上海市中考数学模拟试卷5月份 28页

‎2017年上海市中考数学模拟试卷（5月份）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎1．（4分）如果a与3互为相反数，那么a等于（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D． ‎ ‎2．（4分）下列根式中，最简二次根式是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．（4分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）‎ A．（）2=a ‎ B．若a＞b（ab≠0），则＜ ‎ C．|a|•|b|=|ab| ‎ D．若m为整数，则（m+）2+是整数 ‎ ‎4．（4分）抛物线y=（x+5）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=x2+18x+84 B．y=x2+2x+4 C．y=x2+18x+76 D．y=x2+2x﹣2 ‎ ‎5．（4分）若一个正n变形（n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（　　）‎ A．r•sin B．r•cos C．r•sin D．r•cos ‎ ‎6．（4分）下列命题中真命题的个数是（　　）‎ ‎①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；‎ ‎②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；‎ ‎④平行于同一条直线的两直线互相平行．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎7．（4分）计算：a6（﹣a2）=　 　．‎ ‎8．（4分）一次函数y=﹣kx+2k（k＜0）的图象不经过第　 　象限．‎ ‎9．（4分）实数范围内因式分解：2x2+4xy﹣3y2=　 　．‎ ‎10．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x=m有两个实数根，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎11．（4分）正方形有　 　条对称轴．‎ ‎12．（4分）如图，直线AB分别交直线a和直线b于点A，B，且a∥b，点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，若∠ACB=77°，则∠ABC=　 　．‎ ‎13．（4分）某次对中学生身高的抽样调查中测得5个同学的身高如下（单位：cm）：172，171，175，174，178，则这组数据的方差为　 　．‎ ‎14．（4分）一次测验中有2道题是选择题，每题均有4个选项且只有1个选项是正确的，若对这两题均每题随机选择其中任意一个选项作为答案，则2道选择题答案全对的概率为　 　．‎ ‎15．（4分）点A，B分别是双曲线y=（k＞0）上的点，AC⊥y轴正半轴于点C，BD⊥y轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则k=　 　．‎ ‎16．（4分）△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，联结DE，DE是△ABC的一条中位线，点G是△ABC的重心，设=，=，则=　 　（用含，的式子表示）‎ ‎17．（4分）我们把有一条边是另一条边的2倍的梯形叫做“倍边梯形”，在⊙O中，直径AB=2，PQ是弦，若四边形ABPQ是“倍边梯形”，那么PQ的长为　 　．‎ ‎18．（4分）在矩形ABCD中，P在边BC上，联结AP，DP，将△ABP，△DCP分别沿直线AP，DP翻折，得到△AB1P，△DC1P，且点B1，C1‎ ‎，P在同一直线上，线段C1P交边AD于点M，联结AC1，若∠AC1D=135°，则=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共78分）‎ ‎19．（10分）计算：×cot30°﹣8+|cos30°﹣2|×20170．‎ ‎20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎21．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且四边形ADEF是正方形，联结AE．‎ ‎（1）求AE的长；‎ ‎（2）求∠AEB的正弦值．‎ ‎22．（10分）小金到一文具店用12元钱买某种练习本若干本，隔了一段时间他再去那个店，发现这种练习本正在“让利销售”中，每1本降价0.2元，这样用12元可以比上次多买3本，求小金第一次买的练习本的数量．‎ ‎23．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且CD•AE=AC•AG．‎ 求证：（1）△ABC∽△AGE；‎ ‎（2）AB2=GD•DE．‎ ‎24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A，B分别在x轴上（点A在原点左侧，点B在原点右侧），OB=4OA，经过点A，B的抛物线交y轴于点C（0，2），且∠ACB=90°．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点N为该抛物线第一象限上一点，满足∠NOC=∠CBO，联结BN，NO，求△BON的面积；‎ ‎（3）点D为抛物线对称轴上一点，且在x轴下方，点E在y轴负半轴上，当以B，E，D为顶点的三角形与△ABC相似时（∠DBE与∠ABC为对应角），求点D的坐标．‎ ‎25．（14分）如图，在⊙O中，半径OA长为1，弦BC∥OA，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的⊙D交BC延长线于点E．‎ ‎（1）若BC=，求⊙O与⊙D公共弦的长；‎ ‎（2）当△ODA为等腰三角形时，求BC的长；‎ ‎（3）设BC=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市中考数学模拟试卷（5月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎1．（4分）如果a与3互为相反数，那么a等于（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D． ‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ ‎【解答】解：如果a与3互为相反数，那么a等于﹣3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）下列根式中，最简二次根式是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．‎ ‎【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意；‎ B、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；‎ C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；‎ D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）‎ A．（）2=a ‎ B．若a＞b（ab≠0），则＜ ‎ C．|a|•|b|=|ab| ‎ D．若m为整数，则（m+）2+是整数 ‎ ‎【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．‎ ‎【解答】解：A、（）2=a是必然事件，故A不符合题意；‎ B、若a＞b＞0时（ab≠0），则＜，a＞0＞b时，＞，是随机事件，故B符合题意；‎ C、|a|•|b|=|ab是必然事件，故C不符合题意；‎ D、若m为整数，则（m+）2+=m2+m+2是整数是必然事件，故D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）抛物线y=（x+5）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=x2+18x+84 B．y=x2+2x+4 C．y=x2+18x+76 D．y=x2+2x﹣2 ‎ ‎【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式写出解析式即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=（x+5）2﹣1的顶点坐标为（﹣5，﹣1），‎ ‎∵向右平移4个单位，再向上平移4个单位，‎ ‎∴平移后的抛物线顶点坐标为（﹣1，3），‎ ‎∴所得抛物线的解析式是y=（x+1）2+3=x2+2x+4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定抛物线的变换是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）若一个正n变形（n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（　　）‎ A．r•sin B．r•cos C．r•sin D．r•cos ‎ ‎【分析】先根据题意画出图形，根据正n边形的半径为r，得出圆的半径为r，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：如图所示，过点O作OF⊥AB于点F交圆O于点E，‎ 设正n边形的半径为r，则圆的半径为r，‎ ‎∵∠AOF==，‎ ‎∴OF=rcos ，‎ 边心距为rn=rcos ，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）下列命题中真命题的个数是（　　）‎ ‎①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；‎ ‎②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；‎ ‎④平行于同一条直线的两直线互相平行．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．‎ ‎【解答】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；‎ ‎②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；‎ ‎③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；‎ ‎④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎7．（4分）计算：a6（﹣a2）=　﹣a8　．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=﹣a8，‎ 故答案为：﹣a8‎ ‎【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）一次函数y=﹣kx+2k（k＜0）的图象不经过第　二　象限．‎ ‎【分析】根据一次函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，‎ 函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限，‎ 故答案为二．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b，k＞0时，函数图象经过第一三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，函数图象经过第二四象限，y随x的增大而减小．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）实数范围内因式分解：2x2+4xy﹣3y2=　（x+）（x﹣）　．‎ ‎【分析】将原式在实数范围内分解即可．‎ ‎【解答】解：令2x2+4xy﹣3y2=0，‎ 解得：x==，‎ 则原式=（x+）（x﹣），‎ 故答案为：（x+）（x﹣）‎ ‎【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x=m有两个实数根，则实数m的取值范围是　m≥﹣1　．‎ ‎【分析】将原方程变形为一般式，由方程有两个实数根，可得出△=4+4m≥0，解之即可得出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：原方程可变形为x2+2x﹣m=0．‎ ‎∵方程x2+2x=m有两个实数根，‎ ‎∴△=22+4m=4+4m≥0，‎ 解得：m≥﹣1．‎ 故答案为：m≥﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）正方形有　4　条对称轴．‎ ‎【分析】根据正方形是轴对称图形的性质分析．‎ ‎【解答】解：根据正方形的性质得到，如图：‎ 正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有4条．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题主要考查正方形的性质．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，直线AB分别交直线a和直线b于点A，B，且a∥b，点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，若∠ACB=77°，则∠ABC=　26°　．‎ ‎【分析】根据平行线的性质求出∠MAC，根据角平分线性质求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵a∥b，∠ACB=77°，‎ ‎∴∠MAC=∠ACB=77°，‎ ‎∵点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，‎ ‎∴∠BAC=∠MAC=77°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=26°，‎ 故答案为：26°．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线性质和平行线的性质，能根据角平分线性质求出∠BAC=∠MAC是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）某次对中学生身高的抽样调查中测得5个同学的身高如下（单位：cm）：172，171，175，174，178，则这组数据的方差为　6　．‎ ‎【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可得出答案．‎ ‎【解答】解：这组数据的平均数是：（172+171+175+174+178）÷5=174（cn），‎ 则这组数据的方差为S2=[（172﹣174）2+（171﹣174）2+（175﹣174）2+（174﹣174）2+（178﹣174）2]=6；‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）一次测验中有2道题是选择题，每题均有4个选项且只有1个选项是正确的，若对这两题均每题随机选择其中任意一个选项作为答案，则2道选择题答案全对的概率为　　．‎ ‎【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得2道选择题答案全对的概率．‎ ‎【解答】解：假设第1道选择题选项分别为A、B、C、D，选项A是正确的，‎ 第2道选择题选项分别为A、B、C、D，选项A是正确的，‎ 如图所示：‎ 出现的可能性是16种，‎ 则2道选择题答案全对的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查列表法与树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）点A，B分别是双曲线y=（k＞0）上的点，AC⊥y轴正半轴于点C，BD⊥y轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则k=　6　．‎ ‎【分析】先根据四边形ACBD为平行四边形的性质和反比例函数的对称性得到A点与点B关于原点对称，然后根据平行四边形的性质和k的几何意义求解．‎ ‎【解答】解：∵点A，B分别是双曲线y=（k＞0）上的点，AC⊥y轴正半轴于点C，BD⊥y轴于点D，‎ ‎∴AC∥BD，‎ ‎∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴A点与点B关于原点对称，‎ ‎∴OA=OB，OC=OD，‎ ‎∴S四边形ACBD=4S△AOC=12，‎ ‎∴S△AOC=3，‎ ‎∴k=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，联结DE，DE是△ABC的一条中位线，点G是△ABC的重心，设=，=，则=　﹣　（用含，的式子表示）‎ ‎【分析】延长AG交BC于点F，根据重心的性质可得出=，由DE为△ABC的中位线可得出=，根据=，结合=﹣，即可用含，的式子表示出．‎ ‎【解答】解：延长AG交BC于点F，如图所示．‎ ‎∵点G是△ABC的重心，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴=+=．‎ ‎∵DE是△ABC的一条中位线，‎ ‎∴===﹣=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的重心、三角形中位线定理以及平面向量，根据三角形重心的性质找出=是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）我们把有一条边是另一条边的2倍的梯形叫做“倍边梯形”，在⊙O中，直径AB=2，PQ是弦，若四边形ABPQ是“倍边梯形”，那么PQ的长为　1　．‎ ‎【分析】由梯形知AB∥PQ，据此可得AQ=BP，即四边形ABPQ是等腰梯形，再根据“倍边梯形”的定义分AB=2PQ和AB=2AQ两种情况求解可得．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵四边形ABPQ是梯形，‎ ‎∴PQ∥AB，‎ ‎∴AQ=PB，‎ ‎∵四边形ABPQ是“倍边梯形”，且AB=2，‎ ‎∴当AB=2PQ时，PQ=1；‎ 当AB=2AQ=2时，AQ=PB=1，‎ ‎∵OA=OQ=OP=OB=1，‎ ‎∴△AOQ、△BOP均为等边三角形，‎ ‎∴∠AOQ=∠BOP=60°，‎ 则∠POQ=60°，‎ ‎∵OQ=OP=1，‎ ‎∴△POQ也是等边三角形，‎ ‎∴PQ=1；‎ 综上，PQ=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查垂径定理定理，解题的关键是掌握垂径定理、等腰梯形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）在矩形ABCD中，P在边BC上，联结AP，DP，将△ABP，△DCP分别沿直线AP，DP翻折，得到△AB1P，△DC1P，且点B1，C1，P在同一直线上，线段C1P交边AD于点M，联结AC1，若∠AC1D=135°，则=　　．‎ ‎【分析】先设BP=B1P=1，CP=C1P=x，则B1C1=x﹣1，AD=BC=1+x，根据题意得到Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=（x﹣1）2+12，Rt△DCP中，DP2=PC2+CD2=x2+（x﹣1）2，‎ Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，进而得出AD2=AB2+BP2+PC2+CD2，据此可得方程（1+x）2=（x﹣1）2+12+x2+（x﹣1）2，求得PC=，BC=AD=1+=，再根据△DC1M≌△AB1M（AAS），可得DM=AM=AD=，最后计算的值即可．‎ ‎【解答】解：如图，设BP=B1P=1，CP=C1P=x，则B1C1=x﹣1，AD=BC=1+x，‎ 由折叠可得，∠PC1D=∠C=90°，而∠AC1D=135°，‎ ‎∴∠AC1P=135°﹣90°=45°，‎ 当点B1，C1，P在同一直线上时，由∠B=∠AB1P=90°，可得∠AB1C1=90°，‎ ‎∴△AB1C1是等腰直角三角形，即AB1=B1C1=x﹣1，‎ ‎∴AB=AB1=x﹣1=CD，‎ 由折叠可得，∠APD=∠APM+∠DPM=∠BPM+∠CPM=∠BPC=90°，‎ ‎∵Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=（x﹣1）2+12，‎ Rt△DCP中，DP2=PC2+CD2=x2+（x﹣1）2，‎ Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，‎ ‎∴AD2=AB2+BP2+PC2+CD2，‎ 即（1+x）2=（x﹣1）2+12+x2+（x﹣1）2，‎ 解得x1=，x2=（舍去），‎ ‎∴PC=，BC=AD=1+=，‎ 由折叠可得，AB=AB1=CD=CD1，∠DC1M=90°=∠AB1M，‎ 在△DC1M和△AB1M中，‎ ‎∴△DC1M≌△AB1M（AAS），‎ ‎∴DM=AM=AD=，‎ ‎∴==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用以及等腰直角三角形的判定的综合应用，解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共78分）‎ ‎19．（10分）计算：×cot30°﹣8+|cos30°﹣2|×20170．‎ ‎【分析】原式利用特殊角的三角函数值，分数指数幂，以及零指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣2+2﹣=1﹣．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式+＜，得：x＜1，‎ 解不等式+1≤，得：x≥，‎ ‎∴不等式组的解集为≤x＜1，‎ 将解集表示在数轴上如下：‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且四边形ADEF是正方形，联结AE．‎ ‎（1）求AE的长；‎ ‎（2）求∠AEB的正弦值．‎ ‎【分析】（1）根据题意和相似三角形的对应边的比相等，可以求得AE的长；‎ ‎（2）根据题意可以求得BC的长，然后根据题意即可求得BC边上的高，进而可以求得∠AEB的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=DE=EF=FA，‎ 设AD=x，则BD=3﹣x，DE=x，‎ ‎∵∠BDE=∠BAC=90°，AB=3，AC=4，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∴△BDE∽△BAC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得，x=，‎ ‎∴AD=DE=，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴AE=；‎ ‎（2）作AH⊥BC于点H，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，‎ ‎∴BC=5，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得，AH=，‎ ‎∵AE=，AH⊥BC，‎ ‎∴∠AHE=90°，‎ ‎∴sin∠AEB=．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）小金到一文具店用12元钱买某种练习本若干本，隔了一段时间他再去那个店，发现这种练习本正在“让利销售”中，每1本降价0.2元，这样用12元可以比上次多买3本，求小金第一次买的练习本的数量．‎ ‎【分析】设小金第一次买了x本，则第二次买了（x+3）本，然后依据第二次每本比第一次每本降价0.2元，列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设小金第一次买了x本，则第二次买了（x+3）本．‎ 根据题意得：﹣=0.2，‎ 解得：x=12或x=﹣15（舍去）．‎ 经检验，x=12是原方程的解，‎ 答：小金第一次买了12本练习本．‎ ‎【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，依据题意列出关于x的分式方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且CD•AE=AC•AG．‎ 求证：（1）△ABC∽△AGE；‎ ‎（2）AB2=GD•DE．‎ ‎【分析】（1）只要证明=，又∠BAC=∠GAE，即可证明△ABC∽△AGE；‎ ‎（2）只要证明△ADG∽△EDA，可得=，推出AD2=DE•DG即可证明；‎ ‎【解答】证明：（1）∵CD•AE=AC•AG．‎ ‎∴=，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴=，∵∠BAC=∠GAE，‎ ‎∴△ABC∽△AGE，‎ ‎（2）∵△ABC∽△AGE，‎ ‎∴∠ACB=∠E，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，BC∥AD，‎ ‎∴∠ACB=∠CAD=∠E，‎ ‎∵∠ADG=∠ADE，‎ ‎∴△ADG∽△EDA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD2=DE•DG，‎ ‎∴AB2=DE•DG．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A，B分别在x轴上（点A在原点左侧，点B在原点右侧），OB=4OA，经过点A，B的抛物线交y轴于点C（0，2），且∠ACB=90°．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点N为该抛物线第一象限上一点，满足∠NOC=∠CBO，联结BN，NO，求△BON的面积；‎ ‎（3）点D为抛物线对称轴上一点，且在x轴下方，点E在y轴负半轴上，当以B，E，D为顶点的三角形与△ABC相似时（∠DBE与∠ABC为对应角），求点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）如图1中，由题意OB=4OA，设OA=m，则OB=4m易知△ACO∽△CBO，可得OC2‎ ‎=OA•OB，推出m=1或（﹣1舍弃），可得A（﹣1，0），B（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），把（0，2）代入得到a=﹣即可解决问题；‎ ‎（2）想办法求出直线ON的解析式，利用方程组求出交点N的坐标即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形讨论：①如图2中，当∠BED=90°时，△BED∽△BCA，②如图3中，当∠EDB=90°时，△BDE∽△BCA，分别求解即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，由题意OB=4OA，设OA=m，则OB=4m，‎ ‎∵∠ACB=90°，易知△ACO∽△CBO，‎ ‎∴可得OC2=OA•OB，‎ ‎∴4m2=4，‎ ‎∴m=1或（﹣1舍弃），‎ ‎∴A（﹣1，0），B（4，0），‎ 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），‎ 把（0，2）代入得到a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．‎ ‎（2）如图1中，设ON交BC于M．作MH⊥AB于H．‎ ‎∵∠COM=∠CBO，∠COM=∠OCB，‎ ‎∴△OCM∽△BCO，‎ ‎∴OC2=CM•CB，‎ ‎∴4=CM•2，‎ ‎∴CM=，MB=，‎ ‎∵MH∥OC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==，‎ ‎∴MH=，BH=，OH=，‎ ‎∴M（，），‎ ‎∴直线ON的解析式为y=2x，‎ 由，解得，或，‎ ‎∴N（，﹣1+），‎ ‎∴S△OBN=×4×（﹣1+）=﹣2+2．‎ ‎（2）①如图2中，当∠BED=90°时，△BED∽△BCA，‎ ‎∴BE：DE=BC：AC=2：1，‎ 作DH⊥y轴于H．‎ 易证△DHE∽△EOB，‎ ‎∴OE：DH=BE：DE=2：1，‎ ‎∵DH=，‎ ‎∴OE=3，EH=OB=2，‎ ‎∴D（，﹣5）．‎ ‎②如图3中，当∠EDB=90°时，△BDE∽△BCA，‎ ‎∴BD：DE=BC：AC=2：1，‎ 作DH⊥y轴于H，BN⊥DH于N．‎ 由△HDE∽△NBD，可得BN：DH=BD：DE=2：1，‎ ‎∴BN=3，‎ ‎∴D（，﹣3），‎ 综上所述，满足条件的点D的坐标为（，﹣5）或（，﹣3）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）如图，在⊙O中，半径OA长为1，弦BC∥OA，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的⊙D交BC延长线于点E．‎ ‎（1）若BC=，求⊙O与⊙D公共弦的长；‎ ‎（2）当△ODA为等腰三角形时，求BC的长；‎ ‎（3）设BC=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎【分析】（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交⊙O于G，连接OC、CG交OA于H．首先证明OH是三角形中位线，根据△GCN∽△GOH，可得=，由此求出相关线段即可解决问题；‎ ‎（2）只要证明△OCA∽△DCO，设AC=x，则有OC2=CA•CD，可得1=x（x+1），即可解决问题；‎ ‎（3）首先证明BD=BE，再利用平行线的性质求出DG即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交⊙O于G，连接OC、CG交OA于H．‎ ‎∵BG是直径，‎ ‎∴∠BCG=90°，‎ ‎∵BC∥OA，‎ ‎∴∠OHG=∠BCG=90°，‎ ‎∴OA⊥CG，‎ ‎∴CH=HG，‎ ‎∵CM⊥BD，‎ ‎∴∠ONK=∠CHK=90°，∵∠OKN=∠CKH，‎ ‎∴∠KON=∠KCH，‎ ‎∵OG=OB，CH=HG，‎ ‎∴OH=BC=，‎ ‎∵OC=1，‎ ‎∴CH=HG==，‎ ‎∵∠OGH=∠CGN，∠GCN=∠GOH，‎ ‎∴△GCN∽△GOH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CN=，‎ ‎∴CM=2CN=．‎ ‎（2）如图2中，‎ 当△OAD是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA=AD，‎ ‎∴∠AOD=∠ADO=∠COA，‎ ‎∵∠OCA=∠OCD，‎ ‎∴△OCA∽△DCO，设AC=x，‎ 则有OC2=CA•CD，‎ ‎∴1=x（x+1），‎ ‎∴x=或（舍弃），‎ ‎∴CD=CA+AD=，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴∠AOD=∠B=∠ODA，‎ ‎∴BC=CD=．‎ ‎（3）如图3中，作DN⊥CE于N．‎ ‎∵DC=DE，‎ ‎∴∠DCE=∠E，‎ ‎∵BC∥OA，‎ ‎∴∠OAC=∠DCE=∠OCA，‎ ‎∴∠AOC=∠CDE=∠B，‎ ‎∴∠E=∠BDE，‎ ‎∴BE=BD，‎ ‎∵CG⊥BE，DN⊥BE，‎ ‎∴CG∥DN，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∵BD=BE，‎ ‎∴2+=x+y，‎ ‎∴y=（1＜x＜2）‎ ‎【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎