中考数学试题分类汇编考点35：图形的平移和旋转 27页

中考数学试题分类汇编：考点 35 图形的平移和旋转 一．选择题（共 4 小题） 1．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第一象限，点 A 的坐 标是（4，3），把△ABC 向左平移 6 个单位长度，得到△A1B1C1，则点 B1 的坐标 是（ ） A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2） 【分析】根据点的平移的规律：向左平移 a 个单位，坐标 P（x，y） ⇒ P（x﹣a， y），据此求解可得． 【解答】解：∵点 B 的坐标为（3，1）， ∴向左平移 6 个单位后，点 B1 的坐标（﹣3，1）， 故选：C． 2．（2018•黄石）如图，将“笑脸”图标向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， 点 P 的对应点 P'的坐标是（ ） A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即 可解决问题； 【解答】解：由题意 P（﹣5，4），向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， 点 P 的对应点 P'的坐标是（﹣1，2）， 故选：C． 3．（2018•宜宾）如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置， 已知△ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4．若 AA'=1，则 A'D 等于（ ） A．2 B．3 C． D． 【分析】由 S△ABC=9、S△A′EF=4 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S △ABC= ，根据△DA′E∽△DAB 知（ ）2= ，据此求解可得． 【解答】解：如图， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且 AD 为 BC 边的中线， ∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ， ∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 则（ ）2= ，即（ ）2= ， 解得 A′D=2 或 A′D=﹣ （舍）， 故选：A． 4．（2018•温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶 点 A，B 的坐标分别为（﹣1，0），（0， ）．现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合，得到△OCB′，则点 B 的对应点 B′的坐标是（ ） A．（1，0） B．（ ， ） C．（1， ） D．（﹣1， ） 【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可． 【解答】解：因为点 A 与点 O 对应，点 A（﹣1，0），点 O（0，0）， 所以图形向右平移 1 个单位长度， 所以点 B 的对应点 B'的坐标为（0+1， ），即（1， ）， 故选：C． 二．填空题（共 4 小题） 5．（2018•长沙）在平面直角坐标系中，将点 A′（﹣2，3）向右平移 3 个单位长 度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应的点 A′的坐标是 （1，1） ． 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案． 【解答】解：∵将点 A′（﹣2，3）向右平移 3 个单位长度， ∴得到（1，3）， ∵再向下平移 2 个单位长度， ∴平移后对应的点 A′的坐标是：（1，1）． 故答案为：（1，1）． 6．（2018•宿迁）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移 2 个单位长 度，再向上平移 3 个单位长度，则所得点的坐标是 （5，1） ． 【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可． 【解答】解：∵将点（3，﹣2）先向右平移 2 个单位长度， ∴得到（5，﹣2）， ∵再向上平移 3 个单位长度， ∴所得点的坐标是：（5，1）． 故答案为：（5，1）． 7．（2018•曲靖）如图：图象①②③均是以 P0 为圆心，1 个单位长度为半径的扇 形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长 度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为 P1P2P3，第二次移动后图形①②③的 圆心依次为 P4P5P6…，依次规律，P0P2018= 673 个单位长度． 【分析】根据 P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3， P0P9=3；可知每移动一次，圆心离中心的距离增加 1 个单位，依据 2018=3×672+2， 即可得到点 P2018 在正南方向上，P0P2018=672+1=673． 【解答】解：由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1； P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2； P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3； ∵2018=3×672+2， ∴点 P2018 在正南方向上， ∴P0P2018=672+1=673， 故答案为：673． 8．（2018•株洲）如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=90°， 点 B 的坐标为（0，2 ），将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt△O′A′B′，此时点 B′的坐标为（2 ，2 ），则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 4 ． 【分析】利用平移的性质得出 AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到 AA′对 应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 【解答】解：∵点 B 的坐标为（0，2 ），将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt △O′A′B′，此时点 B′的坐标为（2 ，2 ）， ∴AA′=BB′=2 ， ∵△OAB 是等腰直角三角形， ∴A（ ， ）， ∴AA′对应的高 ， ∴线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2 × =4． 故答案为：4． 三．解答题（共 14 小题） 9．（2018•枣庄）如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形； （2）在图 2 中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （ 3 ） 在 图 3 中 ， 画 出 △ ABC 绕 着 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90° 后 的 三 角 形． 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形； （2）根据轴对称的性质即可作出图形； （3）根据旋转的性质即可求出图形． 【解答】解：（1）如图所示， △DCE 为所求作 （2）如图所示， △ACD 为所求作 （3）如图所示 △ECD 为所求作 10．（2018•吉林）如图是由边长为 1 的小正方形组成的 8×4 网格，每个小正方 形的顶点叫做格点，点 A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D 按下列步骤移 动： 第一步：点 D 绕点 A 顺时针旋转 180°得到点 D1； 第二步：点 D1 绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 D2； 第三步：点 D2 绕点 C 顺时针旋转 90°回到点 D． （1）请用圆规画出点 D→D1→D2→D 经过的路径； （2）所画图形是 轴对称 对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 【分析】（1）利用旋转变换的性质画出图象即可； （2）根据轴对称图形的定义即可判断； （3）利用弧长公式计算即可； 【解答】解：（1）点 D→D1→D2→D 经过的路径如图所示： （2）观察图象可知图象是轴对称图形， 故答案为轴对称． （3）周长=4× =8π． 11．（2018•南充）如图，矩形 ABCD 中，AC=2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得 到矩形 AB′C′D′，使点 B 的对应点 B'落在 AC 上，B'C'交 AD 于点 E，在 B'C′上取点 F，使 B'F=AB． （1）求证：AE=C′E． （2）求∠FBB'的度数． （3）已知 AB=2，求 BF 的长． 【分析】（1）在直角三角形 ABC 中，由 AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的 性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为 60°，即可求出所求角度数； （3）由 AB=2，得到 B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过 B 作 BH⊥BF，在直角三角形 BB′H 中，利用锐角三角函数定义求出 BH 的长，由 BF=2BH 即可求出 BF 的长． 【解答】（1）证明：∵在 Rt△ABC 中，AC=2AB， ∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°， 由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°， ∴∠EAC′=∠AC′B′=30°， ∴AE=C′E； （2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形， ∴∠AB′B=60°， ∴∠FBB′=15°； （3）解：由 AB=2，得到 B′B=B′F=2，∠B′BF=15°， 过 B 作 BH⊥BF， 在 Rt△BB′H 中，cos15°= ，即 BH=2× = ， 则 BF=2BH= + ． 12．（2018•徐州）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， 在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0） ①画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； ②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A2B2C2； ③△A1B1C1 与△A2B2C2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； ④△A1B1C1 与△A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称 中心的坐标． 【分析】（1）将三角形的各顶点，向 x 轴作垂线并延长相同长度得到三点的对 应点，顺次连接； （2）将三角形的各顶点，绕原点 O 按逆时针旋转 90°得到三点的对应点．顺次 连接各对应点得△A2B2C2； （3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两 对应点的线段，做它的垂直平分线； （4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心． 【解答】解：如下图所示： （3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段， 作它的垂直平分线， 或连接 A1C1，A2C2 的中点的连线为对称轴． （4）成中心对称，对称中心为线段 BB2 的中点 P，坐标是（ ， ）． 13．（2018•温州）如图，P，Q 是方格纸中的两格点，请按要求画出以 PQ 为对 角线的格点四边形． （1）在图 1 中画出一个面积最小的▱ PAQB． （2）在图 2 中画出一个四边形 PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形， 且另一条对角线 CD 由线段 PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图 1，图 2 在答题纸上． 【分析】（1）画出面积是 4 的格点平行四边形即为所求； （2）画出以 PQ 为对角线的等腰梯形即为所求． 【解答】解：（1）如图①所示： （2）如图②所示： 14．（2018•临沂）将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩 形 AEFG． （1）如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD=CD； （2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由． 【分析】（1）先运用 SAS 判定△AED≌△FDE，可得 DF=AE，再根据 AE=AB=CD， 即可得出 CD=DF； （2）当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°， 即可得到旋转角α的度数． 【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD， ∴∠AEB=∠ABE， 又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA=∠DEF， 又∵DE=ED， ∴△AED≌△FDE（SAS）， ∴DF=AE， 又∵AE=AB=CD， ∴CD=DF； （2）如图，当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形 ABHM 是矩形， ∴AM=BH= AD= AG， ∴GM 垂直平分 AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点 G 在 AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°﹣60°=300°． 15．（2018•宁波）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 边上一点 （点 D 与 A，B 不重合），连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得 到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）当 AD=BF 时，求∠BEF 的度数． 【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD= ∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD ≌△BCE（SAS） （2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数． 【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中， ∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， 由（1）可知：∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5° 16．（2018•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位 长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4），B（1， 1），C（3，1）． （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，求线段 BC 扫过的面积（结果保留π）． 【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可； （3）BC 扫过的面积= ﹣ ，由此计算即可； 【解答】解：（1）△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 如图所示； （2）△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2 如图所示； （3）BC 扫过的面积= ﹣ = ﹣ =2π． 17．（2018•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分 别是 A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标，然后描点即可得 到△A1B1C1 为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2，从而得到 △A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求： （2）如图所示，△A2B2C2 即为所求： （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1= ，A1B= ， 即 ， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 18．（2018•眉山）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面 直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； （2）作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标； （3）已知△ABC 关于直线 l 对称的△A3B3C3 的顶点 A3 的坐标为（﹣4，﹣2）， 请直接写出直线 l 的函数解析式． 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1 的坐标，然后描点得到△A1B1C1； （2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点 A2、B2、C2 的坐标，然后描 点即可； （3）根据对称的特点解答即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作，C1（﹣1，2）； （2）如图，△A2B2C2 为所作，C2（﹣3，﹣2）； （3）因为 A 的坐标为（2，4），A3 的坐标为（﹣4，﹣2）， 所以直线 l 的函数解析式为 y=﹣x， 19．（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C， 将一个 120°角的顶点与点 C 重合，它的两条边分别与直线 OA、OB 相交于点 D、 E． （1）当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1），请猜想 OE+OD 与 OC 的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置，（1）中的 结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？ 请在图 3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 OD、OE 与 OC 之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 请 写 出 你 的 猜 想 ， 不 需 证 明． 【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出 OD= OC， 同 OE= OC，即可得出结论； （2）同（1）的方法得 OF+OG= OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出 DF=EG， 最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵OM 是∠AOB 的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=30°， ∵CD⊥OA， ∴∠ODC=90°， ∴∠OCD=60°， ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°， 在 Rt△OCD 中，OD=OC•cos30°= OC， 同理：OE= OC， ∴OD+OE= OC； （2）（1）中结论仍然成立，理由： 过点 C 作 CF⊥OA 于 F，CG⊥OB 于 G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC， ∴OF+OG= OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点 C 是∠AOB 的平分线 OM 上一点， ∴CF=CG， ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE， ∴OD+OE= OC； （3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD= OC， 理由：过点 C 作 CF⊥OA 于 F，CG⊥OB 于 G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC， ∴OF+OG= OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点 C 是∠AOB 的平分线 OM 上一点， ∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD， ∴OE﹣OD= OC． 20．（2018•岳阳）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将 ∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点 E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）． （1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE； （2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC， 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 （用含α 的式子表示）． 【分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性质证明 CD=BB′即可； （2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD，可得 = = ，推出 = ，可得 CD=2•BE•tan2α； （ 3 ） 首 先 证 明 ∠ ECF=90° ， 由 ∠ BEC+ ∠ ECF=180° ， 推 出 BB′ ∥ CF ， 推 出 = = =sin（45°﹣α），由此即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 1 中， ∵B、B′关于 EC 对称， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90°， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD， ∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE． （2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α． 理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°， ∴△BAB′∽△CAD， ∴ = = ， ∴ = ， ∴CD=2•BE•tan2α． （3）如图 3 中， 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°﹣2α， ∵EC 平分∠ACB， ∴∠ECB= （90°﹣2α）=45°﹣α， ∵∠BCF=45°+α， ∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°， ∴∠BEC+∠ECF=180°， ∴BB′∥CF， ∴ = = =sin（45°﹣α）， ∵ = ， ∴ =sin（45°﹣α）． 21．（2018•广东）已知 Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边 OB=4，将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图 1，连接 BC． （1）填空：∠OBC= 60 °； （2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路 径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒， △OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 【分析】（1）只要证明△OBC 是等边三角形即可； （2）求出△AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可； （3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当 0＜x≤ 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E．②当 ＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动． ③当 4＜x≤4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OG⊥BC 于 G． 【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC=60°． 故答案为 60． （2）如图 1 中， ∵OB=4，∠ABO=30°， ∴OA= OB=2，AB= OA=2 ， ∴S△AOC= •OA•AB= ×2×2 =2 ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， ∴AC= =2 ， ∴OP= = = ． （3）①当 0＜x≤ 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE⊥ OC 且交 OC 于点 E． 则 NE=ON•sin60°= x， ∴S△OMN= •OM•NE= ×1.5x× x， ∴y= x2． ∴x= 时，y 有最大值，最大值= ． ②当 ＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动． 作 MH⊥OB 于 H．则 BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°= （8﹣1.5x）， ∴y= ×ON×MH=﹣ x2+2 x． 当 x= 时，y 取最大值，y＜ ， ③当 4＜x≤4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OG⊥BC 于 G． MN=12﹣2.5x，OG=AB=2 ， ∴y= •MN•OG=12 ﹣ x， 当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2 ， 综上所述，y 有最大值，最大值为 ． 22．（2018•德州）再读教材： 宽与长的比是 （约为 0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、 匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金 矩形的设计，下面，我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线 AB，并把 AB 折到图①中所示的 AD 处． 第四步，展平纸片，按照所得的点 D 折出 DE，使 DE⊥ND，则图④中就会出现黄 金矩形． 问题解决： （1）图③中 AB= （保留根号）； （2）如图③，判断四边形 BADQ 的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 实际操作 （4）结合图④，请在矩形 BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用 字母表示出来，并写出它的长和宽． 【分析】（1）理由勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断； （4）如图④﹣1 中，在矩形 BCDE 上添加线段 GH，使得四边形 GCDH 为正方形， 此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形； 【解答】解：（1）如图 3 中，在 Rt△ABC 中，AB= = = ， 故答案为 ． （2）结论：四边形 BADQ 是菱形． 理由：如图③中， ∵四边形 ACBF 是矩形， ∴BQ∥AD， ∵AB∥DQ， ∴四边形 ABQD 是平行四边形， 由翻折可知：AB=AD， ∴四边形 ABQD 是菱形． （3）如图④中，黄金矩形有矩形 BCDE，矩形 MNDE． ∵AD= ．AN=AC=1， CD=AD﹣AC= ﹣1， ∵BC=2， ∴ = ， ∴矩形 BCDE 是黄金矩形． ∵ = = ， ∴矩形 MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1 中，在矩形 BCDE 上添加线段 GH，使得四边形 GCDH 为正方形， 此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形． 长 GH= ﹣1，宽 HE=3﹣ ．