中考数学压轴题解题技巧及训练1 37页

中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。‎ 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。‎ 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。‎ 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。‎ 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。‎ 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。‎ 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。‎ 解中考压轴题技能技巧：‎ 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。‎ 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。‎ 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。‎ 中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。‎ 示例：（以2009年河南中考数学压轴题）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?‎ ‎②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.‎ 解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 得 8=‎16a+4b ‎ ‎ 0=‎64a+8b 解得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 ‎（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.‎ ‎∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分 ‎∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.‎ ‎∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=， t2=，t3= ． …………………11分 中考数学《三类押轴题》专题训练 ‎ 第一类：选择题押轴题 ‎1. （2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】‎ A．k＜ B．k＜且k≠‎0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0‎ ‎【题型】方程类代数计算。‎ ‎【考点】 ； 【方法】 。‎ ‎2. （2008武汉市3分）下列命题：‎ ‎①若，则； ‎ ‎②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.‎ 其中正确的是（　　）．‎ Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．‎ ‎【题型】方程、等式、不等式类代数变形或计算。‎ ‎【考点】 ； 【方法】 。‎ ‎3. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【题型】代数类函数计算。‎ ‎【考点】 ； 【方法】 。‎ ‎4. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣‎2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+‎4c＜0；④‎8a+c＞0．其中正确的有【 】‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【题型】函数类代数间接多选题。‎ ‎【考点】 ； 【方法】 。‎ ‎5. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°‎ ‎，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）‎ ‎ A．　　 　B．　　‎ ‎　C． 　　　D．‎ ‎【题型】几何类动态问题计算。‎ O A F C E B ‎【考点】 ； 【方法】 。‎ ‎6. （2012年福建3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）‎ A . EF>AE+BF B. EFDE,所以BD+AC>AB,而当AC∥DB时，BD+AC=AB,故选C.‎ 答案:C 好题4：求点P（2，3）关于直线=1的对称点的坐标．‎ 解析：本题容易出现错解：点P（2，3）关于直线=1的对称点的坐标为（-2，3）．错解分析：误将直线=1当作轴（即直线=0）．在平面直角坐标系中点P（a，b）关于直线=h的对称点．由于受关于坐标轴对称的点的坐标特点的思维定势的影响，不少同学以为点P（a，b）关于直线=h的对称点也为P（-a，b），这是一种错误思路，在学习中应结合图形加以分析．‎ 答案：点P（2，3）关于直线=1的对称点的坐标为（0，3）．‎ 好题5：如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，‎ 点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．‎ ‎（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ；‎ ‎（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．‎ 解析：理解直角梯形的性质，理解翻折的实质.‎ 答案：（1）2 （2）‎ 考点十 统计与概率 ‎【易错分析】‎ 易错点1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数.‎ 易错点2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性.不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息.‎ 易错点3：对全面调查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误.‎ 易错点4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差.‎ 易错点5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率.‎ ‎【好题闯关】‎ 好题1.在一次数学竞赛中，10名学生的成绩如下： 75 80 80 70 85 95 70 65 70 80.则这次竞赛成绩的众数是多少？‎ 解析：对众数的概念理解不清，会误认为这组数据中80出现了三次，所以这组数据的众数是80.根据众数的意义可知，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数.而在数据中70也出现了三次，所以这组数据是众数有两个.‎ 答案：这组数据的众数是70和80.‎ 好题2.某班53名学生右眼视力（裸视）的检查结果如下表所示：‎ ‎　　则该班学生右眼视力的中位数是_______．‎ 解析：本题表面上看视力数据已经排序，可以求视力的中位数，有的同学会误认为：因为11个数据按照大小的顺序排列有：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、1.0、1.2、1.5，则知排在第6个的数是0.6.但注意观察可以发现：题目中的视力数据实际是小组数据，小组的人数才是视力数据的真正个数．因此，不能直接求视力数据的中位数，而应先求出53名学生视力数据的中间数据，即第27名学生的视力就是本班学生右眼视力的中位数．‎ 答案：（53+1）÷2=27，所以第27名学生的右眼视力为中位数，从表中人数栏数出第27名学生所对应的右眼视力为0.8，即该班学生右眼视力的中位数是0.8．‎ 好题3. 样本―a, ―1,0,1,a的方差是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：本例中因为数据0不影响求出的平均数，因此常常会被忽略为一个数据的存在，导致算出样本的平均数是0则的失误.‎ 答案：平均数是0，，选C.‎ 好题4.如图，一则报纸上广告绘制了下面的统计图，并称“乙品牌牛奶每天销售量是甲品牌牛奶每天销售量的3倍”.请分析这则广告信息正确吗？‎ 解析：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性.不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息.从图中标明的数据看，甲牛奶每天的销售量是510万袋，乙牛奶的每天的销售量是530万袋，只比甲种牛奶多了20万袋.乙牛奶的销售量并不是甲品牌牛奶销售量的3倍.由于统计图制作的不规范，容易误导消费者认为乙牛奶是消费是甲牛奶消费的3倍.‎ 答案：基于上面的剖析，这则广告的宣传是不正确的.‎ 好题5.指出下列调查运用那种调查方式合适：‎ ‎（1）为了了解全班学生中观看“开心辞典”这一节目的人数作的调查；‎ ‎（2）为了了解中学生的身体发育情况，对全国八年级男生的身高情况作的调查；‎ ‎（3）为了了解一批药物的药效持续时间作的调查；‎ ‎（4）为了了解全国的“甲流”疫情作的调查；‎ ‎（5）为了了解全校初中三年级学生的学习压力情况作的调查.‎ 解析：全面调查可以直接获得总体的情况，结果准确，但是收集、整理、计算数据的工作量大．当总体中个体的数目较多时，无法对所有个体进行调查，或调查本身带有破坏性,不能全面调查时就要采取抽样调查的方法，其优点是调查范围小，节省人力、物力、时间，但调查结果不如普查准确．因此，在实际生活中，要收集数据是采取普查的方式还是采取抽样调查的方式，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小．在本题中，要调查全班学生中观看“开心辞典”‎ 这一节目的人数，由于调查范围很小，因此用全面调查的方式合适；要调查全国八年级男生的身高情况，由于调查范围太大，实现的可能性极小，加之对调查结果的精确度要求并不是太高，因此用抽样调查的方式合适；要了解一批药物的药效持续时间，普查具有破坏性，因此适合作抽样调查；全国的“甲流”疫情，关系到国计民生，即使代价再大，也要采取普查的方式；要调查全校初中三年级学生的学习压力情况，由于调查范围很小，因此用全面调查的方式合适.‎ 答案：（1）、（4）、（5）用全面调查的方式合适，（2）、（3）用抽样调查的方式合适．‎ 好题6．买彩票中奖的概率是，买1000张彩票是否能中奖？‎ 解析：即使告诉你中奖的概率是，买1000张彩票也不一定能中奖，因为买的每一张彩票是否中奖仍然是不确定事件．‎ 答案：不一定会中奖． ‎ 好题7.将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.随机地抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，试利用树状图探究能组成哪些两位数？恰好是“偶数”的可能性为多少？‎ 解析：本例中没有很好的理解抽取卡片的操作程序，忽略了关键词“放回后再抽取”，从而导致失误.‎ 答案：正确的树状分析图如下：‎ 能组成11，12，13，21，22，23，31，32，33，恰为偶数的可能性是：.‎ 好题8. 动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，那么现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？‎ 解析：不能简单地将本题看成概率的累加，应计算这种动物从20岁活到25岁的数量与活到20岁的数量的比．‎ 答案：设出生时动物数量为a，则活到20岁的数量为‎0.8a，活到25岁的数量为‎0.5a，所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．‎