北京中考数学试题 8页

2018 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 姓名 准考证号 考场号 座位号 考 生 须 知 1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。 1. 下列几何体中，是圆柱的为 2. 实数 a ,b , c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （A） ＞4a （B） ＞0bc  （C） ＞0ac （D） ＞0ca  3. 方程式      1483 3 yx yx 的解为 （A）      2 1 y x （B）      2 1 y x （C）      1 2 y x （D）      1 2 y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相当于 35 个标准足球 场的总面积。已知每个标准足球场的面积为 7140m2，则 FAST 的反射面总面积约为 （A） 231014.7 m （B） 241014.7 m （C） 25105.2 m （D） 26105.2 m 5. 若正多边形的一个外角是 o60 ，则该正多边形的内角和为 （A） o360 （B） o540 （C） o720 （D） o900 6. 如果 32ba ，那么代数式 ba aba ba        2 22 的值为 （A） 3 （B） 32 （C） 33 （D） 34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起 跳后的竖直高度 y （单位：m）与水平距离 x （单位：m）近似满足函数关系  02  acbxaxy 。 下图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳 后飞行到最高点时，水平距离为 （A）10m （B）15m （C）20m （D）22.5m 8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平 面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为  0,0 ，表示广安门的点的坐标为  3,6  时，表示左安门的点的坐标为  6,5  ； ②当表示天安门的点的坐标为  0,0 ，表示广安门的点的坐标为  6,12  时，表示左安门的点的坐标 为  12,10  ； ③当表示天安门的点的坐标为  1,1 ，表示广安门的点的坐标为  5,11  时，表示左安门的点的坐标为  11,11  ； ④当表示天安门的点的坐标为  5.1,5.1 ，表示广安门的点的坐标为  5.7,5.16  时，表示左安门的点 的坐标为  ,5.16,5.16  。 上述结论中，所有正确结论的序号是 （A）①②③ （B）②③④ （C）①④ （D）①②③④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 右图所示的网络是正方形网格， BAC DAE 。（填“＞”，“＝”或“＜”） 10. 若 x 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 。 11. 用一组 a ,b , c 的值说明命题“若 ＜ba ，则 ＜bcac ”是错误的，这组值可以是 a ， b ， c 。 12. 如图，点 A ，B ，C ，D 在⊙ O 上， DCBC   ,  30CAD ,  50ACD ,则 ADB 。 13.如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F ，若 4AB ， 3AD ， 则CF 的长为 。 14. 从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路。为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙 地的用时情况，在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位： 分钟）的数据，统计如下： 早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过 45 分 钟”的可能性最大。 15. 某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 90 100 130 150 某班 18 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，则租船的总费用最低为 元。 16. 2017 年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中 国创新综合排名全球第 22，创新效率排名全球第 。 三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27,28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。 已知：直线l 及直线l 外一点 P 。 求作：直线 PQ ，使得 PQ ∥l 。 作法：如图， ①在直线l 上取一点 A ，作射线 PA ，以点 A 为圆心， AP 长为半径画弧，交 PA 的延长线于点 B ； ②在直线l 上取一点C （不与点 A 重合），作射线 BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 BC 的延长 线于点Q ； ③作直线 PQ 。所以直线 PQ 就是所求作的直线。 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明。 证明：∵ AB ， CB ， ∴ PQ ∥l （ ）（填推理的依据）。 18.计算 4sin45°+(π－2)0－ +∣-1∣ 19.解不等式组： 20.关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方程的根 . 21.如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，AB=AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB= ，BD=2，求 OE 的长 . 22. 如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP， CD. (1)求证:OP⊥CD; (2)连接 AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA = 70°，OA=2，求 OP 的长. 23.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= (x>0)的图象 G 经过点 A(4，1)，直线 L:y = +b 与图象 G 交于点 B， 与 y 轴交于点 C (1)求 k 的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA，OC，BC 围成的区域(不 含边界)为 w. ①当 b=－1 时，直接写出区域 W 内的整点个数; ②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围 24.如图，Q 是 与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PQ 并延长交 于点 C，连接 AC.已知 AB=6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A，C 两点间的 距离为 y2cm. 小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1,y2，随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整: (1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1,y2 与 x 的几组对应值; X/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11 (2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)并画出(x，y2)函数 y1， y2 的图象; (3)结合函数图象，解决问题:当△APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm. 25.某年级共有 300 名学生.为了解该年级学生 A，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取 60 名学生进行测 试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.A 课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成 6 组:40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90， 90≤x≤100): b.A 课程成绩在 70≤x<80 这一组的是: 70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c.A，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下: 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题: (1)写出表中 m 的值; (2)在此次测试中，某学生的 A 课程成绩为 76 分，B 课程成绩为 71 分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 (填"A"或"B")，理由是 , (3)假设该年级学生都参加此次测试，估计 A 课程成绩跑过 75.8 分的人数. 26.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=4x+4 与 x 轴 y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y=ax2+bx－3a 经过点 A 将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 27.如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点(不与点 A，B 重合)，连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明. 28.对于平面直角坐标系元 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义:P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任 意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的"闭距离"，记作 d(M， N) . 已知点 A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2). (1)求 d(点 0，△ABC); (2)记函数 y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的图象为图形 G.若 d(G，△ABC)=1，直接写出 k 的取值范围; (3)⊙T 的圆心为 T(t，0)，半径为 1，若 d(⊙T，△ABC)=1，直接写出 t 的取值范围.