2018中考数学专题复习 勾股定理 含答案 27页

勾股定理 ‎ 一．选择题（共11小题）‎ ‎1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（　　）‎ A．12 B．15 C．20 D．30‎ ‎2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）‎ A．3，4，5 B．9，12，15 ‎ C．，， D．0.3，0.4，0.5‎ ‎3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）‎ A．a=1.5 b=2 c=2.5 B．a：b：c=5：12：13 ‎ C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5‎ ‎5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）‎ A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米 ‎6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（　　）‎ A．等腰三角形 ‎ B．直角三角形 ‎ C．等腰直角三角形 ‎ D．等腰三角形或直角三角形 ‎8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎9．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（　　）‎ A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定 ‎10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（　　）‎ A．10 B．5 C．2 D．2‎ ‎11．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（　　）‎ A．不确定 B．12 C．11 D．10‎ 二．填空题（共12小题）‎ ‎12．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为　 　．‎ ‎13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　 　．‎ ‎14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2019=　 　，OPn=　 　（n为自然数，且n＞0）‎ ‎15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点 P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为　 　．‎ ‎16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　 　．‎ ‎17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=　 　．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=　 　．‎ ‎18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　 　米之外才是安全的．‎ ‎19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=　 　．‎ ‎20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为　 　．‎ ‎21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　 　条．‎ ‎22．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是　 　cm2．‎ ‎23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是　 　；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范围分别是　 　、　 　、　 　．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．‎ ‎（1）求两船的速度分别是多少？‎ ‎（2）求客船航行的方向．‎ ‎25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．‎ ‎26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．‎ 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．‎ ‎（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；‎ ‎（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．‎ ‎（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎27．阅读下面的材料，然后解答问题：‎ 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．‎ 理解：‎ ‎①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　 　（填“是”或“不是”）‎ ‎②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形．‎ 探究：‎ 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．‎ 拓展：‎ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．‎ ‎28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）求CD的长．‎ ‎29．阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：‎ ‎（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为　 　．‎ ‎（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．‎ ‎（3）如图2，点A在数轴上表示的数是　 　，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．‎ ‎30．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．‎ ‎（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．‎ ‎（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．‎ ‎31．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．‎ ‎32．在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．‎ ‎（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；‎ ‎（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为　 　；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为　 　（用含α的式子表示）．‎ ‎33．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．‎ 答案 一．选择题（共11小题）‎ ‎1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（　　）‎ A．12 B．15 C．20 D．30‎ ‎【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m=60，进而得出S2的值．‎ ‎【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，‎ 因为S1+S2+S3=60，‎ 所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60，‎ 即3S2=60，‎ 解得S2=20．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．‎ ‎2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）‎ A．3，4，5 B．9，12，15 ‎ C．，， D．0.3，0.4，0.5‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．‎ ‎【解答】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；‎ B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；‎ C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；‎ D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．‎ ‎3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大．‎ ‎【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，‎ ‎∵AB=6，AC=8，‎ ‎∴CD≤8，‎ ‎∴当CD与AC重合时，CD最长为8，‎ 此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，‎ ‎∴BC==10，‎ ‎∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．‎ ‎4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）‎ A．a=1.5 b=2 c=2.5 B．a：b：c=5：12：13 ‎ C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状．‎ ‎【解答】解：A、因为1.52+22=2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；‎ B、因为a：b：c=5：12：13，所以可设a=5x，b=12x，c=13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，故△ABC为直角三角形；‎ C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故△ABC为直角三角形；‎ D、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠‎ C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．‎ ‎5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）‎ A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米 ‎【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．‎ ‎【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，‎ ‎∴折断的部分长为 =5，‎ ‎∴折断前高度为5+3=8（米）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．‎ ‎6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，‎ ‎∴AC===；‎ AD===；‎ AE===2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ ‎7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△‎ ABC的形状（　　）‎ A．等腰三角形 ‎ B．直角三角形 ‎ C．等腰直角三角形 ‎ D．等腰三角形或直角三角形 ‎【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．‎ ‎【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得 a4+b2c2﹣a2c2﹣b4‎ ‎=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）‎ ‎=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）‎ ‎=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）‎ ‎=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，‎ ‎∵a+b＞0，‎ ‎∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，‎ 即a=b或a2+b2=c2，‎ 则△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．‎ ‎8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：，正方形面积为边长的平方；‎ 所以要求①号正方形的面积，求出①号正方形的边长即可．‎ ‎【解答】解：‎ 要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，‎ 题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，‎ 根据勾股定理4号正方形的边长为=，‎ 以此类推，可以求得①号正方形边长为4，‎ 所以①号正方形面积为4×4=16．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理．‎ ‎9．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（　　）‎ A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定 ‎【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．‎ ‎【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．‎ 当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长==10；‎ 当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长==2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题易忽视的地方：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．‎ ‎10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（　　）‎ A．10 B．5 C．2 D．2‎ ‎【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．‎ ‎【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，‎ ‎∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16‎ 在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，‎ 解得x=，y=1．‎ 在直角△ABC中，AB===2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．‎ ‎11．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（　　）‎ A．不确定 B．12 C．11 D．10‎ ‎【分析】要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，根据计算得PQ+QR=BD=AC．根据此关系式可以解题．‎ ‎【解答】解：令PQ∥AC，则QR∥BD，‎ ‎∵撞击前后的路线与桌边所成的角相等 ‎∴图中所有三角形均相似；‎ ‎∴+==1，‎ 即PQ+QR=AC=BD，‎ 同理PS+SR=AC=BD，‎ ‎∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC．‎ ‎∵AC==5，‎ ‎∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQ∥AC是解题的关键．‎ 二．填空题（共12小题）‎ ‎12．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为　（11，60，61）　．‎ ‎【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1‎ ‎×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．‎ ‎【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，‎ ‎4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；‎ 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61），‎ 故答案为：（11，60，61）．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．‎ ‎13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　1或　．‎ ‎【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，‎ ‎∴∠AGE＞∠AEF，‎ ‎∴AE≠AG；‎ 当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，‎ ‎∴CE=AB=6，‎ ‎∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，‎ 当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，‎ ‎∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，‎ 即∠CAB=∠CEA，‎ 又∵∠C=∠C，‎ ‎∴△CAE∽△CBA，‎ ‎∴CE==，‎ ‎∴BE=7﹣=；‎ ‎∴BE=1或．‎ 故答案为：1或．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2019=　　，OPn=　　（n为自然数，且n＞0）‎ ‎【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．‎ ‎【解答】解：由题意得，OP1=；‎ OP2=；‎ OP3=，‎ 则OP2019=，OPn=，‎ 故答案为：；．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点 P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为　（0，3）或（0，1+）　．‎ ‎【分析】分两种情况进行讨论，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP=90°，BD=1，依据△BCP是等腰直角三角形，即可得到点P的坐标；当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，依据C为AB的中点，AB=2，即可得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP=90°，BD=1，‎ ‎∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），‎ ‎∴直线AB的表达式为y=x+1，‎ 令x=0，则y=1，‎ ‎∴C（0，1），即OC=1=OA，‎ ‎∴△AOC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ACO=45°=∠BCP，‎ ‎∴△BCP是等腰直角三角形，‎ ‎∴CP=2BD=2，‎ ‎∴OP=1+2=3，‎ ‎∴P（0，3）；‎ 如图，当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，‎ ‎∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），‎ ‎∴C为AB的中点，AB=2，‎ ‎∴CP=AB=，‎ ‎∴OP=1+，‎ ‎∴P（0，1+），‎ 综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．‎ 故答案为：（0，3）或（0，1+）．‎ ‎【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．‎ ‎16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　5或　．‎ ‎【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．‎ ‎【解答】解：设第三边为x ‎（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得 ‎32+42=x2，所以x=5；‎ ‎（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得 ‎32+x2=42，所以x=；‎ 所以第三边的长为5或．‎ ‎【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．‎ ‎17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=　169或119　．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=　9　．‎ ‎【分析】分12为直角边和12为斜边两种情况，根据勾股定理计算；根据无理数的估算方法、算术平方根的概念解答．‎ ‎【解答】解：当12为直角边时，x2=52+122=169，‎ 当12为斜边时，x2=122﹣52=119；‎ ‎∵16＜20＜25，‎ ‎∴4＜＜5，‎ ‎∴a=4，b=5，‎ ‎∴a+b=9，‎ 故答案为：169或119；9．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　4　米之外才是安全的．‎ ‎【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，‎ 在Rt△ABC中，AC===4．‎ ‎【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．‎ ‎19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=　70　．‎ ‎【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70．‎ ‎【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：‎ 则S1=π（）2=，S2=π（）2=，S3=π（）2=．‎ 因为a2+b2=c2，所以+=．‎ 即S1+S2=S3．‎ 所以S3=70．‎ ‎【点评】注意发现此图中的结论：S1+S2=S3．‎ ‎20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为　16　．‎ ‎【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°‎ ‎∴∠ACB=∠DEC ‎∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，‎ 在△ABC和△CDE中，‎ ‎∴△ABC≌△CDE（AAS），‎ ‎∴BC=DE ‎∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积 ‎∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16．‎ ‎【点评】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．‎ ‎21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　8　条．‎ ‎【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段．‎ ‎【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．‎ ‎【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．‎ ‎22．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2‎ 的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是　14　cm2．‎ ‎【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答．‎ ‎【解答】解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，‎ 得正方形A2，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，‎ 所以正方形D的面积=100﹣36﹣25﹣25=14cm2．‎ ‎【点评】此题注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．‎ ‎23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是　　；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范围分别是　x=或x=　、　＜x＜　、　＜x＜或x＞　．‎ ‎【分析】根据三角形两边之和大于第三边，根据三边表达式列不等式求解；‎ 直角三角形两直角边平方和等于第三边平方，锐角三角形两边平方和大于第三边平方，钝角三角形两边平方和小于钝角所对应的边的平方．‎ ‎【解答】解：构成三角形则要满足 ‎2x+3x＞x+5，即4x＞5，则x＞，即可；‎ ‎①当三角形为直角三角形时，‎ 若x+5＞3x，即x＜‎ ‎（2x）2+（3x）2=（x+5）2‎ 解得x=，‎ 若3x＞x+5，即x＞‎ ‎（2x）2+（x+5）2=（3x）2‎ 解得x=‎ ‎②当构成锐角三角形时，即（2x）2+（3x）2＞（x+5）2‎ ‎12x2﹣10x﹣25＞0‎ 解得x＞‎ ‎（2x）2+（x+5）2＞（3x）2‎ ‎﹣4x2+10x+25＞0‎ x＜‎ 综上，构成锐角三角形的x的取值范围是：＜x＜；‎ ‎③当构成钝角三角形时，若x+5＞3x，即x＜‎ ‎（2x）2+（3x）2＜（x+5）2‎ 解得＜x＜＜，‎ 若3x＞x+5，即x＞‎ ‎（2x）2+（x+5）2＜（3x）2‎ 解得x＞‎ 综上，构成钝角三角形的x的取值范围是：＜x＜或x＞；‎ 故答案为 x＞，x=或x=，＜x＜；＜x＜或x＞，‎ ‎【点评】本题考查了三角形成构成条件，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中确定以x+5为第三边是解本题的关键．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．‎ ‎（1）求两船的速度分别是多少？‎ ‎（2）求客船航行的方向．‎ ‎【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；‎ ‎（2）依据AB2+AC2=BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．‎ ‎【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得 ‎4x﹣3x=5．‎ 解得x=5，‎ ‎∴4x=20，3x=15，‎ ‎∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；‎ ‎（2）由题可得，AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，‎ 又∵货船沿东偏南10°方向航行，‎ ‎∴客船航行的方向为北偏东10°方向．‎ ‎【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．‎ ‎25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．‎ ‎【分析】设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，‎ 根据题意得：（x+1）2=52+x2，‎ 解得：x=12．‎ 答：杯子的高度为12cm．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．‎ ‎26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．‎ 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=‎ ‎，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．‎ ‎（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；‎ ‎（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．‎ ‎（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据两点的距离公式计算即可；‎ ‎（2）对于平行于坐标轴的两点距离公式可利用|y2﹣y1|代入计算；‎ ‎（3）分别以A、B为圆心，以10为半径画圆与坐标轴的交点就是C点．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），‎ ‎∴AB==13…．（4分）‎ 答：A、B两点间的距离是13．‎ ‎（2）∵AB∥y轴，‎ ‎∴AB=5﹣（﹣1）=6，‎ 答：A、B两点间的距离是6．（8分）‎ ‎（3）如图所示：‎ ‎①AB=AC时，符合条件的点C的坐标为（8，0）、（0，4）、（0，﹣16）；‎ ‎②AB=BC时，符合条件的点C的坐标为：（0，6）、（2，0）、（﹣18，0）…．（12分）‎ 综上所述，符合条件的点C的坐标为：（2，0）、（8，0）（﹣18，0）、（0，4）、（0，﹣16）、（0，6）．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平面上两点的距离公式的理解与应用，认真阅读材料，理解两点间的距离公式，注意当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．‎ ‎27．阅读下面的材料，然后解答问题：‎ 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．‎ 理解：‎ ‎①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　（填“是”或“不是”）‎ ‎②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形　是　（填“是”或“不是”）奇异三角形．‎ 探究：‎ 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．‎ 拓展：‎ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．‎ ‎【分析】理解：①根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断；‎ ‎②根据奇异三角形的定义判断；‎ 探究：分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断；‎ 拓展：根据根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可．‎ ‎【解答】解：①设等边三角形的边长为a，‎ ‎∵a2+a2=2a2，‎ ‎∴等边三角形一定是奇异三角形，‎ 故答案为：是；‎ ‎②∵12+（）2=2×22，‎ ‎∴该三角形是奇异三角形，‎ 故答案为：是；‎ 探究：当c为斜边时，b2=c2﹣a2=50，Rt△ABC不是奇异三角形；‎ 当b为斜边时，b2=c2+a2=150，‎ ‎∵50+150=2×100，‎ ‎∴Rt△ABC是奇异三角形；∴a2+b2=2c2‎ ‎∴Rt△ABC是奇异三角形 拓展：Rt△ABC中，∠C=90°，‎ ‎∴a2+b2=c2，‎ ‎∵c＞b＞a，‎ ‎∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，‎ ‎∵Rt△ABC是奇异三角形，‎ ‎∴2b2=a2+c2，‎ ‎∴2b2=a2+a2+b2，‎ ‎∴b2=2a2，‎ ‎∵a2+b2=c2，‎ ‎∴c2=3a2，‎ ‎∴a2：b2：c2=1：2：3．‎ ‎【点评】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论．‎ ‎28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）求CD的长．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理计算；‎ ‎（2）根据三角形的面积公式计算即可；‎ ‎（3）根据三角形的面积公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）由勾股定理得，AB==25；‎ ‎（2）△ABC的面积=×BC×AC=150；‎ ‎（3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD=150‎ 则CD==12．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎29．阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：‎ ‎（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ‎　10　．‎ ‎（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．‎ ‎（3）如图2，点A在数轴上表示的数是　﹣　，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理计算；‎ ‎（2）根据勾股定理求出AD，根据题意求出BD；‎ ‎（3）根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，‎ 则这个直角三角形斜边长==10，‎ 故答案为：10；‎ ‎（2）在Rt△ADC中，AD==2，‎ ‎∴BD=AD=2；‎ ‎（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，‎ 由勾股定理得，OC=，‎ 以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键．‎ ‎30．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．‎ ‎（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．‎ ‎（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．‎ ‎（2）设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③‎ 当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）是．‎ 理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，‎ ‎∴AM2+NB2=MN2，‎ ‎∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，‎ ‎∴点M、N是线段AB的勾股分割点．‎ ‎（2）设BN=x，则MN=24﹣AM﹣BN=18﹣x，‎ ‎①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，‎ 即（18﹣x）2=x2+36，‎ 解得x=8；‎ ‎②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．‎ 即x2=36+（18﹣x）2，‎ 解得x=10，‎ 综上所述，BN=8或10．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．‎ ‎31．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．‎ ‎【分析】根据S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，利用三角形以及梯形的面积公式即可证明．‎ ‎【解答】证明：∵S梯形ABEF=（EF+AB）•BE=（a+b）•（a+b）=（a+b）2，‎ ‎∵Rt△CDA≌Rt△CGF，‎ ‎∴∠ACD=∠CFG，‎ ‎∵∠CFG+∠GCF=90°，‎ ‎∴∠ACD+∠GCF=90°，‎ 即∠ACF=90°，‎ ‎∵S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，‎ ‎∴S梯形ABEF=ab+ab+c2，‎ ‎∴（a+b）2=ab+ab+c2‎ ‎∴a2+2ab+b2=2ab+c2，‎ ‎∴a2+b2=c2．‎ ‎【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们的数形结合的思想方法．‎ ‎32．在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．‎ ‎（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；‎ ‎（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为　180°﹣α　；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为　α　（用含α的式子表示）．‎ ‎【分析】（1）把A、D向右平移BC的距离即可得到对应点F、E，然后连接EF、FC、EC即可；‎ ‎（2）易证四边形ABCF为矩形，则AC=BF，在直角△BEF中，利用勾股定理即可求解；‎ ‎（3）当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，再求出∠BAD．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎（2）连接BF．‎ ‎∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，‎ ‎∴AD∥EF，AD=EF；AB∥FC，AB=FC．‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCF为矩形．‎ ‎∴AC=BF．‎ ‎∵AD⊥BE，‎ ‎∴EF⊥BE．‎ ‎∵AD=a，AC=b，‎ ‎∴EF=a，BF=b．‎ ‎（3）①如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，‎ ‎∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α，‎ ‎∴∠BFC=α，‎ ‎∴∠EFC=180°﹣α．‎ ‎∴∠BAD=180°﹣α．‎ ‎②如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，‎ ‎∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α，‎ ‎∴AC=BF，且互相平分，‎ ‎∴∠BAC=∠ABF，∠BFC=∠ACF，‎ ‎∵∠AOB=∠COF，‎ ‎∴∠BAC=∠ABF=∠BFC=∠ACF，‎ ‎∴∠BFC=∠BAC=α，‎ ‎∴∠BAD=α．‎ 故答案为：180°﹣α，α．‎ ‎【点评】本题主要考查勾股定理及图形平移的性质，一定要掌握图形平移后边的大小，形状不变．‎ ‎33．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．‎ ‎【分析】作出辅助线，构建直角三角形，使AD成为直角三角形的一条边，根据勾股定理求解．‎ ‎【解答】解：如图，过A作AE∥BC交CD于E，过B作BF⊥AE于F，作CG⊥AE于G，‎ 则∠1=45°，∠2=60°，‎ 则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCGF为矩形，‎ 又因为AB=，BC=5﹣，‎ 所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，‎ 所以CE=CG=2，EG=CG=1‎ 所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6‎ DE=CD﹣EC=6﹣2=4‎ 过D作DM⊥AE延长线于M ‎∠MED=180°﹣∠AED=180°﹣∠BCD=180°﹣120°=60°‎ 所以EM=DE=2，DM=DE=2‎ 在Rt△AMD中，AD=‎ ‎【点评】本题考查的是直角三角形中勾股定理的运用，作辅助线构建可以运用勾股定理的直角三角形是解题的关键．‎