中考数学中的最值问题解法 25页

中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。‎ 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。‎ 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题：‎ 例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】‎ A． ‎　　　B．　　　C．5　　　D．‎ 例2.在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。‎ 例3.如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ 。‎ 练习题：‎ ‎1. 如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】‎ A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm ‎2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】‎ ‎ A、㎝ B、5cm C、㎝ D、7cm ‎3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ．‎ 二、 应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：‎ 例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ．‎ 例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎　 A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ 例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，‎ 问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？‎ 问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．‎ 问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．‎ 问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．‎ 例4. 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短 时，点B的坐标为【 】‎ A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）‎ 例5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；‎ ‎②四边形CEDF不可能为正方形；‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为．‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ ‎　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 例6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：‎ ‎ 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；‎ ‎ 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；‎ ‎ ‎ ‎ 第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm．‎ 例8. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．‎ 例9. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．‎ ‎（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；‎ ‎（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．‎ 例10.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；‎ ‎（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．‎ 例11. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．‎ ‎（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）‎ 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．‎ ‎（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），‎ ‎①求CE的最大值；‎ ‎②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．‎ ‎（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）‎ 练习题：‎ ‎1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎2如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ ‎3.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，‎ PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 ▲ 　．‎ ‎5.‎ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．‎ ‎（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ ‎（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ 二、 应用轴对称的性质求最值：典型例题：‎ 例1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm．‎ 例2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ 例3. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，‎ 则＝　　▲　　．‎ 例4. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．‎ 例5.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是　　▲　　。‎ 例6. 阅读材料：‎ 例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．‎ 解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．‎ 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。‎ 根据以上阅读材料，解答下列问题：‎ ‎（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）‎ ‎（2）代数式 的最小值为 ．‎ 例7. 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。‎ 如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？‎ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？‎ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：‎ ‎①作点B关于直线l的对称点B′．‎ ‎②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．‎ 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．‎ ‎（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ‎ ‎．‎ 练习题：‎ ‎1. 如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的 最小值为 ▲ ．‎ ‎2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．‎ ‎3.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。‎ ‎(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？‎ ‎(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？‎ ‎4.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】‎ ‎ A、2 B、4 C、 D、‎ ‎5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的 任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的 中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．‎ 四、应用二次函数求最值：典型例题：‎ 例1.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm2．‎ 例2.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　．‎ 例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.‎ ‎(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；‎ ‎(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ ‎(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.‎ 例4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．‎ ‎（1）当α=60°时，求CE的长；‎ ‎（2）当60°＜α＜90°时，‎ ‎①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．‎ 例5.等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）设BP=x。‎ ①若，BM=，求x的值；‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。‎ 例6.如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上 的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.‎ ‎ ⑴当 时，求弦PA、PB的长度；‎ ‎⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？‎ 例7.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ 例8.如图，正三角形ABC的边长为．‎ ‎（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；‎ ‎（2）求（1）中作出的正方形的边长；‎ ‎（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．‎ 例9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？‎ ‎（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．‎ 例10.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BO？‎ ‎（2）设△AQP的面积为S，‎ ‎①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．‎ ‎。‎ 例14.在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，‎ ‎(1)求证：MA=MB ‎(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。‎ 例15.（2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，‎ ‎① 用含x的代数式表示扇形的半径；‎ ‎② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？‎ 例16.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．‎ ‎（1）求证：△BMD∽△CNE；‎ ‎（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？‎ ‎（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．‎ 练习题：‎ ‎1. （2011宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．‎ ‎（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？‎ ‎（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎2.（2011福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。‎ ‎(1) 求CD的长及∠1的度数；‎ ‎(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；‎ ‎(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?‎ ‎3.（2011浙江杭州12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点 E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH 组成的图形称为蝶形。‎ ‎（1）求蝶形面积S的最大值；‎ ‎（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范 围。‎ ‎4. （2011江苏宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．‎ ‎ （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；‎ ‎ （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求 出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．‎ ‎5.（2011江苏淮安12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。‎ 点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点 A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，‎ 以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（＞0），正 方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.‎ ‎ （1）当＝1时，正方形EFGH的边长是 ；‎ 当＝3时，正方形EFGH的边长是 ；‎ ‎（2） 当0＜≤2时，求S与的函数关系式；‎ ‎（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ ‎6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．‎ ‎（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？‎ ‎（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.（2011山东滨州3分）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【 】‎ ‎ A、 B、8cm C、 D、 例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 例3.（2011贵州贵阳3分）‎ 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【 】 ‎ ‎ A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7‎ 例4.（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．‎ 探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ；‎ 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）‎ ‎（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；‎ ‎（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．‎ 发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．‎ 例5.（2011河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．‎ 思考 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．‎ 当α= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ ．‎ 探究一 在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ ．‎ 探究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．‎ ‎（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；‎ ‎（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．‎ ‎（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）‎ 例6.（2011四川成都4分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　 ▲ （计算结果不取近似值）．‎ 例7.（2011陕西省12分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”‎ ‎（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　 　三角形 ‎（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；‎ ‎（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？‎ 图① 图② 图③ 图④‎ 例8.（2011浙江金华、丽水3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为【 】‎ ‎ A、600m B、500m C、400m D、300m 例9.（2011湖北宜昌10分）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2．‎ ‎（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．‎ 例10.（2011山东潍坊3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.‎ 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 ‎140m ‎100m ‎95m ‎90m 线与地面夹角 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 例11.（2011安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，‎ 旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．‎ ‎(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；‎ ‎ (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；‎ (3) 如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长 度最大，最大值为 ．‎ 例12.（黑龙江大庆3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，‎ 切点为B，则线段AB的长度的最小值为【 】‎ A．1 B． C． D．2‎ 例13.（四川资阳9分）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒．‎ ‎(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)‎ ‎(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)‎ ‎(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．(3分)‎ ‎(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)‎ 例14.（2011江西南昌7分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．‎ ‎（1）求∠BAC的度数；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值．‎ ‎（参考数据： ，，.）‎