中考数学试题分类汇编考点27：正方形 16页

y 中考数学试题分类汇编：考点 27 正方形 一．选择题（共 4 小题） 1．（2018•无锡）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方 形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tan∠AFE 的值（ ） A．等于 B．等于 C．等于 D．随点 E 位置的变化而变化 【分析】根据题意推知 EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该 相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠AFE=∠FAG， ∴△AEH∽△ACD， ∴ = = ． 设 EH=3x，AH=4x， ∴HG=GF=3x， ∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = ． 故选：A． 2．（2018•宜昌）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上 的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中 阴影部分的面积等于 （ ） A．1 B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等， ∴S 阴= S 正方形 ABCD= ， 故选：B． 3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（ ） ①对顶角相等； ②两直线平行，同旁内角相等； ③对角线互相垂直的四边形为菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得 答案． 【解答】解：①对顶角相等，故①正确； ②两直线平行，同旁内角互补，故②错误； ③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确， 故选：B． 4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（ ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．相等的角是对顶角 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平 分线性质逐个判断即可． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选 项不符合题意； B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意； D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 二．填空题（共 7 小题） 5．（2018•武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是 30° 或 150° ． 【分析】分等边△ADE 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得． 【解答】解：如图 1， ∵四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形， ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠ DAE=60°， ∴∠BAE=∠CDE=150°，又 AB=AE，DC=DE， ∴∠AEB=∠CED=15°， 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°． 如图 2， ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD=DE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC， ∴DE=DC， ∴∠CED=∠ECD， ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴∠CED=∠ECD= （180°﹣30°）=75°， ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°． 故答案为：30°或 150°． 6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点 （不与点 A 重合），且 AM＜AB，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点 E 作 EH⊥ AC，H 为垂足，则有以下结论：①点 M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM； ②无论点 M 运动到何处，都有 DM= HM；③无论点 M 运动到何处，∠CHM 一 定大于 135°．其中正确结论的序号为 ①②③ ． 【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM 是等腰直角三角形， 进而得出 DM= HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到 Rt △ADM 中，DM=2AM，即可得到 DM=2BE；依据点 M 是边 BA 延长线上的动点（不 与点 A 重合），且 AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°． 【解答】解：由题可得，AM=BE， ∴AB=EM=AD， ∵四边形 ABCD 是正方形，EH⊥AC， ∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH， ∴EH=AH， ∴△MEH≌△DAH（SAS）， ∴∠MHE=∠DHA，MH=DH， ∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM 是等腰直角三角形， ∴DM= HM，故②正确； 当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°， ∴∠ADM=45°﹣15°=30°， ∴Rt△ADM 中，DM=2AM， 即 DM=2BE，故①正确； ∵点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC=45°， ∴∠CHM＞135°，故③正确； 故答案为：①②③． 7．（2018•青岛）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长 为 ． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE= ∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF 得∠ABE=∠DAF，进一步得∠ AGE=∠BGF=90°，从而知 GH= BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD， 在△ABE 和△DAF 中， ∵ ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE=∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA=90°， ∴∠DAF+∠BEA=90°， ∴∠AGE=∠BGF=90°， ∵点 H 为 BF 的中点， ∴GH= BF， ∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3， ∴BF= = ， ∴GH= BF= ， 故答案为： ． 8．（2018•咸宁）如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点， 点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为 （﹣1，5） ． 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点 G 的坐标，再由正方形的中心对称 的性质求得点 F 的坐标． 【解答】解：如图，过点 E 作 x 轴的垂线 EH，垂足为 H．过点 G 作 x 轴的垂线 EG，垂足为 G，连接 GE、FO 交于点 O′． ∵四边形 OEFG 是正方形， ∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH， 在△OGM 与△EOH 中， ∴△OGM≌△EOH（ASA） ∴GM=OH=2，OM=EH=3， ∴G（﹣3，2）． ∴O′（﹣ ， ）． ∵点 F 与点 O 关于点 O′对称， ∴点 F 的坐标为 （﹣1，5）． 故答案是：（﹣1，5）． 9．（2018•江西）在正方形 ABCD 中，AB=6，连接 AC，BD，P 是正方形边上或 对角线上一点，若 PD=2AP，则 AP 的长为 2 或 2 或 ﹣ ． 【 分 析 】 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 AC ⊥ BD ， AC=BD ， OB=OA=OC=OD ， AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出 AC、BD、求出 OA、OB、OC、 OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，AB=6， ∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= = =6 ， ∴OA=OB=OC=OD=3 ， 有三种情况：①点 P 在 AD 上时， ∵AD=6，PD=2AP， ∴AP=2； ②点 P 在 AC 上时， 设 AP=x，则 DP=2x， 在 Rt△DPO 中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2， （2x）2=（3 ）2+（3 ﹣x）2， 解得：x= ﹣ （负数舍去）， 即 AP= ﹣ ； ③点 P 在 AB 上时， 设 AP=y，则 DP=2y， 在 Rt△APD 中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2， y2+62=（2y）2， 解得：y=2 （负数舍去）， 即 AP=2 ； 故答案为：2 或 2 或 ﹣ ． 10．（2018•潍坊）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30° 至正方形 AB'C′D′的位置，B'C′与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐标为 （﹣1， ） ． 【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证 Rt△ ADM≌Rt△AB′M 得∠DAM= ∠B′AD=30°，由 DM=ADtan∠DAM 可得答案． 【解答】解：如图，连接 AM， ∵将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB'C′D′， ∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°， ∴∠B′AD=60°， 在 Rt△ADM 和 Rt△AB′M 中， ∵ ， ∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）， ∴∠DAM=∠B′AM= ∠B′AD=30°， ∴DM=ADtan∠DAM=1× = ， ∴点 M 的坐标为（﹣1， ）， 故答案为：（﹣1， ）． 11．（2018•台州）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 E，F 分别在 CD，AD 上， CE=DF，BE，CF 相交于点 G．若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比 为 2：3，则△BCG 的周长为 +3 ． 【分析】根据面积之比得出△BGC 的面积等于正方形面积的 ，进而依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出 BG+CG 的长，进而得出其周长． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3， ∴阴影部分的面积为 ×9=6， ∴空白部分的面积为 9﹣6=3， 由 CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG 的面积与四边形 DEGF 的面积相等，均为 ×3= ， 设 BG=a，CG=b，则 ab= ， 又∵a2+b2=32， ∴a2+2ab+b2=9+6=15， 即（a+b）2=15， ∴a+b= ，即 BG+CG= ， ∴△BCG 的周长= +3， 故答案为： +3． 三．解答题（共 6 小题） 12．（2018•盐城）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满 足 BE=DF，连接 AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形 AECF 是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【解答】证明：（1）∵正方形 ABCD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE 与△ADF 中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； （2）连接 AC， 四边形 AECF 是菱形． 理由：∵正方形 ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即 OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF 是菱形． 13．（2018•吉林）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF． 【分析】根据正方形的性质，利用 SAS 即可证明； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF． 14．（2018•白银）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分 别是 BC，BE，CE 的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积． 【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可； （2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点， ∴FH∥BE，FH= BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF， ∴△BGF≌△FHC， （2）当四边形 EGFH 是正方形时，可得：EF⊥GH 且 EF=GH， ∵在△BEC 中，点，H 分别是 BE，CE 的中点， ∴GH= ，且 GH∥BC， ∴EF⊥BC， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH= a， ∴矩形 ABCD 的面积= ． 15．（2018•潍坊）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DE ⊥AM 于点 E，BF⊥AM 于点 F，连接 BE． （1）求证：AE=BF； （2）已知 AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，求∠EBF 的正弦值． 【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA 得到 BF=AE； （2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形 ABED 的面积等于△ABE 的面积 与△ADE 的面积之和得到 •x•x+ •x•2=24，解方程求出 x 得到 AE=BF=6，则 EF=x ﹣2=4，然后利用勾股定理计算出 BE，最后利用正弦的定义求解． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BA=AD，∠BAD=90°， ∵DE⊥AM 于点 E，BF⊥AM 于点 F， ∴∠AFB=90°，∠DEA=90°， ∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ABF=∠EAD， 在△ABF 和△DEA 中 ， ∴△ABF≌△DEA（AAS）， ∴BF=AE； （2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2， ∵四边形 ABED 的面积为 24， ∴ •x•x+ •x•2=24，解得 x1=6，x2=﹣8（舍去）， ∴EF=x﹣2=4， 在 Rt△BEF 中，BE= =2 ， ∴sin∠EBF= = = ． 16．（2018•湘潭）如图，在正方形 ABCD 中，AF=BE，AE 与 DF 相交于点 O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD 的度数． 【分析】（1）利用正方形的性质得出 AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结 论； （2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用 三角形的内角和定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF 和△ABE 中， ， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， （2）由（1）知，△DAF≌△ABE， ∴∠ADF=∠BAE， ∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°， ∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°． 17．（2018•遵义）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、 BC 上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线 交于点 N，连接 MN． （1）求证：OM=ON． （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长． 【分析】（1）证△OAM≌△OBN 即可得； （2）作 OH⊥AD，由正方形的边长为 4 且 E 为 OM 的中点知 OH=HA=2、HM=4， 再根据勾股定理得 OM=2 ，由直角三角形性质知 MN= OM． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°， ∴∠OAM=∠OBN=135°， ∵∠EOF=90°，∠AOB=90°， ∴∠AOM=∠BON， ∴△OAM≌△OBN（ASA）， ∴OM=ON； （2）如图，过点 O 作 OH⊥AD 于点 H， ∵正方形的边长为 4， ∴OH=HA=2， ∵E 为 OM 的中点， ∴HM=4， 则 OM= =2 ， ∴MN= OM=2 ．