2011中考数学一轮复习几何篇25圆与圆二 5页

‎25.圆与圆（二）‎ 知识考点：‎ ‎1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。‎ ‎2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：‎ ‎（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；‎ ‎（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；‎ ‎（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；‎ ‎（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；‎ ‎（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；‎ ‎（6）内公切线PC平分斜边AB；‎ ‎（7）△CO1O2为直角三角形。‎ 这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。‎ ‎ ‎ 如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为4。‎ ‎（1）求PT的长；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。‎ 分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。‎ 略解；（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝‎ ‎∴PT＝CT＝TD＝CD＝6‎ 证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900‎ ‎∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径 ‎ 又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD ‎∴CF∥DE，∴，∴‎ ‎（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）‎ ‎【例2】如图，⊙O和⊙内切于点B，⊙经过O，⊙O的弦AE切⊙于点C，AB交⊙于D。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设AB＝‎10cm，DC＝cm，求AC和BC的长。‎ 分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。‎ ‎（1）证明：过B作两圆的公切线BT，证△BCD∽△BEC即可；‎ ‎（2）解：连结并延长，连结OD ‎ ∵⊙O与⊙内切，∴O、、B三点共线 ‎ ∴BO为⊙的直径 ‎ ∴OD⊥BD，∴AD＝BD＝AB＝‎‎5 cm ‎ ∵AC切⊙于C，∴∠4＝∠5，又∠A＝∠A ‎ ∴△ACD∽△ABC，∴‎ ‎ ∴，cm 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，AB为半⊙O的直径，⊙O1与半圆内切于，与AB相切于，⊙O2与半圆内切于，与AB相切于，请比较∠AC1D1与∠AC2D2的大小。‎ 分析：显然O、O1、共线，O、O2、共线，又∵O1D1⊥AB，O2D2⊥AB ‎∴∠A‎1C1D1＝∠AC1O－∠OC1D1＝（∠OO1B－∠OOD1）＝∠O1D1O＝×900＝450；∠AC2D2＝∠AC2O＋∠OC2D2＝（∠C2OB＋∠OO2D2）＝×900＝450，故∠AC1D1＝∠AC2D2。‎ ‎ ‎ ‎【问题二】如图，已知圆心A（0，3），⊙A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙A与⊙B外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。‎ ‎（1）若sin∠OAB＝，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙A与⊙B始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：‎ ‎①四边形OMCB是什么四边形？对你的结论加以证明；‎ ‎②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）提示：先求出M（0，－2）、N（，0），再用待定系数法易得直线MP的解析式：，过M、N、B三点的抛物线的解析式为；‎ ‎（2）①四边形OMCB是矩形，证明如下：‎ ‎ 在⊙A不动，⊙A运动变化过程中，恒有∠BAO＝∠MAP，OA＝AP，∠AOB＝∠APM＝900，∴△AOB≌△APM，∴PB＝PM，AB＝AM，∴PB＝OM，而PB＝BC，OM＝BC。由切线长定理知MC＝MP，∴MC＝OB，∴四边形MOBC是平行四边形，又∵∠MOB＝900，∴四边形MOBC是矩形。‎ ‎②存在，由上证明可知，Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN＝MN。因此存在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称，∴BN＝，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△。‎ 跟踪训练：‎ 一、选择题：‎ ‎1、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（ ）‎ ‎ A、相交 B、外切 C、外离 D、外切或外离 ‎2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（ ）‎ ‎ A、 B、 C、2 D、‎ ‎3、已知⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B。已知⊙O1和⊙O2的面积比为3∶1，则AP∶PB＝（ ）‎ ‎ A、3∶1 B、6∶1 ‎ C、9∶1 D、∶1‎ ‎4、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，外公切线BC与⊙O1、⊙O2分别切于B、C，与连心线O1O2交于P，若∠BPO1＝300，则⊙O1和⊙O2的半径之比为（ ）‎ ‎ A、1∶2 B、3∶‎1 C、2∶3 D、3∶4‎ 二、填空题：‎ ‎1、两圆的外公切线长为，内公切线长为，若圆心距是20，则两圆的半径分别是 。‎ ‎2、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，若AB＝5，BC＝3，则⊙O1的半径为 。‎ ‎3、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，两圆半径分别为‎9cm、‎4 cm，则AC∶BC＝ 。‎ ‎ ‎ ‎4、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，现给出四个命题：‎ ‎①若AC是⊙O2的切线，且交⊙O1于C，AD是⊙O1的切线，且交⊙O2于D，则：；‎ ‎②连结AB，O1O2，若O‎1 A＝‎15 cm，O‎2 A＝‎20 cm，AB＝‎24 cm，则O1O2＝‎25 cm；‎ ‎③若CA是⊙O1的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；‎ ‎④若过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结则。‎ 则正确命题的序号是 （填序号）。‎ ‎5、两外切，其半径分别为4和3，这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为 。‎ ‎6、如上页图，⊙O1与⊙O2外切于A，⊙O1的弦BC延长切⊙O2于D，BA交⊙O2于E，若∠BDE＝1100，则∠BAC＝ 。‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、如图，已知矩形ABCD，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与AD、AB、AC相切，⊙O2与BC、CD相切。‎ ‎（1）若AB＝18，BC＝25，求⊙O2的半径；‎ ‎（2）若连心线O1O2与BC的夹角为300，O1O2＝12，求矩形ABCD的面积。‎ ‎2、如图，已知⊙O1与⊙O2外切于P，外公切线AB分别切⊙O1于A，切⊙O2于B，且AB＝，∠A O1O2＝600，求两圆的半径及O1O2的长。‎ ‎ ‎ ‎3、如图，已知⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。‎ ‎（1）求证：BC是⊙P的切线；‎ ‎（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；‎ ‎（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题；DBDB 二、填空题：‎ ‎ 1、6，4；2、；3、3∶2；4、①②③④；5、；6、400‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、略解：（1）易知⊙O1的半径为9，设小圆半径为，连结O1O2、O1E、O‎2F，作O‎2M⊥O1E于M，则，解得；（2）矩形ABCD的面积为；‎ ‎2、，。‎ ‎3、（1）证BP⊥CB；（2）；（3）存在。‎