版中考总复习数学人教版湖南专用基础讲练锁定考试目标导学必备知识探究重难方法 圆的有关计算含解析 5页

第26讲　圆的有关计算 考标要求 考查角度 ‎1.会计算圆的弧长和扇形的面积．‎ ‎2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．‎ ‎3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.‎ ‎　　能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.‎ 知识梳理 一、弧长、扇形面积的计算 ‎1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.‎ ‎2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l.‎ 二、圆柱和圆锥 ‎1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.‎ ‎2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.‎ 三、正多边形和圆 ‎1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．‎ ‎2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．‎ ‎3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．‎ ‎4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．‎ ‎5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．‎ 温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．‎ ‎(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．‎ ‎(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．‎ ‎(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．‎ 四、不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：‎ ‎1．直接用公式求解．‎ ‎2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．‎ ‎3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．‎ ‎4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．‎ ‎5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．‎ 自主测试 ‎1．已知圆柱的底面半径为‎2 cm，高为‎5 cm，则圆柱的侧面积是(　　)‎ A．‎20 cm2 B．20π cm‎2 C．10π cm2 D．5π cm2‎ ‎2．(2019浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为‎3 cm，母线长为‎10 cm，则这个圆锥的侧面积为(　　)‎ A．15π cm2 B．30π cm‎2 C．60π cm2 D．‎3 cm2[来源:ZXXK]‎ ‎3．(2019四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(　　)‎ A．120° B．180° C．240° D．300°‎ ‎4．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)‎ ‎5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2. ‎ ‎(1)求OE和CD的长；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ 考点一、弧长、扇形的面积 ‎【例1】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝‎4 cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为(　　)‎ A．‎4 cm B．‎8 cm C．π cm D．π cm 解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：‎ ‎∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，‎ ‎∴∠ACA′＝120°.‎ 又AC＝4，‎ ‎∴的长l＝＝π(cm)．故选D．‎ 答案：D 方法总结 当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝.‎ 触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是(　　) ‎ ‎[来源:学,科,网]‎ A．24π B．36π C．48π D．72π 考点二、圆柱和圆锥 ‎【例2】 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是(　　)‎ A．5π B．4π C．3π D．2π 解析：侧面积是：×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C．‎ 答案：C 方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．‎ 触类旁通2如图，把一个半径为‎12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.‎ 考点三、阴影面积的计算 ‎【例3】 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝2，∠DPA＝45°. ‎ ‎(1)求⊙O的半径；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ 解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝.‎ ‎∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE.‎ 又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.‎ 在Rt△COE中，OE＝＝＝2.‎ ‎∴⊙O的半径为2.‎ ‎(2)连接OF，如图所示．‎ 在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，‎ ‎∴∠D＝90°－45°＝45°.‎ ‎∴∠EOF＝2∠D＝90°.‎ ‎∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2.[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.‎ 方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：[来源:学&科&网]‎ ‎(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．‎ ‎(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．‎ ‎(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．‎ ‎(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．‎ ‎1. (2019湖南娄底)如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎2．(2019湖南长沙)在半径为‎1 cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________ cm.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎3．(2019湖南张家界)已知圆锥的底面直径和母线长都是‎10 cm，则圆锥的侧面积为__________．‎ ‎4．(2019湖南郴州)圆锥底面圆的半径为‎3 cm，母线长为‎9 cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2.(结果保留π)‎ ‎5．(2019湖南衡阳)如图，已知⊙O的半径为‎6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，是劣弧的长为__________cm. ‎ ‎6. (2019湖南岳阳)如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与弦AB交于点F，连接BC．‎ ‎(1)求证：AC2＝AB·AF；‎ ‎(2)若⊙O的半径为‎2 cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎1. 如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长为(　　) ‎ A． B． C． D． ‎2．已知圆锥底面圆的半径为‎6 cm，高为‎8 cm，则圆锥的侧面积为(　　)‎ A．‎48 cm2 B．48π cm‎2 C．120π cm2 D．60π cm2‎ ‎3．如图，圆柱的底面周长为‎6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝‎6 cm，点P是母线BC 上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(　　) ‎ A． cm B．‎5 cm C．‎3 cm D．‎‎7 cm ‎4．如图，如果从半径为‎9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　) ‎ A．‎6 cm B．‎3 cm C．‎8 cm D．‎5 cm ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．‎ ‎6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是‎2 cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm2. ‎ ‎7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是A的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．‎ ‎8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E. ‎ ‎(1)求OE的长；‎ ‎(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．‎ 参考答案 ‎【知识梳理】‎ 一、1.　2. 二、1.矩形　周长　高h ‎2．扇形　周长　母线长 三、1.相等　也相等 ‎2．各个顶点 ‎3．外接圆　外接圆 ‎4．距离 ‎5．外接圆　 导学必备知识 自主测试 ‎1．B ‎2．B　因为底面半径为‎3 cm，则周长为6π cm，‎ 所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．‎ ‎3．B　设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，‎ 所以n＝180°.‎ ‎4．24　240π ‎5．解：(1)在△OCE中，‎ ‎∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，‎ ‎∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝，‎ ‎∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2.‎ ‎(2)∵S△ABC＝AB·CE＝×4×＝2，‎ ‎∴S阴影＝π×22－2＝2π－2.‎ 探究考点方法 触类旁通1.C　S＝×2＝×2＝48π.‎ 触类旁通2.4　因为扇形的弧长为×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为＝4(cm)．‎ 品鉴经典考题 ‎1．D　由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的，即π·2＝π.‎ ‎2.π　l＝＝＝π.‎ ‎3．50π　S侧＝πrl＝π×5×10＝50π.‎ ‎4．27π　S侧＝πrl＝π×3×9＝27π.‎ ‎5．2π　连接AO，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.‎ ‎∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.‎ ‎∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC的长为＝2π cm.‎ ‎6．解：(1)证明：∵，∴∠ACF＝∠ABC.‎ ‎∵∠A＝∠A，∴△ACF∽△ABC.∴＝.‎ ‎∴AC2＝AB·AF.‎ ‎(2)连接OA，OC，作OE⊥AC，垂足为点E，‎ ‎∵∠B=60°，∴∠AOC=120°.‎ ‎∴∠OAE=∠OCE=30°.‎ 在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2，‎ ‎∴OE＝1，AE＝.‎ ‎∴AC＝2AE＝2.‎ ‎∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝－×2×1＝π－.‎ 研习预测试题 ‎1．B　2.D　3.B ‎4．B　留下的扇形的弧长为×2×π×9＝12π，‎ 所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.‎ 则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.‎ 而圆锥的母线长为9，‎ 所以由勾股定理，得到圆锥的高为＝3(cm)．‎ ‎5．8－2π　6.2π　7.π ‎8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.‎ ‎∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5.‎ ‎(2)∠A＝∠BOC＝25°，‎ 在Rt△AOE中，sin A＝，∴OA＝.‎ ‎∵∠AOC＝180°－50°＝130°，‎ ‎∴劣弧AC的长＝≈13.4.‎