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- 2021-05-10 发布
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编
专题55：动态型问题
一、选择题
1. （2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：
∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，
∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=，
∴△APB的面积，（0≤x≤2）。
∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。
2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】
A． B．
C． D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。
当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。
当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。
当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
3. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，
沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，
∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，
开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；
由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；
结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。
△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。
4. （2012江苏无锡3分）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【 】
A． 等于4 B． 等于4 C． 等于6 D． 随P点
【答案】C。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。
【分析】 连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，
∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。
∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。
∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。
∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。
∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴，即，即r2﹣x2=9。
由垂径定理得：OE=OF，
由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。
故选C。
5. （2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB方向以
每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将
△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为【 】
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，连接PP′。
由题意知，点P、P′关于BC对称，∴BC垂直平分PP′。
∴QP=QP′，PE=P′E。
∴根据菱形的性质，若四边形QPCP′是菱形则CE=QE。
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=450。
∵AP=t，∴PD= t。
易得，四边形PDCE是矩形，∴CE=PD= t，即CE=QE= t。
又BQ= t，BC=6，∴3 t=6，即t=2。
∴若四边形QPCP′为菱形，则t的值为2。故选B。
6.
（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】
A．B．C．D．
【答案】 C。
【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。
【分析】如图，过点A作AG⊥OC于点G。
∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3。
∴根据勾股定理，得OA=5。
∵点E、F的运动的速度都是每秒1个单位长度，
∴点E运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x。
∴当点E在OA上运动时，点F在OC上运动，当点E在AD和DC上运动时，点F在点C停止。
（1）当点E在OA上运动，点F在OC上运动时，如图，作EH⊥OC于点H。
∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴，即。
∴。∴。
此时，y关于x的函数图象是开口向上的抛物线。
故选项A．B选项错误。
（2）当点E在AD上运动，点F在点C停止时，△EOF的面积不变。
∴。
（3）当点E在DC上运动，点F在点C停止时，如图。
EF=OA＋AD＋DC﹣x =11﹣x，OC=5。
∴。
此时，y关于x的函数图象是直线。
故选项D选项错误，选项C正确。故选C。
7. （2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm
的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】如图，过点C作CD垂直AB于点D，则
∵正△ABC的边长为3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。
∴AD=，CD=。
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=x，PD=（0≤x≤3）。
∴（0≤x≤3）。
∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线。
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6－x）（3＜x≤6）；
∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图象在3＜x≤6上是开口向上的抛物线。
综上所述，该函数为。符合此条件的图象为C。故选C。
8. （2012四川广元3分） 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，
点B的坐标为【 】
A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）
【答案】B。
【考点】一次函数的性质，垂线段最短的性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】如图，过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，过B′作B′C⊥x轴，垂足为C。
由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短。
∵点B在直线y=x上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形。
∴△B′CO为等腰直角三角形。
∵点A的坐标为（-1，0），∴OC=CB′=OA=×1=。
∴B′坐标为（－，－ ）。
∴当线段AB最短时，点B的坐标为（－，－ ）。故选B。
9. （2012四川巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿
AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是
【 】
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质。
【分析】设等边三角形的边长为a，高为，点P的运动速度为v，根据等
边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为，也可
得出点P在BC上运动时△ACP1的面积为。
可见，△ACP的面积S都是关于t的一次函数关系式。
如图，根据正三角形轴对称的性质，当AP=AP1时，两三角形全等，它们是关于BD（AC边上的
中线）对称的，其中当点P与点B重合时面积最大。
∴点P在在AB上运动和在BC上运动得到的三角形是对称的。故选C。
10.
（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。
当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
11.
（2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时，S与t的函数关系式，结合选项即可得出答案：
根据题意得：当点P在ED上运动时，S=BC•PE=2t；
当点P在DA上运动时，此时S=8；
当点P在线段AB上运动时，S=BC（AB+AD+DE－t）=5－t。
结合选项所给的函数图象，可得B选项符合。故选B。
12. （2012辽宁铁岭3分）如图，□ABCD的AD边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD相似.若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似多边形的性质。
【分析】∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。
∵□ABCD的AD边长为8，面积为32，小平行四边形的一边长为x，阴影部分的面积的和为y，且小平行四边形与□ABCD相似，
∴，即。
又∵0＜x≤8，∴纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象。故选D。
13. （2012辽宁营口3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=．动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为(B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为，则与之间函数关系的图像大致为【 】
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，
∴△ABP的面积。
当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,
∴△ABP的面积。
因此，观察所给选项，只有C符合。故选C。
14. （2012山东德州3分）由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】几何变换的性质。
【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质即可得出正确结果：
A、图中三角形经过一次平移变换可得，故选项错误；
B、图中三角形需经过一次旋转和一次轴对称变换后，才能得到，故选项正确；
C、图中三角形经过一次轴对称变换可得，故选项错误；
D、图中三角形经过一次旋转变换可得，故选项错误。
故选B。
15. （2012山东烟台3分）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ。
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB。
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy。
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴。
∵PE=AD，∴PB，AB，PB都为定值。
∴y的值为定值，符合要求的图形为D。故选D。
16. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】
A． B． C．5 D．
【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
DE=，
∴OD的最大值为：。故选A。
17. （2012山东临沂3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，
②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，
∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合。故选B。
18.
（2012广西桂林3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位
长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运
动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t
的函数关系的图象是【 】
A． B． C．D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质。
【分析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，
∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒。
由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，
，为开口向上的抛物线的一部分。
当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，
，为直线（一次函数）的一部分。
观察所给图象，符合条件的为选项D。故选D。
19. （2012广西北海3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置
出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：【 】
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。
【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：
⊙O在三边运动时自转周数：6π÷2π =3：
⊙O绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周。
∴⊙O自转了3+1=4周。故选C。
20. （2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A。
【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。
连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。
∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。
∴。∴∠OAP′=300，即∠OAP的最大值是=300。故选A。
21. （2012甘肃白银3分）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是【 】
A．B．C．D．
【答案】 A。
【考点】函数的图象。
【分析】如图，根据题意知，当点C在AB上运动时，DE是一组平行线段，线段DE从左向右运动先变长，当线段DE过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项A。故选A。
22. （2012甘肃兰州4分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为【 】
A． B．1 C．或1 D．或1或
【答案】D。
【考点】动点问题，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。
【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°，分别讨论如下：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
Rt△ABC中，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4cm。
①当∠BFE＝90°时；
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则BE＝2BF＝2cm。
∴此时AE＝AB－BE＝2cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：2cm或6cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝1s或3s。
∵0≤t＜3，∴t＝3s不合题意，舍去。
∴当∠BFE＝90°时，t＝1s。
②当∠BEF＝90°时，
同①可求得BE＝cm，此时AE＝AB－BE＝cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝s或s（二者均在0≤t＜3内）。
综上所述，当t的值为1、或s时，△BEF是直角三角形。故选D。
23. （2012黑龙江绥化3分）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，
沿OC的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是【 】
A．B．C．D．
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，三角形外角性质，圆周角定理。
【分析】当动点P在OC上运动时，根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得∠APB逐渐减小；当动P在 CD 上运动时，根据同弧所以圆周角相等性质，得∠APB不变；
当动P在DO上运动时，同样根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得∠APB逐渐增大。故选C。
24. （2012黑龙江龙东地区3分）如图所示，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形ABCD
的边上沿着A→B→C→D的路径以1cm/s的速度运动，在这个运动过程中△APD的面积s(cm2)随时间t（s）
的变化关系用图象表示，正确的是【 】
A . B . C . D.
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】分别判断点P在AB、在BC上分别运动时，△APD的面积s（cm2）的变化情况用排它法求解即可：
点P在AB上运动时，△APD的面积S将随着时间的增多而不断增大，可排除B；
点P在BC上运动时，△APD的面积s随着时间的增多而不再变化，可排除A和C。故选D。
二、填空题
1. （2012浙江义乌4分）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ▲ ；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 ▲
【答案】，。
【考点】梯形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上。
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ。
∵A（0，2），C（0，4），∴AC=2。
∴。
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：。
（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上。∴BP∥y轴。
∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形。∴CP=AB=。
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：。
2. （2012江苏苏州3分）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s
的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）
与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒
（结果保留根号）.
【答案】4＋。
【考点】动点问题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4－2=2秒。
∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2，BC=2。
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形。∴BE=CF，BC=EF=2。
∵∠A=60°，
∴，。
∵由图②可△ABD的面积为，
∴，即， 解得AD=6。
∴DF=AD－AE－EF=6－1－2=3。
在Rt△CDF中，，
∴动点P运动的总路程为AB＋BC＋CD=2＋2＋=4＋（cm）。
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+）÷1=4+s。
3. （2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ▲ ．
【答案】1。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝ 。
∴∠DCE＝90°。
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。
4. （2012福建厦门4分）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝
，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 ▲ .
【答案】2πr。
【考点】作图题，弧长的计算。
【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，O1O2 ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：
圆心O运动路径如图：
∵OO1=AB=πr；O1O2 =；O2O3=BC= ，
∴圆心O运动的路程是πr++ =2πr。
5. （2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
6. （2012湖北荆门3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是 ▲ （填序号）．
【答案】①③④。
【考点】动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据图（2）可知，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5。∴AD=BE=5。故结论①正确。
又∵从M到N的变化是2，∴ED=2。∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3。
在Rt△ABE中，，
∴。故结论②错误。
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=。
∴PF=PBsin∠PBF=t。
∴当0＜t≤5时，。故结论③正确。
当秒时，点P在CD上，
此时，PD=－BE－ED=，PQ=CD－PD=4－。
∵，∴。
又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP。故结论④正确。
综上所述，正确的有①③④。
7. （2012湖南张家界3分）已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】动点问题。等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，分别延长AE、BF交于点H，连接HD，过点G作MN∥AB分别交HA、HD于点M、N。
∵△APE和△PBF是等边三角形，
∴∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°。
∴AH∥PF，BH∥PE。∴四边形EPFH为平行四边形。
∴EF与HP互相平分。
∵点G为EF的中点，
∴点G也正好为PH中点，即在点P的运动过程中，点G始终为PH的中点。
∴点G的运行轨迹为△HCD的中位线MN，
∵AB=6， AC=DB=1，∴CD=6﹣1﹣1=4。∴MN=2，即G的移动路径长为2。
8. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ．
三、解答题
1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则。
∵D和E是中点，∴DE=。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。
∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC= ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。
（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。
∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），
∴。
2. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点可求得A．B两点的坐标，同样，由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可求得顶点D的坐标。
（2）由于点P 在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M为所求。
因此，由勾股定理求得AC=，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得，从而得到BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=，BE= ，OE=BE﹣OB=﹣3=，从而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。
3. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3
），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
当3＜x≤5时，如图2，
当5＜x≤9时，如图3，
当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600
又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
4. （2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
5. （2012广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
【答案】解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则将N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。
∴抛物线的解析式：。
（2）存在。过点N作NC⊥OA于C，
由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA•sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①当MN=AN时，，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。
②当MN=MA时，，即，解得t1=0（舍去），t2=。
③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=。
综上所述，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。
【分析】（1）由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。
当t=3时，AN=t=5=AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N（3，4）。
利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。
（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。
（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可。
6. （2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
【答案】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b，得，解得， 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，
∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。
在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。
又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。
∵t＞0，∴t=1 。
此时，∴。
又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。
（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。
设EF=m，则FB=3－m。
∴ ，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
②。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。
【分析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。
∵F（t，3－t2），∴EF=3－（3－t2）=t2。∴EE′=2EF=2t2。
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得。
又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t－。∴MN=3－（t－）2，
又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t2，
∴由MN≥C′N，得3－（t－ ）2≥3－2t2，即t2＋2t－3≥0。
求出t2＋2t－3=0，得，∴t2＋2t－3≥0即。
∵，∴，解得t≥。
∴t的取值范围为：。
7. （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。
【答案】解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时，，解得。∴B（4，﹣2）。
∴AB=4。
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t－1）=7 t －7。
当Q点在OA上时，即，时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴，即，解得。
∵，∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时，即，时，
如图2，过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴，即，解得。
∵，∴符合题意。
当Q点在BC上时，即，时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直。
综上所述，当时，有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴，
∴，解得t=2。
即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。
∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ=，
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，
∴PM=。∴PP′=2PM=。
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。
∴，即，解得 ，。
∴P′（）。∴直线OP′的解析式为。
∴OP′与NP的交点H2（2，）。
∴当时，∠HOP＞∠POQ。
综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。
【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H2，亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。
8. （2012江苏南通12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．
(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a＝，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6。
∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。
∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：。
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。
∴PB：AB=CM：AC。
∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。
∴BE=BQ=（6－t）。
∵a=，∴PB=t。
∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即。
解得，t=。
∴PQ=PB=t=（cm）。
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。
∴PB：AB=CM：AC。
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。
∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。
∴PB=CQ。
∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。
∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴，化简得：6at+5t=30②。
把①代入②得，t=。
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。
9. （2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A．B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，当点P到达点A时，
DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，
S△AOD=4，
∴DO•AO=4，即（6﹣a）a＝4。
∴a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。
由图2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2。
∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。
在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1。
∴MB=4﹣1＝3。∴。∴OM=2+4＝6。
∴B点坐标为（6，3）。
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD
=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，
∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。
联立①②，解得x=，y=。∴P（，）。
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。
解得，k=﹣。
∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。
【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO•AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标。
延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，从而得出点B的坐标。
（2）设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。
10. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 ▲ ；
（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？
【答案】解：（1）0≤x≤4。
（2）3，2，25．
（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。
∴EI=DC=3，CI=DE=x。
∵BF=x，∴IF=4－2x。
在Rt△EFI中，。
∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，
∴。
当y=16时，，
解得，。
∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。
【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。
【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。
（2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。
当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。
当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。
（3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。
11. （2012江苏盐城12分）
知识迁移： 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当
时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.
直接应用：已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值
为_________.
变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该
最小值时相应的的值.
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每
千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,
求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【答案】解：直接应用：1；2 。
变形应用：∵ ，
∴有最小值为。
当，即时取得该最小值。
实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则
，
∴当(千米)时,
该汽车平均每千米的运输成本最低，
最低成本为元。
【考点】二次函数的应用，几何不等式。
【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：
∵函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为，
∴函数与函数，则当时，取得最小值为。
变形运用：先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。
实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所
给的结论即可得出答案。
12. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。
（1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）y=－x2＋4x。
（2）或。
（3）存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。
∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′
=900，
∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=－x2＋4x。
（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。
解得。
（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
13. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时，，解得:x=2.5。
（2）∵，
∴为常数。
（3）延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
14. （2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。
① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=
② 若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数
（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
【答案】解：（1）①900。
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。
∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；
当点P在劣弧 AB 上时（如图2），
∠APB=（360°－∠AOB）=135°。
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，
∠APB=∠MAN+∠ANB。
【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。
【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
15. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上
的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.
⑴当 时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？
【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。
又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴，即PA2=PC·PD。
∵PC=，AB=4，∴。
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。
（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。
在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。
∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。
∴。
∵
∴当时，有最大值，最大值是2。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。
16. （2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1，连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。
运动ts后，AP=t，AO=t，∴。
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当时，⊙P与边BC有2个公共点。
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即 =t
∴t=。
∴当1≤t≤时，⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述，当t=或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。
【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。
（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
17. （2012江苏盐城10分）如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点, 交直线于点,设.
(1)当时,求的长；
(2)当时,求线段的长；
(3)若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_________.(直接写出答案)
【答案】解: （1）连接，在⊙中，
∵，∴。
∵，∴。
∴ 。
（2）∵为⊙的直径，∴。
又∵,，∴，。
又∵, ∴。∴。
又∵, ∴。∴。
又∵ ，∴。∴。
又∵，∴。∴∽。
∴。
又∵。 ∴。∴。
（3）＜＜。
【考点】圆周角定理，弧长的计算，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）先连接，由圆周角定理，可求得，又由⊙的直径为，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案。
（2）先证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而求得答案。
（3）先求得与重合时的度数，则可求得点在线段的延长线上时，的取值范围：
如图，当与重合时，
∵是直径， ∴。∴，，共线。
∵，
∴在中。
∴。∴=30°。
∴ =90°－=60°。
当′在的延长线上时，如图，可得＞=60°。
∵0°＜＜90°，
∴的取值范围是：60°＜＜90°。
18. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与
x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．
(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标
为 ；
(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应
的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。
（2）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
当3＜x≤5时，如图2，
当5＜x≤9时，如图3，
当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
19. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，∴ 。
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。
∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。
②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合，不合题意舍去。
当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。
∴DC=CA=。∴BD=BC－DC=2－。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则
，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。
②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。
20. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动
点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①当0 0 )。
（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。为什么？
（3）当t 为何值时，△EDQ为直角三角形。
【答案】解：（1）不能。理由如下：
假设经过t秒时四边形EQDP能够成为平行四边形。
∵点P的速度为1 厘米／秒，点Q 的速度为1 . 25 厘米／秒，
∴AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。
又∵PE∥BC，∴△AEP∽△ADC。∴。
∵AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米，
∴，解得，EP=0.75t厘米。
又∵，
∴由EP=QD得，解得。
∴只有时四边形EQDP才能成为平行四边形。
∴经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形。
（2）∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米，
∴。∴。
又∵∠C=∠C，∴△PQC∽△ABC。∴∠PQC=∠B。∴PQ∥AB。
∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。
（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－t，DQ=1.25t－2
又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC。
∴，即，
解得。
②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA。
∴。
Rt△EDQ斜边上的高为4－t，Rt△CDA斜边上的高为2.4，
∴，解得t =3.1。
综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。
【考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。
【分析】（1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有时四边形EQDP才能成为平行四边形的结果，从而得出经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形的结论。
（2）由△PQC∽△ABC得∠PQC=∠B，从而得到在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行的结论。
（3）分∠EQD=90°和∠QED=90°两种情况讨论即可。
75. （2012黑龙江大庆8分） 已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A．
则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __．
【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。
（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。
结合（1）的求解方法，可得所求面积
=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。
（3）I） cm2；Ⅱ）（+π）cm2。
【考点】圆的综合题，运动问题，锐角三角函数定义。
【分析】（1）根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可。
（2）根据（1）的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于AB的面积+BC的面积﹣一个圆的面积。
（3）作出如下图形，利用解直角三角形的知识求出HE、HF、DN、MN，则可求出阴影部分的两条直角边，也可得出扫描后的面积：
由题意得，EF=2r=2cm，cm，
cm。
MD=2r=2cm，
cm，
cm。
故可得扫过的面积
=图2的面积+S△HEF+S△DMN+S矩形EFMD
=28+π+++=（+π）cm2。
阴影部分的两条直角边分别为：AB﹣r﹣HF=cm、AC﹣r﹣MN=cm，
故阴影部分的面积为：（cm2）。
76. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．
【答案】解：（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，
∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（－2，0）B（0，4）。∴OA=2，OB=4。
∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。
又∵四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C（2，4）。
将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得m=6。
（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。
∴ER=PO=CQ=1。
∵，即，∴AR=t。
∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。
∴∠ODN=45°。
∵，∴DQ=t。
又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－t－t=8－t。
∴d=－t+8（0＜t＜4）。
（3）如图，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。
∵BP=4－t，
∴。
∴EP=。
由（2）d=－t+8，∴PG=d－EP=6－t。
∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。
∴。∴，解得t=2。
∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。
∴，即BF2=BH•BO。
∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴。
∴=BH×4。∴BH=。∴HO=4－。
∴H（0，）。
【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。
（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。
（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。
77. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。
∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。
由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论：
①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。
∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
②当∠AQP=∠AOB时，如图2， △APQ∽△ABO。
∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。
【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。
【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。
（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。
（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。
若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则
①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M1（）。
②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M2（）。
③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。
由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。
由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。∴M3（）。
综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为
（）或（）或（）。
78. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF=BF=12 。
∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。
∴点B的坐标为（－6，12）。
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，
∵OD=2BD，∴OD=OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。
∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴ ，解得。∴直线DE解析式为y=－x+4。
（3）结论：存在。
点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：
设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。
易知△P1NF为等腰直角三角形，
∴P1N=NF=P1F=4－2。
设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。
又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－2，2）。
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：
Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。
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