中考数学规律题 7页

‎“发现数学规律题”的解题思想 相关知识： 常见数列的一般公式。‎ ‎（1）1，2，3，4，…， n (2) 1，4，9，16，…， n2‎ ‎（3）1，3，5，7，9，…， 2n-1. (4) 2,4,6,8,10,…, 2n.‎ ‎(5) 1,3,6,10,15,…, n(n+1)/2.（6） 1，1/2，1/3，1/4，…， 1/n.‎ ‎(7) 1,1/4,1/9,1/16,…, 1/n2. (8) 1/2,1/6,1/12,1/20,…, 1/n(n+1).‎ （11） ‎(9)2,4,8,16,32,…, 2n . （10）0，4,10,18,28,40,54，……，‎ ‎ (11)1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,…第191个数是几 （12） 请观察下列式子的规律:a1= , a2= , a3= ，a4= , a5= , …… , 则a8= .‎ 典型例题分类解析 一、 要善于抓主要矛盾 有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。‎ 例如、观察下列数表：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为 .‎ 总结：数学规律题总是与数相关的问题，所发①首先列出符合要求的数，②然后再寻找其规律 还有，邵阳市初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。‎ 二、 要抓题目里的变量 例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块.‎ 云南省课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m= （用含 n 的代数式表示）.”‎ ‎ 三、 要善于比较 ‎“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。‎ 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。‎ 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是 。”‎ 已知下列等式：由此规律知，第⑤个等式是 ．”‎ 这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。‎ 四、要善于寻找事物的循环节（周期性）‎ 有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。‎ 譬如，玉林市中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：‎ ‎●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……‎ 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个。”‎ 五、要抓住题目中隐藏的不变量 有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。‎ 例如，芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。”‎ 在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。‎ 六、要进行计算尝试 找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。例如，汉川市中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是 。”这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。所以，原数列第10项是34x9。‎ 规律巩固练习 ‎1. （苏州市）如图1，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积.然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（　） ‎ ‎　A． B． 　C． D．　　‎ ‎　　2．（怀化市）如图2，A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点…这样延续下去．已知△ABC的周长是1，△A1B1C1的周长是L1，△A2B2C2的周长是L2…AnBnCn的周长是Ln，则Ln　　　　　．‎ ‎　　3.（荆门市）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…．根据你发现的规律，第8个式子是______．‎ ‎　　5.（威海市）观察下列等式：　39×41=402-12，48×52=502-22， 56×64=602-42，65×75=702-52，83×97=902-72…‎ ‎　　请你把发现的规律用字母表示出来：m×n=　　　　　． ‎ ‎6.（烟台市）观察下列各式： 　，…将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来　　　　　． ‎ ‎　　7.（岳阳市）观察下列等式： 第一行 3=4-1　 　第二行 5=9-4 　　第三行 7=16-9 　　第四行 9=25-16 　　… …按照上述规律，第n行的等式为____________. ‎ ‎8.（福州市）如图4，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点 作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，‎ S4…．　观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10=　　　　　．‎ ‎　　9.（河北省）已知an=(-1)n+1，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为　　　　　．‎ ‎　　10.（重庆市）将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是　　　　　.‎ ‎　11.按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____；第(n)堆三角形的个数为___.‎ ‎12.把正整数1，2，3，4，5，……，按如图排列：按此规律，可知第n行有　　个正整数．‎ ‎　13.（旅顺口区）找规律．下列图中有大小不同的菱形，第(1)幅图中有1个，第(2)幅图中有3个，第(3)幅图中有5个，则第(n)幅图中共有　　　　　个．‎ ‎　14.（潍坊市）观察下列等式：　16-1=15； 25-4=21；36-9=27；49-16=33；… …用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是　　　　　．‎ ‎　15.（云南省）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图（1）），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图（2）），再将图（2）的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图（3）），则图（3）中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图（1）的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图（n+1））的一条腰长为_____________． ‎ ‎16.有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为　　　　　.‎ ‎　17.（赤峰市）观察下列各式：152=1×（1+1）×100+52=225，252=2×（2+1）×100+52=625，352=3×（3+1）×100+52=1225　……依此规律，第n个等式（n为正整数）为　　　　　． ‎ 18. ‎（自贡市）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．‎ ‎　19.（临安市）已知： ，……，若10＋ ＝‎ ‎　　102× 符合前面式子的规律， 则 a ＋ b = ____________________．‎ ‎　　三、解答题 ‎　　20.（舟山市）给定下面一列分式： ….(其中x≠0)‎ ‎　　(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律?‎ ‎　　(2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．‎ ‎　　‎ 21. ‎（安徽省）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子 所得到的不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不同线段的 长度值只有1与 ，所以不同长度值的线段只有2种，‎ 若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；‎ 当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1， ，2， ， 五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5.(1)观察图形，填写下表：‎ 钉子数(n×n)‎ S值 ‎2×2‎ ‎2‎ ‎3×3‎ ‎2+3‎ ‎4×4‎ ‎2＋3＋( )‎ ‎5×5‎ ‎( )‎ ‎　　(2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) (3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.‎ ‎　　22.（金华市）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC的长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m.‎ ‎　　（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；‎ ‎　　（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；‎ ‎　　（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的 到B2处时，求影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的 到B3处时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长　　　　　m.（直接用n的代数式表示）‎ ‎　　23.（贵阳市）如图5，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．‎ ‎　　（1）“17”在射线　　　　　上；‎ ‎　　（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；‎ ‎（3）“2007”在哪条射线上 参考答案 一、1.A 　二、2. 3. -128a8 4.41　 5. 　6. 　 　7. 2n+1=(n+1)2-n2　 8.76　 9.6　 10.23 11. 14，3n+2　 12.2n-1 13.2n-1 14.(n+3)2-n2=6n+9 ‎ ‎15. 、　 16.50　　17.(10n+5)2=n(n+1)×100+52　　18. 或 　19.109　‎ ‎　20. 解：（1）规律是任意一个分分式除以前面一个分式恒等于-　（2）第7个分式应该是 ‎　21. 解：（1）4，2＋3＋4＋5（或14）. ‎ ‎　　（2）类似以下答案均给满分：（i）n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；（ii）分别用a，b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n. ‎ ‎（3）S=2＋3＋4＋…＋n ‎22. 解：（1）（2）由题意，得△ABC∽△GHC，　∴.∴，∴GH=4.8(m)．‎ ‎　　（3）△A1B1C1∽△GHC1，　∴.　　设B1C1长为xm， 　　则，解得（m），即（m）． 　同理，　　解得B2C2=1（m）.　　…．‎ ‎　　23. 解：（1）“17”在射线OE上．　　（2）射线OA上数字的排列规律：6n-5‎ ‎　　射线OB上数字的排列规律：6n-4　　射线OC上数字的排列规律：6n-3‎ 射线OD上数字的排列规律：6n-2　射线OE上数字的排列规律：6n-1‎ 射线OF上数字的排列规律：6n ‎（3）在六条射线上的数字规律中，只有6n-3=2007有整数解，解为n=335，“2007”在射线OC