =x x 2 26 0x x k− − = k 1x 2x 1 22 14x x+ = k 0436)(14)6(4 2222 >+=−××−−=− kkacb 根.·································3 分 ( 2 ) ,·························· ···········4 分 又 , 解 方 程 组 : 解 得 : ·····················5 分 方 法 一 : 将 代 入 原 方 程 得 : ,················6 分 解 得 : .···································· ·············7 分 方 法 二 : 将 代 入 , 得 : ,······················6 分 解 得 : .···································· ·············7 分 21.(2010 广东佛山)教材或资料会出现这样的题目:把方程 化为一元二次方 程的一般形式,并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项。 现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答。 (1)下列式子中,有哪几个是方程 所化的一元二次方程的一般形式?(答案 只写序号) 。 ① ② ③ ④ ⑤ (2)方程 化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、 常数项之间具有什么关系? 【答案】解:(1)答:①②④⑤ (每个 1 分)………………………………………………… 1 2 6 61 bx x a −+ = − = − = 1 22 14x x+ = 1 2 1 2 6, 2 14,x x x x+ = + =   2 1 8. 2,x x = = −   21 −=x 0)2(6)2( 22 =−−×−− k 4±=k 21 xx 和 1 2 cx x a = 182 2k−=×− 4±=k 21 22 x x− = 21 22 x x− = 21 2 02 x x− − = 21 2 02 x x− + + = 2 2 4x x− = 2 2 4 0x x− + + = 23 2 3 4 3 0x x− − = 21 22 x x− = 4 分 (2)若说它的二次系数为 a(a≠0),则一次项系数为-2a、常数项为-2a……………6 分. 22.(2010 天门、潜江、仙桃)已知方程 x2-4x+m=0 的一个根为-2,求方程的另一根及 m 的值. 【 答 案 】 把 x=-2 代 入 原 方 程 得 4+8+m=0 , 解 得 m=-12. 把 m=-12 代 入 原 方 程 , 得 x2-4x-12=0,解得 x1=-2,x2=6,所以方程的另一根为 6,m=-12.