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- 2021-05-10 发布
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2016年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷
一、选择题:(本题共12小题,每题3分,满分36分)
1.﹣2016的倒数是( )
A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣
2.嗨,喜欢上网吗?现在互联网已经成为生活中不可缺少的一部分,假如您在“百度”搜索引擎中输入“乐陵”,能搜索到与之相关的网页约23300000个,将这个数用科学记数法表示为( )
A.2.33×105 B.2.33×106 C.2.33×107 D.2.33×108
3.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. =±3 B.(m2)3=m6 C.a2•a3=a6 D.(x+y)2=x2+y2
5.已知一组数据:﹣1,x,0,1,﹣2的平均数是0,那么,这组数据的方差是( )
A. B.2 C.4 D.10
6.已知x=,若x在两个相邻整数之间,则这两个整数是( )
A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7
7.如图,已知a∥b,三角形的直角顶点在直线a上,已知∠1=25°18'27'',则∠2的度数是( )
A.25°18'27'' B.64° 41'33'' C.74°41'33'' D.64° 41'43''
8.菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为( )
A.4:1 B.5:1 C.6:1 D.7:1
9.不等式的负整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.忽如一夜春风来,千树万树梨花开.在清明假期期间,小梅和小北姐弟二人准备一起去乐陵大孙乡采摘园赏梨花,但因家中临时有事,必须留下一人在家,于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花.游戏规则是:在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球,它们除颜色外其余都相同.游戏时先由小梅从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀,再由小北从口袋中摸出1个乒乓球,记下颜色.如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同,则小梅赢,否则小北赢.则小北赢的概率是( )
A. B. C. D.
11.关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.2
12.矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止,动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图3可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位:cm2),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是图中的( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题共5题,每题4分,满分20分)
13.分解因式:xy3﹣9xy= .
14.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则点P到AB间的距离是 .
15.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,陈刚同学观察得出了下面四条结论:①b2﹣4ac>0;②c>1;③2a﹣b<0;④a+b+c<0.其中正确的序号有 .
16.阅读下列材料:设=0.333…①,则10x=3.333…②,则由②﹣①得:9x=3,即.所以=0.333…=.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. = , = .
17.两个反比例子函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,…,P2016在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,…,x2016,纵坐标分别是1,3,5,…,共2016个连续奇数,过点P1,P2,P3,…,P2016分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2016(x2016,y2016),则y2016= .
三、解答题:(本大题共7题,满分64分)
18.先化简:,若其结果等于,试确定x的值.
19.父母恩情似海深,人生莫忘父母恩,乐陵市教育局为了了解学生孝敬父母的情况(选项:A.为父母洗一次脚;B.帮父母做一次家务;C.给父母买一件礼物;D.其它),在全市范围内随机抽取了若干名中小学生进行调查,得到如图表(部分信息未给出):根据以上信息解答下列问题:
学生孝敬父母情况统计表:
选项
频数
频率
A
m
0.15
B
60
p
C
n
0.4
D
48
0.2
(1)这次被调查的学生有多少人?
(2)求表中m,n,p的值,并补全条形统计图.
(3)若乐陵市约有64000名中小学生,估计全市全体学生中选择B选项的有多少人?
20.现在的乐陵已经实现村村通公路,现有两个城镇A、B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部.
(1)那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
(2)设AB的垂直平分线交ME于点N,且MN=4(+1)km,在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向,在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向,求点C到公路ME的距离.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
(1)求证:BE=CE;
(2)求∠CBF的度数;
(3)若AB=6,求的长.
22.你喜欢看3D电影吗?乐陵市某电影院放映了新上映3D电影《圣斗士星矢:圣域传说》,对外销售电影票时,对团体购买电影票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价60元,这样按原定票价需花费5000元购买的票张数,现在只花费了4000元.
(1)求每张电影票的原定票价;
(2)根据实际情况,电影院活动组织者决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价共降了57元,求平均每次降价的百分率.
23.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
24.如图1,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B两点,且3a﹣b=﹣1.
(1)请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿A→B、B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E、F随之停止运动.设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
2016年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本题共12小题,每题3分,满分36分)
1.﹣2016的倒数是( )
A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣
【考点】倒数.
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案.
【解答】解:﹣2016的倒数是﹣.
故选D.
2.嗨,喜欢上网吗?现在互联网已经成为生活中不可缺少的一部分,假如您在“百度”搜索引擎中输入“乐陵”,能搜索到与之相关的网页约23300000个,将这个数用科学记数法表示为( )
A.2.33×105 B.2.33×106 C.2.33×107 D.2.33×108
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:2330 0000=2.33×107,
故选:C.
3.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图为( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形,可得答案.
【解答】解:从上边看从上边看第一层是一个小正方形,第二层是第一层正上一个小正方形,右边一个小正方形,
故选:D.
4.下列运算正确的是( )
A. =±3 B.(m2)3=m6 C.a2•a3=a6 D.(x+y)2=x2+y2
【考点】幂的乘方与积的乘方;算术平方根;同底数幂的乘法;完全平方公式.
【分析】根据算术平方根的性质、完全平方公式以及幂的各种运算法则逐项分析即可.
【解答】解:
A、=3≠±3,故选项错误;
B、(m2)3=m6,故选项正确;
C、a2•a3=a5≠a6,故该选项错误;
D、(x+y)2=x2+y2+2xy≠x2+y2,故该选项错误,
故选B.
5.已知一组数据:﹣1,x,0,1,﹣2的平均数是0,那么,这组数据的方差是( )
A. B.2 C.4 D.10
【考点】方差;算术平均数.
【分析】先由平均数的公式计算出x的值,再根据方差的公式计算.一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为, =(x1+x2+…+xn),则方差S2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2].
【解答】解:∵x=0×5﹣(﹣1)﹣0﹣1﹣(﹣2)=2,
∴s2= [(﹣1﹣0)2+(2﹣0)2+(0﹣0)2+(1﹣0)2+(﹣2﹣0)2]=2.
故选:B.
6.已知x=,若x在两个相邻整数之间,则这两个整数是( )
A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7
【考点】估算无理数的大小.
【分析】根据根式的除法法则把原式进行化简,再估算出x的取值范围即可.
【解答】解:x==+=4+,
∵4<6<16,
∴2<<4,
∴1<<2,
∴5<4+<6,即5<x<6.
故选C.
7.如图,已知a∥b,三角形的直角顶点在直线a上,已知∠1=25°18'27'',则∠2的度数是( )
A.25°18'27'' B.64° 41'33'' C.74°41'33'' D.64° 41'43''
【考点】平行线的性质.
【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:∵∠1=25°18'27'',
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°18'27''=64°41′33″.
∵a∥b,
∴∠2=∠3=64°41′33″.
故选B.
8.菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为( )
A.4:1 B.5:1 C.6:1 D.7:1
【考点】菱形的性质.
【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2,再根据直角三角形的性质求出∠B=30°,得出∠DAB=150°,即可得出结论.
【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD是菱形,菱形的周长为8,
∴AB=BC=CD=DA=2,∠DAB+∠B=180°,
∵AE=1,AE⊥BC,
∴AE=AB,
∴∠B=30°,
∴∠DAB=150°,
∴∠DAB:∠B=5:1;
故选:B.
9.不等式的负整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】一元一次不等式的整数解.
【分析】先求出不等式组的解集,再求不等式组的整数解.
【解答】解:去分母得,x﹣7+2<3x﹣2,
移项得,﹣2x<3,
解得x>﹣.
故负整数解是﹣1,共1个.
故选A.
10.忽如一夜春风来,千树万树梨花开.在清明假期期间,小梅和小北姐弟二人准备一起去乐陵大孙乡采摘园赏梨花,但因家中临时有事,必须留下一人在家,于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花.游戏规则是:在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球,它们除颜色外其余都相同.游戏时先由小梅从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀,再由小北从口袋中摸出1个乒乓球,记下颜色.如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同,则小梅赢,否则小北赢.则小北赢的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】利用树状图分别列举出所有可能,根据树状图可得:共有9种情况,乒乓球颜色不相同的情况有4中,进而可得小北赢的概率.
【解答】解:如图:
根据树状图可知,
P(小北赢)=,
故选:D.
11.关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.2
【考点】根与系数的关系;根的判别式.
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣,x1x2=,整理原式即可得出关于a的方程求出即可.
【解答】解:依题意△>0,即(3a+1)2﹣8a(a+1)>0,
即a2﹣2a+1>0,(a﹣1)2>0,a≠1,
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a,
∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a,
∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a,
∴﹣=1﹣a,
解得:a=±1,又a≠1,
∴a=﹣1.
故选:B.
12.矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止,动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图3可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位:cm2),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是图中的( )
A. B. C. D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据题意可以分别求出各段对应的函数解析式,从而可以得到各段对应的函数图象,从而可以解答本题.
【解答】解:由题意可得,
当0≤x≤4时,y=6×8﹣2x•x=﹣2x2﹣48,函数图象是抛物线的一部分,开口向下,
当4<x≤6时,y=6×8﹣8x=﹣8x+48,函数图象是直线的一部分,
故选A.
二、填空题:(本大题共5题,每题4分,满分20分)
13.分解因式:xy3﹣9xy= xy(y+3)(y﹣3) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=xy(y2﹣9)=xy(y+3)(y﹣3),
故答案为:xy(y+3)(y﹣3)
14.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则点P到AB间的距离是 0.9m .
【考点】相似三角形的应用;中心投影.
【分析】根据AB∥CD,易得,△PAB∽△PCD,根据相似三角形对应高之比等于对应边之比,列出方程求解即可.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴△PAB∽△PCD,
∴,
假设P到AB距离为x,
则=,
x=0.9.
故答案为:0.9m.
15.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,陈刚同学观察得出了下面四条结论:①b2﹣4ac>0;②c>1;③2a﹣b<0;④a+b+c<0.其中正确的序号有 ①③④ .
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:(1)根据图示知,该函数图象与x轴有两个交点,
所以△=b2﹣4ac>0,故本选项正确;
(2)由图象知,该函数图象与y轴的交点在点(0,1)上,
所以c=1,故本选项错误;
(3)由图示,知
对称轴x=﹣>﹣1;
又函数图象的开口方向向下,
所以a<0,
所以﹣b<﹣2a,即2a﹣b<0,故本选项正确;
(4)根据图示可知,当x=1,即y=a+b+c<0,
即a+b+c<0,故本选项正确;
故答案为:①③④;
16.阅读下列材料:设=0.333…①,则10x=3.333…②,则由②﹣①得:9x=3,即.所以=0.333…=.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. = , = .
【考点】无理数.
【分析】根据阅读材料,可以知道,可以设=x,根据10x=7.777…,即可得到关于x的方程,求出x即可;
根据=1+即可求解.
【解答】解:设=x=0.777…①,
则10x=7.777…②
则由②﹣①得:9x=7,即x=;
根据已知条件=0.333…=.
可以得到=1+=1+=.
故答案为:;.
17.两个反比例子函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,…,P2016在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,…,x2016,纵坐标分别是1,3,5,…,共2016个连续奇数,过点P1,P2,P3,…,P2016分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),…,Q2016(x2016,y2016),则y2016= .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据点Pn的纵坐标可求出其横坐标,根据xn的变化找出变化规律“xn=(n为正整数)”,再结合Qn(xn,yn)在反比例函数y=的图象上,即可得出yn=,由此即可得出结论.
【解答】解:观察,发现规律:x1==6,x2==2,x3=,x4=,…,
∴xn=(n为正整数),
∵点Qn(xn,yn)在反比例函数y=的图象上,
∴yn===.
当n=2016时,y2016==.
故答案为:.
三、解答题:(本大题共7题,满分64分)
18.先化简:,若其结果等于,试确定x的值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先将除法转化为乘法,再将括号内的部分通分相加,约分即可.
【解答】解:原式=••(+)
=••
=,
当原式=时, =,
解得x=±.
19.父母恩情似海深,人生莫忘父母恩,乐陵市教育局为了了解学生孝敬父母的情况(选项:A.为父母洗一次脚;B.帮父母做一次家务;C.给父母买一件礼物;D.其它),在全市范围内随机抽取了若干名中小学生进行调查,得到如图表(部分信息未给出):根据以上信息解答下列问题:
学生孝敬父母情况统计表:
选项
频数
频率
A
m
0.15
B
60
p
C
n
0.4
D
48
0.2
(1)这次被调查的学生有多少人?
(2)求表中m,n,p的值,并补全条形统计图.
(3)若乐陵市约有64000名中小学生,估计全市全体学生中选择B选项的有多少人?
【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表.
【分析】(1)根据类的频数是48,对应的频率是0.2,据此即可求得调查的总人数;
(2)根据频率公式:频率=即可求解;
(3)利用总人数乘以对应的频率即可求解.
【解答】解:(1)有图表信息可得,调查的人数=48÷0.2=240(人);
(2)p=60÷240=0.25,n=240×0.4=96,m=240×0.15=36,
;
(3)64000×0.25=16000,
答:估计全市全体学生中选择B选项的有16000人.
20.现在的乐陵已经实现村村通公路,现有两个城镇A、B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部.
(1)那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
(2)设AB的垂直平分线交ME于点N,且MN=4(+1)km,在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向,在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向,求点C到公路ME的距离.
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】(1)依题意找出点C如图所示,
(2)先判断出∠CMN=30°,∠CND=45°,再用三角函数得出MD=CD;ND=CD即可.
【解答】解:(1)如图:
∴点C就是所求作的点;
(2)如下图,作CD⊥MN于点D,
由题意得:∠CMN=30°,∠CND=45°,
∵在Rt△CMD中, =tan∠CMN,
∴MD==CD;
∵在Rt△CND中, =tan∠CNM,
∴ND==CD;
∵MN=2(+1)km,
∴MN=MD+DN=CD+CD=4(+1)km,
解得:CD=4km.
∴点C到公路ME的距离为4km.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
(1)求证:BE=CE;
(2)求∠CBF的度数;
(3)若AB=6,求的长.
【考点】切线的性质;圆周角定理;弧长的计算.
【分析】(1)连接AE,求出AE⊥BC,根据等腰三角形性质求出即可;
(2)求出∠ABC,求出∠ABF,即可求出答案;
(3)求出∠AOD度数,求出半径,即可求出答案.
【解答】(1)证明:连接AE,
∵AB是⊙O直径,
∴∠AEB=90°,
即AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE.
(2)解:∵∠BAC=54°,AB=AC,
∴∠ABC=63°,
∵BF是⊙O切线,
∴∠ABF=90°,
∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°.
(3)解:连接OD,
∵OA=OD,∠BAC=54°,
∴∠AOD=72°,
∵AB=6,
∴OA=3,
∴弧AD的长是=.
22.你喜欢看3D电影吗?乐陵市某电影院放映了新上映3D电影《圣斗士星矢:圣域传说》,对外销售电影票时,对团体购买电影票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价60元,这样按原定票价需花费5000元购买的票张数,现在只花费了4000元.
(1)求每张电影票的原定票价;
(2)根据实际情况,电影院活动组织者决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价共降了57元,求平均每次降价的百分率.
【考点】一元二次方程的应用;分式方程的应用.
【分析】(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x﹣60)元,根据“按原定票价需花费5000元购买的票张数,现在只花费了4000元”建立方程,解方程即可;
(2)设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价共降了57元”建立方程,解方程即可.
【解答】解:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x﹣60)元,根据题意列方程得
=,
解得:x=300,
经检验,x=300是原分式方程的根.
答:电影票的价格是300元/张;
(2)设平均每次降价的百分率为y,根据题意得
300(1﹣y)2=300﹣57,
解得:y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去),
答:平均每次降10%.
23.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S1=S2 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°,然后根据内错角相等,两直线平行解答;
②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;
(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;
(3)过点D作DF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE中求出BE的长,即可得解.
【解答】解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
故答案为:DE∥AC;S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等边三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴点F2也是所求的点,
∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,
又∵BD=4,
∴BE=×4÷cos30°=2÷=,
∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,
故BF的长为或.
24.如图1,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B两点,且3a﹣b=﹣1.
(1)请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿A→B、B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E、F随之停止运动.设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据点A、B的坐标和3a﹣b=1利用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)①运动开始t秒时,EB=6﹣t,BF=t,根据三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式,利用配方法即可得出最值问题;
②假设存在,结合①可得出点E、F的坐标,分别以BE、BF、EF为对角线根据平行四边形的性质求出点R的坐标,再由点R在抛物线上利用二次函数图象上的坐标特征确定点R的坐标,此题得解.
【解答】解:(1)已知点A(0,6),B(6,6)在抛物线上,且3a﹣b=﹣1,
∴,解得:,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+6.
(2)①运动开始t秒时,EB=6﹣t,BF=t,
S=BE•BF=(6﹣t)t=﹣t2+3t=﹣(t﹣3)2+.
当t=3时,S有最大值.
②假设存在,当S取得最大值时,由①知t=3,
∴点E(3,6),点F(6,3).
以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图):
(i)以BE为对角线时,
∵点B(6,6),点E(3,6),点F(6,3),
∴点R(6+3﹣6,6+6﹣3),即(3,9);
(ii)以BF为对角线时,
∵点B(6,6),点E(3,6),点F(6,3),
∴点R(6+6﹣3,6+3﹣6),即(9,3);
(iii)以EF为对角线时,
∵点B(6,6),点E(3,6),点F(6,3),
∴点R(6+3﹣6,6+3﹣6),即(3,3).
∵点R在抛物线y=﹣x2+x+6上,
∴点R的坐标为(9,3).
故抛物线上存在点R(9,3),使得四边形EBRF为平行四边形.