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  • 2021-05-10 发布

广西南宁市中考数学试卷

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‎2015年广西南宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、 选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.‎ ‎1.(3分)3的绝对值是(  )‎ A.3 B.﹣3 C. D.‎ ‎【考点】绝对值.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】直接根据绝对值的意义求解.‎ ‎【解答】解:|3|=3.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值:若a>0,则|a|=a;若a=0,则|a|=0;若a<0,则|a|=﹣a.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单组合体的三视图.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】从正面看几何体得到主视图即可.‎ ‎【解答】解:根据题意的主视图为:,‎ 故选B ‎【点评】此题考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计2016年下半年建成并投入试运营,首条BRT西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为11300米,其中数据11300用科学记数法表示为(  )‎ A.0.113×105 B.1.13×104 C.11.3×103 D.113×102‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将11300用科学记数法表示为:1.13×104.‎ 故选B.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示,则这些队员年龄的众数是(  )‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎【考点】众数;条形统计图.‎ ‎【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数.‎ ‎【解答】解:观察条形统计图知:为14岁的最多,有8人,‎ 故众数为14岁,‎ 故选C.‎ ‎【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识,解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义,难度较小.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)如图,一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上,且BC∥DE,则∠CAE等于(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】由直角三角板的特点可得:∠C=30°,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠CAE的度数.‎ ‎【解答】解:∵∠C=30°,BC∥DE,‎ ‎∴∠CAE=∠C=30°.‎ 故选A.‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质,解题的关键是:熟记两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)不等式2x﹣3<1的解集在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.‎ ‎【专题】数形结合.‎ ‎【分析】先解不等式得到x<2,用数轴表示时,不等式的解集在2的左边且不含2,于是可判断D选项正确.‎ ‎【解答】解:2x<4,‎ 解得x<2,‎ 用数轴表示为:‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集:用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(  )‎ A.35° B.40° C.45° D.50°‎ ‎【考点】等腰三角形的性质.‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数,再由平角的定义得出∠ADC的度数,根据等腰三角形的性质即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°,‎ ‎∴∠B=∠ADB=70°,‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°,‎ ‎∵AD=CD,‎ ‎∴∠C=(180°﹣∠ADC)÷2=(180°﹣110°)÷2=35°,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.4ab÷2a=2ab B.(3x2)3=9x6 C.a3•a4=a7 D.‎ ‎【考点】整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;二次根式的乘除法.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断;‎ B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;‎ C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断;‎ D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果,即可做出判断.‎ ‎【解答】解:A、原式=2b,错误;‎ B、原式=27x6,错误;‎ C、原式=a7,正确;‎ D、原式=,错误,‎ 故选C ‎【点评】此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于(  )‎ A.60° B.72° C.90° D.108°‎ ‎【考点】多边形内角与外角.‎ ‎【分析】首先设此多边形为n边形,根据题意得:180(n﹣2)=540,即可求得n=5,再由多边形的外角和等于360°,即可求得答案.‎ ‎【解答】解:设此多边形为n边形,‎ 根据题意得:180(n﹣2)=540,‎ 解得:n=5,‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于:=72°.‎ 故选B.‎ ‎【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理:(n﹣2)•180°,外角和等于360°.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)如图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣1,下列结论中:‎ ‎①ab>0,‚②a+b+c>0,ƒ③当﹣2<x<0时,y<0.‎ 正确的个数是(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】①由抛物线的开口向上,对称轴在y轴左侧,判断a,b与0的关系,得到ab>0;故①正确;‎ ‎②由x=1时,得到y=a+b+c>0;故②正确;‎ ‎③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答案即可.‎ ‎【解答】解:①∵抛物线的开口向上,‎ ‎∴a>0,‎ ‎∵对称轴在y轴的左侧,‎ ‎∴b>0‎ ‎∴ab>0;故①正确;‎ ‎②∵观察图象知;当x=1时y=a+b+c>0,‎ ‎∴②正确;‎ ‎③∵抛物线的对称轴为x=﹣1,与x轴交于(0,0),‎ ‎∴另一个交点为(﹣2,0),‎ ‎∴当﹣2<x<0时,y<0;故③正确;‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题;圆周角定理.‎ ‎【专题】压轴题.‎ ‎【分析】作N关于AB的对称点N′,连接MN′,NN′,ON′,ON,由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点,根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°,故可得出∠MON′=60°,故△MON′为等边三角形,由此可得出结论.‎ ‎【解答】解:作N关于AB的对称点N′,连接MN′,NN′,ON′,ON.‎ ‎∵N关于AB的对称点N′,‎ ‎∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点,‎ ‎∵N是弧MB的中点,‎ ‎∴∠A=∠NOB=∠MON=20°,‎ ‎∴∠MON′=60°,‎ ‎∴△MON′为等边三角形,‎ ‎∴MN′=OM=4,‎ ‎∴△PMN周长的最小值为4+1=5.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值,如:Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x,﹣x}=的解为(  )‎ A.1﹣ B.2﹣ C.1+或1﹣ D.1+或﹣1‎ ‎【考点】解分式方程.‎ ‎【专题】新定义.‎ ‎【分析】根据x与﹣x的大小关系,取x与﹣x中的最大值化简所求方程,求出解即可.‎ ‎【解答】解:当x<﹣x,即x<0时,所求方程变形得:﹣x=,‎ 去分母得:x2+2x+1=0,即x=﹣1;‎ 当x>﹣x,即x>0时,所求方程变形得:x=,即x2﹣2x=1,‎ 解得:x=1+或x=1﹣(舍去),‎ 经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎13.(3分)分解因式:ax+ay= a(x+y) .‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法.‎ ‎【专题】因式分解.‎ ‎【分析】观察等式的右边,提取公因式a即可求得答案.‎ ‎【解答】解:ax+ay=a(x+y).‎ 故答案为:a(x+y).‎ ‎【点评】此题考查了提取公因式法分解因式.解题的关键是注意找准公因式.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)要使分式有意义,则字母x的取值范围是 x≠1 .‎ ‎【考点】分式有意义的条件.‎ ‎【分析】分式有意义,分母不等于零.‎ ‎【解答】解:依题意得 x﹣1≠0,即x≠1时,分式有意义.‎ 故答案是:x≠1.‎ ‎【点评】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念:‎ ‎(1)分式无意义⇔分母为零;‎ ‎(2)分式有意义⇔分母不为零;‎ ‎(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,随机提取一个小球,则取出的小球标号是奇数的概率是  .‎ ‎【考点】概率公式.‎ ‎【分析】首先判断出1,2,3,4,5中的奇数有哪些;然后根据概率公式,用奇数的数量除以5,求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可.‎ ‎【解答】解:∵1,2,3,4,5中的奇数有3个:1、3、5,‎ ‎∴取出的小球标号是奇数的概率是:3÷5=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题主要考查了概率公式的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 45° .‎ ‎【考点】正方形的性质;等边三角形的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】根据正方形的性质,可得AB与AD的关系,∠BAD的度数,根据等边三角形的性质,可得AE与AD的关系,∠AED的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB与∠ABE的关系,根据三角形的内角和,可得∠AEB的度数,根据角的和差,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠BAD=90°.‎ ‎∵等边三角形ADE,‎ ‎∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.‎ ‎∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,‎ AB=AE,‎ ‎∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,‎ ‎∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°,‎ 故答案为:45°.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE的度数,再求出∠AEB,最后求出答案.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)如图,点A在双曲线y=(x>0)上,点B在双曲线y=(x>0)上(点B在点A的右侧),且AB∥x轴.若四边形OABC是菱形,且∠AOC=60°,则k=  .‎ ‎【考点】菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有 ‎【分析】首先根据点A在双曲线y=(x>0)上,设A点坐标为(a,),再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a,再利用菱形的性质进而得到B点坐标,即可求出k的值.‎ ‎【解答】解:因为点A在双曲线y=(x>0)上,设A点坐标为(a,),‎ 因为四边形OABC是菱形,且∠AOC=60°,‎ 所以OA=2a,‎ 可得B点坐标为(3a,),‎ 可得:k=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数,关键是根据菱形的性质求出B点坐标,即可算出反比例函数解析式.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿x轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An与原点的距离不小于20,那么n的最小值是 13 .‎ ‎【考点】规律型:图形的变化类;数轴.菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题;规律型.‎ ‎【分析】序号为奇数的点在点A的左边,各点所表示的数依次减少3,序号为偶数的点在点A的右侧,各点所表示的数依次增加3,于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20,A12表示的数为16+3=19,则可判断点An与原点的距离不小于20时,n的最小值是13.‎ ‎【解答】解:第一次点A向左移动3个单位长度至点A1,则A1表示的数,1﹣3=﹣2;‎ 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2,则A2表示的数为﹣2+6=4;‎ 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3,则A3表示的数为4﹣9=﹣5;‎ 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4,则A4表示的数为﹣5+12=7;‎ 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5,则A5表示的数为7﹣15=﹣8;‎ ‎…;‎ 则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11,A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14,A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17,A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20,‎ A6表示的数为7+3=10,A8表示的数为10+3=13,A10表示的数为13+3=16,A12表示的数为16+3=19,‎ 所以点An与原点的距离不小于20,那么n的最小值是13.‎ 故答案为:13.‎ ‎【点评】本题考查了规律型,认真观察、仔细思考,找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ 三、(本大题共2小题,每小题满分12分,共12分)‎ ‎19.(6分)计算:20150+(﹣1)2﹣2tan45°+.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=1+1﹣2×1+2‎ ‎=2.‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(6分)先化简,再求值:(1+x)(1﹣x)+x(x+2)﹣1,其中x=.‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】先利用乘法公式展开,再合并得到原式=2x,然后把x=代入计算即可.‎ ‎【解答】解:原式=1﹣x2+x2+2x﹣1‎ ‎=2x,‎ 当x=时,原式=2×=1.‎ ‎【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值:先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.‎ ‎ ‎ 四、解答题 ‎21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(﹣1,1),B(﹣3,1),C(﹣1,4).‎ ‎(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).‎ ‎【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.菁优网版权所有 ‎【专题】作图题.‎ ‎【分析】(1)根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可;‎ ‎(2)根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积,求出即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示,画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)如图所示,画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S==.‎ ‎【点评】此题考查了作图﹣旋转变换,对称轴变换,以及扇形面积,作出正确的图形是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)今年5月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试,为了了解该校九年级(1)班同学的中考体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制以下不完整的频数分布表(如表)和扇形统计图(如图),根据图表中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求全班学生人数和m的值.‎ ‎(2)直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段.‎ ‎(3)该班中考体育成绩满分共有3人,其中男生2人,女生1人,现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流,请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.‎ 分组 分数段(分)‎ 频数 A ‎36≤x<41‎ ‎2‎ B ‎41≤x<46‎ ‎5‎ C ‎46≤x<51‎ ‎15‎ D ‎51≤x<56‎ m E ‎56≤x<61‎ ‎10‎ ‎【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图;中位数.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可,进而得出m的值;‎ ‎(2)利用中位数的定义得出中位数的位置;‎ ‎(3)利用列表或画树状图列举出所有的可能,再根据概率公式计算即可得解.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得:全班学生人数:15÷30%=50(人);‎ m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18(人);‎ ‎(2)∵全班学生人数:50人,‎ ‎∴第25和第26个数据的平均数是中位数,‎ ‎∴中位数落在51﹣56分数段;‎ ‎(3)如图所示:‎ 将男生分别标记为A1,A2,女生标记为B1‎ A1‎ A2‎ B1‎ A1‎ ‎(A1,A2)‎ ‎(A1,B1)‎ A2‎ ‎(A2,A1)‎ ‎(A2,B1)‎ B1‎ ‎(B1,A1)‎ ‎(B1,A2)‎ P(一男一女)==.‎ ‎【点评】此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用,根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、DC边上的点,且AE=CF,‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CBF.‎ ‎(2)若∠DEB=90°,求证:四边形DEBF是矩形.‎ ‎【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定.菁优网版权所有 ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】(1)由在▱ABCD中,AE=CF,可利用SAS判定△ADE≌△CBF.‎ ‎(2)由在▱ABCD中,且AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形DEBF是平行四边形,又由∠DEB=90°,可证得四边形DEBF是矩形.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD=CB,∠A=∠C,‎ 在△ADE和△CBF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADE≌△CBF(SAS).‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∵AE=CF,‎ ‎∴BE=DF,‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形,‎ ‎∵∠DEB=90°,‎ ‎∴四边形DEBF是矩形.‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.‎ ‎(1)用含a的式子表示花圃的面积.‎ ‎(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽.‎ ‎(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?‎ ‎【考点】一次函数的应用;一元二次方程的应用.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可;‎ ‎(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的,列出方程进行计算即可;‎ ‎(3)根据图象,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解,再根据实际问题写出自变量的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)由图可知,花圃的面积为(40﹣2a)(60﹣2a);‎ ‎(2)由已知可列式:60×40﹣(40﹣2a)(60﹣2a)=×60×40,‎ 解以上式子可得:a1=5,a2=45(舍去),‎ 答:所以通道的宽为5米;‎ ‎(3)设修建的道路和花圃的总造价为y,通道宽为a;‎ x花圃=(40﹣2a)(60﹣2a)=4a2﹣200a+2400;‎ x通道=60×40﹣(40﹣2a)(60﹣2a)=﹣4a2+200a,‎ 由已知得y1=40(﹣4a2+200a),(2≤a≤10)‎ y2=‎ 则y=y1+y2=‎ 当a=2时,y有最小值,最小值为105920;‎ 所以当通道宽为2米时,修建的通道和花圃的总造价最低为105920元.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是表示出花圃的长和宽.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且AC=CG,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线.‎ ‎(2)若,求∠E的度数.‎ ‎(3)连接AD,在(2)的条件下,若CD=,求AD的长.‎ ‎【考点】圆的综合题.菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题.‎ ‎【分析】(1)如图1,连接OC,AC,CG,由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG,根据同圆的半径相等得到OC=OB,于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根据平行线的判定得到OC∥BG,即可得到结论;‎ ‎(2)由OC∥BD,得到△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,得到,,根据直角三角形的性质即可得到结论;‎ ‎(3)如图2,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3,BE=6,在Rt△DAH中,AD===.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,连接OC,AC,CG,‎ ‎∵AC=CG,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠ABC=∠CBG,‎ ‎∵OC=OB,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC,‎ ‎∴∠OCB=∠CBG,‎ ‎∴OC∥BG,‎ ‎∵CD⊥BG,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ ‎∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵OC∥BD,‎ ‎∴△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴AE=OA=OB,‎ ‎∴OC=OE,‎ ‎∵∠ECO=90°,‎ ‎∴∠E=30°;‎ ‎(3)解:如图2,过A作AH⊥DE于H,‎ ‎∵∠E=30°‎ ‎∴∠EBD=60°,‎ ‎∴∠CBD=EBD=30°,‎ ‎∵CD=,‎ ‎∴BD=3,DE=3,BE=6,‎ ‎∴AE=BE=2,‎ ‎∴AH=1,‎ ‎∴EH=,‎ ‎∴DH=2,‎ 在Rt△DAH中,AD===.‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理相似三角形的判定和性质,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)在平面直角坐标系中,已知A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两个不同的点,其中A在第二象限,B在第一象限,‎ ‎(1)如图1所示,当直线AB与x轴平行,∠AOB=90°,且AB=2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.‎ ‎(2)如图2所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠AOB仍为90°时,A、B两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.‎ ‎(3)在(2)的条件下,若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB,y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题.‎ ‎【分析】(1)如图1,由AB与x轴平行,根据抛物线的对称性有AE=BE=1,由于∠AOB=90°,得到OE=AB=1,求出A(﹣1,1)、B(1,1),把x=1时,y=1代入y=ax2得:a=1得到抛物线的解析式y=x2,A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1‎ ‎(2)如图2,过A作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°,证出△AMO∽△BON,得到OM•ON=AM•BN,设A(xA,yA),B(xB,yB),由于A(xA,yA),B(xB,yB)在y=x2图象上,得到yA=,yB=,即可得到结论;‎ ‎(3)设A(m,m2),B(n,n2).作辅助线,证明△AEO∽△OFB,得到mn=﹣1.再联立直线m:y=kx+b与抛物线y=x2的解析式,由根与系数关系得到:mn=﹣b,所以b=1;由此得到OD、CD的长度,从而得到PD的长度;作辅助线,构造Rt△PDG,由勾股定理求出点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,∵AB与x轴平行,‎ 根据抛物线的对称性有AE=BE=1,‎ ‎∵∠AOB=90°,‎ ‎∴OE=AB=1,‎ ‎∴A(﹣1,1)、B(1,1),‎ 把x=1时,y=1代入y=ax2得:a=1,‎ ‎∴抛物线的解析式y=x2,‎ A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1‎ ‎(2)xA•xB=﹣1为常数,‎ 如图2,过A作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N,‎ ‎∴∠AMO=∠BNO=90°,‎ ‎∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°,‎ ‎∴∠MAO=∠BON,‎ ‎∴△AMO∽△BON,‎ ‎∴,‎ ‎∴OM•ON=AM•BN,‎ 设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ ‎∵A(xA,yA),B(xB,yB)在y=x2图象上,‎ ‎∴,yA=,yB=,‎ ‎∴﹣xA•xB=yA•yB=•,‎ ‎∴xA•xB=﹣1为常数;‎ ‎(3)设A(m,m2),B(n,n2),‎ 如图3所示,过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为E、F,则易证△AEO∽△OFB.‎ ‎∴,即,整理得:mn(mn+1)=0,‎ ‎∵mn≠0,∴mn+1=0,即mn=﹣1.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,联立,得:x2﹣kx﹣b=0.‎ ‎∵m,n是方程的两个根,∴mn=﹣b.‎ ‎∴b=1.‎ ‎∵直线AB与y轴交于点D,则OD=1.‎ 易知C(0,﹣2),OC=2,∴CD=OC+OD=3.‎ ‎∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3.‎ 设P(a,﹣2a﹣2),过点P作PG⊥y轴于点G,则PG=﹣a,GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3.‎ 在Rt△PDG中,由勾股定理得:PG2+GD2=PD2,‎ 即:(﹣a)2+(﹣2a﹣3)2=32,整理得:5a2+12a=0,‎ 解得a=0(舍去)或a=﹣,‎ 当a=﹣时,﹣2a﹣2=,‎ ‎∴P(﹣,).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质,勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点,有一定的难度.第(3)问中,注意根与系数关系的应用.‎