2012中考数学压轴题函数相似三角形问题三 10页

2012 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例 5 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使 得以 A、P、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得△DCA 的面积最大，求出点 D 的坐 标． , 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，△ PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧”、“ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右 侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景． 双击按钮“第(3)题”， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状 和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，△DCA 的面积最大． 思路点拨 1．已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简 便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA． 满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代入点 C 的 坐标（0，－2），解得 ．所以抛物线的解析 式为 ． （2）设点 P 的坐标为 ． ①如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1＜x＜4， ， ． 如果 ，那么 ．解得 不合题意． 如果 ，那么 ．解得 ． 此时点 P 的坐标为（2，1）． ②如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x＞4， ， ． 解方程 ，得 ．此时点 P 的坐标为 ． 解方程 ，得 不合题意． ③如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x＜1， ， ． )4)(1( −−= xxay 2 1−=a 22 5 2 1)4)(1(2 1 2 −+−=−−−= xxxxy ))4)(1(2 1,( −−− xxx )4)(1(2 1 −−−= xxPM xAM −= 4 2== CO AO PM AM 24 )4)(1(2 1 =− −−− x xx 5=x 2 1== CO AO PM AM 2 1 4 )4)(1(2 1 =− −−− x xx 2=x )4)(1(2 1 −−= xxPM 4−= xAM 24 )4)(1(2 1 =− −− x xx 5=x )2,5( − 2 1 4 )4)(1(2 1 =− −− x xx 2=x )4)(1(2 1 −−= xxPM xAM −= 4 解方程 ，得 ．此时点 P 的坐标为 ． 解方程 ，得 ．此时点 P 与点 O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或 ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E．直线 AC 的解析式为 ． 设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为 ．所以 ． 因此 ． 当 时，△DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1）． 24 )4)(1(2 1 =− −− x xx 3−=x )14,3( −− 2 1 4 )4)(1(2 1 =− −− x xx 0=x )14,3( −− )2,5( − 22 1 −= xy )41( << m )22 5 2 1,( 2 −+− mmm )22 1,( −mm )22 1()22 5 2 1( 2 −−−+−= mmmDE mm 22 1 2 +−= 4)22 1(2 1 2 ×+−=∆ mmS DAC mm 42 +−= 4)2( 2 +−−= m 2=m 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么△DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减 去△CDN 和△ADM 的面积． 设点 D 的横坐标为（m，n） ，那么 ． 由于 ，所以 ． 例 6 如图 1，△ABC 中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ ．D 为射线 BA 上的点（点 D 不与 点 B 重合），作 DE//BC 交射线 CA 于点 E.． )41( << m 42)4(2 1)2(2 14)22(2 1 ++−=−−+−×+= nmmnnmnS 22 5 2 1 2 −+−= mmn mmS 42 +−= 3 10 (1) 若 CE＝x，BD＝y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段 BD，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度； (3) 当点 D 在 AB 边上时，BC 边上是否存在点 F，使△ABC 与△DEF 相似？若存在， 请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由． 图 1 备用图 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“09 闸北 25”，拖动点 D 可以在射线 BA 上运动．双击按 钮“第（2）题”，拖动点 D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次． 双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体 验到，△DEF 为等腰三角形． 思路点拨 1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是 等腰三角形． 2．用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点 E 的 位置不同，DE、MN 表示的形式分两种情况． 3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是 否符合题意． 4．第（3）题按照 DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮 助我们轻松解题． 满分解答 （1）如图 2，作 BH⊥AC，垂足为点 H．在 Rt△ABH 中，AB＝5，cosA＝ ，所以 AH＝ ＝ AC．所以 BH 垂直平分 AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB ＝5． 因为 DE//BC，所以 ，即 ．于是得到 ，（ ）． （2）如图 3，图 4，因为 DE//BC，所以 ， ，即 ， ．因此 ，圆心距 ． 图 2 图 3 图 4 在⊙M 中， ，在⊙N 中， ． ①当两圆外切时， ．解得 或者 ． 如图 5，符合题意的解为 ，此时 ． ②当两圆内切时， ． 当 x＜6 时，解得 ，如图 6，此时 E 在 CA 的延长线上， ； 当 x＞6 时，解得 ，如图 7，此时 E 在 CA 的延长线上， ． 3 10 AH AB = 3 2 1 2 AB AC DB EC = 5 3 y x = 5 3y x= 0x > DE AE BC AC = MN AN BC AC = | 3 | 5 3 DE x−= 1| 3 |2 5 3 xMN − = 5| 3 | 3 xDE −= 5| 6 | 6 xMN −= 1 1 5 2 2 6Mr BD y x= = = 1 1 2 2Nr CE x= = 5 1 6 2x x+ 5| 6 | 6 x−= 30 13x = 10x = − 30 13x = 5(3 ) 15 3 13 xDE −= = 5 1 6 2x x− 5| 6 | 6 x−= 30 7x = 5( 3) 15 3 7 xDE −= = 10x = 5( 3) 35 3 3 xDE −= = 图 5 图 6 图 7 （3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰 三角形． 如图 8，当 D、E、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形 DEF 的腰，符合 题意，此时 BF＝2.5．根据对称性，当 F 在 BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时 BF ＝4.1． 如图 9，当 DE 为等腰三角形 DEF 的底边时，四边形 DECF 是平行四边形，此时 ． 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图 10，如图 11，AH 是△ABC 的高，D、E、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形 DEHF 是等腰梯形． 例 7 125 34BF = 如图 1，在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0，t），点 Q（t，b）．平移二次函数 的图象，得到的抛物线 F 满足两个条件：①顶点为 Q；②与 x 轴相交于 B、C 两点 （∣OB∣<∣OC∣），连结 A，B． （1）是否存在这样的抛物线 F，使得 ？请你作出判断，并说明 理由； （2）如果 AQ∥BC，且 tan∠ABO＝ ，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“08 杭州 24”，拖动点 A 在 y 轴上运动，可以体验到，AQ 与 BC 保持平行，OA∶OB 与 OA∶OB′保持 3∶2． 双击按钮“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，抛物线正好经过 点 B（或 B′）． 思路点拨 1．数形结合思想，把 转化为 ． 2txy −= OCOBOA ⋅=2 2 3 OCOBOA ⋅=2 2 1 2t x x= ⋅ 2．如果 AQ∥BC，那么以 OA、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到 t＝b． 3．分类讨论 tan∠ABO＝ ，按照 A、B、C 的位置关系分为四种情况．A 在 y 轴正 半轴时，分为 B、C 在 y 轴同侧和两侧两种情况；A 在 y 轴负半轴时，分为 B、C 在 y 轴 同侧和两侧两种情况． 满分解答 （1）因为平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 （t，b），所以抛物线 对应的解析式为 ． 因为抛物线与 x 轴有两个交点，因此 ． 令 ，得 ， ． 所以 )( )| ．即 ．所以当 时，存在抛物线 使得 ． （2）因为 AQ//BC，所以 t＝b，于是抛物线 F 为 ．解得 ． ①当 时，由 ，得 ． 如图 2，当 时，由 ，解得 ．此时二次函 数的解析式为 ． 如图 3，当 时，由 ，解得 ．此时二次 函数的解析式为 ＋ ＋ ． 2 3 2txy −= F Q F btxty +−−= 2)( 0>bt 0=y −= tOB t b += tOC t b −=⋅ tOCOB (||||| t b +t t b −= 2| t 22| OAtt b == 32tb = F |||||| 2 OCOBOA ⋅= ttxty +−−= 2)( 1,1 21 +=−= txtx 0>t |||| OCOB < )0,1( −tB 01 >−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1−t t 3=t 24183 2 −+−= xxy 01 <−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1+− t t =t 5 3 −=y 5 3 2x 25 18 x 125 48 2 2bt tt − = ± 图 2 图 3 ②如图 4，如图 5，当 时，由 ，将 代 ,可得 ， ．此时二次函数的解析式为 ＋ － 或 ． 图 4 图 5 考点伸展 第（2）题还可以这样分类讨论： 因为 AQ//BC，所以 t＝b，于是抛物线 F 为 ．由 ，得 ． ①把 代入 ，得 （如图 2，图 5）． ②把 代入 ，得 （如图 3，图 4）． 0