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- 2021-05-10 发布
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弧长与扇形面积
1. ( 2014•广西贺州)如图,以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=,CE=1.则弧BD的长是( )
A.
B.
C.
D.
解答:
解:连接OC,
∵△ACE中,AC=2,AE=,CE=1,
∴AE2+CE2=AC2,
∴△ACE是直角三角形,即AE⊥CD,
∵sinA==,
∴∠A=30°,
∴∠COE=60°,
∴=sin∠COE,即=,解得OC=,
∵AE⊥CD,
∴=,
∴===.
故选B.
2.(2014·台湾)如图,、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为60°,且G在OA上,C、E在AG上,若AC=EG,OG=1,AG=2,则与两弧长的和为( )
A.π B. C. D.
解:设AC=EG=a,CE=2﹣2a,CO=3﹣a,EO=1+a,
+=2π(3﹣a)×+2π(1+a)×= (3﹣a+1+a)= .
故选B.
3. (2014·浙江金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为1,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
故选A.
4.(2014年山东泰安)如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.(﹣1)cm2 B.(+1)cm2 C. 1cm2 D. cm2
解:∵扇形OAB的圆心角为90°,假设扇形半径为2,∴扇形面积为:=π(cm2),半圆面积为:×π×12=(cm2),∴SQ+SM =SM+SP=(cm2),
∴SQ=SP,连接AB,OD,
∵两半圆的直径相等,∴∠AOD=∠BOD=45°,∴S绿色=S△AOD=×2×1=1(cm2),
∴阴影部分Q的面积为:S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1(cm2).故选:A.
5. (2014•海南)一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm,圆心角为120°的扇形,则此圆锥的底面半径为( )
A.
cm
B.
cm
C.
3cm
D.
cm
解答:
解:设此圆锥的底面半径为r,
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得:
2πr=,
r=cm.
故选A.
6. (2014•黑龙江龙东)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是10cm,底面圆的直径是5cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用多少厘米(接口处重合部分忽略不计)( )
A. 10πcm B. 10cm C. 5πcm D. 5cm
解答: 解:由题意可得出:OA=OA′=10cm,
==5π,
解得:n=90°,
∴∠AOA′=90°,
∴AA′==10(cm),
故选:B.
7.(2014•莱芜)如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A′的位置,则图中阴影部分的面积为( )
A.
π
B.
2π
C.
D.
4π
解答:
解:∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆
=S扇形ABA′=
=2π,
故选B.
8.(2014•浙江绍兴)如图,圆锥的侧面展开图使半径为3,圆心角为90°的扇形,则该圆锥的底面周长为( )
A.
π
B.
π
C.
D.
解答:
解:设底面圆的半径为r,则:
2πr==π.
∴r=,
∴圆锥的底面周长为,
故选B.
9.(2014•浙江)如图,半径为6cm的⊙O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积和为 6 cm2.
解答:
解:如图作△DBF的轴对称图形△HAG,作AM⊥CG,ON⊥CE,
∵△DBF的轴对称图形△HAG,
∴△ACG≌△BDF,
∴∠ACG=∠BDF=60°,
∵∠ECB=60°,
∴G、C、E三点共线,
∵AM⊥CG,ON⊥CE,
∴AM∥ON,
∴==,
在RT△ONC中,∠OCN=60°,
∴ON=sin∠OCN•OC=•OC,
∵OC=OA=2,
∴ON=,
∴AM=2,
∵ON⊥GE,
∴NE=GN=GE,
连接OE,
在RT△ONE中,NE===,
∴GE=2NE=2,
∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6,
∴图中两个阴影部分的面积为6,
故答案为6.
10.(2014•广安)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,上底AD为,以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D,与BC交于点E,且∠ABD为30°.则图中阴影部分的面积为 ﹣π (不取近似值).
解答:
解:连接OE,过点O作OF⊥BE于点F.
∵∠ABC=90°,AD=,∠ABD为30°,
∴BD=2,
∴AB=3,
∵OB=OE,
∴∠DBC=60°,
∴OF=,
∵CD为⊙O的切线,
∴∠BDC=90°,
∴∠C=30°,
∴BC=4,
S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE
=﹣﹣﹣
=﹣﹣﹣π
=﹣π.
故答案为﹣π.
11.(2014•绵阳)如图,⊙O的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分面积为 cm2.(结果保留π)
解答:
解:如图所示:连接BO,CO,
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,
∴AB=BC=CO=1,∠ABC=120°,△OBC是等边三角形,
∴CO∥AB,
在△COW和△ABW中
,
∴△COW≌△ABW(AAS),
∴图中阴影部分面积为:S扇形OBC==.
故答案为:.
12.(2014•重庆)如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积为 4﹣ .(结果保留π)
解答: 解:连接OC,
∵AB与圆O相切,
∴OC⊥AB,
∵OA=OB,
∴∠AOC=∠BOC,∠A=∠B=30°,
在Rt△AOC中,∠A=30°,OA=4,
∴OC=OA=2,∠AOC=60°,
∴∠AOB=120°,AC==2,即AB=2AC=4,
则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣.
故答案为:4﹣.
13. (2014•黑龙江)如图,如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径是 2 cm.
第2题图
解答: 解:扇形的弧长为:=4πcm,
圆锥的底面半径为:4π÷2π=2cm,
故答案为:2.
14. (2014•荆门)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与⊙A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为 .
第3题图
解答: 解:连接AC,
∵DC是⊙A的切线,
∴AC⊥CD,
又∵AB=AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=45°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB=45°,
又∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=45°,
∴∠CAD=45°,
∴∠CAD=45°,
∵的长为,
∴,
解得:r=2,
∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACD=.
故答案为:.
15.(2014•襄阳)如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将△BEC绕点B逆时针旋转90°后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,连接EF,CG.
(1)求证:EF∥CG;
(2)求点C,点A在旋转过程中形成的,与线段CG所围成的阴影部分的面积.
解答:
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC=AD=2,∠ABC=90°,
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90°,AF=EC,
∴∠AFB+∠FAB=90°,
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°,
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB,
∴EC∥FG,
∵AF=EC,AF=FG,
∴EC=FG,
∴四边形EFGC是平行四边形,
∴EF∥CG;
(2)解:∵AD=2,E是AB的中点,
∴FE=BE=AB=×2=1,
∴AF===,
由平行四边形的性质,△FEC≌△CGF,
∴S△FEC=S△CGF,
∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG,
=+×2×1+×(1+2)×1﹣,
=﹣.
16.(2014·昆明)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.
(1) 求证:AC是⊙O的切线;
(2) 若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
解答:
(1)证明:如图,连接OD
∵,
∴,
∴∠,
∵,
∴,
∠ABC=90°,
∴,
∵OD为半径,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:,
在中,
17. (2014年钦州)如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求弦BD的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
解答: (1)证明:连接OC,OC交BD于E,
∵∠CDB=30°,
∴∠COB=2∠CDB=60°,
∵∠CDB=∠OBD,
∴CD∥AB,
又∵AC∥BD,
∴四边形ABDC为平行四边形,
∴∠A=∠D=30°,
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°,即OC⊥AC
又∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:由(1)知,OC⊥AC.
∵AC∥BD,
∴OC⊥BD,
∴BE=DE,
∵在直角△BEO中,∠OBD=30°,OB=6,
∴BE=OBcos30°=3,
∴BD=2BE=6;
(3)解:易证△OEB≌△CED,
∴S阴影=S扇形BOC
∴S阴影==6π.
答:阴影部分的面积是6π.
18.(2014•贵州)如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=2.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
第1题图
解答:
(1)证明:连接OC,交BD于E,
∵∠B=30°,∠B=∠COD,
∴∠COD=60°,
∵∠A=30°,
∴∠OCA=90°,
即OC⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:∵AC∥BD,∠OCA=90°,
∴∠OED=∠OCA=90°,
∴DE=BD=,
∵sin∠COD=,
∴OD=2,
在Rt△ACO中,tan∠COA=,
∴AC=2,
∴S阴影=×2×2﹣=2﹣.
19、(2013•雅安)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
解答:
(1)证明:连接OD,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,
即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上,
∴CD为⊙O的切线;
(2)解:在Rt△OBF中,
∵∠ABD=30°,OF=1,
∴∠BOF=60°,OB=2,BF=,
∵OF⊥BD,
∴BD=2BF=2,∠BOD=2∠BOF=120°,
∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣.
20、(2013•新疆)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
解答:
(1)证明:如图,连接OA.
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)解:如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=CD=4,
则根据勾股定理知AC==4,即弦AC的长是4;
(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4,则S△ABC=AD•AC=×4×4=8.
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=S△ABC=4.
根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4,即图中阴影部分的面积是+4.