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  • 2021-05-10 发布

中考真题测试题弧长与扇形面积含答案概要

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弧长与扇形面积 ‎1. ( 2014•广西贺州)如图,以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=,CE=1.则弧BD的长是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:连接OC,‎ ‎∵△ACE中,AC=2,AE=,CE=1,‎ ‎∴AE2+CE2=AC2,‎ ‎∴△ACE是直角三角形,即AE⊥CD,‎ ‎∵sinA==,‎ ‎∴∠A=30°,‎ ‎∴∠COE=60°,‎ ‎∴=sin∠COE,即=,解得OC=,‎ ‎∵AE⊥CD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴===.‎ 故选B.‎ ‎2.(2014·台湾)如图,、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为60°,且G在OA上,C、E在AG上,若AC=EG,OG=1,AG=2,则与两弧长的和为(  )‎ A.π B. C. D. 解:设AC=EG=a,CE=2﹣2a,CO=3﹣a,EO=1+a,‎ ‎+=2π(3﹣a)×+2π(1+a)×= (3﹣a+1+a)= .‎ 故选B.‎ ‎3. (2014·浙江金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为1,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 故选A.‎ ‎4.(2014年山东泰安)如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为(  )‎ ‎ A.(﹣1)cm2 B.(+1)cm2 C. 1cm2 D. cm2‎ 解:∵扇形OAB的圆心角为90°,假设扇形半径为2,∴扇形面积为:=π(cm2),半圆面积为:×π×12=(cm2),∴SQ+SM =SM+SP=(cm2),‎ ‎∴SQ=SP,连接AB,OD,‎ ‎∵两半圆的直径相等,∴∠AOD=∠BOD=45°,∴S绿色=S△AOD=×2×1=1(cm2),‎ ‎∴阴影部分Q的面积为:S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1(cm2).故选:A.‎ ‎5. (2014•海南)一个圆锥的侧面展开图形是半径为‎8cm,圆心角为120°的扇形,则此圆锥的底面半径为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ cm B.‎ cm C.‎ ‎3cm D.‎ cm 解答:‎ 解:设此圆锥的底面半径为r,‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得:‎ ‎2πr=,‎ r=cm.‎ 故选A.‎ ‎6. (2014•黑龙江龙东)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是‎10cm,底面圆的直径是‎5cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用多少厘米(接口处重合部分忽略不计)(  )‎ ‎  A. 10πcm B. ‎10cm C. 5πcm D. ‎5cm 解答: 解:由题意可得出:OA=OA′=‎10cm,‎ ‎==5π,‎ 解得:n=90°,‎ ‎∴∠AOA′=90°,‎ ‎∴AA′==10(cm),‎ 故选:B.‎ ‎7.(2014•莱芜)如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A′的位置,则图中阴影部分的面积为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ π B.‎ ‎2π C.‎ D.‎ ‎4π 解答:‎ 解:∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆 ‎=S扇形ABA′=‎ ‎=2π,‎ 故选B.‎ ‎8.(2014•浙江绍兴)如图,圆锥的侧面展开图使半径为3,圆心角为90°的扇形,则该圆锥的底面周长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ π B.‎ π C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:设底面圆的半径为r,则:‎ ‎2πr==π.‎ ‎∴r=,‎ ‎∴圆锥的底面周长为,‎ 故选B.‎ ‎ 9.(2014•浙江)如图,半径为6cm的⊙O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积和为 6 cm2.‎ 解答:‎ 解:如图作△DBF的轴对称图形△HAG,作AM⊥CG,ON⊥CE,‎ ‎∵△DBF的轴对称图形△HAG,‎ ‎∴△ACG≌△BDF,‎ ‎∴∠ACG=∠BDF=60°,‎ ‎∵∠ECB=60°,‎ ‎∴G、C、E三点共线,‎ ‎∵AM⊥CG,ON⊥CE,‎ ‎∴AM∥ON,‎ ‎∴==,‎ 在RT△ONC中,∠OCN=60°,‎ ‎∴ON=sin∠OCN•OC=•OC,‎ ‎∵OC=OA=2,‎ ‎∴ON=,‎ ‎∴AM=2,‎ ‎∵ON⊥GE,‎ ‎∴NE=GN=GE,‎ 连接OE,‎ 在RT△ONE中,NE===,‎ ‎∴GE=2NE=2,‎ ‎∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6,‎ ‎∴图中两个阴影部分的面积为6,‎ 故答案为6.‎ ‎10.(2014•广安)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,上底AD为,以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D,与BC交于点E,且∠ABD为30°.则图中阴影部分的面积为 ﹣π (不取近似值).‎ 解答:‎ 解:连接OE,过点O作OF⊥BE于点F.‎ ‎∵∠ABC=90°,AD=,∠ABD为30°,‎ ‎∴BD=2,‎ ‎∴AB=3,‎ ‎∵OB=OE,‎ ‎∴∠DBC=60°,‎ ‎∴OF=,‎ ‎∵CD为⊙O的切线,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ ‎∴∠C=30°,‎ ‎∴BC=4,‎ S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE ‎=﹣﹣﹣‎ ‎=﹣﹣﹣π ‎=﹣π.‎ 故答案为﹣π.‎ ‎11.(2014•绵阳)如图,⊙O的半径为‎1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分面积为  cm2.(结果保留π)‎ 解答:‎ 解:如图所示:连接BO,CO,‎ ‎∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,‎ ‎∴AB=BC=CO=1,∠ABC=120°,△OBC是等边三角形,‎ ‎∴CO∥AB,‎ 在△COW和△ABW中 ‎,‎ ‎∴△COW≌△ABW(AAS),‎ ‎∴图中阴影部分面积为:S扇形OBC==.‎ 故答案为:.‎ ‎12.(2014•重庆)如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积为 4﹣ .(结果保留π)‎ 解答: 解:连接OC,‎ ‎∵AB与圆O相切,‎ ‎∴OC⊥AB,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC,∠A=∠B=30°,‎ 在Rt△AOC中,∠A=30°,OA=4,‎ ‎∴OC=OA=2,∠AOC=60°,‎ ‎∴∠AOB=120°,AC==2,即AB=‎2AC=4,‎ 则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣.‎ 故答案为:4﹣.‎ ‎ 13. (2014•黑龙江)如图,如果从半径为‎3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径是 ‎2 cm.‎ 第2题图 解答: 解:扇形的弧长为:=4πcm,‎ 圆锥的底面半径为:4π÷2π=‎2cm,‎ 故答案为:2.‎ ‎14. (2014•荆门)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与⊙A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为  .‎ 第3题图 解答: 解:连接AC,‎ ‎∵DC是⊙A的切线,‎ ‎∴AC⊥CD,‎ 又∵AB=AC=CD,‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CAD=45°,‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠CAD=∠ACB=45°,‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=∠B=45°,‎ ‎∴∠CAD=45°,‎ ‎∴∠CAD=45°,‎ ‎∵的长为,‎ ‎∴,‎ 解得:r=2,‎ ‎∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACD=.‎ 故答案为:.‎ ‎15.(2014•襄阳)如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将△BEC绕点B逆时针旋转90°后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,连接EF,CG.‎ ‎(1)求证:EF∥CG;‎ ‎(2)求点C,点A在旋转过程中形成的,与线段CG所围成的阴影部分的面积.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC=AD=2,∠ABC=90°,‎ ‎∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF,‎ ‎∴△ABF≌△CBE,‎ ‎∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90°,AF=EC,‎ ‎∴∠AFB+∠FAB=90°,‎ ‎∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,‎ ‎∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°,‎ ‎∴∠CFG=∠FAB=∠ECB,‎ ‎∴EC∥FG,‎ ‎∵AF=EC,AF=FG,‎ ‎∴EC=FG,‎ ‎∴四边形EFGC是平行四边形,‎ ‎∴EF∥CG;‎ ‎(2)解:∵AD=2,E是AB的中点,‎ ‎∴FE=BE=AB=×2=1,‎ ‎∴AF===,‎ 由平行四边形的性质,△FEC≌△CGF,‎ ‎∴S△FEC=S△CGF,‎ ‎∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG,‎ ‎=+×2×1+×(1+2)×1﹣,‎ ‎=﹣.‎ ‎16.(2014·昆明)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.‎ (1) 求证:AC是⊙O的切线;‎ (2) 若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)‎ 解答:‎ ‎(1)证明:如图,连接OD ‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∠ABC=90°,‎ ‎∴,‎ ‎∵OD为半径,‎ ‎∴AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:,‎ ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. (2014年钦州)如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)求弦BD的长;‎ ‎(3)求图中阴影部分的面积.‎ 解答: (1)证明:连接OC,OC交BD于E,‎ ‎∵∠CDB=30°,‎ ‎∴∠COB=2∠CDB=60°,‎ ‎∵∠CDB=∠OBD,‎ ‎∴CD∥AB,‎ 又∵AC∥BD,‎ ‎∴四边形ABDC为平行四边形,‎ ‎∴∠A=∠D=30°,‎ ‎∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°,即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径,‎ ‎∴AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:由(1)知,OC⊥AC.‎ ‎∵AC∥BD,‎ ‎∴OC⊥BD,‎ ‎∴BE=DE,‎ ‎∵在直角△BEO中,∠OBD=30°,OB=6,‎ ‎∴BE=OBcos30°=3,‎ ‎∴BD=2BE=6;‎ ‎(3)解:易证△OEB≌△CED,‎ ‎∴S阴影=S扇形BOC ‎∴S阴影==6π.‎ 答:阴影部分的面积是6π.‎ ‎18.(2014•贵州)如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=2.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)‎ 第1题图 解答:‎ ‎(1)证明:连接OC,交BD于E,‎ ‎∵∠B=30°,∠B=∠COD,‎ ‎∴∠COD=60°,‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴∠OCA=90°,‎ 即OC⊥AC,‎ ‎∴AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵AC∥BD,∠OCA=90°,‎ ‎∴∠OED=∠OCA=90°,‎ ‎∴DE=BD=,‎ ‎∵sin∠COD=,‎ ‎∴OD=2,‎ 在Rt△ACO中,tan∠COA=,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∴S阴影=×2×2﹣=2﹣.‎ ‎19、(2013•雅安)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:CD为⊙O的切线;‎ ‎(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连接OD,‎ ‎∵BC是⊙O的切线,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∵CD=CB,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB,‎ ‎∴∠ODC=∠ABC=90°,‎ 即OD⊥CD,‎ ‎∵点D在⊙O上,‎ ‎∴CD为⊙O的切线;‎ ‎(2)解:在Rt△OBF中,‎ ‎∵∠ABD=30°,OF=1,‎ ‎∴∠BOF=60°,OB=2,BF=,‎ ‎∵OF⊥BD,‎ ‎∴BD=2BF=2,∠BOD=2∠BOF=120°,‎ ‎∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣.‎ ‎20、(2013•新疆)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC.‎ ‎(1)求证:AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)求弦AC的长;‎ ‎(3)求图中阴影部分的面积.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:如图,连接OA.‎ ‎∵AB=AC,∠ABC=30°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=30°.‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=60°,‎ ‎∴在△ABO中,∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°,即AB⊥OA,‎ 又∵OA是⊙O的半径,‎ ‎∴AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)解:如图,连接AD.‎ ‎∵CD是⊙O的直径,‎ ‎∴∠DAC=90°.‎ ‎∵由(1)知,∠ACB=30°,‎ ‎∴AD=CD=4,‎ 则根据勾股定理知AC==4,即弦AC的长是4;‎ ‎(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4,则S△ABC=AD•AC=×4×4=8.‎ ‎∵点O是△ADC斜边上的中点,‎ ‎∴S△AOC=S△ABC=4.‎ 根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4,即图中阴影部分的面积是+4.‎