中考数学试题分类 弧长与扇形面积 28页

第36章 弧长与扇形面积 一、选择题 ‎1. （2011广东广州市，10，3分）如图2，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（ ）．‎ A．π B．π C．π D．π C B A O 图2‎ ‎【答案】A ‎2. （2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为( )‎ A. B. 8cm C. D. ‎ ‎（第11题图）‎ ‎【答案】D ‎3. （2011山东德州7,3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的是 ‎（A）>> （B）>> （C）>> （D）>>‎ ‎【答案】B ‎4. （2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）‎ ‎（第9题）‎ 剪去 A．6cm B．cm C．8cm D．cm ‎【答案】B ‎5. （2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）‎ A.5π B. 4π C.3π D.2π ‎【答案】C ‎ ‎6. （2011山东烟台，12,4分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（第12题图）‎ A B C D E F K1‎ K2‎ K3‎ K4‎ K5‎ K6‎ K7‎ ‎【答案】B ‎7. （2011浙江杭州，4，3）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ）‎ A．9 B．8 C．7 D．4‎ ‎【答案】B ‎8. （2011宁波市，10，3分）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， 若把Rt ABC绕边AB所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为 ‎ A． 4 B． 4 C． 8 D． 8 ‎【答案】D ‎9. （2011浙江衢州，10,3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（第10题）‎ ‎【答案】D ‎10．（2011台湾台北，27）图(十一)为与圆O的重迭情形，其中为圆O之直径。若，＝2，则图中灰色区域的面积为何？‎ A．　　 B． C．　　　 D．‎ ‎【答案】D ‎11. （2011台湾台北，28）某直角柱的两底面为全等的梯形，其四个侧面的面积依序为20平方公分、36平方公分、20平方公分、60平方公分，且此直角柱的高为4公分。求此直角柱的体积为多少立方公分？‎ A．136 　　　B．192　　　 C．240 　　　D．544‎ ‎【答案】B ‎12. （2011台湾全区，18）18．判断图(四)中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比为何？‎ A． 2：1 B． 4：3 C． 3：1 D． 3：2‎ ‎【答案】Ｄ ‎13. （2011福建泉州，7，3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）. ‎ A. 3p B. 6p C. 5p D. 4p ‎ ‎【答案】B ‎14. （2011湖南常德，14，3分）已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为_______ .‎ ‎ A．48 B. 48π C. 120π D. 60π ‎【答案】D ‎15. （2011江苏连云港，7，3分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N.下列说法错误的是（ ）‎ A．四边形EDCN是菱形 B．四边形MNCD是等腰梯形 ‎ C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等 ‎【答案】C ‎16. （2011四川广安，6，3分）如图l圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高 ‎= 6cm，点是母线上一点且=．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） ‎ A．（）cm B．5cm C．cm D．7cm A B C P 图1‎ ‎【答案】B ‎ ‎17. （2011山东潍坊，9，3分）如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（ ）‎ A . 17 B . 32 C . 49 D . 80 ‎ ‎【答案】B ‎18. （2011山东临沂，9，3分）如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）‎ A．60° B．90° C．120° D．180°12cm 6cm ‎【答案】B ‎19. （2011江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是 ( )‎ A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2‎ ‎【答案】B ‎20．（2011湖北黄冈，12，3分）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第12题图 ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 左视图 右视图 俯视图 ‎【答案】C ‎21. （2011广东肇庆，9，3分）已知正六边形的边心距为，则它的周长是 A．6 B．12 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎22. （2011山东东营，7，3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是（ ）‎ A． 1 B． C． D ．‎ ‎【答案】C ‎23. （2011内蒙古乌兰察布，6，3分）己知O为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM上．一只锅牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）‎ 第6题图 ‎【答案】D ‎25. （2011贵州安顺，8，3分）在Rt△ABC中，斜边AB =4，∠B= 60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（ ）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【答案】B ‎26. （2011湖北宜昌，9，3分）按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA=3，圆心角∠AOB=l20°，则的 长为( ).‎ ‎ ‎ ‎ （第9题图1） （第9题图2） ‎ A. B.2 C.3 D.4 ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎2. （2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图5.如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数的取值范围是 ‎ 图5‎ ‎【答案】. ‎ ‎3. （2011江苏扬州，18,3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 ‎ ‎【答案】39‎ ‎4. （2011山东德州11,4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎5. (2011浙江绍兴，14，5分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为 . ‎ ‎【答案】1‎ ‎6. （2011浙江台州，16,5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以DM，CM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中所示的阴影部分面积为 （结果保留）‎ ‎【答案】50‎ ‎7. （2011四川重庆，14，4分）在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎8. （2011台湾全区，27）图(十一)为一直角柱，其中两底面为全等的梯形，其面积和为16；四个侧面均为长方形，其面积和为45．若此直角柱的体积为24，则所有边的长度和为何？‎ A． 30 B． 36 C． 42 D． 48‎ ‎【答案】Ｃ ‎9. （2011福建泉州，17，4分）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= . ‎ ‎（第17题）‎ ‎【答案】2　；‎ ‎10．（2011甘肃兰州，18，4‎ 分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。（结果用π表示）‎ O O O O l ‎【答案】2π+50‎ ‎11. （2011广东汕头，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎12. （2011江苏宿迁,13,3分）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是 ▲ cm．‎ ‎【答案】4‎ ‎13. （2011山东聊城，16，3分）如图，圆锥的底面半径OB为10cm，它的展开图扇形的半径AB为30cm，则这个扇形的圆心角a的度数为____________．‎ ‎【答案】120°‎ ‎14. （2011四川内江，14，5分）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 ．‎ ‎【答案】30‎ ‎15. （2011四川宜宾,13,3分）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎16. （ 2011重庆江津， 19，4分）如图,点A、B、C在直径为的⊙O上,∠BAC=45º,则图中阴影的面积等于______________,(结果中保留π).‎ A B C 第19题图 ‎【答案】‎ ‎17. （2011安徽芜湖，16，5分）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎18. （2011湖南益阳，11，4分）如图5，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C， ‎ B＝30°，则劣弧的长是 ．（结果保留）‎ B A O C 图5‎ ‎【答案】‎ ‎19. （2011江苏淮安，15，3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的弧等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎20．(2011江苏南京，8，2分)如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=____________．‎ ‎(第8题)‎ B A C D E l ‎1‎ ‎【答案】36 ‎ ‎21. （2011四川凉山州，26，5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线最短为 。‎ ‎【答案】‎ ‎22. （2011广东省，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎23. （2011江苏无锡，15，2分）正五边形的每一个内角等于_____________．‎ ‎【答案】108‎ ‎24. （2011江苏盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为 ▲ cm．‎ ‎【答案】π（也可写成6.5π）‎ ‎25. (20011江苏镇江,13,2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm面积是_____cm.(结果保留π)‎ 答案：24，240π ‎26. （2011内蒙古乌兰察布，15，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm（结果保留π）‎ 第15题图 ‎【答案】‎ ‎27. （2011贵州安顺，13，4分）已知圆锥的母线长力30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎28. （2011贵州安顺，18，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．‎ 第18题图 ‎【答案】‎ ‎29. （2011湖北荆州，14，4分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　___________cm.‎ ‎【答案】13‎ 三、解答题 ‎1. （2011广东汕头，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P1.‎ ‎（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；‎ ‎（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点为A，B，求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留）‎ ‎【答案】（1）如图所示，两圆外切；‎ ‎（2）劣弧的长度 劣弧和弦围成的图形的面积为 ‎2. （2011浙江杭州，19， 6)在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．‎ ‎(1)求证：∠A≠30°；‎ ‎(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．‎ ‎【答案】(1)证明：在△ABC中，∵AB2＝3，AC2+BC2＝2+1＝3，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB=90°，∴，∴∠A≠30°．‎ ‎(2)‎ ‎3. (2011 浙江湖州，20，8) 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．‎ ‎(1) 求OE和CD的长；‎ ‎(2) 求图中阴影部分的面积．‎ ‎【答案】解：(1)在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∴，∴,∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴.‎ ‎(2) ∵,∴‎ ‎4. （2011浙江省，22，12分）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到P，连结PB，使PB=PE．‎ ‎(1) 在以下5个结论中：一定成立的是 （只需将结论的代号填入题中的横线上）①弧AC=弧BC；②OF=CF；③BF=AF；④AC2=AE•AB；⑤PB是⊙O的切线．‎ ‎(2) 若⊙O的半径为8cm，AE:EF=2:1，求弓形ACB的面积．‎ ‎【答案】（1）①，③，④，⑤；‎ ‎ （2）设EF=x，则AE=EC=PC=2x，PB=4x，且BF=3x，BE=4x，‎ ‎ ∴PB=BE=PB ∴△PBE是等边三角形 ‎ ‎ ∴∠PBE=60º.‎ ‎ ∵ EA=EC ∴∠CAE=∠ACE ‎∴∠PEB=∠CAE+∠ACE= 2∠CAE=∠BOC=60º.‎ ‎∴∠BOA=120º ∴AB=, OF=4‎ ‎∵ 扇形OAB的面积=‎ ‎ △OAB的面积= ‎ ‎∴弓形ACB的面积=—.‎ ‎5. （2011福建泉州，23，9分）如图,在中,,是边上一点,以为圆心的半圆分别与、边相切于、两点,连接.已知,.求:‎ ‎（第23题）‎ ‎(1)；‎ ‎(2)图中两部分阴影面积的和. ‎ ‎【答案】解:(1)连接 ‎∵、分别切于、两点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴四边形是矩形 ‎ ‎∵‎ ‎∴四边形是正方形. .................................(2分)‎ ‎∴∥,‎ ‎∴‎ ‎∴在中, ‎ ‎∴. .................................(5分)‎ ‎ (2)如图,设与交于、两点.由(1)得,四边形是正方形 ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎∵在中,,‎ ‎∴. .................................(7分)‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴图中两部分阴影面积的和为............ 9分 ‎6. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：‎ 如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。‎ ‎（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。‎ 证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。‎ ‎∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，‎ ‎∴∠1=∠2.‎ 又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。‎ ‎∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①‎ 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。‎ ‎∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。‎ ‎∴∠5=10°-∠6=120°。………………②‎ 由①②得∠MCN=∠5.‎ 在△AEM和△MCN中，‎ ‎∵__________,____________,___________,‎ ‎∴△AEM≌△MCN（ASA）。‎ ‎∴AM=MN.‎ ‎(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）‎ ‎（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）‎ ‎【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；‎ ‎（2）结论成立；‎ ‎（3）。‎ ‎7. （2011江苏连云港，26，12分）‎ 已知∠AOB=60º,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C.‎ ‎(1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧的长;‎ ‎(2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=cm,求OC的长.‎ ‎ 第26题 ‎【答案】如图连结PD,PC,且PD⊥OB,PC⊥OA,∵∠AOB=60º,∴∠DPC=120º,由弧长公式可知.‎ ‎(2)‎ ‎8. （2011福建福州，20，12分）如图9,在中,,是边上一点,以为圆心的半圆分别与、边相切于、两点,连接.已知,.‎ 求:(1)；(2)图中两部分阴影面积的和.‎ 图9‎ ‎【答案】解:(1)连接 ‎∵、分别切于、两点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴四边形是矩形 ‎ ‎∵‎ ‎∴四边形是正方形 ‎∴∥,‎ ‎∴‎ ‎∴在中, ‎ ‎∴‎ ‎(2)如图,设⊙O与交于、两点.由(1)得,四边形是正方形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵在中,,‎ ‎∴‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴图中两部分阴影面积的和为 ‎9. （2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图5.如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数的取值范围是 ‎ 图5‎ ‎【答案】. ‎ ‎10．（2011湖南怀化，23，10分） 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.‎ (1) 求证：OF∥BC；‎ (2) 求证：△AFO≌△CEB；‎ (3) 若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵AB为⊙O的直径 ‎∴∠ACB=90°‎ 又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠AFO ‎∴OF∥BC ‎（2）由（1）知，∠CAB+∠ABC=90°‎ 由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90°‎ ‎∴∠CBE=∠CAB ‎ 又∠AFO=∠BEC，BE=OF ‎∴△AFO≌△CEB ‎ （3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E ‎ ∴∠OEC=90°，ＣＥ＝ＣＤ＝‎ 在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ 由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２‎ ‎∴（５＋ｘ）２＝　　解得ｘ＝５．‎ 在Ｒｔ△ＯＣＥ中 ｔａｎ∠ＣＯＥ＝‎ ‎∵∠ＣＯＥ为锐角 ‎∴∠OEC=６0°‎ 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：‎ ‎11. （2011广东省，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P1.‎ ‎（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；‎ ‎（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点为A，B，求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留）‎ ‎【答案】（1）如图所示，两圆外切；‎ ‎（2）劣弧的长度 劣弧和弦围成的图形的面积为 ‎13. （2011山东临沂，23，9分)如图，以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD＝BD．已知sinA＝，AC＝．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解】（1）连接OC，设OC＝r，‎ ‎∵AC与⊙O相切，‎ ‎∴OC⊥AC．………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵sinA＝＝，‎ ‎∴OA＝r，………………………………………………………………………（2分）‎ ‎∴AC2＝OA2－OC2‎ ‎＝r2－r2＝21，……………………………………………………………………（ 3分）‎ ‎∴r＝2，即⊙O的半径为2．………………………………………………………（ 4分）‎ ‎（2）连接CD，‎ ‎∵OD＝BD，OC⊥BC，‎ ‎∴CD＝OD＝OC，………………………………………………………………（ 5分）‎ ‎∴∠COD＝60°，………………………………………………………………（6分）‎ ‎∴BC＝OC＝2，………………………………………………………（7分）‎ ‎∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCD ‎＝×2×2－π·22‎ ‎＝2－π．………………………………………………………………（9分）‎ ‎14. （2011贵州贵阳，22，10分）‎ 在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．‎ ‎（1）圆心O到CD的距离是______；（4分）‎ ‎（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）（6分）‎ ‎（第22题图）‎ ‎【答案】解：（1）连接OE．‎ ‎∵CD切⊙O于点E， ‎ ‎∴OE⊥CD．‎ 则OE的长度就是圆心O到CD的距离．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，‎ ‎∴OE=AB=5．‎ 即圆心⊙到CD的距离是5．‎ ‎（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠D=60°，AB∥CD．‎ ‎∵AB∥CD，OE⊥CD，AF⊥CD，‎ ‎∴OA=OE=AF=EF=5．‎ 在Rt△ADF中，∠D=60°，AF=5，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∴DE=5+．‎ 在直角梯形AOED中，OE=5，OA=5，DE=5+，‎ ‎∴S梯形AOED=×（5+5+）×5=25+．‎ ‎∵∠AOE=90°，‎ ‎∴S扇形OAE=×π×52=π．‎ ‎∴S阴影= S梯形AOED- S扇形OAE=25+-π．‎ 即由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积为25+-π．‎ ‎15. （2011湖北襄阳，23，7分）‎ 如图7，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°.‎ ‎（1）求∠AOC的度数；‎ ‎（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.‎ 图7‎ ‎【答案】（1）∵弦BC垂直于半径OA，‎ ‎∴BE＝CE， ＝ 1分 又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°. 2分 ‎（2）∵BC＝6，∴.‎ 在Rt△OCE中，. 3分 ‎∴ 4分 连接OB. ∵ ＝ ‎ ‎∴∠BOC＝2∠AOC＝120° 5分 ‎∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC ‎ ＝＝ 6分 ‎16. （2011山东东营，21，9分）(本题满分9分)如图，已知点A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=，四边形ABCD的周长为15.‎ （1） 求此圆的半径；‎ （2） 求图中阴影部分的面积。‎ ‎【答案】解：（1）∵ AD∥BC，∠BAD=120°。∴∠ABC=60°。‎ 又∵BD平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°‎ ‎∴，∠BCD=60° ∴AB=AD=DC，∠BDC=90°‎ 又在Rt△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC ‎∴BC+BC=15 ∴BC=6. ∴ 此圆的半径为3‎ ‎（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心，连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E。在Rt△AOE中，∠AOE=30°。∴OE=OAcos30°=‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎17. （2011山东枣庄，23，8分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，‎ ‎∠ACD=120°.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】（1）证明：连结.‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ .…………………………2分 ‎∵ ,∴ . ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ 是的切线. ………………………………………………………………4分 ‎（2）解:∵∠A=30o， ∴ . ‎ ‎∴ π. ……………………………………………………6分 在Rt△OCD中, . ‎ ‎∴. ‎ ‎∴ 图中阴影部分的面积为π. …………………………………………8分