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  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴题精选二次函数

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‎1、(10广东茂名25题)(本题满分10分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,抛物线=-++经过A(0,-4)、B(,0)、 C(,0)三点,且-=5.‎ ‎(第25题图)‎ A x y B C O ‎(1)求、的值;(4分)‎ ‎(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形;(3分)‎ ‎(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.(3分)‎ ‎ ‎ 解:(1)解法一:‎ ‎∵抛物线=-++经过点A(0,-4),‎ ‎ ∴=-4 ……1分 又由题意可知,、是方程-++=0的两个根,‎ ‎∴+=, =-=6 2分 由已知得(-)=25‎ 又(-)=(+)-4=-24 ∴ -24=25 ‎ 解得=± 3分 当=时,抛物线与轴的交点在轴的正半轴上,不合题意,舍去.‎ ‎∴=-. 4分 解法二:∵、是方程-++c=0的两个根,‎ ‎ 即方程2-3+12=0的两个根.‎ ‎∴=, 2分 ‎∴-==5,‎ ‎ 解得 =± 3分 ‎ (以下与解法一相同.) ‎ ‎ (2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上, 5分 ‎ 又∵=---4=-(+)+ 6分 ‎ ∴抛物线的顶点(-,)即为所求的点D. 7分 ‎ (3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),‎ 根据菱形的性质,点P必是直线=-3与 抛物线=---4的交点, 8分 ‎ ∴当=-3时,=-×(-3)-×(-3)-4=4, ‎ ‎ ∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形. 9分 ‎ 四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上. 10分 ‎2、(08广东肇庆25题)(本小题满分10分)‎ 已知点A(a,)、B(2a,y)、C(3a,y)都在抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线与x轴的交点坐标;‎ ‎(2)当a=1时,求△ABC的面积;‎ ‎(3)是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.‎ 解:(1)由5=0, (1分)‎ 得,. (2分)‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0). (3分)‎ ‎(2)当a=1时,得A(1,17)、B(2,44)、C(3,81), (4分)‎ 分别过点A、B、C作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则有 ‎=S - - (5分)‎ ‎ =-- (6分)‎ ‎=5(个单位面积) (7分)‎ ‎(3)如:. (8分)‎ 事实上, =45a2+36a. ‎ ‎ 3()=3[5×(2a)2+12×2a-(5a2+12a)] =45a2+36a. (9分)‎ ‎∴. (10分)‎ y x O 第26题图 D E C F A B ‎3、(08辽宁沈阳26题)(本题14分)26.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.‎ ‎(1)判断点是否在轴上,并说明理由;‎ ‎(2)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)点在轴上 1分 理由如下:连接,如图所示,在中,,,‎ ‎,由题意可知:‎ 点在轴上,点在轴上. 3分 ‎(2)过点作轴于点 ‎, 在中,,‎ 点在第一象限,点的坐标为 5分 由(1)知,点在轴的正半轴上 点的坐标为 点的坐标为 6分 抛物线经过点, ‎ 由题意,将,代入中得 ‎ 解得 所求抛物线表达式为: 9分 ‎(3)存在符合条件的点,点. 10分 理由如下:矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为.‎ 由题意可知为此平行四边形一边, 又 边上的高为2 11分 依题意设点的坐标为 点在抛物线上 ‎ 解得,, ,‎ 以为顶点的四边形是平行四边形,‎ y x O D E C F A B M ‎,,‎ 当点的坐标为时,‎ 点的坐标分别为,;‎ 当点的坐标为时,‎ 点的坐标分别为,. 14分 A O x y B F C 图16‎ ‎4、(08辽宁12市26题)(本题14分)26.如图16,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;‎ ‎(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)直线与轴交于点,与轴交于点.‎ ‎, 1分 点都在抛物线上,‎ ‎ ‎ 抛物线的解析式为 3分 顶点 4分 ‎(2)存在 5分 ‎ 7分 ‎ 9分 ‎(3)存在 10分 理由:解法一:‎ 延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点.‎ ‎ 11分 A O x y B F C 图9‎ H B M 过点作于点.‎ 点在抛物线上,‎ 在中,, ,,‎ 在中,,‎ ‎,, 12分 设直线的解析式为 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点,使得的周长最小,此时. 14分 ‎5、(08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ 图14‎ y x O A B M O1‎ ‎(2)求切线的函数解析式;‎ ‎(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)圆心的坐标为,半径为1,,……1分 二次函数的图象经过点,‎ 可得方程组 2分 解得:二次函数解析式为 3分 ‎(2)过点作轴,垂足为. 4分 是的切线,为切点,(圆的切线垂直于经过切点的半径).‎ y A H F M O P1‎ P2‎ O1‎ x B 在中,‎ 为锐角, 5分 ‎,‎ 在中,.‎ ‎.‎ 点坐标为 6分 设切线的函数解析式为,由题意可知, 7分 切线的函数解析式为 8分 ‎(3)存在. 9分 ‎①过点作轴,与交于点.可得(两角对应相等两三角形相似)‎ ‎, 10分 ‎②过点作,垂足为,过点作,垂足为.‎ 可得(两角对应相等两三角开相似)‎ 在中,,,‎ 在中,,‎ ‎, 11分 符合条件的点坐标有, 12分 ‎6、(08山东济宁26题)(12分)‎ 中,,,cm.长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动(运动前点与点重合).过分别作的垂线交直角边于两点,线段运动的时间为s.‎ ‎(1)若的面积为,写出与的函数关系式(写出自变量的取值范围);‎ ‎(2)线段运动过程中,四边形有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时的值;若不可能,说明理由;‎ ‎(3)为何值时,以为顶点的三角形与相似?‎ 解:(1)当点在上时,,.‎ ‎. 2分 当点在上时,.‎ ‎. 4分 ‎(2),..‎ ‎. 6分 由条件知,若四边形为矩形,需,即,.‎ 当s时,四边形为矩形. 8分 ‎(3)由(2)知,当s时,四边形为矩形,此时,‎ ‎. 9分 除此之外,当时,,此时.‎ ‎,.. 10分 ‎,.‎ 又,. 11分 ‎,.‎ 当s或s时,以为顶点的三角形与相似. 12分 ‎7、(08四川巴中30题)(12分)30.已知:如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.‎ ‎(1)写出直线的解析式.‎ ‎(2)求的面积.‎ x y A B C E M D P N O ‎(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?‎ 解:(1)在中,令 ‎ ,‎ ‎, 1分 又点在上 ‎ 的解析式为 2分 ‎(2)由,得 4分 ‎,‎ ‎, 5分 ‎ 6分 ‎(3)过点作于点 ‎ 7分 ‎ 8分 由直线可得:‎ 在中,,,则 ‎, 9分 ‎ 10分 ‎ 11分 此抛物线开口向下,当时,‎ 当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为. 12分 ‎8、(08新疆自治区24题)(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m.‎ ‎(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.‎ ‎(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?‎ 解:(1)设抛物线的表达式为 1分 点在抛物线的图象上.‎ ‎∴‎ ‎ 3分 ‎∴抛物线的表达式为 4分 ‎(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点,D点坐标为(k,t)‎ 已知窗户高1.6m,∴ 5分 ‎(舍去) 6分 ‎∴(m) 7分 又设最多可安装n扇窗户 ‎∴ 9分 ‎.‎ 答:最多可安装4扇窗户. 10分 ‎9、(08广东梅州23题)23.本题满分11分.‎ 如图11所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD, AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;‎ ‎(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.‎ ‎(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标,只需说明理由)‎ ‎ 解: (1) DC∥AB,AD=DC=CB, ‎ ‎ ∠CDB=∠CBD=∠DBA, 0.5分 ‎ ∠DAB=∠CBA, ∠DAB=2∠DBA, 1分 ‎∠DAB+∠DBA=90, ∠DAB=60, 1.5分 ‎ ∠DBA=30,AB=4, DC=AD=2, 2分 RtAOD,OA=1,OD=, 2.5分 A(-1,0),D(0, ),C(2, ). 4分 ‎(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点A(-1,0),B(3,0),‎ 故可设所求为 = (+1)( -3) 6分 将点D(0, )的坐标代入上式得, =.‎ 所求抛物线的解析式为 = 7分 其对称轴L为直线=1. 8分 ‎(3) PDB为等腰三角形,有以下三种情况:‎ ‎①因直线L与DB不平行,DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B, ‎ P1DB为等腰三角形; 9分 ‎②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2,DB=DP3, P2DB, P3DB为等腰三角形;‎ ‎③与②同理,L上也有两个点P4、P5,使得 BD=BP4,BD=BP5. 10分 由于以上各点互不重合,所以在直线L上,使PDB为等腰三角形的点P有5个.‎ ‎10、(08广东中山22题)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边 AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.‎ ‎(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).‎ ‎(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ 解:(1),,…………………………1分 等腰;…………………………2分 ‎ (2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)‎ ‎  ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)‎ 所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎(3)由题意知,FP∥AE,‎ ‎ ∴ ∠1=∠PFB,‎ 又∵ ∠1=∠2=30°,‎ ‎ ∴ ∠PFB=∠2=30°,‎ ‎∴ FP=BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K,则.‎ ‎∵ AF=t,AB=8,‎ ‎∴ FB=8-t,.‎ 在Rt△BPK中,. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积,‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为:‎ ‎ ,或. …………………………………8分 t的取值范围为:. …………………………………………………………9分 ‎11、(08湖北十堰25题)已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.‎ ‎⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;‎ ‎⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;‎ ‎⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:⑴对称轴是直线:,点B的坐标是(3,0). ……2分 说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.‎ ‎⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),‎ ‎∴AB=4.∴‎ 在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,‎ ‎∴‎ ‎∴b= ………………………………3分 当时,‎ ‎∴  ………………………………4分 ‎∴ ………………5分 ‎⑶存在.……………………………6分 理由:如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.‎ ‎①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.‎ 由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.‎ ‎∴x=±4.∴点M的坐标为.…9分 说明:少求一个点的坐标扣1分.‎ ‎②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.‎ 过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°.‎ ‎∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.‎ ‎∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.‎ ‎∵OB=3,∴0N=3-1=2.‎ ‎∴点M的坐标为. ……………………………12分 综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.‎ 说明:①综上所述不写不扣分;②如果开头“存在”二字没写,但最后解答全部正确,不扣分。‎ ‎12、(08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中,其中点为坐标原点,点的坐标为,.‎ ‎(1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标.‎ D C O A B x y ‎(2)若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系,并加以说明.‎ ‎(3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,‎ 求此函数的解析式.‎ F E 解:(1)连结AD,则∠ADO=∠B=600‎ 在Rt△ADO中,∠ADO=600‎ 所以OD=OA÷=3÷=‎ D C O A B x y F 所以D点的坐标是(0,)‎ ‎(2)猜想是CD与圆相切 ‎   ∵ ∠AOD是直角,所以AD是圆的直径 E 又∵ Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO=300‎ ‎ ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD ‎ ∴ CD切外接圆于点D ‎(3)依题意可设二次函数的解析式为 : ‎ y=α(x-0)(x-3)‎ 由此得顶点坐标的横坐标为:x==;‎ 即顶点在OA的垂直平分线上,作OA的垂直平分线EF,则得∠EFA=∠B=300‎ 得到EF=EA=   可得一个顶点坐标为(,)‎ 同理可得另一个顶点坐标为(,)‎ 分别将两顶点代入y=α(x-0)(x-3)可解得α的值分别为,‎ 则得到二次函数的解析式是y=x(x-3)或y= x(x-3)‎ ‎13、(08湖北仙桃等4市25题)如图,直角梯形中,∥,为坐标原点,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,点坐标为(2,2),∠= 60°,于点.动点从点出发,沿线段向点运动,动点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.‎ (1) 求的长;‎ (2) 若的面积为(平方单位). 求与之间的函数关系式.并求为何值时,的面积最大,最大值是多少?‎ (3) 设与交于点.①当△为等腰三角形时,求(2)中的值.‎ ‎ ②探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论.‎ 解:(1)∵∥‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在中, ,‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴ 而 ‎ ∴为等边三角形 ‎ ∴…(3分)‎ ‎(2)∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎= ()…………………………(6分)‎ 即 ‎∴当时,………………………………………(7分)‎ ‎(3)①若为等腰三角形,则:‎ ‎(i)若, ‎ ‎ ∴∥ ‎ ‎∴ 即 解得:‎ 此时………………………………(8分)‎ ‎(ii)若,‎ ‎ ∴‎ 过点作,垂足为,则有:‎ 即 解得:‎ 此时……………………………………(9分)‎ ‎(iii)若,‎ ‎∴∥‎ 此时在上,不满足题意.……………………………………………(10分)‎ ‎ ②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)‎ ‎14、(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,‎ 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,,.‎ ‎(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求两点的坐标;‎ ‎(2)如图19-2,若上有一动点(不与重合)自点沿方向向点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒(),过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点.求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值?最大值是多少?‎ ‎(3)在(2)的条件下,当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标.‎ y x B C O A D E 图19-1‎ y x B C O A D E 图19-2‎ P M N ‎(本题满分12分)‎ 解:(1)依题意可知,折痕是四边形的对称轴,‎ 在中,,.‎ ‎..‎ 点坐标为(2,4). 2分 在中,, 又.‎ ‎ . 解得:.‎ 点坐标为 3分 ‎(2)如图①,.‎ ‎,又知,,‎ ‎, 又.‎ 而显然四边形为矩形.‎ ‎ 5分 ‎,又 当时,有最大值. 6分 y x B C O A D E 图①‎ P M N F ‎(3)(i)若以为等腰三角形的底,则(如图①)‎ 在中,,,为的中点,‎ ‎.‎ 又,为的中点.‎ 过点作,垂足为,则是的中位线,‎ ‎,,‎ 当时,,为等腰三角形.‎ y x B C O A D E 图②‎ P M N F 此时点坐标为. 8分 ‎(ii)若以为等腰三角形的腰,则(如图②)‎ 在中,.‎ 过点作,垂足为.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 当时,(),此时点坐标为. 11分 综合(i)(ii)可知,或时,以为顶点的三角形为等腰三角形,相应点的坐标为或. 12分 ‎15、(08天津市卷26题)(本小题10分)‎ 已知抛物线,‎ ‎(Ⅰ)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.‎ 解(Ⅰ)当,时,抛物线为,‎ 方程的两个根为,. ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和. 2分 ‎(Ⅱ)当时,抛物线为,且与轴有公共点.‎ 对于方程,判别式≥0,有≤. 3分 ‎①当时,由方程,解得.‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点. 4分 ‎②当时, 时,, 时,.‎ 由已知时,该抛物线与轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为,‎ 应有 即 解得.‎ 综上,或. 6分 ‎(Ⅲ)对于二次函数,‎ 由已知时,;时,,‎ 又,∴.‎ 于是.而,∴,即.‎ ‎∴. 7分 ‎∵关于的一元二次方程的判别式 ‎, ‎ ‎∴抛物线与轴有两个公共点,顶点在轴下方. 8分 又该抛物线的对称轴,‎ x 由,,,‎ 得,‎ ‎∴.‎ 又由已知时,;时,,观察图象,‎ 可知在范围内,该抛物线与轴有两个公共点. 10分 ‎16、(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究 如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点x l Q C P A O B H R y 的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.‎ ‎(1)求证:点为线段的中点;‎ ‎(2)求证:①四边形为平行四边形;‎ ‎②平行四边形为菱形;‎ ‎(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由.‎ ‎(1)法一:由题可知.‎ ‎,,‎ ‎. (1分)‎ ‎,即为的中点. (2分)‎ 法二:,,. (1分)‎ 又轴,. (2分)‎ ‎(2)①由(1)可知,,‎ ‎,,‎ ‎. (3分)‎ ‎,‎ 又,四边形为平行四边形. (4分)‎ ‎②设,轴,则,则.‎ 过作轴,垂足为,在中,‎ ‎.‎ 平行四边形为菱形. (6分)‎ ‎(3)设直线为,由,得,代入得:‎ ‎ 直线为. (7分)‎ 设直线与抛物线的公共点为,代入直线关系式得:‎ ‎,,解得.得公共点为.‎ 所以直线与抛物线只有一个公共点. (8分)‎