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- 2021-05-10 发布
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2017年上海市初中毕业统一学业考试
数学试卷
考生注意:
1.本试卷共25题;
2.试卷满分150分,考试时间100分钟
3.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;
4.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)
【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列实数中,无理数是 ( )
A.0; B.; C.; D.
2.下列方程中,没有实数根的是 ( )
A.; B.; C.; D..
3.如果一次函数(、是常数,)的图像经过第一、二、四象限,那么k、b应满足的条件是
( )
A.,且; B.,且; C.,且; D.,且.
4.数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是 ( )
A.0和6; B.0和8; C.5和6; D.5和8.
5.下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是 ( )
A.菱形; B.等边三角形; C.平行四边形; D.等腰梯形.
6.已知平行四边形,、是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是 ( )
A.; B.; C.; D..
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7.计算:____▲____.
8.不等式组的解集是▲.
9.方程的根是____▲____.
10.如果反比例函数(是常数,)的图像经过点,那么在这个函数图像所在的每个象限内,y的值随的值增大而___▲___.(填“增大”或“减小”)
11.某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米,去年比前年下降了.如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降,那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米.
12.不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球,它们除颜色外其它都相同,那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是___▲___.
13.已知一个二次函数的图像开口向上,顶点坐标为,那么这个二次函数的解析式可以是___▲___.(只需写一个)
14.某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示,又知二月份产值是72万元,那么该企业第一季度月产值的平均数是___▲___万元.
15.如图2,已知∥,,、相交于点.设,,那么向量用向量、表示为___▲___.
图1 图2 图3 图4
16.一副三角尺按图3的位置摆放(顶点与重合,边与边叠合,顶点、、在一条直线上).将三角尺绕着点按顺时针方向旋转 后(),如果,那么的值是___▲___.
17.如图4,已知,,,.分别以点、为圆心画圆,如果点在内,点在外,且与内切,那么的半径长的取值范围是___▲___.
18.我们规定:一个正边形(为整数,)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正边形的“特征值”,记为,那么___▲__.
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分)
计算:
20.(本题满分10分)
解方程:
21.(本题满分10分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分)
如图5,一座钢结构桥梁的框架是,水平横梁长18米,中柱高6米,其中是的中点,且.
(1)求的值;
(2)现需要加装支架、,其中点在上,且,垂足为点.求支架的长.
22.(本题满分10分,每小题满分各5分)
甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图6所示.乙公司方案:绿化面积不超过1000平方米时,每月收取费用5500元;绿化面积超过1000平方米时,每月在收取5500元的基础上,超过部分每平方米收取4元.
(1)求图6所示的与的函数解析式;(不要求写出定义域)
(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护费用较少.
23.(本题满分12分,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分5分)
已知:如图7,四边形中,,,是对角线BD上一点,且.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)如果,且,求证:四边形是正方形.
24.(本题满分12分,每小题满分各4分)
已知在平面直角坐标系中(如图8),已知抛物线经过点,对称轴是直线,顶点为B.
(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结,用含的代数式表示的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果,求点的坐标.
25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
如图9,已知的半径长为1,AB、AC是的两条弦,且,的延长线交于点,联结、.
(1)求证:;
(2)当是直角三角形时,求B、C两点的距离;
(3)记、、的面积分别为、、,如果是和的比例中项,求的长.
2017年上海市初中毕业统一学业考试
数学试卷参考答案
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1、B;
考察方向:基础概念。
知识内容:本题考查无理数的定义,选项设置分别为“自然数/整数”、“无理数”、“负数/整数”、“分数”
2、D;
考察方向:基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识
知识内容:方程与代数/一元二次方程根的判别式
方法:本题考查一元二次方程的根与判别式的关系。经计算,D选项:。
本题也可通过配方的方式,得到答案。
3、B;
考察方向:基础概念,函数图像。
方法:数形结合。
知识内容:本题考查一次函数图像性质,经过二、四象限,可知,经过一、二象限,可知。
4、C;
考察方向:基础概念。
方法:数据重排。
知识内容:本题考查统计量基本概念,将数据重排:0,1,2,5,6,6,8,可看出中位数为,众数为。
点评:A选项如果不进行重排,可作为干扰项;但如果本题能将D选项改成“6和5”,那就会从审题上进一步提高干扰难度(看错中位数和众数的顺序)。
5、A;
考察方向:基础概念。
知识内容:本题考查轴对称基本概念,同时要求学生掌握各类四边形的基本形状特征。
6、C;
考察方向:几何图形性质判定。
方法:直接法。
知识内容:本题考查轴对称基本性质的应用--特殊的平行四边形,
A选项对任意平行四边形均成立;B选项可得到对角线评分一组对角,因此是菱形;C选项可判定对角线的一半相等,因此对角线相等,从而是矩形,正确。D选项比较有挑战性,若能用直接法判定C选项,D可直接跳过,而D选项,由可推知,∴,因此,在画图的时候,可先画线段BD,然后以B为圆心,为半径做圆,在圆上任取不与BD相交的点,都可作为A点,因此D无法断定为矩形。
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7、;
考察方向:基础计算。
知识内容:本题考查幂指数运算。
8、;
考察方向:基础计算。
知识内容:本题考查不等式解法,以及通过数轴作图的方式得到不等式组最终答案。
9、;
考察方向:基础计算。
知识内容:本题考查根式方程。
点评:如果改为,既能考查根式方程,二次方程,又可以考查增根,考查效果会更好。
10、减小;
考察方向:基础概念及性质,概念计算。
知识内容:本题考查反比例函数性质,概念计算,经过点,可知在1,3象限,故填“减小”。
11、40.5;
考察方向:百分比概念,数学建模,基础计算。
知识内容:本题考查百分数的计算,认真审题之后,得到式子,即可得到答案。
点评:结合实际问题,需要考生认真审题,理清三年之间的关系即可。
12、;
考察方向:基本概念,概率计算。
知识内容:本题考查概率的计算,抽取1次,很基础的计算。
13、等;
考察方向:基础概念。
知识内容:本题考查二次函数顶点式,由题意可设置二次函数顶点式,任取,即可。
14、80;
考察方向:统计饼状图,审题。
知识内容:本题考查饼状图百分比计算,算出二月份占比30%,因此三个月总数240万,然后计算出一季度总产值108万,但此时特别注意问题“第一季度月产值的均值”,还要÷3.
15、;
考察方向:掌握向量加减基本方法。
知识内容:本题考查平行线性质,实数与向量相乘的几何意义,向量的加减.综合性较好,适合在15题开始抬升难度梯度.
16、;
能力要求:空间观念/能进行几何图形的基本运动和变化
知识内容:图形与几何/平行线的判定和性质
点评:题中有限制条件,旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度;本题如果进一步改编,如果“”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。
17、;
能力要求:空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形,并能分析其中的基本元素及其关系
知识内容:图形与几何/平行线的判定和性质
点评:题中有限制条件,旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度;本题如果进一步改编,如果“”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。
解析:设半径为,则
18、;
能力要求:解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法;懂得“从特殊到一般”、“从一般到
特殊”及“转化”等思维策略。
知识内容:图形与几何/多边形及其有关概念,锐角三角比
点评:本题只需弄清概念即可,针对问题的情况,画图,然后明确角度,将提干的定义转化为合适的三角比,本题即可求解。
解析:如图,在正六边形中,是一条最短的对角线,是一条最长的对角线.,,所以
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分)
能力要求:基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算
知识内容:数与运算/实数的运算;方程与代数/分数指数幂的概念和运算;方程与代数/二次根式的性质及运算
解析:原式
20.(本题满分10分)
能力要求:基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算
知识内容:方程与代数/分式方程的解法
解析:去分母,得.
移项、整理得.
解方程,得,.
经检验:是增根,舍去;是原方程的根.
所以原方程的根是.
19、20题点评:两道基础计算题,并没有特别大的变化,只需要保证计算的正确率和过程的完整性,就可以不失分。
21.(本题满分10分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分)
能力要求:
(1)运算能力/知道有关算理,能根据问题条件,寻找和设计合理、有效的运算途径
(2)运算能力/知道有关算理,能根据问题条件,寻找和设计合理、有效的运算途径
运算能力/能通过运算进行推理和探求
知识内容:
(1)图形与几何/等腰三角形的性质
图形与几何/勾股定理
图形与几何/锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念
(2)图形与几何/画已知直线的垂线,尺规作线段的垂直平分线
图形与几何/勾股定理
解析:(1)∵是中点,,∴
又∵,且,∴在中,
∴
(2)∵,∴.
∵,,∴,∴,
又∵,,∴,,∴
∴在中,
22.(本题满分10分,每小题满分各5分)
能力要求:
(1)解决简单问题的能力/知道一些基本的数学模型,并通过运用,解决一些简单的实际问题
(2)基础知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算
知识内容:
(1)函数与分析/用待定系数法求一次函数的解析式
函数与分析/一次函数的应用
(2)函数与分析/函数以及函数值等有关概念
解析:(1)设关于的函数解析式为
由题意,得,解得
(2)设乙公司每个月收取费用为,由题意,。
若,代入第(1)问,得甲公司方案费用:
代入的解析式,得乙公司方案费用:
∴选择乙公司的服务,每月的绿化养护费用较少.
点评:第二问中关于乙公司的函数关系,需要用分段函数的表示,然后利用函数值的大小比较得到最终的答案。
23.(本题满分12分,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分5分)
能力要求:
(1)逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程,合理解释推理演绎的正确性
(2)空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形,并能分析其中的基本元素及其关系
知识内容:
(1)图形与几何/平行四边形的判定和性质
图形与几何/等腰三角形的性质
图形与几何/菱形的判定和性质
(2)图形与几何/等腰三角形的性质
图形与几何/三角形的内角和
图形与几何/正方形的判定
解析:(1)∵,∴,
∴
又∵,∴,
∴,∴,
∴,又∴四边形是平行四边形
又,∴是菱形,即证
(2)∵,∴是等腰三角形,∴
∵,∴设,则
在△中,,∴.
∵四边形是菱形,∴平分,∴
∴菱形是正方形
点评:23题证明并未涉及相似的知识点,仅考察八年级下内容,题目较为简单。
24.(本题满分12分,每小题满分各4分)
能力要求:
(1)基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画(作)图
(2)基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画(作)图
运算能力/知道有关算理,能根据问题条件,寻找和设计合理、有效的运算途径
(3)逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程,合理解释推理演绎的正确性
基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画(作)图
知识内容:
(1)函数与分析/待定系数法求二次函数解析式
函数与分析/函数值等有关概念
(2)图形与几何/锐角三角比的概念
图形与几何/平面直角坐标系的有关概念
(3)图形与几何/直角坐标平面上点的平移、对称以及简单图形的对称问题
函数与分析/函数值等有关概念
解析:
(1)对称轴 ,代入点,得.
所以抛物线的解析式为.
配方得:,所以顶点的坐标为.
(2)过点向抛物线的对称轴作垂线,垂足为.则
在Rt△中,,,
所以.
(3)原抛物线向下平移后得到的新抛物线的解析式为.
由题意可设 ,因为、两点的横坐标相同,当时,
、两点的纵坐标互为相反数,所以 ,
所以. 解得或.
所以点的坐标为,或
答案:(1);
(2)
(3)或
25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
能力要求:
空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形,并能分析其中的基本元素及其关系。
空间观念/能由基本图形的性质导出复杂图形的性质。
逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程,合理解释推理演绎的正确性
运算能力/能通过运算进行推理和探求。
解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法;懂得“从特殊到一般”、“从一般到特殊”及“转化”等思维策略。
知识内容:
(1)图形与几何/圆的概念
图形与几何/相似三角形的判定和性质及其应用
(2)图形与几何/等腰三角形的性质与判定
(3)数与运算/比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质
方程与代数/一元二次方程的概念及解法
解析:
(1)如图,因为,所以,.
所以
因为弦,所以圆心角,所以.
又因为,所以△△.
(2)为直角三角形有两种情况:
①如图,当时,,所以垂直平分,.
所以△是等边三角形,是等边三角形的中心,此时.
②如图,当时,△是等腰直角三角形,此时.
(3)如图,因为,所以点到弦的距离相等
所以:
当是和的比例中项时,即:
所以点是线段的黄金分割点,
所以,所以
.
答案:
(1)证明见解析
(2)或
(3)