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- 2021-05-10 发布
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2013年重庆中考数学第24题专题训练
1、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点,且∠BEH=∠HEG.
(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;
(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.
(1)证明:∵HE=HG,
∴∠HEG=∠HGE,
∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,
∴∠BEH=∠FGC,
∵G是HC的中点,
∴HG=GC,
∴HE=GC,
∵∠HBE=∠CFG=90°.
∴△EBH≌△GFC;
(2)解:过点H作HI⊥EG于I,
∵G为CH的中点,
∴HG=GC,
∵EF⊥DC,
HI⊥EF,
∴∠HIG=∠GFC=90°,
∠FGC=∠HGI,
∴△GIH≌△GFC,
∵△EBH≌△EIH(AAS),
∴FC=HI=BH=1,
∴AD=4-1=3.
2、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE.
(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:BE=CD;
(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:F为DE中点.
证明:(1)∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE;
(2)如图,作DG∥AE,交AB于点G,
由∠EAC=60°,∠CAB=30°得:∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°,
∴∠DGF=∠FAE=90°,
又∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵△ABD为等边三角形,∠DBG=60°,DB=AB,
∴∠DBG=∠ABC=60°,
在△DGB和△ACB中,
∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ,
∴△DGB≌△ACB(AAS),
∴DG=AC,
又∵△AEC为等边三角形,∴AE=AC,
∴DG=AE,
在△DGF和△EAF中,
∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ,
∴△DGF≌△EAF(AAS),
∴DF=EF,即F为DE中点.
3、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F
(1)求证:BF=AD+CF;
(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长.
(1)证明: 如图(1),延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°
∠DEN=∠FEC
DE=EC
∴△NDE≌△FCE
∴DN=CF
∵AB∥FN,AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
(2)解:∵AB∥EF,
∴∠ABN=∠EFC,即∠1+∠2=∠3,
又∵∠2+∠BEF=∠3,
∴∠1=∠BEF,∴BF=EF,
∵∠1=∠2,∴∠BEF=∠2,
∴EF=BF,
又∵ BC+AD=7+1
∴ BF+CF+AD=8
而由(1)知CF+AD=BF
∴ BF+BF=8
∴2BF=8,
∴BF=4,∴BF=EF=4
A
B
D
E
C
F
4、在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证:△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
解:(1)证明:连结CE,
在△BAE与△FCB中,
∵ BA=FC,∠A=∠BCF,, AE=BC,
∴△BAE≌△FCB;
(2)延长BC交EF于点G,作AH⊥BG于H,作AM⊥BG,
∵△BAE≌△FCB,
∴∠AEB=∠FBG,BE=BF,
∴△BEF为等腰三角形,
又∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠EBG,
∴∠EBG=∠FBG,
∴BG⊥EF,
∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°,
∴四边形AMGE为矩形,
∴AM=EG,
在Rt△ABM中,
AM=AB•sin60°=6× = ,
∴EG=AM=,
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15,
∴tan∠EBC=
5、已知:AC是矩形ABCD的对角线,延长CB至E,使CE=CA,F是AE的中点,连接DF、CF分别交AB于G、H点(1)求证:FG=FH;(2)若∠E=60°,且AE=8时,求梯形AECD的面积.
(1)证明:连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,
∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH;
(2)解:∵AC=CE∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴BC=BE==4
∴根据勾股定理AB=
∴梯形AECD的面积=×(AD+CE)×CD=×(4+8)×=
6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2,过点D作DE∥AB,交∠BCD的平分线于点E,连接BE.
(1)求证:BC=CD;
(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG.求证:CD垂直平分EG;
(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.
证明:(1)延长DE交BC于F,
∵AD∥BC,AB∥DF,
∴AD=BF,∠ABC=∠DFC.
在Rt△DCF中,
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2,
∴ =2,
即CD=2CF,
∵CD=2AD=2BF,
∴BF=CF,
∴BC=BF+CF=CD+ CD=CD.
即BC=CD.
(2)∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE,
由(1)知BC=CD,
∵CE=CE,
∴△BCE≌△DCE,
∴BE=DE,
由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,
∴DE=DG,
∴C,D都在EG的垂直平分线上,
∴CD垂直平分EG.
(3)连接BD,
由(2)知BE=DE,
∴∠1=∠2.
∵AB∥DE,
∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∵AD∥BC,∴∠4=∠DBC.
由(1)知BC=CD,
∴∠DBC=∠BDC,∴∠4=∠BDP.
又∵BD=BD,∴△BAD≌△BPD(ASA)
∴DP=AD.
∵AD=CD,∴DP=CD.
∴P是CD的中点.
7、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.
(1)求证:EB=EF;
(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.
(1)证明:∵△ADF为等边三角形,
∴AF=AD,∠FAD=60°
∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB
∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE
∴EF=EB
(2)过C作CQ⊥AB于Q,
∵CQ=AB=AD=6,
∵∠ABC=60°,
∴BC=6÷ =.
8、已知,矩形ABCD中,延长BC至E,使BE=BD,F为DE的中点,连结AF、CF.求证:
(1)∠ADF=∠BCF;
(2) AF⊥CF.
证明:(1)在矩形ABCD中,
∵∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,
在Rt△DCE中,
∵F为DE中点,
∴DF=CF,
∴∠FDC=∠DCF,
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF,
即∠ADF=∠BCF;
(2)连接BF,
∵BE=BD,F为DE的中点,
∴BF⊥DE,
∴∠BFD=90°,即∠BFA+∠AFD=90°,
在△AFD和△BFC中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ,
∴△ADF≌△BCF,
∴∠AFD=∠BFC,
∵∠AFD+∠BFA=90°,
∴∠BFC+∠BFA=90°,
即∠AFC=90°,
∴AF⊥FC.
9、如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
(1)求证:CF=CG;
(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长.
解答:(1)证明:连接AC,
∵DC∥AB,AB=BC,
∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,
∴∠1=∠2;
∵∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE;
∵∠FDC=∠GEC=90°,∠3=∠4,
∴△FDC≌△GEC,
∴CF=CG.
(2)解:由(1)知,CE=CD=2,
∴BE=4CE=8,
∴AB=BC=CE+BE=10,
∴在Rt△ABE中,AE= AB2-BE2 =6,
∴在Rt△ACE中,AC= AE2+CE2 =
由(1)知,△ADC≌△AEC,
∴CD=CE,AD=AE,
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点,
∴DE⊥AC,DE=2EH;(8分)
在Rt△AEC中,S△AEC= AE•CE= AC•EH,
∴EH= = =
∴DE=2EH=2×=
10、如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.
(1)求证:∠BFC=∠BEA;
(2)求证:AM=BG+GM.
证明:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
在△ABE和△CBF中,
AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BFC=∠BEA;
(2)连接DG,在△ABG和△ADG中,
AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ,
∴△ABG≌△ADG(SAS),
∴BG=DG,∠2=∠3,
∵BG⊥AE,
∴∠BAE+∠2=90°,
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°,
∴∠2=∠3=∠4,
∵GM⊥CF,
∴∠BCF+∠1=90°,
又∠BCF+∠BFC=90°,
∴∠1=∠BFC=∠2,
∴∠1=∠3,
在△ADG中,∠DGC=∠3+45°,
∴∠DGC也是△CGH的外角,
∴D、G、M三点共线,
∵∠3=∠4(已证),
∴AM=DM,
∵DM=DG+GM=BG+GM,
∴AM=BG+GM.
11、直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=BC,M为BC边上一点.
(1)若∠DMC=45°,求证:AD=AM.(2)若∠DAM=45°,AB=7,CD=4,求BM的值.
(1)证明:作AF⊥CD交延长线于点F.
∵∠DMC=45°,∠C=90°
∴CM=CD,
又∵∠B=∠C=∠AFD=90°,AB=BC,
∴四边形ABCF为正方形,
∴BC=CF,
∴BM=DF,
在Rt△ABM和Rt△AFD中,AB=AF,∠B=∠AFD=90°,BM=DF,
∴△ABM≌△AFD,
∴AD=AM.
(2)解:把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°,使AB与AE重合,得Rt△AFN.
∵∠DAM=45°,
∴∠BAM+∠DAF=45°,
由旋转知∠BAM=∠NAF,∴∠DAF+∠NAF=45°,
即∠DAM=∠DAN,
由旋转知AM=AN,
∴△ADM≌△ADN,
∴DM=DN,
设BM=x,
∵AB=BC=CF=7,
∴CM=7-x
又∵CD=4,
∴DF=3,BM=FN=x,
∴MD=DN=3+x,
在Rt△CDM中,(7-x)2+42=(3+x)2,
解得:x=
∴BM的值为.
答:BM的值为.
12、如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
在△BCQ和△CDP中,
∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 .
∴△BCQ≌△CDP.
(2)连接OB.
由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而点O是AC中点,
∴BO=AC=CO,∠4=∠ABC=45°=∠PCO,
在△BCQ和△CDP中, BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO
∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.