中考数学 图形的平移轴对称与旋转课标解读典例诠释复习1 19页

第十四单元 图形的平移、轴对称与旋转 第一节 图形的平移 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 图形的平 移 了解平移的概 念；理解平移的 基本性质 能画出简单平面图形平移 后的图形;能利用平移的性 质解决有关简单问题 运用平移的有关 内容解决有关问 题 ★★★★ 知识要点 1.我们将一些基本平面图形沿一定方向移动而产生的平移现象，叫做图形的 ，简称 为 . 2.平移后的图形与原来的图形的对应线段 并且 ，图形的 与大小都 发生变化;平移后对应点所连的线段 或在 并且相等，其线段的长度就是平 移的距离，从原图形上的点到平移后图形上的对应点射线的方向，就是 . 3.平移的主要因素是 和 . 典例诠释 考点一 平移的性质 例 1 (2016·四川成都)如图 1-14-1，面积为 6 的平行四边形纸片 ABCD 中，AB=3， ∠ BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图. ① ② ③ 图 1-14-1 第一步：如图 1-14-1①，将平行四边形纸片沿对角线 BD 剪开，得到△ABD 和△BCD 纸片， 再将△ABD 纸片沿 AE 剪开(E 为 BD 上任意一点)，得到△ABE 和△ADE 纸片； 第二步：如图 1-14-1②，将△ABE 纸片平移至△DCF 处，将△ADE 纸片平移至△BCG 处； 第三步：如图 1-14-1③，将△DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM 处(边 PQ 与 DC 重 合，△PQM 和△DCF 在 DC 同侧)，将△BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处，(边 PR 与 BC 重合，△PRN 和△BCG 在 BC 同侧).则由纸片拼成的五边形 PMQRN 中，对角线 MN 长度的 最小值为 . 【答案】 【名师点评】 本题主要考察平移的性质.根据平移和翻折的性质得到△MPN 是等腰直角三 角形，于是得到当 PM 最小时，对角线 MN 最小，即 AE 取最小值，当 AE⊥BD 时，AE 取最小 值，过 D 作 DF⊥AB 于 F，根据平行四边形的面积得到 DF=2，根据等腰直角三角形的性质得 到 AF=DF=2，由勾股定理得到 BD=＝，根据三角形的面积得到 AE=＝＝，即可得到结论. 考点二 平面直角坐标系中的平移 例 2 (2016·山东聊城)如图 1-14-2，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标 分别为 A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3). (1)若△ABC 经过平移后得到△，已知点的坐标为(4，0)，写出顶点，的坐标； (2)若△ABC 和△关于原点 O 成中心对称图形，写出△的各顶点的坐标； (3)将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°得到△，写出△的各顶点的坐标. 图 1-14-2 图 1-14-3 【解】 (1)如图 1-14-3，△为所作， 因为点 C(－1，3)平移后的对应点的坐标为(4，0)， 所以△ABC 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到△， 所以点的坐标为(2，2)，点的坐标为(3，－2). (2)因为△ABC 和△关于原点 O 成中心对称图形， 所以(3，－5)，(2，－1)，(1，－3). (3)如图 D－14－1，△为所作，(5，3)，(1，2)，(3，1). 【名师点评】 本题考查了坐标与图形变化－旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和 图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°， 90°，180°. 考点三 平移与面积 例3 (2016·四川自贡)如图1-14-4，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5， 点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x－6 上时，线段 BC 扫过的面积为 . 图 1-14-4 【答案】 6 【名师点评】 此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等.根据题意，线段 BC 扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是 AC 的长，底是点 C 平移的路程.求当点 C 落在 直线 y=2x－6 上时的横坐标即可. 基础精练 1.(2015·东城二模)如图 1-14-5，将△ABC 沿 BC 方向向右平移 2 cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为 16 cm，则四边形 ABFD 的周长为( ) 图 1-14-5 A.16 cm B.18 cm C.20 cm D.22 cm 【答案】 C 2.(2015·东城一模)如图 1-14-6①，△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形，其中∠C= ∠EDF=90°,点 A 与点 D 重合，点 E 在 AB 上，AB=4，DE=2.如图 1-14-6②，△ABC 保持不动， △DEF 沿着线段 AB 从点 A 向点 B 移动，当点 D 与点 B 重合时停止移动.设 AD=x， △ DEF 与△ABC 重叠部分的面积为 S，则 S 关于 x 的函数图象大致是( ) ① ② 图 1-14-6 A B C D 【答案】 B 3.(2015·顺义二模)如图 1-14-7，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图 1-14-7 ①的位置开始，匀速向右平移，到图 1-14-7③的位置停止运动.如果设运动时间为 x，大小 正方形重叠部分的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) → → ① ② ③ 图 1-14-7 A B C D 【答案】 C 4.(2015·门头沟二模)如图 1-14-8 所示，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为(4，3).平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长 度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M，N，直线 m 运动的时间为 t(秒). 设△OMN 的面积为 S，那么能反映 S 与 t 之间函数关系的大致图象是( ) 图 1-14-8 A B C D 【答案】 C 5.(2016·东城一模)在平面直角坐标系中，将点 A(－1，2)向右平移 3 个单位长度得到点 B， 则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是( ) A.(－4，－2) B.(2，2) C.(－2，2) D.(2，－2) 【答案】 D 6.(2015·顺义二模)如图 1-14-9，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 各边都平行于坐标 轴，且 A(－2，2)，C(3，－2).对矩形 ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐 标乘以 a，纵坐标乘以 b，将得到的点再向右平移 k(k>0)个单位，得到矩形 A′B′C′D′及 其内部的点(A′B′C′D′分别与 ABCD 对应).E(2，1)经过上述操作后的对应点记为 E′. 图 1-14-9 (1)若 a=2，b=－3，k=2，则点 D 的坐标为 ，点 D′的坐标为 ； (2)若 A′(1，4)，C′(6，－4)，求点 E′的坐标. 【解】 (1)(3，2)，(8，－6). (2)依题可列：解得 ∵ 点 E(2，1)，∴ 点 E′(5，2). 真题演练 1.(2016·四川凉山州)将抛物线先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后所得 抛物线的解析式为 . 【答案】 －6x－11 2.(2016·浙江台州)如图 1-14-10，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5” 平移到刻度“10”，则顶点 C 平移的距离 CC′= . 图 1-14-10 【答案】 5 3.(2016·四川广安)将点 A(1，－3)沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个 单位长度后得到的点 A′的坐标为 . 【答案】 (－2，2) 4.(2015·北京)在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上(与点 C、D 不重合)， 连接 AP，平移△ADP，使点 D 移动到点 C，得到△BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于 H，连接 AH，PH. 若点 P 在线段 CD 上，如图 1-14-11①. (1)依题意补全图 1-14-11①； (2)判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； ① 备用图 图 1-14-11 【解】(1)如图 1-14-12. 图 1-14-12 (2)判断：AH=PH，AH⊥PH. 【方法一】 轴对称作法，连接 CH. 得△DHQ 等腰直角三角形. 又∵ DP=CQ， ∴ △HDP≌△HQC， ∴ PH=CH，∠HPC=∠HCP，BD 为正方形 ABCD 对称轴， ∴ AH=CH,∠DAH=∠HCP, ∴ AH=CH，∠HPC=∠HCP， ∴ ∠AHP=180°－∠ADP=90°， ∴ AH=PH 且 AH⊥PH. 【方法二】 四点共圆作法. 同上得∠HPC=∠DAH，∴ 点 A、D、P、H 共圆. ∴ ∠AHP=90°，∠APH=∠ADH=45°， ∴ △AHP 等腰直角三角形,即 AH=PH 且 AH⊥PH. 第二节 图形的轴对称 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 图形的轴 对称 了解轴对称的概 念；理解轴对称 能画出简单平面图形关于 给定对称轴的对称图形;探 运用轴对称的有 关内容解决有关 ★★★★ 的基本性质；了 解轴对称图形的 概念 索等腰三角形、矩形、菱形、 正多边形、圆的轴对称性的 性质解决有关简单问题 问题 知识要点 1.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线叫做 . 2.对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能 .那么，这两个图形成 ， 这条直线就是对称轴. 3.轴对称图形中，对应点所连的线段被 垂直平分， 相等， 相 等. 4.若两个图形的对应点连线，被同一直线 ，则这两个图形关于这条直线对称. 典例诠释 考点一 轴对称图形 例 1 (2016·四川巴中)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以 看作轴对称图形的是( ) A B C D 【答案】 D 【名师点评】 本题考查轴对称图形.利用轴对称图形定义判断即可. 例 2 (2016·江苏无锡)下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 A 考点二 求图形在坐标平面内变换后点的坐标 例 3 (2016·山东青岛)如图 1-14-13，线段 AB 经过平移得到线段，其中点 A，B 的对应点 分别为点，，这四个点都在格点上.若线段 AB 上有一个点 P(a，b)，则点 P 在上的对应点的 坐标为( ) 图 1-14-13 A.(a－2，b+3) B.(a－2，b－3) C.(a+2，b+3) D.(a+2，b－3) 【答案】 A 【名师点评】 本题将平移放在了平面直角坐标系里，根据点 A、B 平移后横纵坐标的变化 可得线段 AB 向左平移 2 个单位长度，向上平移了 3 个单位长度，然后再确定 a，b 的值，进 而可得答案. 考点三 利用轴对称变换解决翻折问题 例 4 (2016·江苏苏州)如图 1-14-14，在△ABC 中，AB=10，∠B=60°，点 D，E 分别在 AB， BC 上，且 BD=BE=4，将△BDE 沿 DE 所在直线折叠得到△B′DE(点 B′在四边形 ADEC 内)，连 接 AB′，则 AB′的长为 . 图 1-14-14 【答案】 2 【名师点评】 本题主要考查翻折变换(折叠问题).作 DF⊥B′E 于点 F，作 B′G⊥AD 于点 G， 首先根据有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE 是边长为 4 的等边三角形， 从而根据翻折的性质得到△B′DE 也是边长为 4 的等边三角形，从而 GD=B′F=2，然后根据 勾股定理得到 B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可. 基础精练 1.(2015·朝阳一模)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A B C D 【答案】 D 2.(2015·西城一模)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 A 3.(2015·丰台二模)下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 D 4.(2015·朝阳二模)如图 1-14-15，点 M、N 分别在矩形 ABCD 边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿 MN 翻折后点 C 恰好与点 A 重合，若此时＝,则△AMD′的面积与△AMN 的面积的比为( ) 图 1-14-15 A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 【答案】 A 5.(2015·丰台二模)如图 1-14-16，在 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，将△ABE 沿 AE 翻折 得到△AFE，点 F 恰好落在线段 DE 上. (1)求证：∠FAD=∠CDE； (2)当 AB=5，AD=6，且 tan∠ABC=2 时，求线段 EC 的长. 图 1-14-16 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B=∠ADC. ∵ 将△BAE 沿 AE 翻折得到△FAE，点 F 恰好落在线段 DE 上， ∴ △ABE≌△AFE．∴ ∠B=∠AFE. ∴ ∠AFE=∠ADC． ∵ ∠FAD=∠AFE－∠1，∠CDE=∠ADC－∠1， ∴ ∠FAD=∠CDE． (2)【解】 如图 1-14-17 所示，过点 D 作 DG⊥BE 的延长线于点 G． 图 1-14-17 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5.∴ ∠2=∠B，∠3=∠EAD． 由(1)可知，△ABE≌△AFE， ∴ ∠B=∠AFE，∠3=∠4．∴ ∠4=∠EAD．∴ ED=AD=6. 在 Rt△CDG 中，∴ tan∠2=tan∠ABC==2．∴ DG=2CG． ∵ ，∴ .∴ CG=，DG=2． 在 Rt△EDG 中，∵ ，∴ EG=4．∴ EC=4－. 真题演练 1.(2015·北京)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( ) A B C D 【答案】 D 2.(2016·北京)甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴 对称的是( ) A B C D 【答案】 D 3.(2016·浙江舟山)在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属 于轴对称图形的是( ) A B C D 【答案】 B 4.(2016·湖北十堰)如图 1-14-18，将矩形纸片 ABCD(AD＞AB)折叠，使点 C 刚好落在线段 AD 上，且折痕分别与边 BC，AD 相交，设折叠后点 C，D 的对应点分别为点 G，H，折痕分别 与边 BC，AD 相交于点 E，F. (1)判断四边形 CEGF 的形状，并证明你的结论； (2)若 AB=3，BC=9，求线段 CE 的取值范围. 图 1-14-18 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∴ ∠GFE=∠FEC， ∵ 图形翻折后点 G 与点 C 重合，EF 为折线， ∴ ∠GEF=∠FEC，∴ ∠GFE=∠FEG，∴ GF=GE， ∵ 图形翻折后 BC 与 GE 完全重合， ∴ BE=EC，∴ GF=EC， ∴ 四边形 CEGF 为平行四边形，∴ 四边形 CEGF 为菱形. 图 1-14-19 (2)【解】 如图 1-14-19，当 F 与 D 重合时，CE 取最小值， 由折叠的性质得 CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°， ∵ ∠ECD=90°，∴ ∠DEC=45°=∠CDE， ∴ CE=CD=DG， ∵ DG∥CE，∴ 四边形 CEGD 是矩形，∴ CE=CD=AB=3. 如图 1-14-19，当 G 与 A 重合时，CE 取最大值， 由折叠的性质得 AE=CE， ∵ ∠B=90°，∴ ， 即，∴ CE=5， ∴ 线段 CE 的取值范围是 3≤CE≤5． 第三节 图形的旋转 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 图形的旋 转 认识平面图形关于 旋转中心的旋转；理 解旋转的基本性质； 了解中心对称、中心 对称图形的概念；理 能画出简单平面图 形关于给定旋转中 心的旋转图形；探索 线段、平行四边形、 正多边形、圆的中心 运用旋转的有关内 容解决有关问题 ★★★★ 解中心对称的基本 性质 对称性质；能利用旋 转的性质解决有关 简单问题 知识要点 1.图形的旋转由 和 所决定. 2.旋转后的图形与原来图形的对应线段 ，对应角 ，对应点到 的距 离相等，每一点都绕着 旋转了相同的角度，图形的形状与大小都 发生变化. 3.中心对称是旋转角度为 的特殊的旋转，连接对称点的线段都经过 ，并且 被对称中心 . 典例诠释 考点一 判断中心对称图形 例 1 (2016·黑龙江大庆)图 1-14-20 所示图形中是中心对称图形的有( ) 图 1-14-20 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】 B 【名师点评】 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合. 例 2 (2016·广东)下列所述图形中，是中心对称图形的是( ) A.直角三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形 【答案】 B 【名师点评】 本题考查了中心对称图形的知识.直角三角形，正五边形和正三角形不是中 心对称图形，只有平行四边是中心对称图形. 考点二 旋转的性质 例 3 (2016·吉林长春)如图 1-14-21，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按 逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，则∠B′的大小为( ) 图 1-14-21 A.42° B.48° C.52° D.58° 【答案】 A 【名师点评】 本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋 转前、后的图形全等.也考查了直角三角形两锐角互余的性质. 考点三 求图形在坐标平面内变换后点的坐标 例 4 (2016·湖北孝感)将含有 30°角的直角三角板 OAB 如图 1-14-22 放置在平面直角坐标 系中，OB 在 x 轴上，若 OA=2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′的 坐标为( ) 图 1-14-22 A.(，－1) B.(1，－) C.(，－) D.(－，) 【答案】 C 【名师点评】 本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到 ∠BOA′=45°是解题的关键. 考点四 求旋转的路程及图形面积 例 5 (2016·新疆)如图 1-14-23 所示，将一个含 30°角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使 得点 B，A，C′在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的角度是( ) 图 1-14-23 A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】 D 【名师点评】 本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转 角是解题的关键. 基础精练 1.(2016·石景山一模)下列四个图形中不属于．．．中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 A 2.(2016·海淀一模)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 C 3.(2016·怀柔一模)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【答案】 B 4.(2016·房山一模)如图 1-14-24，将△ABC 绕点 C 按顺时针旋转 60°得到△A′B′C,已知 AC=6,BC=4,则线段 AB 扫过的图形的面积为( ) 图 1-14-24 A.π B.π C.6π D.π 【答案】 D 5.(2015·房山二模)在平面内，将一个图形 G 以任意点 O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度 θ，得到图形 G′，再以 O 为中心将图形 G′放大或缩小得到图形 G″，使图形 G″与图形 G 对应线段的比为 k，并且图形 G 上的任一点 P，它的对应点 P″在线段 OP′或其延长线上； 我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为 O(θ,k)，其中点 O 叫做旋转相似中心，θ叫 做旋转角，k 叫做相似比.如图 1-14-25①中的线段 OA″便是由线段 OA 经过 O(30°，2)得到 的. (1)如图 1-14-25②，将△ABC 经过 (90°,1)后得到△A′B′C′，则横线上应填下 列四个点 O(0，0)、D(0，1)、E(0，－1)、C(1，2)中的点 . (2)如图 1-14-25③，△ADE 是△ABC 经过 A(θ,k)得到的，∠EAB=90°，cos∠EAC=,则这个 图形变换可以表示为 A( ， ). ① ② ③ 图 1-14-25 【答案】 (1)E (2)60°，k 真题演练 1.(2016·浙江温州)如图 1-14-26，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点 A′ 落在 BC 的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′= 度. 图 1-14-26 【答案】 46 2.(2016·大连)如图 1-14-27，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点， 若∠CAE=90°，AB=1，则 BD= . 图 1-14-27 【答案】 3.(2016·湖北宜昌)如图 1-14-28，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称 图形，正确的添加位置是( ) 图 1-14-28 A B C D 【答案】 A 4.(2016·山东临沂)如图 1-14-29，将等边△ABC 绕点 C 顺时针旋转 120°得到△EDC，连接 AD，BD.则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形 ACED 是菱形.其中正确的个数是( ) 图 1-14-29 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 D 5.(2016·广西贺州)如图 1-14-30，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A′B′，那 么 A(－2，5)的对应点 A′的坐标是( ) 图 1-14-30 A.(2，5) B.(5，2) C.(2，－5) D.(5，－2) 【答案】 B 6.(2016·江苏无锡)如图 1-14-31，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC 绕 点 C 顺时针旋转得△C，当落在 AB 边上时，连接，取的中点 D，连接，则的长度是( ) 图 1-14-31 A. B.2 C.3 D.2 【答案】 A 7.(2016·四川凉山州)如图 1-14-32，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点 上，点 A，B 的坐标分别是 A(4，3)、B(4，1)，把△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后得到△C. (1)画出△C，直接写出点，的坐标； (2)求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积. 图 1-14-32 【解】 (1)所求作△C 如图 1-14-33 所示： 图 1-14-33 由 A(4，3)，B(4，1)可建立如图 1-14-33 所示平面直角坐标系， 则点的坐标为(－1，4)，点的坐标为(1，4)； (2)∵ AC===，∠=90°， ∴ 在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为 =+×3×2=+3.