- 1.91 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2018甘肃兰州有关中考数学试题-解析版
一、选择题(本题15小题,每小题4分,共60分)
1、(2011•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A、 B、ax2+bx+c=0 C、(x﹣1)(x+2)=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
考点:一元二次方程的定义。
专题:方程思想。
分析:一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
解答:解:A、由原方程,得x4+1=0,未知数的最高次数是4;故本选项错误;
B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;
C、由原方程,得x2+x﹣3=0,符号一元二次方程的要求;故本选项正确;
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.
故选C.
点评:本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2、(2011•兰州)如图,某反比例函数的图象过点M(﹣2,1),则此反比例函数表达式为( )
A、y= B、y=﹣ C、y= D、y=﹣
考点:待定系数法求反比例函数解析式。
专题:待定系数法。
分析:利用待定系数法,设,然后将点M(﹣2,1)代入求出待定系数即可.
解答:解:设反比例函数的解析式为(k≠0),
由图象可知,函数经过点P(﹣2,1),
∴1=,
得k=﹣2,
∴反比例函数解析式为y=﹣.
故选B.
点评:本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:图象上的点满足解析式,满足解析式的点在函数图象上.利用待定系数法是求解析式时常用的方法.
3、(2011•兰州)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于( )
17
A、20° B、30° C、40° D、50°
考点:切线的性质;圆周角定理。
专题:计算题。
分析:先连接BC,由于AB 是直径,可知∠BCA=90°,而∠A=25°,易求∠CBA,又DC是切线,利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°,再利用三角形外角性质可求∠D.
解答:解:如右图所示,连接BC,
∵AB 是直径,
∴∠BCA=90°,
又∵∠A=25°,
∴∠CBA=90°﹣25°=65°,
∵DC是切线,
∴∠BCD=∠A=25°,
∴∠D=CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°.
故选C.
点评:本题考查了直径所对的圆周角等于90°、弦切角定理、三角形外角性质.解题的关键是连接BC,构造直角三角形ABC.
4、(2011•兰州)如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为( )
A、 B、 C、 D、
考点:锐角三角函数的定义;旋转的性质。
分析:过C点作CD⊥AB,垂足为D,根据旋转性质可知,∠B′=∠B,把求tanB′的问题,转化为在Rt△BCD中求tanB.
解答:解:过C点作CD⊥AB,垂足为D.
根据旋转性质可知,∠B′=∠B.
在Rt△BCD中,tanB==,
∴tanB′=tanB=.
故选B.
点评:本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.
5、(2011•兰州)抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是( )
A、(1,0) B、(﹣1,0) C、(﹣2,1) D、(2,﹣1)
考点:二次函数的性质。
专题:函数思想。
分析:将原抛物线方程y=x2﹣2x+1转化为顶点式方程,然后根据顶点式方程找顶点坐标.
解答:解:由原方程,得
y=(x﹣1)2,
∴该抛物线的顶点坐标是:(1,0).
17
故选A.
点评:本题考查了二次函数的性质.解题时,将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后,再来求其顶点坐标.
6、(2011•兰州)如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数,这个几何体的主视图是( )
A、 B、 C、 D、
考点:由三视图判断几何体;简单组合体的三视图。
专题:作图题。
分析:找到从正面看所得到的图形即可.
解答:解:从正面可看到,左边2个正方形,中间1个正方形,右边1个正方形.
故选D.
点评:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
7、(2011•兰州)一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是( )
A、m=3,n=5 B、m=n=4 C、m+n=4 D、m+n=8
考点:概率公式。
专题:计算题。
分析:由于每个球都有被摸到的可能性,故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率,列出等式,求出m、n的关系.
解答:解:根据概率公式,摸出白球的概率,,
摸出不是白球的概率,,
由于二者相同,故有=,
整理得,m+n=8,
故选D.
点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
8、(2011•兰州)点M(﹣sin60°,cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A、() B、(﹣) C、(﹣) D、(﹣)
考点:特殊角的三角函数值;关于x轴、y轴对称的点的坐标。
分析:先根据特殊三角函数值求出M点坐标,再根据对称性解答.
解答:解:∵sin60°=,cos60°=,
∴点M(﹣).
∵点P(m,n)关于x轴对称点的坐标P′(m,﹣n),
∴M关于x轴的对称点的坐标是(﹣).
故选B.
点评:考查平面直角坐标系点的对称性质,特殊角的三角函数值.
9、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( )
17
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
考点:二次函数图象与系数的关系。
专题:函数思想。
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:(1)根据图示知,该函数图象与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0;
故本选项正确;
(2)由图象知,该函数图象与y轴的交点在(0,1),
∴c<1;
故本选项错误;
(3)由图示,知
对称轴x=﹣>﹣1;
又函数图象的开口方向向下,
∴a<0,
∴﹣b<﹣2a,即2a﹣b<0,
故本选项正确;
(4)根据图示可知,当x=1,即y=a+b+c<0,
∴a+b+c<0;
故本选项正确;
综上所述,我认为其中错误的是(2),共有1个;
故选D.
点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
10、(2011•兰州)用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A、(x+1)2=6 B、(x+2)2=9 C、(x﹣1)2=6 D、(x﹣2)2=9
考点:解一元二次方程-配方法。
专题:方程思想。
分析:配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解答:解:由原方程移项,得
x2﹣2x=5,
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1,得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6.
故选C.
点评:此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
11、(2011•兰州)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
17
A、x(x﹣1)=2070 B、x(x+1)=2070
C、2x(x+1)=2070 D、
考点:由实际问题抽象出一元二次方程。
分析:根据题意得:每人要赠送x﹣1张相片,有x个人,然后根据题意可列出方程.
解答:解:根据题意得:每人要赠送x﹣1张相片,有x个人,
∴全班共送:(x﹣1)x=2070,
故选:A.
点评:此题主要考查了一元二次方程的应用,本题要注意读清题意,弄清楚每人要赠送x﹣1张相片,有x个人是解决问题的关键.
12、(2011•兰州)如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6.则⊙O的半径为( )
A、6 B、13 C、 D、
考点:垂径定理;垂线;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形。
专题:计算题。
分析:延长AO交BC于D,接OB,根据AB=AC,O是等腰Rt△ABC的外心,推出AO⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,求出∠BAD=∠ABD=45°,AD=BD=3,由勾股定理求出OB即可.
解答:解:延长AO交BC于D,
连接OB,
∵AB=AC,O是等腰Rt△ABC的外心,
∴AO⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADB=90°,∠BAD=45°,
∴∠BAD=∠ABD=45°,
∴AD=BD=3,
∴OD=3﹣1=2,
由勾股定理得:OB==.
故选C.
点评:本题主要考查对等腰三角形的性质和判定,等腰直角三角形的性质,三角形的内角和定理,勾股定理,垂线,垂径定理等知识点的理解和掌握,求出OD、BD的长是解此题的关键.
13、(2011•兰州)现给出下列四个命题:①无公共点的两圆必外离;②位似三角形是相似三角形;③菱形的面积等于两条对角线的积;④对角线相等的四边形是矩形.其中真命题的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
考点:命题与定理;菱形的性质;矩形的判定;圆与圆的位置关系;位似变换。
专题:应用题。
分析:根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果.
解答:解:①无公共点的两圆有可能外离,也有可能内含,故本选项错误,
②位似三角形是相似三角形,正确,
17
③菱形的面积等于两条对角线的积的一半,故本选项错误,
④对角线相等的四边形是矩形,等腰梯形也可以,故本选项错误,
∴真命题的个数是1.
故选A.
点评:本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质,比较综合,难度适中.
14、(2011•兰州)如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是( )
A、 B、 C、 D、
考点:二次函数的应用;全等三角形的判定与性质;勾股定理。
分析:根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,设AE为x,则AH=1﹣x,根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+(1﹣x)2,进而可求出函数解析式,求出答案.
解答:解:∵根据正方形的四边相等,四个角都是直角,且AE=BF=CG=DH,
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
设AE为x,则AH=1﹣x,根据勾股定理,得
EH2=AE2+AH2=x2+(1﹣x)2
即s=x2+(1﹣x)2.
s=2x2﹣2x+1,
∴所求函数是一个开口向上,对称轴是x=.
∴自变量的取值范围是大于0小于1.
故选B.
点评:本题需根据自变量的取值范围,并且可以考虑求出函数的解析式来解决.
15、(2011•兰州)如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上.若点A的坐标为(﹣2,﹣2),则k的值为( )
A、1 B、﹣3 C、4 D、1或﹣3
考点:待定系数法求反比例函数解析式;矩形的性质。
专题:函数思想。
分析:设C(x,y).根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B(﹣2,y)、D(x,﹣2);根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义求得xy=4①,又点C在反比例函数的图象上,所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②;联立①②解关于k的一元二次方程即可.
解答:解:设C(x,y).
17
∵四边形ABCD是矩形,点A的坐标为(﹣2,﹣2),
∴B(﹣2,y)、D(x,﹣2);
∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,
∴=,即xy=4;①
又∵点C在反比例函数的图象上,
∴xy=k2+2k+1,②
由①②,得
k2+2k﹣3=0,即(k﹣1)(k+3)=0,
∴k=1或k=﹣3;
∵k>0,
∴k=1,
故选A.
点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质.解答此题的难点是根据C(x,y)求得B、C两点的坐标,然后根据B、C两点所在直线的斜率列出方程=,即xy=4.
二、填空题(本题5小题,每小题4分,共20分)
16、(2011•兰州)如图,OB是⊙O的半径,点C、D在⊙O上,∠DCB=27°,则∠OBD= 63 度.
考点:圆周角定理。
分析:根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB,再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD,进而得到∠OBD=(180°﹣∠DOB)÷2,即可得到答案.
解答:解:∵∠DCB=27°,
∴∠DOB=2∠DCB=27°×2=54°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD=(180°﹣∠DOB)÷2=(180°﹣54°)÷2=63°.
故答案为:63°.
点评:此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质,关键是找准角之间的关系.
17、(2011•兰州)某水库大坝的横截面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1:,坝外斜坡的坡度i=1:1,则两个坡角的和为 75° .
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析:从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐角,并都是特殊角从而很容易解得.
解答:解:坝内斜坡的坡度i=1:,说明tga=,
则a=30° 外斜坡的坡度i=1:1,
说明tgv=1,v=45度,两角和为75°.
故答案为:75°.
点评:
17
本题考查了解直角三角形及其坡度计算,从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得.
18、(2011•兰州)已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50米,半圆的直径为4米,则圆心O所经过的路线长是 (2π+50) 米.
考点:弧长的计算。
分析:根据弧长的公式先求出半圆形的弧长,即半圆作无滑动翻转所经过的路线长,把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求.
解答:
解:由图形可知,圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长,然后沿着弧O2O3旋转圆的周长,
最后向右平移50米,
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50,
由已知得圆的半径为2,
则半圆形的弧长l==2π,
∴圆心O所经过的路线长=(2π+50)米.
点评:本题主要考查了弧长公式l=nπr180,同时考查了平移的知识.解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长.
19、(2011•兰州)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 x1=﹣4,x2=﹣1 .
考点:一元二次方程的解。
专题:计算题。
分析:直接由向左平移加,向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4,x2=1﹣2=﹣1.
解答:解:∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),
∴则方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4,x2=1﹣2=﹣1.
故答案为:x1=﹣4,x2=﹣1.
点评:此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的特点进行简便计算.
20、(2011•兰州)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为 ()2n﹣2.
考点:矩形的性质;菱形的性质。
专题:规律型。
分析:易得第二个矩形的面积为()2,第三个矩形的面积为()4,依次类推,第n个矩形的面积为()2n﹣2.
解答:解:已知第一个矩形的面积为1;
17
第二个矩形的面积为原来的()2×2﹣2=;
第三个矩形的面积是()2×3﹣2=;
…
故第n个矩形的面积为:()2n﹣2.
点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
三、解答题(本题8小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
21、(2011•兰州)已知a是锐角,且sin(a+15°)=,计算﹣4cosα﹣(π﹣3.14)0+tanα+的值.
考点:特殊角的三角函数值;零指数幂;负整数指数幂。
专题:计算题。
分析:根据特殊角的三角函数值得出α,然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简,根据实数运算法则即可计算出结果.
解答:解:∵sin60°=,
∴α+15°=60°,
∴α=45°,
∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3.
点评:本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则,难度适中.
22、(2011•兰州)如图,有A、B两个转盘,其中转盘A被分成4等份,转盘B被分成3等份,并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘,转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效,重转),若将A转盘指针指向的数字记为x,B转盘指针指向的数字记为y,从而确定点P的坐标为P(x,y).记s=x+y.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标;
(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏:当s<6时甲获胜,否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗?对谁有利?
考点:游戏公平性;列表法与树状图法。
分析:(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率;
(2)游戏是否公平,求出游戏双方获胜的的概率,比较是否相等即可.
解答:解:(1)列表:
Yx
1
2
3
4
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(2)∵P(甲获胜)==,
17
P(乙获胜)==,
∴这个游戏不公平,对乙有利.
点评:此题主要考查了游戏公平性的判断.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同,游戏就公平,否则游戏不公平.
23、(2011•兰州)今年起,兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一,其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况,随即调查了720名初二学生,调查内容是:“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”,利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示,解答下列问题:
(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少?
(2)“没时间”锻炼的人数是多少?并补全频数分布直方图;
(3)2011年兰州市区初二学生约为2.4万人,按此调查,可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人?
(4)请根据以上结论谈谈你的看法.
考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;扇形统计图;概率公式。
分析:(1)根据扇形统计图得出,超过1小时的占90°,利用圆心角的度数比得出概率;
(2)利用“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是,得出未超过1小时的为=,即可得出总人数,再利用条形图求出;
(3)利用样本估计总体即可得出答案;
(4)根据锻炼身体的情况可以提出一些建议.
解答:解:(1)=,
∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是;
(2)∵720×=540(人),
540﹣120﹣20=400人,
∴“没时间”锻炼的人数是400;
(3)2.4×(1﹣)=1.8(万人),
∴2011年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人.
(4)根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现,同学们需要加强锻炼.
说明:内容健康,能符合题意即可.
17
点评:此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用,根据扇形图与条形图综合应用得出每天锻炼未超过1小时的概率是解决问题的关键.
24、(2011•兰州)已知:如图,一次函数y=kx+3的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点P.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D,且S△DBP=27,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
(3)根据图象写出当x取何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?
考点:反比例函数与一次函数的交点问题。
专题:计算题;数形结合。
分析:(1)本题需先根据题意一次函数与y轴的交点,从而得出D点的坐标.
(2)本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中,,OD=3,再根据S△DBP=27,从而得出BP得长和P点的坐标,即可求出结果.
(3)根据图形从而得出x的取值范围即可.
解答:解:(1)∵一次函数y=kx+3与y轴相交
∴根据题意,得:D(0,3)
(2)在Rt△COD和Rt△CAP中,,OD=3
∴AP=6,OB=6∴DB=9Rt△DBP中,∴,
∴BP=6,P(6,﹣6)
一次函数的解析式为:
反比例函数解析式为:
(3)根据图象可得:当x>6时,一次函数的值小于反比例函数的值.
点评:本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题,在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键.
17
25、(2011•兰州)如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
(1)请完成如下操作:
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连接AD、CD.
(2)请在(1)的基础上,完成下列问题:
①写出点的坐标:C (6,2) 、D (2,0) ;
②⊙D的半径= 2(结果保留根号);
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的地面面积为 π (结果保留π);
④若E(7,0),试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.
考点:垂径定理;勾股定理;直线与圆的位置关系;圆锥的计算;作图—复杂作图。
分析:(1)根据叙述,利用正方形的网格即可作出坐标轴;
(2)①利用(1)中所作的坐标系,即可表示出点的坐标;
②在直角△OAD中,利用勾股定理即可求得半径长;
③可以证得∠ADC=90°,利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积;
④利用切线的判定定理,证得∠DCE=90°即可.
解答:(本题满分9分)
解:(1)①建立平面直角坐标系
(1分)
②找出圆心(3分)
(2)①C(6,2);D(2,0)(5分)
②2 (6分)
③π(7分)
④直线EC与⊙D相切 (8分)
证CD2+CE2=DE2=25 (或通过相似证明)
得∠DCE=90° (9分)
∴直线EC与⊙D相切.
故答案为:①C(6,2);D(2,0)②2 ③π
点评:本题主要考查了垂径定理,圆锥的计算,正确证明△DCE是直角三角形是难点.
17
26、(2011•兰州)通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题:
(1)sad60°= 1 .
(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 0<sadA<2 .
(3)如图②,已知sinA=,其中∠A为锐角,试求sadA的值.
考点:解直角三角形。
专题:新定义。
分析:(1)根据等腰三角形的性质,求出底角的的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答;
(2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可;
(3)作出直角△ABC,构造等腰三角形ACD,根据正对的定义解答.
解答:解:(1)根据正对定义,
当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,
则三角形为等边三角形,
则sad60°==1.
故答案为:1.
(2)当∠A接近0°时,sadα接近0,
当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.
于是sadA的取值范围是0<sadA<2.
故答案为0<sadA<2.
(3) 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A=.
在AB上取点D,使AD=AC,
作DH⊥AC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,
则AD=AC==4k,
又在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A=.
∴DH=ADsin∠A=k,AH==k.
则在△CDH中,CH=AC﹣AH=k,CD==k.
于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=k.
由正对的定义可得:sadA==,即sadα=.
17
点评:此题是一道新定义的题目,考查了正对这一新内容,要熟悉三角函数的定义,可进行类比解答.
27、(2011•兰州)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC•AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)。
专题:几何综合题。
分析:(1)通过证明△AOE≌△COF,可得四边形AFCE是平行四边形;由折叠的性质,可得AE=EC,即可证明;
(2)由勾股定理得AB2+FB2=100,△ABF的面积为24cm2可得,AB×BF=48;变换成完全平方式,即可解答;
(3)过点E作AD的垂线,交AC于点P,通过证明△AOE∽△AEP,即可证明;
解答:(1)证明:由题意可知OA=OC,EF⊥AO,
∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF,又AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形;
(2)∵四边形AECF是菱形,
∴AF=AE=10cm,
设AB=a,BF=b,
∵△ABF的面积为24cm2,
∴a2+b2=100,ab=48,
∴(a+b)2=196,
∴a+b=14或a+b=﹣14(不合题意,舍去),
∴△ABF的周长为14+10=24cm;
(3)存在,过点E作AD的垂线,交AC于点P,点P就是符合条件的点;
证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAO=∠EAP,
∴△AOE∽△AEP,
∴=,
∴AE2=AO•AP,
∵四边形AECF是菱形,
∴AO=AC,
∴AE2=AC•AP,
∴2AE2=AC•AP.
点评:本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质,考查了知识点较多,综合性较强,考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.
17
28、(2011•兰州)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
考点:二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;平行四边形的性质。
专题:计算题。
分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;(2)①由勾股定理即可求出,②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为三种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标.(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.
解答:(1)解:设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
当x=0时,y=﹣2,
∴点A的坐标是(0,﹣2),
∵正方形的边长2,
∴B的坐标(2,﹣2),把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣)代入得:
且,
解得a=,b=﹣,c=﹣2
∴抛物线的解析式为:,
答:抛物线的解析式为:.
(2)解:①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=(2﹣2t)2+t2,
即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1).
答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1.
②解:假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1),
17
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=(不合题意,舍去),
此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣)
若R点存在,分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R(3,﹣),
代入,左右两边相等,
∴这时存在R(3,﹣)满足题意;
【B】假设R在BQ的左边,这时PR=QB,PR∥QB,
则:R的横坐标为1,纵坐标为﹣,
即(1,﹣),
代入,左右两边不相等,R不在抛物线上;
【C】假设R在PB的下方,这时PR=QB,PR∥QB,则:R(1,﹣)代入,
左右不相等,
∴R不在抛物线上.(1分)
综上所述,存点一点R(3,﹣)满足题意.
答:存在,R点的坐标是(3,﹣).
(3)解:如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得:,
解得:k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1,
把x=1代入得:y=﹣
∴M的坐标为(1,﹣);
17
答:M的坐标为(1,﹣).
点评:本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,勾股定理,平行四边形的性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题综合性强,是一道难度较大的题目.
17