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- 2021-05-10 发布
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2016年大庆市初中升学统一考试
数学试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.地球上的海洋面积为361 000 000平方千米,数字361 000 000用科学记数法表示为( )
A.36.1×107B.0.361×109C.3.61×108D.3.61×107
2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )
A.a•b>0 B.a+b<0 C.|a|<|b| D.a﹣b>0
3.下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形
4.当0<x<1时,x2、x、的大小顺序是( )
A.x2B.<x<x2C.<x D.x<x2<
5.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球,现从中任取2个球,则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
6.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
7.下列图形中是中心对称图形的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是反比例函数y=上的三点,若x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是( )
A.x1•x2<0 B.x1•x3<0 C.x2•x3<0 D.x1+x2<0
10.若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,设M=1﹣ac,N=(ax0+1)2,则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.函数y=的自变量x的取值范围是 .
12.若am=2,an=8,则am+n= .
13.甲乙两人进行飞镖比赛,每人各投5次,所得平均环数相等,其中甲所得环数的方差为15,乙所得环数如下:0,1,5,9,10,那么成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙”).
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,则∠BDC= .
15.如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有三角形的个数为 .
16.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为 海里/小时.
17.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10,一圆弧过点B和点C,且与AD相切,则图中阴影部分面积为 .
18.直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当OA⊥OB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为 .
三、解答题(本大题共10小题,共66分)
19.计算(+1)2﹣π0﹣|1﹣|
20.已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
21.关于x的两个不等式①<1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
22.某车间计划加工360个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率,每天比原计划多加工20%,结果提前10天完成任务,求原计划每天能加工多少个零件?
23.为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了该学校初四年级m名同学,对其每周平均课外阅读时间进行统计,绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二):
(1)根据以上信息回答下列问题:
①求m值.
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数.
③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数,求出这组数据的平均数.
24.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=CG.
(2)求证:AG2=GE•GF.
25.如图,P1、P2是反比例函数y=(k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值.
26.由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示,针对这种干旱情况,从第20天开始向水库注水,注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式,并求当x=20时的水库总蓄水量.
(2)求当0≤x≤60时,水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围),若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱,直接写出发生严重干旱时x的范围.
27.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
28.若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
2016年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.地球上的海洋面积为361 000 000平方千米,数字361 000 000用科学记数法表示为( )
A.36.1×107B.0.361×109C.3.61×108D.3.61×107
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:361 000 000用科学记数法表示为3.61×108,
故选:C.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )
A.a•b>0 B.a+b<0 C.|a|<|b| D.a﹣b>0
【考点】实数与数轴.
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围,然后即可作出判断.
【解答】解:根据点a、b在数轴上的位置可知1<a<2,﹣1<b<0,
∴ab<0,a+b>0,|a|>|b|,a﹣b>0,.
故选:D.
【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用,掌握法则是解题的关键.
3.下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形
【考点】矩形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.
【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案.
【解答】解:A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;故本选项错误;
B、矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直;故本选项错误;
C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形;故本选项错误;
D、四边相等的四边形是菱形;故本选项正确.
故选.
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定.注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键.
4.当0<x<1时,x2、x、的大小顺序是( )
A.x2B.<x<x2C.<x D.x<x2<
【考点】不等式的性质.
【分析】先在不等式0<x<1的两边都乘上x,再在不等式0<x<1的两边都除以x,根据所得结果进行判断即可.
【解答】解:当0<x<1时,
在不等式0<x<1的两边都乘上x,可得0<x2<x,
在不等式0<x<1的两边都除以x,可得0<1<,
又∵x<1,
∴x2、x、的大小顺序是:x2<x<.
故选(A)
【点评】本题主要考查了不等式,解决问题的根据是掌握不等式的基本性质.不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:若a>b,且m>0,那么am>bm或>.
5.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球,现从中任取2个球,则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
∵共有20种等可能的结果,取到的是一个红球、一个白球的有12种情况,
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为: =.
故选C.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
6.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列,故可得出该几何体的小正方体的个数.
【解答】解:综合三视图可知,这个几何体的底层应该有2+1+1+1=5个小正方体,
第二层应该有2个小正方体,
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是5+2=7个.
故选C
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.
7.下列图形中是中心对称图形的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:第2个、第4个图形是中心对称图形,共2个.
故选B.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
8.如图,从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】命题与定理.
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性.
【解答】解:如图所示:当①∠1=∠2,
则∠3=∠2,
故DB∥EC,
则∠D=∠4,
当②∠C=∠D,
故∠4=∠C,
则DF∥AC,
可得:∠A=∠F,
即⇒③;
当①∠1=∠2,
则∠3=∠2,
故DB∥EC,
则∠D=∠4,
当③∠A=∠F,
故DF∥AC,
则∠4=∠C,
故可得:∠C=∠D,
即⇒②;
当③∠A=∠F,
故DF∥AC,
则∠4=∠C,
当②∠C=∠D,
则∠4=∠D,
故DB∥EC,
则∠2=∠3,
可得:∠1=∠2,
即⇒①,
故正确的有3个.
故选:D.
【点评】此题主要考查了命题与定理,正确掌握平行线的判定与性质是解题关键.
9.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是反比例函数y=上的三点,若x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是( )
A.x1•x2<0 B.x1•x3<0 C.x2•x3<0 D.x1+x2<0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据反比例函数y=和x1<x2<x3,y2<y1<y3,可得点A,B在第三象限,点C在第一象限,得出x1<x2<0<x3,再选择即可.
【解答】解:∵反比例函数y=中,2>0,
∴在每一象限内,y随x的增大而减小,
∵x1<x2<x3,y2<y1<y3,
∴点A,B在第三象限,点C在第一象限,
∴x1<x2<0<x3,
∴x1•x2<0,
故选A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性,本题是逆用,难度有点大.
10.若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,设M=1﹣ac,N=(ax0+1)2,则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
【考点】一元二次方程的解.
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c,作差法比较可得.
【解答】解:∵x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,
∴ax02+2x0+c=0,即ax02+2x0=﹣c,
则N﹣M=(ax0+1)2﹣(1﹣ac)
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a(ax02+2x0)+ac
=﹣ac+ac
=0,
∴M=N,
故选:B.
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小,熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本,利用作差法比较大小是解题的关键.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.函数y=的自变量x的取值范围是 x≥ .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,2x﹣1≥0,
解得x≥.
故答案为:x≥.
【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
12.若am=2,an=8,则am+n= 16 .
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】计算题;实数.
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:∵am=2,an=8,
∴am+n=am•an=16,
故答案为:16
【点评】此题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握乘法法则是解本题的关键.
13.甲乙两人进行飞镖比赛,每人各投5次,所得平均环数相等,其中甲所得环数的方差为15,乙所得环数如下:0,1,5,9,10,那么成绩较稳定的是 甲 (填“甲”或“乙”).
【考点】方差.
【分析】计算出乙的平均数和方差后,与甲的方差比较后,可以得出判断.
【解答】解:乙组数据的平均数=(0+1+5+9+10)÷5=5,
乙组数据的方差S2= [(0﹣5)2+(1﹣5)2+(9﹣5)2+(10﹣5)2]=16.4,
∵S2甲<S2乙,
∴成绩较为稳定的是甲.
故答案为:甲.
【点评】本题考查方差的定义与意义:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,则∠BDC= 110° .
【考点】三角形内角和定理.
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70,再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.
【解答】解:∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,
∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC,∠BCD=∠ACD=∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140,
∴∠OBC+∠OCB=70,
∴∠BOC=180﹣70=110°,
故答案为:110°.
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,难度不大,是一道基础题,熟记三角形内角和定理是解决问题的关键.
15.如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有三角形的个数为 4n﹣3 .
【考点】三角形中位线定理;规律型:图形的变化类.
【分析】结合题意,总结可知,每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形,即可得出结果.
【解答】解:第①是1个三角形,1=4×1﹣3;
第②是5个三角形,5=4×2﹣3;
第③是9个三角形,9=4×3﹣3;
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3;
故答案为:4n﹣3.
【点评】此题主要考查了图形的变化,解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系.
16.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为 海里/小时.
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】设该船行驶的速度为x海里/时,由已知可得BC=3x,AQ⊥BC,∠BAQ=60°,∠CAQ=45°,AB=80海里,在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ,再在直角三角形AQC中求出CQ,得出BC=40+40=3x,解方程即可.
【解答】解:如图所示:
设该船行驶的速度为x海里/时,
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,
由题意得:AB=80海里,BC=3x海里,
在直角三角形ABQ中,∠BAQ=60°,
∴∠B=90°﹣60°=30°,
∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,
在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,
∴CQ=AQ=40,
∴BC=40+40=3x,
解得:x=.
即该船行驶的速度为海里/时;
故答案为:.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键.
17.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10,一圆弧过点B和点C,且与AD相切,则图中阴影部分面积为 75﹣ .
【考点】扇形面积的计算;矩形的性质;切线的性质.
【分析】设圆的半径为x,根据勾股定理求出x,根据扇形的面积公式、阴影部分面积为:矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)进行计算即可.
【解答】解:设圆弧的圆心为O,与AD切于E,
连接OE交BC于F,连接OB、OC,
设圆的半径为x,则OF=x﹣5,
由勾股定理得,OB2=OF2+BF2,
即x2=(x﹣5)2+(5)2,
解得,x=5,
则∠BOF=60°,∠BOC=120°,
则阴影部分面积为:矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)
=10×5﹣+×10×5
=75﹣,
故答案为:75﹣.
【点评】本题考查的是扇形面积的计算,掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键.
18.直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当OA⊥OB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为 (0,4) .
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质.
【专题】推理填空题.
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,可以联立在一起,得到关于x的一元二次方程,从而可以得到两个之和与两根之积,再根据OA⊥OB,可以求得b的值,从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标.
【解答】解:∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,
∴kx+b=,
化简,得 x2﹣4kx﹣4b=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,
又∵OA⊥OB,
∴=,
解得,b=4,
即直线y=kx+4,故直线恒过顶点(0,4),
故答案为:(0,4).
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,知道两条直线垂直时,它们解析式中的k的乘积为﹣1.
三、解答题(本大题共10小题,共66分)
19.计算(+1)2﹣π0﹣|1﹣|
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】直接利用完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案.
【解答】解:原式=2+2+1﹣1﹣(﹣1)
=2+2﹣+1
=3+.
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键.
20.已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解,然后代入数据进行计算即可得解.
【解答】解:a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2,
将a+b=3,ab=2代入得,ab(a+b)2=2×32=18.
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
21.关于x的两个不等式①<1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
【考点】不等式的解集.
【专题】计算题;一元一次不等式(组)及应用.
【分析】(1)求出第二个不等式的解集,表示出第一个不等式的解集,由解集相同求出a的值即可;
(2)根据不等式①的解都是②的解,求出a的范围即可.
【解答】解:(1)由①得:x<,
由②得:x<,
由两个不等式的解集相同,得到=,
解得:a=1;
(2)由不等式①的解都是②的解,得到≤,
解得:a≥1.
【点评】此题考查了不等式的解集,根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解.
22.某车间计划加工360个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率,每天比原计划多加工20%,结果提前10天完成任务,求原计划每天能加工多少个零件?
【考点】分式方程的应用.
【分析】关键描述语为:“提前10天完成任务”;等量关系为:原计划天数=实际生产天数+10.
【解答】解:设原计划每天能加工x个零件,
可得:,
解得:x=6,
经检验x=6是原方程的解,
答:原计划每天能加工6个零件.
【点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.本题需注意应设较小的量为未知数.
23.为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了该学校初四年级m名同学,对其每周平均课外阅读时间进行统计,绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二):
(1)根据以上信息回答下列问题:
①求m值.
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数.
③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数,求出这组数据的平均数.
【考点】众数;扇形统计图;条形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】(1)①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比,然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值;
②求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数;
(2)利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可.
【解答】解:(1)①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°,
∴其所占的百分比为=,
∵课外阅读时间为2小时的有15人,
∴m=15÷=60;
②第三小组的频数为:60﹣10﹣15﹣10﹣5=20,
补全条形统计图为:
(2)∵课外阅读时间为3小时的20人,最多,
∴众数为 3小时;
∵共60人,中位数应该是第30和第31人的平均数,且第30和第31人阅读时间均为3小时,
∴中位数为3小时;
平均数为:≈2.92小时.
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识,解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息,难度不大.
24.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=CG.
(2)求证:AG2=GE•GF.
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.
【专题】证明题.
【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,推出△ADG≌△CDG,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG,等量代换得到∠EAG=∠F,求得△AEG∽△FGA,即可得到结论.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,
∴∠F∠FCD,
在△ADG与△CDG中,,
∴△ADG≌△CDG,
∴∠EAG=∠DCG,
∴AG=CG;
(2)∵△ADG≌△CDG,
∴∠EAG=∠F,
∵∠AGE=∠AGE,
∴△AEG∽△FGA,
∴,
∴AG2=GE•GF.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握各定理是解题的关键.
25.如图,P1、P2是反比例函数y=(k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;等腰直角三角形.
【分析】(1)先根据点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为(4+a,a),并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标;再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x的取值范围.
【解答】解:(1)过点P1作P1B⊥x轴,垂足为B
∵点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形
∴OB=2,P1B=OA1=2
∴P1的坐标为(2,2)
将P1的坐标代入反比例函数y=(k>0),得k=2×2=4
∴反比例函数的解析式为
(2)①过点P2作P2C⊥x轴,垂足为C
∵△P2A1A2为等腰直角三角形
∴P2C=A1C
设P2C=A1C=a,则P2的坐标为(4+a,a)
将P2的坐标代入反比例函数的解析式为,得
a=,解得a1=,a2=(舍去)
∴P2的坐标为(,)
②在第一象限内,当2<x<2+时,一次函数的函数值大于反比例函数的值.
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标.等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.
26.由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示,针对这种干旱情况,从第20天开始向水库注水,注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式,并求当x=20时的水库总蓄水量.
(2)求当0≤x≤60时,水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围),若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱,直接写出发生严重干旱时x的范围.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据两点的坐标求y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式,并把x=20代入计算;
(2)分两种情况:①当0≤x≤20时,y=y1,②当20<x≤60时,y=y1+y2;并计算分段函数中y≤900时对应的x的取值.
【解答】解:(1)设y1=kx+b,
把(0,1200)和(60,0)代入到y1=kx+b得:
解得,
∴y1=﹣20x+1200
当x=20时,y1=﹣20×20+1200=800,
(2)设y2=kx+b,
把(20,0)和(60,1000)代入到y2=kx+b中得:
解得,
∴y2=25x﹣500,
当0≤x≤20时,y=﹣20x+1200,
当20<x≤60时,y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700,
y≤900,则5x+700≤900,
x≤40,
当y1=900时,900=﹣20x+1200,
x=15,
∴发生严重干旱时x的范围为:15≤x≤40.
【点评】本题考查了一次函数的应用,熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式:设直线解析式为y=kx+b,将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组,求解;注意分段函数的实际意义,会观察图象.
27.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)连接OH、OM,易证OH是△ABC的中位线,利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH,所以∠HCO=∠HMO=90°,从而可知MH是⊙O的切线;
(2)由切线长定理可知:MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tan∠ABC=,所以BC=4,从而可知⊙O的半径为2;
(3)连接CN,AO,CN与AO相交于I,由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN,利用等面积可求出可求得CI的长度,设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度,利用垂径定理即可求得NQ.
【解答】解:(1)连接OH、OM,
∵H是AC的中点,O是BC的中点,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH∥AB,
∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,
又∵OB=OM,
∴∠OMB=∠MBO,
∴∠COH=∠MOH,
在△COH与△MOH中,
,
∴△COH≌△MOH(SAS),
∴∠HCO=∠HMO=90°,
∴MH是⊙O的切线;
(2)∵MH、AC是⊙O的切线,
∴HC=MH=,
∴AC=2HC=3,
∵tan∠ABC=,
∴=,
∴BC=4,
∴⊙O的半径为2;
(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,
∵AC与AN都是⊙O的切线,
∴AC=AN,AO平分∠CAD,
∴AO⊥CN,
∵AC=3,OC=2,
∴由勾股定理可求得:AO=,
∵AC•OC=AO•CI,
∴CI=,
∴由垂径定理可求得:CN=,
设OE=x,
由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2,
∴﹣(2+x)2=4﹣x2,
∴x=,
∴CE=,
由勾股定理可求得:EN=,
∴由垂径定理可知:NQ=2EN=.
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,切线的判等知识内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.
28.若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求得y1顶点坐标,然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值;
(2)设A(a,﹣a2+2a+3).则OQ=x,AQ=﹣a2+2a+3,然后得到OQ+AQ与a的函数关系式,最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值;
(3)连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.接下来证明△BCM≌△MDB′,由全等三角形的性质得到BC=MD,CM=B′D,设点M的坐标为(1,a).则用含a的式子可表示出点B′的坐标,将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值,从而得到点M的坐标.
【解答】解:(1)∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2(x﹣1)2+4,
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).
∵抛物线C1:与C2顶点相同,
∴=1,﹣1+m+n=4.
解得:m=2,n=3.
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3.
(2)如图1所示:
设点A的坐标为(a,﹣a2+2a+3).
∵AQ=﹣a2+2a+3,OQ=a,
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣(a﹣)2+.
∴当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为.
(3)如图2所示;连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.
∵B(﹣1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为x=1,
∴BC⊥CM,BC=2.
∵∠BMB′=90°,
∴∠BMC+∠B′MD=90°.
∵B′D⊥MC,
∴∠MB′D+∠B′MD=90°.
∴∠MB′D=∠BMC.
在△BCM和△MDB′中,,
∴△BCM≌△MDB′.
∴BC=MD,CM=B′D.
设点M的坐标为(1,a).则B′D=CM=4﹣a,MD=CB=2.
∴点B′的坐标为(a﹣3,a﹣2).
∴﹣(a﹣3)2+2(a﹣3)+3=a﹣2.
整理得:a2﹣7a﹣10=0.
解得a=2,或a=5.
当a=2时,M的坐标为(1,2),
当a=5时,M的坐标为(1,5).
综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,B′恰好落在抛物线C2上.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键.