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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编考点27:正方形

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y 中考数学试题分类汇编:考点 27 正方形 一.选择题(共 4 小题) 1.(2018•无锡)如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点,正方 形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上,若 AB=3,BC=4,则 tan∠AFE 的值( ) A.等于 B.等于 C.等于 D.随点 E 位置的变化而变化 【分析】根据题意推知 EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该 相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答. 【解答】解:∵EF∥AD, ∴∠AFE=∠FAG, ∴△AEH∽△ACD, ∴ = = . 设 EH=3x,AH=4x, ∴HG=GF=3x, ∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = . 故选:A. 2.(2018•宜昌)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别是对角线 AC 上 的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为 G,I,H,J.则图中 阴影部分的面积等于 ( ) A.1 B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可; 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴, ∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为 G,I,H,J. ∴根据对称性可知:四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等, ∴S 阴= S 正方形 ABCD= , 故选:B. 3.(2018•湘西州)下列说法中,正确个数有( ) ①对顶角相等; ②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得 答案. 【解答】解:①对顶角相等,故①正确; ②两直线平行,同旁内角互补,故②错误; ③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确, 故选:B. 4.(2018•张家界)下列说法中,正确的是( ) A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等 B.对角线相等的平行四边形是正方形 C.相等的角是对顶角 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平 分线性质逐个判断即可. 【解答】解:A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选 项不符合题意; B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意; C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意; D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意; 故选:D. 二.填空题(共 7 小题) 5.(2018•武汉)以正方形 ABCD 的边 AD 作等边△ADE,则∠BEC 的度数是 30° 或 150° . 【分析】分等边△ADE 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得. 【解答】解:如图 1, ∵四边形 ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形, ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠ DAE=60°, ∴∠BAE=∠CDE=150°,又 AB=AE,DC=DE, ∴∠AEB=∠CED=15°, 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°. 如图 2, ∵△ADE 是等边三角形, ∴AD=DE, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=DC, ∴DE=DC, ∴∠CED=∠ECD, ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°, ∴∠CED=∠ECD= (180°﹣30°)=75°, ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°. 故答案为:30°或 150°. 6.(2018•呼和浩特)如图,已知正方形 ABCD,点 M 是边 BA 延长线上的动点 (不与点 A 重合),且 AM<AB,△CBE 由△DAM 平移得到.若过点 E 作 EH⊥ AC,H 为垂足,则有以下结论:①点 M 位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM; ②无论点 M 运动到何处,都有 DM= HM;③无论点 M 运动到何处,∠CHM 一 定大于 135°.其中正确结论的序号为 ①②③ . 【分析】先判定△MEH≌△DAH(SAS),即可得到△DHM 是等腰直角三角形, 进而得出 DM= HM;依据当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,即可得到 Rt △ADM 中,DM=2AM,即可得到 DM=2BE;依据点 M 是边 BA 延长线上的动点(不 与点 A 重合),且 AM<AB,可得∠AHM<∠BAC=45°,即可得出∠CHM>135°. 【解答】解:由题可得,AM=BE, ∴AB=EM=AD, ∵四边形 ABCD 是正方形,EH⊥AC, ∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH, ∴EH=AH, ∴△MEH≌△DAH(SAS), ∴∠MHE=∠DHA,MH=DH, ∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM 是等腰直角三角形, ∴DM= HM,故②正确; 当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°, ∴∠ADM=45°﹣15°=30°, ∴Rt△ADM 中,DM=2AM, 即 DM=2BE,故①正确; ∵点 M 是边 BA 延长线上的动点(不与点 A 重合),且 AM<AB, ∴∠AHM<∠BAC=45°, ∴∠CHM>135°,故③正确; 故答案为:①②③. 7.(2018•青岛)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别在 AD、DC 上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,点 H 为 BF 的中点,连接 GH,则 GH 的长 为 . 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE= ∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF 得∠ABE=∠DAF,进一步得∠ AGE=∠BGF=90°,从而知 GH= BF,利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD, 在△ABE 和△DAF 中, ∵ , ∴△ABE≌△DAF(SAS), ∴∠ABE=∠DAF, ∵∠ABE+∠BEA=90°, ∴∠DAF+∠BEA=90°, ∴∠AGE=∠BGF=90°, ∵点 H 为 BF 的中点, ∴GH= BF, ∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3, ∴BF= = , ∴GH= BF= , 故答案为: . 8.(2018•咸宁)如图,将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中,O 是坐标原点, 点 E 的坐标为(2,3),则点 F 的坐标为 (﹣1,5) . 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点 G 的坐标,再由正方形的中心对称 的性质求得点 F 的坐标. 【解答】解:如图,过点 E 作 x 轴的垂线 EH,垂足为 H.过点 G 作 x 轴的垂线 EG,垂足为 G,连接 GE、FO 交于点 O′. ∵四边形 OEFG 是正方形, ∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH, 在△OGM 与△EOH 中, ∴△OGM≌△EOH(ASA) ∴GM=OH=2,OM=EH=3, ∴G(﹣3,2). ∴O′(﹣ , ). ∵点 F 与点 O 关于点 O′对称, ∴点 F 的坐标为 (﹣1,5). 故答案是:(﹣1,5). 9.(2018•江西)在正方形 ABCD 中,AB=6,连接 AC,BD,P 是正方形边上或 对角线上一点,若 PD=2AP,则 AP 的长为 2 或 2 或 ﹣ . 【 分 析 】 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 AC ⊥ BD , AC=BD , OB=OA=OC=OD , AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=90°,根据勾股定理求出 AC、BD、求出 OA、OB、OC、 OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形,AB=6, ∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠DAB=90°, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得:AC= = =6 , ∴OA=OB=OC=OD=3 , 有三种情况:①点 P 在 AD 上时, ∵AD=6,PD=2AP, ∴AP=2; ②点 P 在 AC 上时, 设 AP=x,则 DP=2x, 在 Rt△DPO 中,由勾股定理得:DP2=DO2+OP2, (2x)2=(3 )2+(3 ﹣x)2, 解得:x= ﹣ (负数舍去), 即 AP= ﹣ ; ③点 P 在 AB 上时, 设 AP=y,则 DP=2y, 在 Rt△APD 中,由勾股定理得:AP2+AD2=DP2, y2+62=(2y)2, 解得:y=2 (负数舍去), 即 AP=2 ; 故答案为:2 或 2 或 ﹣ . 10.(2018•潍坊)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 A 与原点重合,点 B 在 y 轴的正半轴上,点 D 在 x 轴的负半轴上,将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30° 至正方形 AB'C′D′的位置,B'C′与 CD 相交于点 M,则点 M 的坐标为 (﹣1, ) . 【分析】连接 AM,由旋转性质知 AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证 Rt△ ADM≌Rt△AB′M 得∠DAM= ∠B′AD=30°,由 DM=ADtan∠DAM 可得答案. 【解答】解:如图,连接 AM, ∵将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB'C′D′, ∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°, ∴∠B′AD=60°, 在 Rt△ADM 和 Rt△AB′M 中, ∵ , ∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL), ∴∠DAM=∠B′AM= ∠B′AD=30°, ∴DM=ADtan∠DAM=1× = , ∴点 M 的坐标为(﹣1, ), 故答案为:(﹣1, ). 11.(2018•台州)如图,在正方形 ABCD 中,AB=3,点 E,F 分别在 CD,AD 上, CE=DF,BE,CF 相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比 为 2:3,则△BCG 的周长为 +3 . 【分析】根据面积之比得出△BGC 的面积等于正方形面积的 ,进而依据△BCG 的面积以及勾股定理,得出 BG+CG 的长,进而得出其周长. 【解答】解:∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2:3, ∴阴影部分的面积为 ×9=6, ∴空白部分的面积为 9﹣6=3, 由 CE=DF,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,可得△BCE≌△CDF, ∴△BCG 的面积与四边形 DEGF 的面积相等,均为 ×3= , 设 BG=a,CG=b,则 ab= , 又∵a2+b2=32, ∴a2+2ab+b2=9+6=15, 即(a+b)2=15, ∴a+b= ,即 BG+CG= , ∴△BCG 的周长= +3, 故答案为: +3. 三.解答题(共 6 小题) 12.(2018•盐城)在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满 足 BE=DF,连接 AE、AF、CE、CF,如图所示. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由. 【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可; (2)四边形 AECF 是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断; 【解答】证明:(1)∵正方形 ABCD, ∴AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, ∴∠ABE=∠ADF, 在△ABE 与△ADF 中 , ∴△ABE≌△ADF(SAS); (2)连接 AC, 四边形 AECF 是菱形. 理由:∵正方形 ABCD, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF, ∴OB+BE=OD+DF, 即 OE=OF, ∵OA=OC,OE=OF, ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形 AECF 是菱形. 13.(2018•吉林)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且 BE=CF, 求证:△ABE≌△BCF. 【分析】根据正方形的性质,利用 SAS 即可证明; 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°, 在△ABE 和△BCF 中, , ∴△ABE≌△BCF. 14.(2018•白银)已知矩形 ABCD 中,E 是 AD 边上的一个动点,点 F,G,H 分 别是 BC,BE,CE 的中点. (1)求证:△BGF≌△FHC; (2)设 AD=a,当四边形 EGFH 是正方形时,求矩形 ABCD 的面积. 【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可; (2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可. 【解答】解:(1)∵点 F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点, ∴FH∥BE,FH= BE,FH=BG, ∴∠CFH=∠CBG, ∵BF=CF, ∴△BGF≌△FHC, (2)当四边形 EGFH 是正方形时,可得:EF⊥GH 且 EF=GH, ∵在△BEC 中,点,H 分别是 BE,CE 的中点, ∴GH= ,且 GH∥BC, ∴EF⊥BC, ∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴AB=EF=GH= a, ∴矩形 ABCD 的面积= . 15.(2018•潍坊)如图,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE ⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F,连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求∠EBF 的正弦值. 【分析】(1)通过证明△ABF≌△DEA 得到 BF=AE; (2)设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2,利用四边形 ABED 的面积等于△ABE 的面积 与△ADE 的面积之和得到 •x•x+ •x•2=24,解方程求出 x 得到 AE=BF=6,则 EF=x ﹣2=4,然后利用勾股定理计算出 BE,最后利用正弦的定义求解. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BA=AD,∠BAD=90°, ∵DE⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F, ∴∠AFB=90°,∠DEA=90°, ∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°, ∴∠ABF=∠EAD, 在△ABF 和△DEA 中 , ∴△ABF≌△DEA(AAS), ∴BF=AE; (2)解:设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2, ∵四边形 ABED 的面积为 24, ∴ •x•x+ •x•2=24,解得 x1=6,x2=﹣8(舍去), ∴EF=x﹣2=4, 在 Rt△BEF 中,BE= =2 , ∴sin∠EBF= = = . 16.(2018•湘潭)如图,在正方形 ABCD 中,AF=BE,AE 与 DF 相交于点 O. (1)求证:△DAF≌△ABE; (2)求∠AOD 的度数. 【分析】(1)利用正方形的性质得出 AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结 论; (2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用 三角形的内角和定理即可得出结论. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB, 在△DAF 和△ABE 中, , ∴△DAF≌△ABE(SAS), (2)由(1)知,△DAF≌△ABE, ∴∠ADF=∠BAE, ∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°, ∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°. 17.(2018•遵义)如图,正方形 ABCD 的对角线交于点 O,点 E、F 分别在 AB、 BC 上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA 的延长线交于点 M,OF、AB 的延长线 交于点 N,连接 MN. (1)求证:OM=ON. (2)若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 OM 的中点,求 MN 的长. 【分析】(1)证△OAM≌△OBN 即可得; (2)作 OH⊥AD,由正方形的边长为 4 且 E 为 OM 的中点知 OH=HA=2、HM=4, 再根据勾股定理得 OM=2 ,由直角三角形性质知 MN= OM. 【解答】解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°, ∴∠OAM=∠OBN=135°, ∵∠EOF=90°,∠AOB=90°, ∴∠AOM=∠BON, ∴△OAM≌△OBN(ASA), ∴OM=ON; (2)如图,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H, ∵正方形的边长为 4, ∴OH=HA=2, ∵E 为 OM 的中点, ∴HM=4, 则 OM= =2 , ∴MN= OM=2 .