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- 2021-05-10 发布
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蓬街私立中学校本作业4
1. (2014•台州)研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判定.
定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图1,等角六边形ABCDEF中,三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么位置关系?证明你的结论
②如图2,等角六边形ABCDEF中,如果有AB=DE,则其余两组正对边BC与EF,CD与AF相等吗?证明你的结论
③如图3,等角六边形ABCDEF中,如果三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O,那么三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么数量关系?证明你的结论.
(2)探索判定
三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为120°,才能保证六边形一定是等角六边形?
2.定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3求BN的长;
(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点
(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)
(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,△AMC,△MND
和△NBM均是等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究,和的数量关系,并说明理由
3.(本题12分)
类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。
(1)概念理解
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件,使得四边形ABCD是“等邻边四边形”,请写出你添加的一个条件;
(2)问题探究
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说明理由;
②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB’方向平移得到△A’B’C’,连结AA’,BC’。小红要使平移后的四边形ABC’A’是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB’的长)?
(3)应用拓展
如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC,BD为对角线,AC=AB。试探究BC,CD,BD的数量关系。
4.如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°. 求证:∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如图1,已知∠MON=(0°<<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,连结AB,用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积;
(3)如图3,C是函数图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交轴和轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
5. (2013浙江台州,24,13分)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”;
(2)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,,求证:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如图2,已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同的速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动,记点P所经过的路程为S
①当β=45°时,若△APQ是“好玩三角形”,试求的值
②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围.
(4)本小题为选做题
依据(3)中的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1).
A
B
C
B
A
D
C
P
Q
B
A
C
备用图
D
6.过平行四边形ABCD顶点B分别作边AD,CD所在直线的垂线,垂足分别为E,F,连接EF,则△BEF叫做平行四边形ABCD的特征三角形。
如果一个平行四边形是由两个全等的直角三角形拼成,则该平行四边形叫做直角平行四边形,如果一个平形四边形是由两个全等的等腰三角形拼成,那么这个平行四边形叫做等腰平行四边形。
(1) 在下面空格上填写三角形的类别,使对应的两个命题都是真命题:
①命题1:矩形的特征三角形是____________;
命题2:菱形的特征三角形是______________。
②写出命题1的逆命题,并探索其是否正确,若正确,给出证明,若不正确,举出反例。
(2)如果平行四边形ABCD的特征三角形是等腰三角形,证明:四边形ABCD是等腰平行四边形。
(3)如果平行四边形的特征三角形是含30°角的等腰三角形,直接写出它的邻边长的平方的比