中考总复习图形的相似巩固练习基础 8页

中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．（2011 山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA′B′C′的面积等于矩形 OABC 面积的 1 4 ，那么点 B′的坐标是（ ）． A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2） 2. 如图，△ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE 的面 积与△ABC 的面积之比为 1:4。其中正确的有（ ）． A. 0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 3 个 3．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形． OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )． A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 A B C DO ① ② ⊙ ③ ⊙ ④ ⊙ 4．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于 两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2015•锦州）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4），B（6，2），以原点 O 为位似中心，在 第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为（ ） A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2） 6．如图，在平行四边形 ABCD 中（AB≠BC），直线 EF 经过其对角线的交点 O，且分别交 AD、BC 于点 M、 N，交 BA、DC 的延长线于点 E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO， 其中正确的是（ ）． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 7. 如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA=10cm， OA′=20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值是________． 第 7 题 第 9 题 8. 如果一个三角形的三边长为 5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为 39，那么较大的三角形的 周长________，面积________． 9. 如图，在正三角形 ABC 中，D ，E ，F 分别是 BC ，AC ，AB 上的点，DE AC⊥ ，EF AB⊥ ， FD BC⊥ ，则 DEF△ 的面积 与 ABC△ 的面积之比等于________． 10. 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF． 已知 AB＝AC＝6，BC＝8，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度是________． 11.（2015•连云港）如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线 l1∥l2∥l3，l1 与 l2 之间距离是 1，l2 与 l3 之间距离是 2，且 l1，l2，l3 分别经过点 A，B，C，则边 AC 的长为 ． 12. 如图，不等长的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，且将四边形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若 1 2 AO BO OC OD   ，则甲、乙、丙、丁这 4 个三角形中，一定相似的有________． 三、解答题 13. 已知线段 OA⊥OB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点． （1）如图 1，当 OA=OB 且 D 为 AO 中点时，求 PC AP 的值； （2）如图 2，当 OA=OB， AO AD = 4 1 时，求 tan∠BPC； D C P O A B 图 1 D C P O A B 图 2 14.（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，BD=AD=AC，AD 与 CE 相交于点 F，AE2=EF•EC． （1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF； （2）求证：AF•AD=AB•EF． 15．如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)尺规作图：过 A，D，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC 是过 A，D，C 三点的圆的切线； (3)若过 A，D，C 三点的圆的半径为 3 ,则线段 BC 上是否存在一点 P，使得以 P，D，B 为顶点的三 角形与△BCO 相似.若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由. C B A 16.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点 P 在 AD 上滑动时（点 P 与 A，D 不重合）， 一直角边经过点 C，另一直角边交 AB 于点 E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立． （1）当∠CPD=30°时，求 AE 的长； （2）是否存在这样的点 P，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍？若存在，求出 DP 的长；若不存在， 请说明理由． 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D． 2．【答案】D． 3．【答案】B； 【解析】由 OA：OC=0B：OD，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求． 4．【答案】A． 5．【答案】C； 【解析】∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4），B（6，2）， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD， ∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）． 故选：C． 6．【答案】B； 【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得 AO≠BO，即可求得①错误； ②易证△AOE≌△COF，即可求得 EO=FO； ③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN； ④易证△EAO≌△FCO，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误． 二．填空题 7．【答案】 1 2 ． 8．【答案】90，270． 9．【答案】１:3; 【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角 形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF：AB=1： 3 ，又由相似三角形 的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 10．【答案】4， 7 24 ． 【解析】根据折叠得到 BF=B′F，根据相似三角形的性质得到 BF CF AB BC  ，设 BF=x，则 CF=8-x，即 可求出 x 的长，得到 BF 的长 11.【答案】 ． 【解析】如图，过点 B 作 EF⊥l2，交 l1 于 E，交 l3 于 F，如图． ∵∠BAC=60°，∠ABC=90°， ∴tan∠BAC= = ． ∵直线 l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l1，EF⊥l3， ∴∠AEB=∠BFC=90°． ∵∠ABC=90°， ∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC， ∴△BFC∽△AEB， ∴ = = ． ∵EB=1，∴FC= ． 在 Rt△BFC 中， BC= = = ． 在 Rt△ABC 中，sin∠BAC= = ， AC= = = ． 故答案为 ． 12．【答案】甲和丙相似． 【解析】∵ 1 2 AO BO OC OD   ，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD． 故必有甲和丙相似． 三.综合题 13．【解析】 （1）过 C 作 CE∥OA 交 BD 于 E，则△BCE∽△BOD 得 CE= 2 1 OD= 2 1 AD； 再由△ECP∽△DAP 得 2 CE AD PC AP ； （2）过 C 作 CE∥OA 交 BD 于 E，设 AD=x，AO=OB=4x，则 OD=3x， 由△BCE∽△BOD 得 CE= 2 1 OD= 2 3 x， 再由△ECP∽△DAP 得 3 2 CE AD PE PD ； 由勾股定理可知 BD=5x，DE= 2 5 x，则 3 2 PDDE PD ，可得 PD=AD=x， 则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A= 2 1 AO CO 。 14．【解析】证明：（1）∵BD=AD=AC， ∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD， ∵AE2=EF•EC， ∴ ， ∵∠E=∠E， ∴△EAF∽△ECA， ∴∠EAF=∠ECA， ∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF； （2）∵△EAF∽△ECA， ∴ ，即 ， ∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B， ∴△FAE∽△ABC， ∴ ， ∴FA•AC=EF•AB， ∵AC=AD， ∴AF•AD=AB•EF． 15．【解析】（1）作出圆心 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆. O P 2 P 1 D C B A （2）∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD 是⊙O 的直径 连结 OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°, 又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A=30°, ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC 是⊙O 的切线. （3）存在. ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°, ∴∠BCD=∠B,即 DB=DC. 又∵在 Rt△ACD 中，DC=AD 330sin  , ∴BD= 3 . ①过点 D 作 DP1//OC，则△P1DB∽△COB, BO BD CO DP 1 ， ∵BO=BD+OD= 32 , ∴P1D= BO BD ×OC= 3 3 × 3 = 3 2 . ②过点 D 作 DP2⊥AB,则△BDP2∽△ BCO, ∴ BC BD OC DP 2 ， ∵BC＝ ,322  COBO ∴ 133 3 2  OCBC BDDP . 16．【解析】（1）在 Rt△PCD 中，由 tan∠CPD= CD PD ， 得 PD= 4 tan tan30 CD CPD   =4 3 ， ∴AP=AD-PD=10-4 3 ． 由△AEP∽△DPC 知， AE AP PD CD  , ∴AE= AP PD CD  =10 3 -12． （2）假设存在满足条件的点 P，设 DP=x，则 AP=10-x． 由△AEP∽△DPC，知 CD AP =2． ∴ 4 10 x =2，解得 x=8． 此时 AP=4，AE=4 符合题意． 故存在点 P，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍，DP=8．