近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解 39页

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解 近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题。动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。问题常常集几何、代数知识于一体，数形结 合，有较强的综合性。     解决这类问题的策略一般有：1.把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系。     2.特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊图形等）过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间，将这些点锁定在某一位置上，问题的实质就容易显现出来，从而得到解题的方法。     3.画出图形，这一步很重要。 因为随着点的移动，与之相关的一些图形肯定随着改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变。所以，一定要画图，不能凭空想象。     4.当一个问题是有关确定图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型求解。一般会涉及到全等和相似。‎ 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.‎ 关键:动中求静.‎ 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 中考数学（动点问题）考试分析 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ 动点个数 两个 ‎ 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 点 ①菱形是含60°的特殊菱形；‎ ‎△AOB是底角为30°的等腰三角形。‎ ②一个动点速度是参数字母。‎ ③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。‎ ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。‎ ⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。‎ ①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类 ③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°）‎ ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）‎ ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。‎ ⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）‎ 共 同 点 ‎ ‎ ‎ ①特殊四边形为背景；‎ ‎ ②点动带线动得出动三角形；‎ ‎ ③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；‎ ‎ ④求直线、抛物线解析式；‎ ‎ ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。‎ ‎ ‎ 典型例题（历年真题）‎ 一、三角形边上动点 x A O Q P B y ‎1、（2009年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单 位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间 的函数关系式；‎ ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ 解：1、A（8，0） B（0，6）‎ ‎2、当0＜t＜3时，S=t2‎ ‎ 当3＜t＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；‎ 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。‎ ‎2、（2009年衡阳市）‎ 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，‎ ‎∠ABC=60º．‎ ‎（1）求⊙O的直径；‎ ‎（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；‎ 图（3）‎ A B C O E F A B C O D 图（1）‎ A B O E F C 图（2）‎ ‎（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．‎ 注意：第（3）问按直角位置分类讨论 ‎3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ x y M C D P Q O A B ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°‎ ‎ 当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。‎ ‎4、（2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.‎ ‎(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；‎ ‎(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。‎ 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。‎ 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；‎ ‎（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当t=5时，面积最大；‎ 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；‎ ‎（2）：①当0＜t≤时， S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；‎ ‎②当＜t≤时， S与t的函数关系式是： y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）] =﹣t2+11t﹣3；‎ ‎③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t；‎ ‎（3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=；‎ 点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．‎ ‎5、（2011•江苏徐州，27，8）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；‎ ‎（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？‎ 考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。‎ 分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得△DOE是等腰三角形；‎ ‎（2）设D（,），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，△DOE∽△ABC．‎ 解答：解：（1）△DOE是等腰三角形．‎ 作DF⊥OE于F，‎ ‎∵AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，‎ ‎∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，‎ ‎∴点F是OE的中点，‎ ‎∴DF是OE的垂直平分线，‎ ‎∴DO=DE，‎ ‎∴DOE是等腰三角形．‎ ‎（2）由题意得：D（,），‎ ‎∵DO=DE，AB=AC，‎ ‎∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，‎ 在Rt△DOF中，tan∠DOF=，‎ 由=tan30°=，得a =，‎ ‎∴当a=时，△DOE∽△ABC．‎ 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎6、（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．‎ ‎（1）求证：△PQE∽△PMF；‎ ‎（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；‎ ‎（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。‎ 分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余关系证明△PQE∽△PMF；‎ ‎（2）相等．运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，∠B=60°，△BPQ为等边三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角对等边；‎ ‎（3）由面积公式得S△PEM=PE×PF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解．‎ 解答：证明：（1）∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，‎ ‎∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，‎ 又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，‎ ‎∴∠EPQ=∠FPM，‎ ‎∴△PQE∽△PMF；‎ ‎（2）相等．‎ ‎∵PB=BQ，∠B=60°，‎ ‎∴△BPQ为等边三角形，‎ ‎∴∠BQP=60°，‎ ‎∵△PQE∽△PMF，‎ ‎∴∠PMF=∠BQP=60°，‎ 又∠A+∠APM=∠PMF，‎ ‎∴∠APM=∠A=30°，‎ ‎∴PM=MA；‎ ‎（3）AB===20，BP=x，则AP=20﹣x，‎ PE=xcos30°=x，PF=（20﹣x）•，‎ S△PEM=PE×PF，‎ ‎∴y=•x• ‎=（20x﹣x2）‎ ‎=﹣（x﹣10）2+（0≤x≤10）．‎ ‎∴当x=10时，函数的最大值为．‎ 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系 ‎7、 （2011成都，20，10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．‎ ‎（1）若BK＝KC，求的值；‎ ‎（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB．BC．CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE＝AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。‎ 专题：计算题；几何动点问题。‎ 分析：（1）由已知得，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用求值；‎ ‎（2）AB＝BC＋CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB＝∠EBA＝∠GBE，则EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，利用EF＝EG＋GF求线段AB．BC．CD三者之间的数量关系；‎ 当AE＝AD（n＞2）时，EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，EF＝EG＋GF可得BC＋CD＝（n－1）AB．‎ 解答：解：（1）∵BK＝KC，∴， ‎ 又∵CD∥AB，‎ ‎∴△KCD∽△KBA，∴； ‎ ‎（2）当BE平分∠ABC，AE＝AD时，AB＝BC＋CD．‎ 证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，‎ 由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，‎ 又∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，‎ ‎∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，‎ ‎∵EF＝EG＋GF，∴AB＝BC＋CD；‎ 当AE＝AD（n＞2）时，BC＋CD＝（n－1）AB． ‎ ‎8、（2011山东青岛，24，10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；‎ ‎（2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；‎ ‎（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；‎ ‎（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．‎ 解答：解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，‎ ‎∴AP=AM，即10﹣t=2t，解得t=，‎ ‎∴当t=s时，四边形PQCM是平行四边形；‎ ‎（2）过P作PE⊥AC，交AC与E，如图所示：‎ ‎∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，‎ ‎∴,即，解得BF=，‎ ‎∴FD=BD﹣BF=8﹣，又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，‎ ‎∴y= ；‎ ‎（3）S△ABC=，‎ 当y=S△ABC=时，，‎ 解得（舍去）；‎ ‎（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，‎ 过M作MH⊥AB，交AB与H，‎ ‎∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，‎ ‎∴△AHM∽△ADB，‎ ‎∴，又AD=，‎ ‎∴，∴，‎ 即，‎ 在直角三角形HMP中，‎ 又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，‎ ‎∵MP2=MC2，即 解得：，t2=0，‎ ‎∴t=s时点M在线段PC的垂直平分线上．‎ 点评：本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问和第四问都属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的．‎ ‎9、（2011湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；‎ ‎（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：动点问题 等边三角形 全等三角形 梯形 探索存在问题 专题：动点问题 压轴题 分析：（1）在边长为2的正△ABO中，过过点B作BC⊥y轴于点C，由特殊角的三角函数值易求BC＝，OC＝AC＝1，从而B（）．‎ ‎（2）由于△ABO和△APQ都是正三角形，得∠PAQ＝∠OAB＝60°，从而∠PAO＝∠QAB，再加上AP＝AQ，AO＝AB，利用“SAS”可证明△APO≌△AQB，从而∠ABQ＝∠AOP＝90°总成立，即当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°．‎ ‎（3）梯形中只有一组对边平行，故四边形要是梯形，就得看哪两组对边平行，由（2）易知点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．此时，分两种情况讨论AB∥OQ，即点P在原点O的两侧（左右两边时）．如下面两图，①左图，在Rt△BOQ中，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．又OB＝OA＝2，可求得BQ＝，△APO≌△AQB，从而OP＝BQ＝，故此时P的坐标为（）．‎ ‎②如右图，当AQ∥OB时，在Rt△ABQ中，∠ABQ＝90°，∠QAB＝∠ABO＝60°，由AB＝2，可得OP＝BQ＝2，从而P的坐标为（2，0）．‎ 解答：（1）如下图，过点B作BC⊥y轴于点C．‎ ‎∵A（0，2），△AOB为等边三角形 ‎∴AB＝OB＝2，∠BAO＝60°，‎ ‎∴BC＝，OC＝AC＝1，‎ ‎∴B（）．‎ ‎（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性．‎ ‎∵∠PAQ＝∠OAB＝60°‎ ‎∴∠PAO＝∠QAB 在△APO和△AQB中，∵AP＝AQ，∠PAO＝∠QAB，AO＝AB ‎∴△APO≌△AQB总成立，‎ ‎∴∠ABQ＝∠AOP＝90°总成立，‎ ‎∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°．‎ ‎（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．‎ ‎①如下图，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，当AB∥OQ时，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．‎ 又OB＝OA＝2，可求得BQ＝，‎ 由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝，‎ ‎∴此时P的坐标为（）．‎ ‎ ‎ ‎②如上图，当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，则四边形AOQB即是梯形，当AQ∥OB时，∠ABQ＝90°，∠QAB＝∠ABO＝60°．‎ 又AB＝2，可求得BQ＝，‎ 由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝，‎ ‎∴此时P的坐标为（）．‎ 综上，P的坐标为（）或（）．‎ 点评：本题是第二道压轴题，在平面直角坐标系中，以两条坐标轴上的一个定点（y轴）与一个动点（x轴）为出发点，构造两个等边三角形，由此设计三个有梯度的问题：第一题是基础题，求定点B的坐标；而第二题求证∠ABQ为定值，从而等边三角形的性质不难发现：通过证明两三角形全等可以解决问题；真正压轴是最后一问，探索当以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形时动点P的坐标，这会让大多数考生非常纠结的问题：当静下心来思索，就会发现AO与BQ不平行，此时目标只指另外一组对边AB∥OQ，结合第二问题的结论，用分类思想结合画图，就会豁然开朗．‎ ‎10、（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．‎ ‎（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；‎ ‎（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．‎ 考点：直线与圆的位置关系；解一元一次方程；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质。‎ 专题：计算题；代数几何综合题；动点型。‎ 分析：（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围；‎ ‎（2）四边形CPBD不可能为菱形．依题意可得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7﹣3t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看结果是否相等如果结果不相等，就不能构成菱形．设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可．‎ 解答：解：（1）当P在线段OA上运动时，OP=3t，AC=t，‎ ‎⊙P与直线l相交时，，解得＜t＜；‎ ‎（2）四边形CPBD不可能为菱形．‎ 依题意，得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴，即，‎ 解得CD=（4﹣t），‎ 由菱形的性质，得CD=PB，‎ 即（4﹣t）=7﹣3t，‎ 解得t=，‎ 又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7﹣3t，当t=时， ‎ 代入PA2+AC2=（3t﹣4）2+t2=，PC2=（7﹣3t）2=，‎ ‎∴PA2+AC2≠PC2，就不能构成菱形．‎ 设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，‎ 由CD∥AB，得CD=（4﹣t+a），由CD=PB，得（4﹣t+a）=7﹣3t，‎ 解得t=，‎ PC∥OB，PC=CD，得，即AB•PC=OB•AP，‎ ‎3×（4﹣t+a）=5×（3t﹣4），‎ 解得t=，‎ 则=，‎ 解得a=，即直线l比P点迟秒出发．‎ 点评：本题考查了直线与圆的关系，勾股定理的运用，菱形的性质．关键是根据菱形的性质，对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解．‎ 二、特殊四边形边上动点 P Q A B C D ‎1、（2009年吉林省）如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿 的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： ‎ ‎（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；‎ ‎（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；‎ ‎（3）求与之间的函数关系式．‎ 提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。‎ ‎2、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直 线AC所夹锐角的正切值．‎ O M B H A C x y 图（2）‎ O M B H A C x y 图（1）‎ 注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；‎ ‎ 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，‎ ‎ ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。‎ ‎ 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.‎ ‎3、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．‎ ‎(1)求∠ABC的度数；‎ ‎(2)当t为何值时，AB∥DF；‎ ‎(3)设四边形AEFD的面积为S．‎ ‎①求S关于t的函数关系式；‎ ‎②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2时，求m的取值范围(写出答案即可)．‎ 注意：发现特殊性，DE∥OA ‎4、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)‎ ‎(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;‎ ‎(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;‎ ‎(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; ‎ ‎(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．‎ 提示：第（3）问用相似比的代换，‎ 得PF=OA（定值）。‎ ‎ 第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.‎ ‎5、（2011•山西，26）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．‎ ‎（1）点C的坐标为　　，直线l的解析式为 ．‎ ‎（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．‎ ‎（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：代数几何综合题；数形结合；分类讨论。‎ 分析：（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式；‎ ‎（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围；‎ ‎（3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值，可知当当t=时，S有最大值，最大值为；‎ ‎（4）根据题意并细心观察图象可知；当t=时，△QMN为等腰三角形．‎ 解答：解：（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），‎ 且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），‎ 设直线l的解析式为y=kx，‎ 将C点坐标代入y=kx，‎ 解得k=，‎ ‎∴直线l的解析式为y=x；‎ 故答案为（3，4），y=x；‎ ‎（2）解：根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：‎ ‎①当0＜t≤时，如图l，M点的坐标是（t， t）．‎ 过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEO ‎∽△ODC ‎∴，∴，∴AE=，EQ=‎ ‎∴Q点的坐标是（8+，），∴PE=8+ ‎∴S=t ‎②当＜t≤3时，如图2，过点q作QF⊥x轴于F，‎ ‎∵BQ=2t﹣5，∴OF=11﹣（2t﹣5）=16﹣2t ‎∴Q点的坐标是（16﹣2t£¬4），∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t ‎∴S= ‎③当点Q与点M相遇时，16﹣2t=t，解得t=．‎ 当3＜t＜时，如图3，MQ=16﹣2t﹣t=16﹣3t，MP=4．‎ S==•4•（16﹣3t）=﹣6t+32‎ ‎①②③中三个自变量t的取值范围．（8分）‎ 评分说明：①、②中每求对l个解析式得（2分），③中求对解析式得l分．①②③中三个自变量t的取值范围全对 才可得（1分）．‎ ‎（3）解：①当0＜t≤时，S=‎ ‎∵a=＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线t=﹣20，‎ ‎∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大．‎ ‎∴当t=时，S有最大值，最大值为．‎ ‎②当＜t≤3时，S=﹣2t2+．‎ ‎∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下．‎ ‎∴当t=时，S有最大值，最大值为．‎ ‎③当3＜t＜时，S=﹣6t+32，‎ ‎∵k=﹣6＜0．∴S随t的增大而减小．‎ 又∵当t=3时，S=14．当t=时，S=0．∴0＜S＜14．‎ 综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为．‎ 评分说明：①②③各（1分），结论（1分）；若②中S与t的值仅有一个计算错误，导致最终结论中相应的S或t有误，则②与结论不连续扣分，只扣（1分）；③中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分．‎ ‎（4）当t=时，△QMN为等腰三角形．‎ 点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．‎ ‎6、（2011梧州，26，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．‎ ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．‎ 考点：直角梯形；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；解直角三角形。‎ 分析：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则在Rt△DCH中，由DH、CH的长度，运用勾股定理即可求出CD的长；‎ ‎（2）由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②‎ 点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）令DQ=CP，Q点在AD边上，求出a的取值范围．‎ 解答：解：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．‎ ‎∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．‎ 在Rt△DCH中，∠DHC=90°，‎ CD==8cm．‎ ‎（2）当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．‎ ‎①当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2·t．‎ 又∵DH=HC，DH⊥BC，‎ ‎∴∠C=45°．‎ ‎∴在Rt△QCG中，QG=QC·sin∠C=2t×sin45°=2t．‎ 又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，‎ ‎∴S△BPQ=BP×QG=（14﹣t）×2t=14t﹣t2．‎ 当Q运动到D点时所需要的时间t===4．‎ ‎∴S=14t﹣t2（0＜t≤4）．‎ ‎②当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，‎ 则：QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，‎ ‎∴S△BPQ=BP×QG=（14﹣t）×8=56﹣4t．‎ 当Q运动到A点时所需要的时间t===4+．‎ ‎∴S=56﹣4t（4＜t≤4+）．‎ 综合上述：所求的函数关系式是：‎ S=14t﹣t2（0＜t≤4），‎ S=56﹣4t（4＜t≤4+）；‎ ‎（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，a的取值范围是a≥1+．．‎ 点评：本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论，利用特殊三角形，梯形的面积公式进行计算．‎ ‎7（2011•株洲，23，）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．‎ ‎（1）求证：OP=OQ；‎ ‎（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质。‎ 专题：证明题；动点型。‎ 分析：（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．‎ ‎（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，证出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．‎ 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC ‎∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB ‎∴△POD≌△QOB ‎∴OP=OQ ‎（2）PD=8﹣t ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=90°，‎ ‎∵AD=8cm，AB=6cm，‎ ‎∴BD=10cm，‎ ‎∴OD=5cm．‎ 当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，‎ ‎∴∠POD=∠A，‎ 又∠ODP=∠ADB∴△ODP∽△ADB，‎ ‎∴，即，‎ 解得t=，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．‎ 点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．‎ ‎8、（2011•丹东，25，12分）己知：正方形ABCD．‎ ‎（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．‎ ‎（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．‎ ‎（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）根据正方形的性质，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BE⊥DF；‎ ‎（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立；‎ ‎（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=AD，解答出即可；‎ ‎（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；‎ 解答：证明：（1）BE=DF且BE⊥DF；‎ ‎（2）在△DFA和△BEA中，‎ ‎∵∠DAF=90°﹣∠FAB，∠BAE=90°﹣∠FAB，‎ ‎∴∠DAF=∠BAE，‎ 又AB=AD，AE=AF，‎ ‎∴△DFA≌△BEA，‎ ‎∴BE=DF；∠ADF=∠ABE，‎ ‎∴BE⊥DF；‎ ‎（3）AE=（﹣1）AD；‎ ‎（4）正方形．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线及正方形的性质，本题的综合性较强，掌握并熟练应用以上性质是解答本题的关键．‎ ‎9、（2011天水，26）在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．‎ ‎（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；‎ ‎（2）依题意得D（4﹣t，0），求出直线OC解析式，根据DF∥OC确定直线DF解析式，再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可．‎ 解答：解：（1）依题意得OA=5，‎ 当0≤t＜1时，s=t2，‎ 当1≤t＜2时，s=﹣（2﹣t）2=﹣t2+2t﹣，‎ 当2≤t≤5时，s=；‎ ‎（2）不存在．‎ 依题意，得C（1，），B（5，），抛物线对称轴为x=3，‎ 抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），‎ 设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），‎ 将C点坐标代入，得a= –，∴y=﹣x（x﹣6）=﹣x2+x，‎ 由C点坐标可知，直线OC解析式为y=x，‎ ‎∵DF∥OC，‎ ‎∴设直线DF解析式为y=x+k，‎ 将D（4﹣t，0）代入得k=（t﹣4），‎ ‎∴直线DF：y=x+（t﹣4），‎ 设△OAG的OA边上高为h，由S△OAG=S梯形OABC，得 ‎×5×h=×（4+5）×，‎ 解得h=，‎ 将y=代入y=﹣x（x﹣6）中，得x=3±3，‎ ‎∴F（3﹣3，）或（3+3，），‎ 分别代入直线DF：y=x+（t﹣4）中，得t=+3或﹣3，‎ 但0≤t≤5，‎ ‎∴不存在．‎ ‎10、（2011•泰州，28，12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．‎ ‎（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；‎ ‎（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．‎ 考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。‎ 专题：几何动点问题；几何综合题。‎ 分析：（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．‎ ‎（2）过P点做x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．‎ ‎（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．‎ 解答：解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，‎ ‎∴∠PAB=45°，‎ ‎∵∠BAO=45°，‎ ‎∴∠PAO=90°，‎ ‎∴四边形OAPB是正方形，‎ ‎∴P点的坐标为：（a，a）．‎ ‎（2）作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，‎ ‎∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，‎ ‎∴∠FPB=∠EPA，‎ ‎∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，‎ ‎∴△PBF≌△PAE，‎ ‎∴PE=PF，‎ ‎∴点P都在∠AOB的平分线上．‎ ‎（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．‎ 点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点．‎ ‎11、（2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．‎ ‎（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；‎ ‎（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．‎ 考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。‎ 专题：作图题；几何综合题。‎ 分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．‎ ‎（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．‎ 解答：解：（1）作图如图；‎ ‎（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，‎ ‎∴S==+π+π+2=π+2．‎ 点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．‎ 三、直线上动点 ‎1、（2009年湖南长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折， 点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； ‎ y O x C N B P M A ‎（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 提示：第（2）问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°‎ 特殊图形四边形BNPM为菱形；‎ ‎ 第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。‎ ‎2、（2009眉山）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线 与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。‎ ‎⑴求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。‎ ‎⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。‎ 提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；‎ 第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。‎ ‎3、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ 注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。‎ ‎4、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为 ‎，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.‎ ‎（1）求D点的坐标；‎ ‎（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；‎ ‎（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）‎ 提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；‎ ‎　　　第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。‎ ‎5、(2009年上海市)‎ A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．‎ ‎（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；‎ ‎（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； ‎ ‎（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．‎ 注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合时，x获得最大值。‎ ‎ 第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。 ‎ ‎6、(2009年河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ A C B P Q E D ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ‎ 提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，‎ ‎　　　ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；‎ ‎ （４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，‎ ‎　　　ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，‎ ‎　　　ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．‎ ‎7、（2009年包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出 的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ 提示：‎ 第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；‎ ‎ 第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。‎ ‎8、（2011年山东省东营市，24，12分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEC=．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题．‎ 专题：综合题．‎ 分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．‎ 解答： ‎ 解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1）， ∴B（-3，1）， 若直线经过点A（-3，0）时，则b= ， 若直线经过点B（-3，1）时，则b= ， 若直线经过点C（0，1）时，则b=1， ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1， 此时E（2b，0）， ∴S= OE•CO= ×2b×1=b； ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2 ∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE ‎） =3-[ （2b-2）×1+ ×（5-2b）•（ -b）+ ×3（b- ）] = b-b2， ∴S=；‎ ‎（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积． 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED， ‎ 又∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，= ，DH=1， ∴HE=2， 设菱形DNEM的边长为a， 则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12， ∴a= ， ∴S四边形DNEM=NE•DH= ． ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ 点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．‎ ‎9、（2011江苏镇江常州，27，9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P．Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．‎ ‎（1）写出A点的坐标和AB的长；‎ ‎（2）当点P．Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2．y轴都相切，求此时a的值．‎ 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质．‎ 专题：几何动点问题；分类讨论．‎ 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．‎ 解答：解：（1）∵一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点，‎ ‎∴y=0时，x=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），AO=4，‎ ‎∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，‎ ‎∴AB=5；‎ ‎（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，= =t，‎ 又∠PAQ=∠OAB，‎ ‎∴△APQ∽△AOB，‎ ‎∴∠APQ=∠AOB=90°，‎ ‎∵点P在l1上，‎ ‎∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，‎ ‎①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：‎ ‎∴ ＝，‎ ‎∴PQ=6；‎ 连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，‎ 得： ＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴QC=，‎ ‎∴a=OQ+QC=，‎ ‎②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，‎ ‎∴PQ=，‎ 连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴QC=，a=QC﹣OQ=，‎ ‎∴a的值为和，‎ 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案 四、 抛物线上动点 ‎1、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．‎ ‎(1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．‎ 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。‎ ‎ 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。‎ ‎2、（2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状； ‎ ‎（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．‎ O y x B E A D C F 注意：第（2）问，发现并利用好NM∥FA且NM＝FA;‎ ‎ 第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。‎ 总结归纳：‎ ‎ 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ‎① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。‎ ‎②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ‎ ‎③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。‎ ‎3、（2011•菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′‎ ‎（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值 解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b= ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2． y=x2﹣x﹣2 =（ x2﹣3x﹣4 ）=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴顶点D的坐标为 （，﹣）．‎ ‎（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．‎ 当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）‎ ‎∴OA=1，OB=4，AB=5．‎ ‎∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，‎ 连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．‎ 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．‎ ‎∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ‎∴△C′OM∽△DEM．‎ ‎∴ ‎∴，∴m=．‎ 解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，‎ 则，解得n=2，．‎ ‎∴．‎ ‎∴当y=0时，，．∴．‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．‎ ‎4、（2011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．‎ ‎（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；‎ ‎（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式；‎ ‎（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；‎ ‎（3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求．‎ 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．‎ ，‎ ．‎ 所以y=﹣x2+x；‎ ‎（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=﹣=．‎ 所以它不会随P的移动而改变；‎ ‎（3）点O（0，0）可满足．‎ 设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则△Q1PB，△Q2PB是等腰三角形．‎ 因为P点的坐标是（，）．‎ 所以Q1Q2的解析式是：y=x﹣，抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x．‎ 所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是（，），（，﹣）．‎ 点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标．‎ ‎5、 （2011•湘西州）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、点B和点C的坐标．‎ ‎（2）求直线AC的解析式．‎ ‎（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．‎ ‎（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可．‎ ‎（2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可．‎ ‎（3）设出点M的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后表示出其面积=6，解得即可．‎ ‎（4）证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．‎ 解答：（1）令﹣x2﹣2x+3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x1=﹣3，x2=1，‎ A（﹣3，0）B．（1，0），C（0，3）；‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 由题意，得，解之得，y=x+3；‎ ‎（3）设M点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），‎ AB=4，因为M在第二象限，所以﹣x2﹣2x+3＞0，‎ 所以 = 6，‎ 解之，得x1=0，x2=﹣2，‎ 当x=0时，y=3，（不合题意）‎ 当x=﹣2时，y=3．所以M点的坐标为（﹣2，3）；‎ ‎（4）由题意，得AB=4，PB=4﹣t，‎ ‎∵AO=3，CO=3，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，AQ=2t，‎ 所以Q点的纵坐标为t，‎ S=（1＜t＜4）‎ ‎∵，‎ ‎∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是．‎ 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎6、（2011山东菏泽，20，12分）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题．‎ 分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值 解答：解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx﹣2，整理后解得，所以抛物线的解析式为．顶点D；‎ ‎（2）AB=5．AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形． ‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E，△C′OM∽△DEM．，，．‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式．直角三角形的性质及判定．轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．‎ ‎7、（2011•丹东）己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．‎ ‎（1）请直接写出点A、点B的坐标．‎ ‎（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．‎ ‎（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标；‎ ‎（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；‎ ‎（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；‎ ‎（4） 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．‎ 解答：解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；‎ ‎（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得 ，解得，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+6，‎ ‎∵y=﹣（x﹣2）2+8，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；‎ ‎（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，‎ ‎∵C（0，6），‎ ‎∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则 ，解得，‎ ‎∴y=x+2，当x=2时，y=4，‎ 即P（2，4）；‎ ‎（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，‎ ‎∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，‎ ‎∴=（）2=（）2，‎ 即S△BDQ=（m﹣6）2，‎ 又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，‎ ‎∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6，‎ ‎∴当m=2时，S最大．‎ 点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．‎ ‎8. （2011四川广安，30，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝ 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B( －1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D、M、N．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由．‎ ‎（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值．‎ 考点：抛物线，存在，动态，压轴 专题：压轴题、综合题 分析：（1）由题意可知点M的坐标为（0，2），根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的，由此可知N（－3，2），把D、M、N三点的坐标代入即可得到抛物线的解析式．‎ ‎（2）由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程组确定交点坐标，若能求得，则说明存在，否则说明不存在．‎ ‎（3）由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，所以QE＝QD，所以，延长DC交抛物线的对称轴相交，当点Q在交点上时，QD－QC＝CD，此时的值最大，恰好为线段CD的长．‎ 解答：（1）解：由题意可得M（0，2），N（－3，2），‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴y＝‎ ‎（2）∵PA＝PC， ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y＝－x＋1．‎ 根据题意可列方程组 解得：‎ ‎∴P1（）、P2（）．‎ ‎（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件．‎ 由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得CD所在的直线的解析式为．‎ 抛物线的对称轴为直线．‎ ‎∵点Q在直线x＝－1.5上，又在直线上．‎ ‎∴Q（－1 .5，4.5），QE＝QD．‎ ‎∴．‎ 即当点Q的坐标为（－1.5，4.5）时，有最大值，最大值为．‎ 点评：（1）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，运用时要确定好图象上关键点的坐标，本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到．‎ ‎（2）求函数的交点坐标，通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解．‎ 本题综合性强，解答时需具备较强的数学基本功，若知识掌握欠缺，则不容易得分．‎ ‎9、（2011•菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值 解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，‎ ‎∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b= ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．‎ y=x2﹣x﹣2‎ ‎=（ x2﹣3x﹣4 ）‎ ‎=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴顶点D的坐标为 （，﹣）．‎ ‎（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．‎ 当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）‎ ‎∴OA=1，OB=4，AB=5．‎ ‎∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，‎ 连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．‎ 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．‎ ‎∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ‎∴△C′OM∽△DEM．‎ ‎∴ ‎∴，∴m=．‎ 解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，‎ 则，解得n=2，．‎ ‎∴．‎ ‎∴当y=0时，，．∴．‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．‎ 四、 以圆为载体的动点问题 ‎1、 在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）‎ ‎ 分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。‎ ‎ 以CQ为直径做半圆D。‎ ‎ ①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 ‎ DM⊥AB，且AC＝AM＝5‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 设，则 ‎ 在中，，即 ‎ ‎ ‎ 解得：，所以 ‎ 即当且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。‎ ‎ ②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形。‎ ‎ ③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。‎ ‎ 所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。‎ ‎2、 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？‎ ‎ 分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。‎ ‎ 解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E ‎ 因为∠B＝∠A＝90°‎ ‎ 所以AD、BC为⊙O的切线 ‎ 即AD＝DE，BC＝CE ‎ 所以AD＋BC＝CD ‎ 而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。‎ ‎3、 如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）‎ ‎ 分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。‎ ‎ （1）当点P在△ABC外接圆外时，‎ ‎ 如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC ‎ 又因为∠BDC＝∠BAC，‎ ‎ 所以∠BPC＜∠BAC；‎ ‎ （2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等，‎ ‎ ∠BPC＝∠BAC；‎ ‎ （3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，‎ ‎ 又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。‎ ‎ 综上，知当点P在△ABC外接圆外时，‎ ‎ ∠BPC＜∠BAC；‎ ‎ 当点P在△ABC外接圆上时，‎ ‎ ∠BPC＝∠BAC；‎ ‎ 当点P在△ABC外接圆内时，‎ ‎∠BPC＞∠BAC。‎ ‎4、（2011山东省潍坊， 23，11分） 如图．AB是半圆O的直径．AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D．连接BD交半圆于点C．连接AC，过O点作BC的垂线OF．垂足为点E．与BN相交于点F。过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点 Q。‎ ‎ (I) 求证：△ABC'∽△OFB；‎ ‎ (2) 当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；‎ ‎ (3) 求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。‎ ‎【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题；几何综合题．‎ ‎【分析】（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论； （2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD； （3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC， 又OE⊥BC， ∴OE∥AC， ∴∠BAC=∠FOB， ∵BN是半圆的切线， ∴∠BCA=∠FBO=90°， ∴△ACB∽△OBF． 解：（2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， 当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO， ∴AD=1， 又DPQ是半圆O的切线， ∴OP=1，且OP⊥DP， ∴DQ∥AB， ∴BQ=AD=1， （3）由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴ ， ∴BF= ， ∵DPQ是半圆O的切线， ∴AD=DP，QB=BQ， 过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在直角三角形DQK中， DQ2=QK2+DK2， ∴（AD+BQ）2=（AD-BQ）2+22． ‎ ‎∴BQ=， ∴BF=2BQ， ∴Q为BF的中点．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识，熟练利用相似三角形的判定是解决问题的关键．‎ ‎5、（2011广西崇左，24）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．‎ ‎（1）求证：△ODM∽△MCN；‎ ‎（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；‎ ‎（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？‎ ‎ ‎ ‎ 考点：切线的性质；二次函数综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎ 专题：动点型．‎ ‎ 分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．‎ ‎（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD﹣OA=8﹣R，根据勾股定理求出OA的值．‎ ‎（3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长．‎ ‎ ‎ 解答：解：‎ ‎（1）∵MN切⊙O于点M，‎ ‎∴∠OMN=90°；‎ ‎∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；‎ ‎∴∠OMD=∠MNC；‎ 又∵∠D=∠C=90°；‎ ‎∴△ODM∽△MCN，‎ ‎（2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；‎ ‎∴OD=AD﹣OA=8﹣R，‎ 由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，‎ ‎∴64﹣16R+R2+x2=R2，‎ ‎∴；‎ ‎（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，‎ 又，‎ 且有△ODM∽△MCN，‎ ‎∴，‎ ‎∴代入得到；‎ 同理，‎ ‎∴代入得到；‎ ‎∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN==（8﹣x）+（x+8）=16．‎ 发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．‎ 解法二：在Rt△ODM中，OD=8-R=8-，‎ 设△ODM的周长P′=OD+DM+OM=；‎ 而△MCN∽△ODM，且相似比；‎ ‎∵，‎ ‎∴△MCN的周长为P=．‎ 发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．‎ ‎ 点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．‎ ‎6、（2011湖北十堰，24，10分）如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x.‎ ‎(1)求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，则x= ;‎ ‎(3)设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。‎ ‎ ‎ 考点：二次函数的最值；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；勾股定理。‎ 分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5﹣x，又由，⊙A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；‎ ‎（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；‎ ‎（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，由AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，则1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，分别从2.4＜x＜3时与2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．‎ 解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，‎ ‎∴BC=BD=5﹣x，在△ABC中，AC=1，‎ ‎∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x），‎ 解得：2＜x＜3；‎ ‎（2）∵△ABC为直角三角形，‎ 若AB是斜边，则AB2=AC2+BC2，‎ 即x2=（5﹣x）2+1，‎ ‎∴x=2.6；‎ 若BC是斜边，则BC2=AB2+AC2，‎ 即（5﹣x）2=x2+1，‎ ‎∴x=2.4．‎ 故答案为：2.4或2.6．‎ ‎（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，‎ ‎①如图，当2.4＜x＜3时，AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，则1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，‎ 得：m=，‎ ‎∴h2=1﹣m2=，∴W=x2h2=﹣6x2+30x﹣36，‎ 即W=﹣6（x﹣）2+，‎ 当x=2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；‎ ‎②当2＜x≤2.4时，同理可得：W=－6x2+30x－36=－6（x﹣）2+，‎ 当x=2.4时，W取最大值1.44＜1.5，‎ 综合①②得，W的最大值为1.5．‎ 点评：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．‎ 六、折叠中的动点问题 ‎12（09太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕 ‎．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 图（2）‎ N A B C D E F M 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 ‎ ‎ ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 解：方法一：如图（1-1），连接．‎ 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎∴垂直平分．∴‎ ‎∵四边形是正方形，∴‎ ‎∵设则 在中，．‎ N 图（1-1）‎ A B C D E F M ‎∴解得，即 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 设则∴‎ N 图（1-2）‎ A B C D E F M G 解得即 ‎∴‎ 方法二：同方法一，‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 ‎∵∴四边形是平行四边形．‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎　　　∵‎ ‎　　　‎ ‎　　　在与中 ‎　　　∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 类比归纳 （或）；； ‎ 联系拓广 ‎ ‎2、（2011福建龙岩，25，14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．‎ ‎（1）求CD的长及∠1的度数；‎ ‎（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ 考点：直角梯形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）.‎ 分析：（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．‎ ‎（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=-x，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．‎ ‎（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．‎ 解答：解：（1）CD=，∠1=30°；‎ ‎（2）若点G恰好在BC上，‎ 则有GE=DE=x，EC=-x，‎ ‎∵∠1=30°，∴∠FED=60°，∴∠GEF=60°，∴∠GEC=60°，∴GE=2CE，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（3）∵△EFG≌△EFD，‎ ，‎ ‎①当0≤x≤时，随着x的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当时，达到最大值，为．‎ ‎②当，△EFG就有一部分在梯形外，如图3，‎ x ‎∵GE=DE=x，EC=，易求ME=，‎ ‎∴GM=GE－ME=x－=3x－，‎ ‎∴NG==，=，‎ 此时===，‎ 当时，．综上所述．当时，．‎ 点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．‎ ‎3、（2011湖南怀化,24,10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B．C重合），过F点的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E．‎ ‎（1）求证：AE•AO=BF•BO；‎ ‎（2）若点E的坐标为（2.4），求经过O．E．F三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：（1）根据反比例函数的性质得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；‎ ‎（2）利用E点坐标首先求出BF=，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；‎ ‎（3）设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E．C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质．相似三角形．勾股定理得出即可．‎ 解答：证明：（1）∵E，F点都在反比例函数图象上，‎ ‎∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，‎ ‎∴AE•AO=BF•BO；‎ ‎（2）∵点E的坐标为（2，4），‎ ‎∴AE•AO=BF•BO=8，‎ ‎∵BO=6，∴BF=，‎ ‎∴F（6，），‎ 分别代入二次函数解析式得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y=﹣x2+x；‎ ‎（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E．C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质．相似三角形．勾股定理有以下几个关系可以考虑：‎ 设BC'=a，BF=b，则C'F=CF=4﹣b．‎ ‎∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4）．‎ EC'=EC=6﹣1.5b，‎ ‎∴在Rt△C'BF中，a2+b2=（4﹣b）2①‎ ‎∵Rt△EGC'与∽Rt△C'BF，‎ ‎∴（6﹣1.5b）：（4﹣b）=4：a=（6﹣1.5b﹣a）：b ②，‎ 解得：a=，b=，‎ ‎∴F点的坐标为（6，）．‎ ‎∴FO=．‎ 点评：此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及利用相似三角形的性质是这部分考查的重点也是难点．‎