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  • 2021-05-10 发布

长沙市中考数学试卷及详细答案

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‎2014年长沙市中考数学试卷 ‎1.的倒数是( )‎ A.2 B.-2 C. D.-‎ ‎2.下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )‎ A.圆锥 B.六棱柱 C.球 D.四棱锥 ‎3.一组数据3,3,4,2,8的中位数和平均数分别是 ( )‎ ‎ A. 3和3 B. 3和4 C. 4和3 D. 4和4‎ ‎4.平行四边形的对角线一定具有的性质是( ) ‎ A.相等 B.互相平分 C. 互相垂直 D.互相垂直且相等 ‎5 .下列计算正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ A B D C ‎6 .如图,C、D是线段AB上两点,D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长等于( )‎ A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm ‎7 .一个关于的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示,则此不等式组的解集是( )‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎·‎ ‎。‎ A. >1 B.≥1 ‎ ‎ C.>3 D.≥3‎ ‎60°‎ A D C B ‎8.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,‎ 则对角线BD的长为 ( )‎ A. 1 B. ‎ C. 2 D. 2‎ ‎9.下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )‎ ‎10.‎ 函数与函数()在同一坐标系中的图像可能是( )‎ 二、填空题:(本大题8个小题,每小题3分,共24分)在每小题中,请将答案直接填在答题卡中对应的横线上.‎ ‎11.如图,直线∥b,直线c与a,b相交,∠1=70°,则∠2= 度;‎ ‎12.抛物线的顶点坐标为 ;‎ ‎13.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=100°,则∠ACB= 度;‎ ‎14.已知关于的 一元二次方程的一个根是1,则k= .‎ ‎15.100件外观相同的产品中有5件不合格,从中任意抽出1件进行检测,则抽到不合格产品的概率为 .‎ C A B F D E 第17题图 A B E D C 第16题图 ‎16.如图,△ABC中,DE∥BC, ,△ADE的面积为8,则△ABC的面积为 ;‎ A B O C 第13题图 a b c ‎1‎ ‎2‎ 第11题图 ‎17.如图,B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= ;‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,A(2,3),B(-2,1),在轴上存在点P,使P到A,B两点的距离之和最小,则P的坐标为 ;‎ 三、解答题:(本大题2个小题,每小题6分,共12分)‎ ‎19.计算:‎ ‎20.先化简,再求值:,其中,=3;‎ 四、解答题:(本大题2个小题,每小题8分,共16分)‎ ‎21.某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.‎ 调查问卷 在下面四中长沙小吃中,你最喜欢的是( ) (单选)‎ A.臭豆腐 B.口味虾 C.唆螺 D.糖油粑粑 ‎ ‎ 请根据所给信息解答以下问题:‎ (1) 请补全条形统计图;‎ (2) 若全校有2000名学生,请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人;‎ (3) 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D,随机摸出一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,请用列表或画树形图的方法,求两次都摸到“A”的概率;‎ A B E O C D 第22题图 ‎22.如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O,‎ ‎(1) 求证:△AEO≌△CDO;‎ ‎(2)若∠OCD=30°,AB=,求△ACO的面积;‎ ‎ ‎ 五、解答题:(本大题2个小题,每小题9分,共18分)‎ ‎23. 为建设“秀美幸福之市”,长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行,某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵,对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造,已知甲种树苗每棵200元,乙种树苗每棵300元。‎ ‎(1)若购买两种树苗的总金额为90000元,求需购买甲乙两种树苗各多少棵?‎ ‎(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额,至少应购买甲种树苗多少棵?‎ ‎ ‎ A E D O●‎ C B ‎24.如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E,‎ ‎(1) 求证:DE⊥AC;‎ ‎(2) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值;‎ 四、 解答题:(本大题2个小题,每小题10分,共20分)‎ ‎25.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”,例如点(1,1),(-2,-2),,…都是“梦之点”,显然“梦之点”有无数个。‎ ‎(1)若点P(2,m)是反比例函数(n为常数,n≠0)的图像上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;‎ ‎(2)函数(k,s为常数)的图像上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)若二次函数(a,b是常数,a>0)的图像上存在两个“梦之点”A,‎ B,且满足-2<<2,=2,令,试求t的取值范围。‎ ‎26.如图,抛物线的对称轴为轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2),‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;‎ ‎(3)设⊙P与轴相交于M,N (<)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标。‎ y x P●‎ A M O N 参考答案 一. 选择题:‎ ‎ ACBBD,BCCAD 二. 填空题:‎ ‎ 11. 110°, 12.(2,5), 13. 50°, 14. 2, ‎ ‎15. 16. 18 , 17. 6 18. (-1,0)‎ 解答题:‎ ‎19. 原式=1+2-3+1‎ ‎ =1‎ ‎ 20. 原式=‎ ‎ =()()‎ ‎=‎ 代入求值得 ‎21.(1)略,(2)(2)2000×()=560 人 ‎ (3)‎ ‎22.(1)略 ‎ (2)‎ ‎23.(1)甲300棵,乙100棵 ‎ (2)甲种树苗至少购买240棵;‎ ‎24.(1)(1)由题可得:AE=CD, ∠E=∠D=90°‎ ‎∠EOA=∠DOC(对顶角相等)‎ 所以:△AEO≌△CDO(AAS)‎ ‎ (2)‎ ‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即:,化简得:;‎ 解得:,则,故tan∠ACB=;‎ ‎25.(1)‎ ‎ (2)由得当时,‎ ‎ 当且s=1时,x有无数个解,此时的“梦之点”存在,有无数个;‎ ‎ 当且s≠1时,方程无解,此时的“梦之点”不存在;‎ ‎ 当,方程的解为,此时的“梦之点”存在,坐标为(,)‎ ‎ ‎ ‎(3)由得:则为此方程的两个不等实根,‎ ‎ 由=2,又-2<<2得:-2<<0时,-4<<2;0≤<2时,-2≤<4;‎ ‎∵抛物线的对称轴为,故-3<<3‎ ‎ 由=2, 得: ,故>;=‎ ‎=+=,当>时,t随的增大而增大,当=时,t=,∴>时, 。‎ ‎26.(1)‎ ‎ (2)设P(x,y), ⊙P的半径r=,又,则r=,化简得:r=>,∴点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;‎ ‎ (3)设P(),∵PA=,作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=,故MN=4,∴M(,0),N(,0),‎ ‎ 又A(0,2),∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时,解得=0,‎ 当AM=MN时, =4,解得:=,则=;‎ y x P●‎ A M O N H 当AN=MN时, =4,解得:= ,则=‎ 综上所述,P的纵坐标为0或或;‎ ‎2014年长沙市中考数学试卷答案 一、选择题 ‎1.的倒数是( A )‎ A.2 B.-2 C. D.-‎ ‎2.下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( C )‎ A.圆锥 B.六棱柱 C.球 D.四棱锥 ‎3.一组数据3,3,4,2,8的中位数和平均数分别是 ( B )‎ ‎ A. 3和3 B. 3和4 C. 4和3 D. 4和4‎ ‎4.平行四边形的对角线一定具有的性质是( B ) ‎ A.相等 B.互相平分 C. 互相垂直 D.互相垂直且相等 ‎5 .下列计算正确的是( D )‎ A. B. C. D.‎ A B D C ‎6 .如图,C、D是线段AB上两点,D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长等于( B )‎ A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm ‎7 .一个关于的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示,则此不等式组的解集是( C )‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎·‎ ‎。‎ A. >1 B.≥1 ‎ ‎ C.>3 D.≥3‎ ‎60°‎ A D C B ‎8.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,‎ 则对角线BD的长为 ( C )‎ A. 1 B. ‎ C. 2 D. 2‎ ‎9.下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( A )‎ ‎10.‎ 函数与函数()在同一坐标系中的图像可能是( D )‎ 二、填空题:(每题3分,共24分)‎ ‎11.如图,直线∥b,直线c与a,b相交,∠1=70°,则∠2= 110 度;‎ ‎12.抛物线的顶点坐标为 (2,5) ;‎ ‎13.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=100°,则∠ACB= 50 度;‎ ‎14.已知关于的 一元二次方程的一个根是1,则k= 2 .‎ ‎15.100件外观相同的产品中有5件不合格,从中任意抽出1件进行检测,则抽到不合格产品的概率为 ‎ C A B F D E 第17题图 A B E D C 第16题图 ‎16.如图,△ABC中,DE∥BC, ,△ADE的面积为8,则△ABC的面积为 18 ;‎ A B O C 第13题图 a b c ‎1‎ ‎2‎ 第11题图 ‎17.如图,B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= 6 ;‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,A(2,3),B(-2,1),在轴上存在点P,使P到A,B两点的距离之和最小,则P的坐标为 (-1,0) ;‎ 三、解答题:(本大题2个小题,每小题6分,共12分)‎ ‎19.计算:‎ 解:原式=1+2-3+1‎ ‎ =1‎ ‎20.先化简,再求值:,其中,=3;‎ 解:原式=‎ ‎ =()()‎ ‎=‎ 代入求值得 四、解答题:(本大题2个小题,每小题8分,共16分)‎ 小吃类别 口味虾 人数 臭豆腐 ‎10‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎14‎ ‎21‎ ‎5‎ 唆螺 糖油粑粑 ‎21.某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.‎ 调查问卷 在下面四中长沙小吃中,你最喜欢的是( ) (单选)‎ A.臭豆腐 B.口味虾 C.唆螺 D.糖油粑粑 ‎ ‎ 请根据所给信息解答以下问题:‎ (1) 请补全条形统计图;‎ (2) 若全校有2000名学生,请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人;‎ (3) 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D,随机摸出一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,请用列表或画树形图的方法,求两次都摸到“A”的概率;‎ ‎(1)略 ‎(2)2000×()=560 人 ‎(3)‎ A B E O C D 第22题图 ‎22.如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O,‎ ‎(1) 求证:△AEO≌△CDO;‎ ‎(2)若∠OCD=30°,AB=,求△ACO的面积;‎ ‎(1)由题可得:AE=CD, ∠E=∠D=90°‎ ‎∠EOA=∠DOC(对顶角相等)‎ 所以:△AEO≌△CDO(AAS)‎ ‎ (2)‎ 五、解答题:(本大题2个小题,每小题9分,共18分)‎ ‎23. 为建设“秀美幸福之市”,长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行,某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵,对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造,已知甲种树苗每棵200元,乙种树苗每棵300元。‎ ‎(1)若购买两种树苗的总金额为90000元,求需购买甲乙两种树苗各多少棵?‎ ‎(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额,至少应购买甲种树苗多少棵?‎ ‎(1)甲300棵,乙100棵 ‎ (2)甲种树苗至少购买240棵 A E D O●‎ C B ‎24.如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E,‎ ‎(1) 求证:DE⊥AC;‎ ‎(2) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值;‎ ‎(1)(略)‎ ‎ (2)‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即:,化简得:;‎ 解得:,则,故tan∠ACB=;‎ 四、解答题:(本大题2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,将解答书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎25.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”,例如点(1,1),(-2,-2),,…都是“梦之点”,显然“梦之点”有无数个。‎ ‎(1)若点P(2,m)是反比例函数(n为常数,n≠0)的图像上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;‎ ‎(2)函数(k,s为常数)的图像上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)若二次函数(a,b是常数,a>0)的图像上存在两个“梦之点”A,‎ B,且满足-2<<2,=2,令,试求t的取值范围。‎ ‎(1)‎ ‎ (2)由得当时,‎ ‎ 当且s=1时,x有无数个解,此时的“梦之点”存在,有无数个;‎ ‎ 当且s≠1时,方程无解,此时的“梦之点”不存在;‎ ‎ 当,方程的解为,此时的“梦之点”存在,坐标为(,)‎ ‎ ‎ ‎(3)由得:则为此方程的两个不等实根,‎ ‎ 由=2,又-2<<2得:-2<<0时,-4<<2;0≤<2时,-2≤<4;‎ ‎∵抛物线的对称轴为,故-3<<3‎ ‎ 由=2, 得: ,故>;=‎ ‎=+=,当>时,t随的增大而增大,当=时,t=,∴>时, 。‎ ‎26.如图,抛物线的对称轴为 轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2),‎ ‎(1)求的值; (收集整理cjzl)‎ ‎(2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;‎ y x P●‎ A M O N ‎(3)设⊙P与轴相交于M,N (<)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标。‎ ‎(1)‎ ‎ (2)设P(x,y), ⊙P的半径r=,又,则r=,化简得:r=>,∴点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;‎ ‎ (3)设P(),∵PA=,作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=,故MN=4,∴M(,0),N(,0),‎ ‎ 又A(0,2),∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时,解得=0,‎ 当AM=MN时, =4,解得:=,则=;‎ 当AN=MN时, =4,解得:= ,则=‎ 综上所述,P的纵坐标为0或或;‎ 参考答案 一. 选择题:‎ ‎ ACBBD,BCCAD 二. 填空题:‎ ‎ 11. 110°, 12.(2,5), 13. 50°, 14. 2, ‎ ‎15. 16. 18 , 17. 6 18. (-1,0)‎ 解答题:‎ ‎19. 1 20. ,代入求值得;‎ ‎21.(1)略,(2)560 (3)‎ ‎22.(1)略 ‎ (2)‎ ‎23.(1)甲300棵,乙100棵 ‎ (2)甲种树苗至少购买240棵;‎ ‎24.(1)(略)‎ ‎ (2)‎ ‎ 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,‎ 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即:,化简得:;‎ 解得:,则,故tan∠ACB=;‎ ‎25.(1)‎ ‎ (2)由得当时,‎ ‎ 当且s=1时,x有无数个解,此时的“梦之点”存在,有无数个;‎ ‎ 当且s≠1时,方程无解,此时的“梦之点”不存在;‎ ‎ 当,方程的解为,此时的“梦之点”存在,坐标为(,)‎ ‎ ‎ ‎(3)由得:则为此方程的两个不等实根,‎ ‎ 由=2,又-2<<2得:-2<<0时,-4<<2;0≤<2时,-2≤<4;‎ ‎∵抛物线的对称轴为,故-3<<3‎ ‎ 由=2, 得: ,故>;=‎ ‎=+=,当>时,t随的增大而增大,当=时,t=,∴>时, 。‎ ‎26.(1)‎ ‎ (2)设P(x,y), ⊙P的半径r=,又,则r=,化简得:r=>,∴点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;‎ ‎ (3)设P(),∵PA=,作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=,故MN=4,∴M(,0),N(,0),‎ ‎ 又A(0,2),∴AM=,AN=‎ 当AM=AN时,解得=0,‎ 当AM=MN时, =4,解得:=,则=;‎ y x P●‎ A M O N H 当AN=MN时, =4,解得:= ,则=‎ 综上所述,P的纵坐标为0或或;‎