- 473.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
1.4的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±D.±2
2.下面实数比较大小正确的是( )
A.3>7 B. C.0<﹣2 D.22<3
3.如图,已知直线a∥b,∠1=100°,则∠2等于( )
A.80° B.60° C.100° D.70°
4.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
6.若﹣x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.某气象台发现:在某段时间里,如果早晨下雨,那么晚上是晴天;如果晚上下雨,那么早晨是晴天,已知这段时间有9天下了雨,并且有6天晚上是晴天,7天早晨是晴天,则这一段时间有( )
A.9天 B.11天 C.13天 D.22天
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
9.使代数式有意义的x的取值范围是 .
10.计算:a2•a3= .
11.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为 .
12.已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,请写一个符合条件的反比例函数解析式 .
13.张朋将连续10天引体向上的测试成绩(单位:个)记录如下:16,18,18,16,19,19,18,21,18,21.则这组数据的中位数是 .
14.如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为3,则图中阴影部分的面积是 .
15.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD= .
16.平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),则称点Q(a+c,b+d)为M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点A(2,5),B(﹣1,3),若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标是 .
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17.计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣()0.
18.解不等式组,并把解集在是数轴上表示出来.
.
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19.先化简,再求值:(),其中x=2.
20.如图,直线AB与坐标轴分别交于A(﹣2,0),B(0,1)两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),求一次函数和反比例函数的解析式.
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
22.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?
(参考数据:cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732, =1.732, =1.414)
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.今年元月,国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》,根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图:
(1)该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例?
(2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元?(保留三个有效数字)
(3)2015年每例诈骗的损失年增长率是多少?
(4)为提高学生的防患意识,现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象,请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少?
24.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若BC=,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
26.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C(0,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)H是C关于x轴的对称点,P是抛物线上的一点,当△PBH与△AOC相似时,求符合条件的P点的坐标(求出两点即可);
(3)过点C作CD∥AB,CD交抛物线于点D,点M是线段CD上的一动点,作直线MN与线段AC交于点N,与x轴交于点E,且∠BME=∠BDC,当CN的值最大时,求点E的坐标.
2016年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
1.4的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±D.±2
【考点】平方根.
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案.
【解答】解:4的平方根是:±=±2.
故选:D.
2.下面实数比较大小正确的是( )
A.3>7 B. C.0<﹣2 D.22<3
【考点】实数大小比较.
【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:A、3<7,故本选项错误;
B、∵≈1.7,≈1.4,∴>,故本选项正确;
C、0>﹣2,故本选项错误;
D、22>3,故本选项错误.
故选B.
3.如图,已知直线a∥b,∠1=100°,则∠2等于( )
A.80° B.60° C.100° D.70°
【考点】平行线的性质.
【分析】先根据对顶角相等求出∠3,再根据两直线平行,同旁内角互补列式计算即可得解.
【解答】解:如图,∵∠1与∠3是对顶角,
∴∠3=∠1=100°,
∵a∥b,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°.
故选A.
4.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
【解答】解:从上面看易得上面第一层中间有1个正方形,第二层有3个正方形.下面一层左边有1个正方形,
故选A.
5.下列说法正确的是( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
【考点】概率的意义.
【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球的概率是,故本选项错误;
B、天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的概率会下雨,故本选项错误;
C、某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,可能会中奖,故本选项错误;
D、连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上,故本选项正确.
故选D.
6.若﹣x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】同类项.
【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解.
【解答】解:∵﹣x3ya与xby是同类项,
∴a=1,b=3,
则a+b=1+3=4.
故选C.
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由二次函数的开口方向,对称轴0<x<1,以及二次函数与y的交点在x轴的上方,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.
【解答】解:∵二次函数的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
∴a<0,c>0,故②正确;
∵0<﹣<1,
∴b>0,故①错误;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故③正确;
∵二次函数与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故④正确
正确的有3个,
故选:C.
8.某气象台发现:在某段时间里,如果早晨下雨,那么晚上是晴天;如果晚上下雨,那么早晨是晴天,已知这段时间有9天下了雨,并且有6天晚上是晴天,7天早晨是晴天,则这一段时间有( )
A.9天 B.11天 C.13天 D.22天
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】根据题意设有x天早晨下雨,这一段时间有y天;有9天下雨,即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨,①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天;②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天;列方程组解出即可.
【解答】解:设有x天早晨下雨,这一段时间有y天,
根据题意得:
①+②得:2y=22
y=11
所以一共有11天,
故选B.
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
9.使代数式有意义的x的取值范围是 x≥3 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件:被开方数为非负数求解即可.
【解答】解:∵代数式有意义,
∴2x﹣6≥0,
解得:x≥3.
故答案为:x≥3.
10.计算:a2•a3= a5 .
【考点】同底数幂的乘法.
【分析】根据同底数的幂的乘法,底数不变,指数相加,计算即可.
【解答】解:a2•a3=a2+3=a5.
故答案为:a5.
11.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为 3 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】过P作PD⊥OA于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC,从而得解.
【解答】解:如图,过P作PD⊥OA于D,
∵OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB,
∴PD=PC,
∵PC=3,
∴PD=3.
故答案为:3.
12.已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,请写一个符合条件的反比例函数解析式 y=﹣ .
【考点】反比例函数的性质.
【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,结合反比例函数的性质即可得出k<0,随便写出一个小于0的k值即可得出结论.
【解答】解:∵反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,
∴k<0.
故答案为:y=﹣.
13.张朋将连续10天引体向上的测试成绩(单位:个)记录如下:16,18,18,16,19,19,18,21,18,21.则这组数据的中位数是 18 .
【考点】中位数.
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【解答】解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:16,16,18,18,18,18,19,19,21,21.
位于最中间的两个数都是18,
所以这组数据的中位数是18.
故答案为:18.
14.如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为3,则图中阴影部分的面积是 3π .
【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理;扇形面积的计算.
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数,再根据扇形面积公式计算可得.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,
∴阴影部分的面积是=3π,
故答案为:3π.
15.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD= 55° .
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD,得出∠D1AD=∠BAE=55°即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠C,
由折叠的性质得:∠D1AE=∠C,
∴∠D1AE=∠BAD,
∴∠D1AD=∠BAE=55°;
故答案为:55°.
16.平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),则称点Q(a+c,b+d)为M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点A(2,5),B(﹣1,3),若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标是 (1,8) .
【考点】点的坐标.
【分析】先根据以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,判断点C为点A、B的“和点”,再根据点A、B的坐标求得点C的坐标.
【解答】解:∵以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”
∴点C的坐标为(2﹣1,5+3),即C(1,8)
故答案为:(1,8)
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17.计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣()0.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式﹣14+sin60°+()﹣2﹣()0的值是多少即可.
【解答】解:﹣14+sin60°+()﹣2﹣()0
=﹣1+2×+4﹣1
=﹣1+3+3
=5
18.解不等式组,并把解集在是数轴上表示出来.
.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可.
【解答】解:,
由①得:x≥﹣,
由②得:x<4,
∴不等式组的解集为﹣≤x<4,
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19.先化简,再求值:(),其中x=2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先算括号里面的,再算除法,最后把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=[+]÷[﹣]
=÷
=÷
=•
=,
当x=2时,原式==.
20.如图,直线AB与坐标轴分别交于A(﹣2,0),B(0,1)两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),求一次函数和反比例函数的解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b,把A(﹣2,0),B(0,1)代入得出方程组,解方程组即可;求出点C的坐标,设反比例函数的解析式为y=,把C(4,3)代入y=求出m即可.
【解答】解:设一次函数的解析式为y=kx+b,
把A(﹣2,0),B(0,1)代入得:,
解得:,
∴一次函数的解析式为y=x+1;
设反比例函数的解析式为y=,
把C(4,n)代入得:n=3,
∴C(4,3),
把C(4,3)代入y=得:m=3×4=12,
∴反比例函数的解析式为y=.
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设第一批T恤衫每件进价是x元,则第二批每件进价是(x﹣10)元,再根据等量关系:第二批进的件数=×第一批进的件数可得方程;
(2)设第二批衬衫每件售价y元,由利润=售价﹣进价,根据这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,可列不等式求解.
【解答】解:(1)设第一批T恤衫每件进价是x元,则第二批每件进价是(x﹣10)元,根据题意可得:,
解得:x=150,
经检验x=150是原方程的解,
答:第一批T恤衫每件进价是150元,第二批每件进价是140元,
(件),(件),
答:第一批T恤衫进了30件,第二批进了15件;
(2)设第二批衬衫每件售价y元,根据题意可得:
30×+15(y﹣140)≥1950,
解得:y≥170,
答:第二批衬衫每件至少要售170元.
22.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?
(参考数据:cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732, =1.732, =1.414)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】过B作BD⊥AC,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD与AD的长,在直角三角形BCD中,求出CD的长,由AD+DC求出AC的长即可.
【解答】解:过B作BD⊥AC,
∵∠BAC=75°﹣30°=45°,
∴在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,
由勾股定理得:BD=AD=×20=10(海里),
在Rt△BCD中,∠C=25°,∠CBD=75°,
∴tan∠CBD=,即CD=10×3.732=52.77048,
则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67(海里),即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里.
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.今年元月,国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》,根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图:
(1)该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例?
(2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元?(保留三个有效数字)
(3)2015年每例诈骗的损失年增长率是多少?
(4)为提高学生的防患意识,现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象,请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少?
【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;条形统计图;折线统计图.
【分析】(1)利用条形统计图求解;
(2)利用2015年每例诈骗的损失乘以2015年收到网络诈骗举报的数量即可;
(3)用2015年每例诈骗的损失减去2014年每例诈骗的损失,然后用其差除以2014年每例诈骗的损失即可;(4)画树状图(用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁)展示所有12种等可能的结果数,再找出选中甲、乙两人的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)该平台2015年共收到网络诈骗举报24886例;
(2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是24886×5.106≈1.27亿元;
(3)2015年每例诈骗的损失年增长率=÷2070=147%;
(4)画树状图为:(用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁)
共有12种等可能的结果数,其中选中甲、乙两人的结果数为2,
所以恰好选中甲、乙两人的概率==.
24.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若BC=,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.
【考点】切线的判定;三角形的外接圆与外心.
【分析】(1)先根据等弦所对的劣弧相等,再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD,最后用直径所对的圆周角为直角即可;
(2)利用三角形的中位线先求出OF,再用平行线分线段成比例定理求出半径R,最后用切割线定理即可.
【解答】解:如图,
连接OB,∵BD=BC,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠EBD=∠CAB,
∴∠BAD=∠EBD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,OA=BO,
∴∠BAD=∠ABO,
∴∠EBD=∠ABO,
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,
∵点B在⊙O上,
∴BE是⊙O的切线,
(2)如图2,
设圆的半径为R,连接CD,
∵AD为⊙O的直径,
∴∠ACCD=90°,
∵BC=BD,
∴OB⊥CD,
∴OB∥AC,
∵OA=OD,
∴OF=AC=,
∵四边形ACBD是圆内接四边形,
∴∠BDE=∠ACB,
∵∠DBE=∠ACB,
∴△DBE∽△CAB,
∴,
∴,
∴DE=,
∵∠OBE=∠OFD=90°,
∴DF∥BE,
∴,
∴,
∵R>0,
∴R=3,
∵BE是⊙O的切线,
∴BE===.
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)①利用SAS证全等;
②易证得:BC∥FH和CH=HE,根据平行线分线段成比例定理得BF=EF,也可由三角形中位线定理的推论得出结论.
(2)作辅助线构建平行线和全等三角形,首先证明△MAE≌△DAC,得AD=AM,根据等量代换得AB=AM,根据②同理得出结论.
【解答】证明:(1)①如图1,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴==1,
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN⊥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴==1,
∴BF=EF.
26.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C(0,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)H是C关于x轴的对称点,P是抛物线上的一点,当△PBH与△AOC相似时,求符合条件的P点的坐标(求出两点即可);
(3)过点C作CD∥AB,CD交抛物线于点D,点M是线段CD上的一动点,作直线MN与线段AC交于点N,与x轴交于点E,且∠BME=∠BDC,当CN的值最大时,求点E的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),然后将(0,﹣2)代入解析式即可求出a的值;
(2)当△PBH与△AOC相似时,△PBH是直角三角形,由可知∠AHB=90°,所以求出直线AH的解析式后,联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标;
(3)设M的坐标为(m,0),由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD,所以△NCM∽△MDB,利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式,利用二次函数的性质即可求出m=时,CN有最大值,然后再证明△EMB∽△BDM,即可求出E的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),
∴设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣4),
把(0,﹣2)代入y=a(x+1)(x﹣4),
∴a=,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2;
(2)当△PBH与△AOC相似时,
∴△AOC是直角三角形,
∴△PBH也是直角三角形,
由题意知:H(0,2),
∴OH=2,
∵A(﹣1,0),B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
∴
∵∠AOH=∠BOH,
∴△AOH∽△BOH,
∴∠AHO=∠HBO,
∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°,
∴∠AHB=90°,
设直线AH的解析式为:y=kx+b,
把A(﹣1,0)和H(0,2)代入y=kx+b,
∴,
∴解得,
∴直线AH的解析式为:y=2x+2,
联立,
解得:x=1或x=﹣8,
当x=﹣1时,
y=0,
当x=8时,
y=18
∴P的坐标为(﹣1,0)或(8,18)
(3)过点M作MF⊥x轴于点F,
设点E的坐标为(n,0),M的坐标为(m,0),
∵∠BME=∠BDC,
∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD,
∴∠EMC=∠MBD,
∵CD∥x轴,
∴D的纵坐标为﹣2,
令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2,
∴x=0或x=3,
∴D(3,﹣2),
∵B(4,0),
∴由勾股定理可求得:BD=,
∵M(m,0),
∴MD=3﹣m,CM=m(0≤m≤3)
∴由抛物线的对称性可知:∠NCM=∠BDC,
∴△NCM∽△MDB,
∴,
∴,
∴CN==﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,CN可取得最大值,
∴此时M的坐标为(,﹣2),
∴MF=2,BF=,MD=
∴由勾股定理可求得:MB=,
∵E(n,0),
∴EB=4﹣n,
∵CD∥x轴,
∴∠NMC=∠BEM,∠EBM=∠BMD,
∴△EMB∽△BDM,
∴,
∴MB2=MD•EB,
∴=×(4﹣n),
∴n=﹣,
∴E的坐标为(﹣,0).
2016年7月3日