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  • 2021-05-10 发布

长沙市中考数学09最后两道压轴题集锦附答案版

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‎1.(湖南省永州市)探究问题:‎ ‎(1)阅读理解:‎ ‎①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.‎ C B A P ‎(图A)‎ C B A D ‎(图B)‎ ‎②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB·CD+BC·DA=AC·BD,此为托勒密定理.‎ ‎(2)知识迁移:‎ ‎①请你利用托勒密定理,解决如下问题:‎ 如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的 上任意一点.求证:PB+PC=PA.‎ ‎②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:‎ 第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;‎ 第二步:在上任取一点P′,连结P′A、P′B、P′C、P′D.‎ 易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+_____________;‎ D B C A P′‎ ‎(图D)‎ P B A C ‎(图C)‎ 第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段________的长度即为△ABC的费马距离.‎ B C A ‎30°‎ ‎(3)知识应用:2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.‎ ‎2.(湖南省娄底市)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,DC=10,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥DC,NF⊥DC,垂中分别为E、F.‎ ‎(1)求梯形ABCD的面积;‎ ‎(2)探究一:四边形MNFE的面积有无最大值?若有,请求出这个最大值;若无,请说明理由;‎ C A B D M N F E ‎(3)探究二:四边形MNFE能否为正方形?若能,请求出正方形的面积;若不能,请说明理由.‎ ‎3. (浙江义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点D,与轴交于点E.‎ ‎(1)将直线向右平移,设平移距离CD为(t0),直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图2所示, OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.‎ ‎①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积;‎ ‎②当时,求S关于的函数解析式;‎ A O B M D C 图12‎ y x ‎(2)在第(1)题的条件下,当直线向左或向右平移时(包括与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎4.(湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.‎ 如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.‎ (1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;‎ ‎(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.‎ ‎5. 某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.‎ 如图,甲,乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段(村子和公路的宽均不计),点表示这所中学.点在点的北偏西的3km处,点在点的正西方向,点在点的南偏西的km处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:方案一:供水站建在点处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;‎ 方案二:供水站建在乙村(线段某处),甲村要求管道建设到处,请你在图①中,画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;‎ 方案三:供水站建在甲村(线段某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.‎ 综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?‎ M A E C D B F 乙村 甲村 东 北 图①‎ M A E C D B F 乙村 甲村 图②‎ O O ‎2009-25.为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元.该产品每月销售量(万件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示.‎ ‎(1)求月销售量(万件)与销售单价(元)之间的函数关系式;‎ ‎(2)当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元(利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用),该公司可安排员工多少人?‎ ‎(3)若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ x ‎(元)‎ ‎(万件)‎ y O ‎2010---25.已知:二次函数的图象经过点(1,0),‎ 一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中且、为实数.(3)‎ ‎(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围.‎ ‎2-10---26.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上, cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;‎ ‎(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;‎ B A P x C Q O y 第26题图 ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎2011-----25.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如,对于函数,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数的零点。‎ ‎ 己知函数 (m为常数)。‎ ‎ (1)当=0时,求该函数的零点;(2)证明:无论取何值,该函数总有两个零点;‎ ‎(3)设函数的两个零点分别为和,且,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式。‎ ‎26.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时,记Q得位置为B。‎ ‎(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值;‎ ‎(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎2012---25.在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:‎ ‎(年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本)‎ ‎(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?‎ ‎(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?‎ ‎(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.‎ ‎26.如图半径分别为m,n(0<m<n)的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.‎ ‎(1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式;‎ ‎(2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d;‎ ‎(3)令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2.‎ 试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎2013------25.设是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间,表示为.对于一个函数,如果它的自变量与函数值满足:当时,有,我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”.‎ ‎ (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;‎ ‎ (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”,求此函数的解析式;‎ ‎ (3)若二次函数是闭区间上的“闭函数”,求实数的值。‎ ‎26.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点A,点B,动点P在第一象限内,由点P向轴,轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相交于点E,点F,当点P运动时,矩形PMON的面积为定值2.‎ ‎ (1)求的度数;‎ ‎ (2)求证:△∽△;‎ ‎(3)当点E,F都在线段AB上时,由三条线段 ‎ AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角 ‎ 形的外接圆面积为,△的面积为.‎ ‎ 试探究:是否存在最小值?若存在,‎ 请求出该最小值;若不存在,请说明理由. (第26题)‎ ‎2014--25在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(﹣1,﹣1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.‎ ‎(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;‎ ‎(2)函数y=3kx+s﹣1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),且满足﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,令t=b2﹣2b+,试求出t的取值范围.‎ ‎26、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).‎ ‎(1)求a,b,c的值;‎ ‎(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;‎ ‎(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.‎ 考点:‎ ‎2014----25二次函数综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)先由“梦之点”的定义得出m=2,再将点P坐标代入y=,运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)假设函数y=3kx+s﹣1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”(x,x),则有x=3kx+s﹣1,整理得(3k﹣1)x=1﹣s,再分三种情况进行讨论即可;‎ ‎(3)先将A(x1,x1),B(x2,x2)代入y=ax2+bx+1,得到ax12+(b﹣1)x1+1=0,ax22+(b﹣1)x2+1=0,根据方程的解的定义可知x1,x2是一元二次方程ax2+(b﹣1)x+1=0的两个根,由根与系数的关系可得x1+x2=,x1•x2=,则(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2==4,整理得出b2﹣2b=(2a+1)2﹣2,则t=b2﹣2b+=(2a+1)2+.再由﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,得出﹣4<x2<4,﹣8<x1•x2<8,即﹣8<<8,又a>0,解不等式组得出a>,进而求出t的取值范围.‎ 解答:‎ 解:(1)∵点P(2,m)是“梦之点”,∴m=2,∵点P(2,2)在反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上,∴n=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;‎ ‎2)假设函数y=3kx+s﹣1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”(x,x),‎ 则有x=3kx+s﹣1,整理,得(3k﹣1)x=1﹣s,当3k﹣1≠0,即k≠时,解得x=;‎ 当3k﹣1=0,1﹣s=0,即k=,s=1时,x有无穷多解;当3k﹣1=0,1﹣s≠0,即k=,s≠1时,x无解;综上所述,当k≠时,“梦之点”的坐标为(,);当k=,s=1时,“梦之点”有无数个;当k=,s≠1时,不存在“梦之点”;‎ ‎(3)∵二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),∴x1=ax12+bx1+1,x2=ax22+bx2+1,∴ax12+(b﹣1)x1+1=0,ax22‎ ‎+(b﹣1)x2+1=0,∴x1,x2是一元二次方程ax2+(b﹣1)x+1=0的两个不等实根,‎ ‎∴x1+x2=,x1•x2=,∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=()2﹣4•==4,∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=(2a+1)2﹣2,∴t=b2﹣2b+=(2a+1)2﹣2+=(2a+1)2+.∵﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,∴﹣4<x2<0或0<x2<4,∴﹣4<x2<4,∴﹣8<x1•x2<8,‎ ‎∴﹣8<<8,∵a>0,∴a>∴(2a+1)2+>+=,∴t>.‎ 考点:‎ ‎/26、二次函数综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a,b,c的值即可;‎ ‎(2)设P(x,y),表示出⊙P的半径r,进而与x2比较得出答案即可;‎ ‎(3)分别表示出AM,AN的长,进而分别利用当AM=AN时,当AM=MN时,当AN=MN时,求出a的值,进而得出圆心P的纵坐标即可.‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,∴抛物线的一般式为:y=ax2,∴=a()2,解得:a=±,‎ ‎∵图象开口向上,∴a=,∴抛物线解析式为:y=x2,故a=,b=c=0;‎ ‎(2)设P(x,y),⊙P的半径r=,又∵y=x2,则r=,‎ 化简得:r=>x2,∴点P在运动过程中,⊙P始终与x轴相交;‎ ‎(3)设P(a,a2),∵PA=,作PH⊥MN于H,则PM=PN=,‎ 又∵PH=a2,则MH=NH==2,故MN=4,‎ ‎∴M(a﹣2,0),N(a+2,0),又∵A(0,2),∴AM=,AN=,‎ 当AM=AN时,=,解得:a=0,当AM=MN时,=4,解得:a=2±2(负数舍去),则a2=4+2;当AN=MN时,=4,解得:a=﹣2±2(负数舍去),则a2=4﹣2;‎ 综上所述,P的纵坐标为0或4+2或4﹣2.‎ ‎200925.解:(1)当时,令,‎ 则解得 .‎ 同理,当时,.--4分 ‎ (直接写出这个函数式也记4分.)‎ ‎2010 26.解:(1) ∵CQ=t,OP=t,CO=8 ∴OQ=8-t ‎∴S△OPQ=(0<t<8) …………………3分 ‎(2) ∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ==32 … 5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于32 ……6分 ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形,依题意只能是∠QPB=90°‎ 又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ ‎∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7分 ‎∴解得:t=4经检验:t=4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)‎ 此时P(,0)∵B(,8)且抛物线经过B、P两点,‎ ‎∴抛物线是,直线BP是: …………………8分 设M(m, )、N(m,) ∵M在BP上运动 ∴‎ ‎∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P ‎∴当时, ………………………………9分 ‎∴= ∴当时,MN有最大值是2‎ ‎∴设MN与BQ交于H 点则、‎ ‎∴S△BHM==∴S△BHM :S五边形QOPMH==3:29‎ ‎∴当MN取最大值时两部分面积之比是3:29. …………………10分 ‎2011 25. (1)当=0时,该函数的零点为和。‎ ‎(2)令y=0,得△=∴无论取何值,方程总有两个不相等的实数根。即无论取何值,该函数总有两个零点。(3)依题意有,由解得。‎ ‎∴函数的解析式为。令y=0,解得 ‎∴A(),B(4,0)作点B关于直线的对称点B’,连结AB’,‎ 则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。‎ 易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C(10,0),D(0,10)。‎ 连结CB’,则∠BCD=45°∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°‎ 即B’()‎ 设直线AB’的解析式为,则 ‎,解得 ‎∴直线AB’的解析式为,‎ 即AM的解析式为。‎ ‎26、(1)过点B作BC⊥y轴于点C,∵A(0,2),△AOB为等边三角形,‎ ‎∴AB=OB=2,∠BAO=60°,∴BC=,OC=AC=1,即B()‎ ‎(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,∵∠PAQ==∠OAB=60°,∴∠‎ PAO=∠QAB,在△APO和△AQB中,∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB ‎∴△APO≌△AQB总成立,∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,‎ ‎∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°。‎ ‎(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行。‎ ① 当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°。又OB=OA=2,可求得BQ=,由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=,∴此时P的坐标为()。‎ ‎②当点P在x轴正半轴上时,点Q在嗲牛B的上方,此时,若AQ∥OB,四边形AOQB即是梯形,当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°。又AB= 2,可求得BQ=,‎ 由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=,∴此时P的坐标为()。‎ 综上,P的坐标为()或()。‎ ‎2012--25‎ 解答:‎ 解:(1)∵25≤28≤30,,‎ ‎∴把28代入y=40﹣x得,∴y=12(万件),‎ 答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件;‎ ‎(2)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣(x﹣30)2﹣25,故当x=30时,W最大为﹣25,及公司最少亏损25万;‎ ‎②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣(x﹣35)2﹣12.5故当x=35时,W最大为﹣12.5,及公司最少亏损12.5万;‎ 对比1°,2°得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;‎ 答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;‎ ‎(3)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5‎ 令W=67.5,则﹣x2+59x﹣782.5=67.5‎ 化简得:x2﹣59x+850=0 x1=25;x2=34,‎ 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,25≤x≤30;‎ ‎②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5,‎ 令W=67.5,则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5,‎ 化简得:x2﹣71x+1230=0 x1=30;x2=41,‎ 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,30<x≤35,‎ 答:到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是25≤x≤30或30<x≤35.‎ ‎26‎ 解答:‎ 解:(1)由题意可知O1(m,m),O2(n,n),‎ 设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有:‎ ‎(0<m<n),解得,‎ ‎∴所求直线的解析式为:y=x.‎ ‎(2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称.‎ ‎∵P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,∴Q(1,4).‎ 如解答图1,连接O1Q.‎ ‎∵Q(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到:‎ O1Q==‎ 又O1Q为小圆半径,即QO1=m,‎ ‎∴=m,化简得:m2﹣10m+17=0 ①‎ 如解答图1,连接O2Q,同理可得:n2﹣10n+17=0 ②‎ 由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根,‎ 解③得:x=5±,∵0<m<n,∴m=5﹣,n=5+.‎ ‎∵O1(m,m),O2(n,n),‎ ‎∴d=O1O2==8.‎ ‎(3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a<0.‎ 如解答图2,连接PQ.‎ 由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2.‎ ‎∵P(4,1),Q(1,4),‎ ‎∴PQ==,又O1O2=8,‎ ‎∴S1=PQ•O1O2=××8=;‎ 又S2=(O2R+O1M)•MR=(n+m)(n﹣m)=;‎ ‎∴==1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1.‎ ‎∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为:y=ax2﹣(5a+1)x+5+4a,‎ 令y=0,则有:ax2﹣(5a+1)x+5+4a=0,‎ 设两根为x1,x2,则有:x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1,‎ ‎∴(x1﹣x2)2=1,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=1,‎ 即()2﹣4()=1,化简得:8a2﹣10a+1=0,‎ 解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾,‎ ‎∴不存在这样的抛物线.‎ ‎2013‎ B C A ‎30°‎ D ‎1.(2)①证明:由托勒密定理可知PB·AC+PC·AB=PA·BC 2分 ‎∵△ABC是等边三角形 ‎∴AB=AC=BC ‎∴PB+PC=PA 3分 ‎②P′D AD 6分 ‎(3)解:如图,以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD,连接AD,则知线段AD的长即为△ABC的费马距离. 8分 ‎∵△BCD为等边三角形,BC=4‎ ‎∴∠CBD=60°,BD=BC=4‎ ‎∵∠ABC=30°,∴∠ABD=90°‎ 在Rt△ABD中,∵AB=3,BD=4‎ ‎∴AD===5(km)‎ ‎∴从水井P到三个村庄所铺设的输水管总长度的最小值为5km-------------10分 ‎2.解:(1)过点A作AH⊥DC于H,交MN于点G 在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AB=2,DC=10,AD=BC=5‎ ‎∴DH=(10-2)=4,AH==3 2分 ‎∴S梯形ABCD =(AB+DC)·AH=×(2+10)×3=18 4分 ‎(2)四边形MNFE的面积有最大值 ‎∵AB∥CD,MN∥AB,∴MN∥CD,即MN∥EF ‎∵ME⊥DC,NF⊥DC,∴ME∥NF,∠MEF=90°‎ ‎∴四边形MNFE是矩形 5分 设ME=x,则AG=3-x C A B D M N F E H G ‎∵∠MED=∠AHD=90°,∠MDE=∠ADH ‎∴△MDE∽△ADH,∴=‎ 即=,∴DE=x ‎∴MN=DC-2DE=10-x 6分 ‎∴S矩形MNFE =ME·MN=x(10-x)=-x 2+10x=-(x-)2+ 7分 ‎∴当x=时,四边形MNFE的面积有最大值,S最大= 8分 ‎(3)四边形MNFE能为正方形 设ME=x,则由(2)知MN=10-x 当ME=MN,即x=10-x,即x=时,四边形MNFE为正方形 10分 S正方形MNFE =x 2=()2= 12分 3. 解: ‎ ‎(1)①…2分,,S梯形OABC=12 …2分 ‎②当时,直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积-直角三角开DOE面积………4分 ‎(2存在 …(每个点对各得1分)……5分 对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二:‎ ① ‎ 以点D为直角顶点,作轴 ‎ ‎ 设.(图示阴影)‎ ‎,在上面二图中分别可得到点的生标为P(-12,4)、P(-4,4)‎ E点在0点与A点之间不可能;‎ ‎② 以点E为直角顶点 ‎ ‎ 同理在②二图中分别可得点的生标为P(-,4)、P(8,4)E点在0点下方不可能.‎ 以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4),‎ E点在A点下方不可能.‎ 综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、‎ P(8,4)、P(4,4).‎ 下面提供参考解法二:以直角进行分类进行讨论(分三类):第一类如上解法⑴中所示图 ‎,直线的中垂线方程:,令得.由已知可得即化简得解得 ;第二类如上解法②中所示图 ‎,直线的方程:,令得.由已知可得即化简得解之得 ,‎ 第三类如上解法③中所示图 ‎,直线的方程:,令得.由已知可得即解得 ‎(与重合舍去).综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、P(8,4)、P(4,4).‎ ‎4. 解:(1)解法1:根据题意可得:A(-1,0),B(3,0);则设抛物线的解析式为(a≠0) 又点D(0,-3)在抛物线上,∴a(0+1)(0-3)=-3,解之得:a=1 ‎ ‎ ∴y=x2-2x-3自变量范围:-1≤x≤3 4分 ‎ 解法2:设抛物线的解析式为(a≠0)‎ ‎ 根据题意可知,A(-1,0),B(3,0),D(0,-3)三点都在抛物线上 ‎ ∴,解之得:∴y=x2-2x-3 3分自变量范围:-1≤x≤3 4分 ‎ (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM,‎ ‎ 在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC=‎ ‎ 在Rt△MCE中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4∴点C、E的坐标分别为(0,),(-3,0) 6分∴切线CE的解析式为 8分 ‎(3)设过点D(0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y=kx-3(k≠0) ----9分 ‎ 由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根,∴k=-2∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3‎ ‎5. 解:方案一:由题意可得:,‎ 点到甲村的最短距离为.--(1分)点到乙村的最短距离为.‎ 将供水站建在点处时,管道沿铁路建设的长度之和最小.‎ 即最小值为. (3分)‎ 方案二:如图①,作点关于射线的对称点,则,连接交于点,则.‎ ‎,. (4分)‎ 在中,,,‎ ‎,两点重合.即过点. (6分)‎ 在线段上任取一点,连接,则.‎ ‎,‎ 把供水站建在乙村的点处,管道沿线路铺设的长度之和最小.‎ 即最小值为. (7分)‎ 方案三:作点关于射线的对称点,连接,则.‎ 作于点,交于点,交于点,‎ 为点到的最短距离,即.‎ 在中,,,‎ ‎..‎ ‎,两点重合,即过点.‎ 在中,,. (10分)‎ 在线段上任取一点,过作于点,连接.‎ 显然.‎ 把供水站建在甲村的处,管道沿线路铺设的长度之和最小.‎ 即最小值为.--(11分)‎ 综上,,供水站建在处,所需铺设的管道长度最短. (12分)‎