新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案 16页

锐角三角函数知识点总结 ‎1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 ‎ ‎2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：‎ 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 ‎(∠A为锐角)‎ 余弦 ‎(∠A为锐角)‎ 正切 ‎(∠A为锐角)‎ ‎ ‎ ‎(倒数)‎ 余切 ‎(∠A为锐角)‎ ‎ ‎ 对边 邻边 斜边 A C B ‎3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。‎ ‎ ‎ ‎5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)‎ 三角函数 ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎ 6、正弦、余弦的增减性：‎ ‎ 当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。‎ ‎ 7、正切、余切的增减性：‎ ‎ 当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。‎ ‎8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。‎ 依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。‎ ‎(注意：尽量避免使用中间数据和除法)‎ ‎9、应用举例：‎ ‎(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。‎ ‎ ‎ ‎(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。‎ 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。‎ ‎3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。‎ ‎4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），‎ 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。‎ ‎ ‎ 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 ‎1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选C. .‎ ‎2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）‎ A．　　 B． C． D． ‎ ‎【解析】选D. ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ‎3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选A.连接CD,由的半径为.得AD=3. = 4.（2009·湖州中考）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．　　B．　 C．　 　 　D．‎ ‎【解析】选D在直角三角形ABC中，，，所以AC＝；所以，，；，，；‎ ‎5.（2008·温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选C.由是斜边上的中线，得AB=2CD=4.∴‎ ‎6.（2007·泰安中考）如图，在中，，于，若，，则的值为（ ）‎ A C B D ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 二、填空题 ‎7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，，则AB的长是 cm．‎ ‎【解析】解得AB=10cm 答案：10‎ ‎8.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．‎ ‎【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以；‎ 答案：；‎ ‎9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．‎ ‎【解析】解得DE=6cm.∴cm2.‎ 答案：60‎ 三、解答题 ‎10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．‎ A O B E C D ‎（1）求半径OD；‎ ‎（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，‎ 则经过多长时间才能将水排干？ ‎ ‎【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），‎ ‎∴ED ==12（m）．‎ ‎ 在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，‎ ‎∴OD =13（m）． ‎ ‎ （2）OE== （m）‎ ‎ ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）． ‎ ‎11.（2009·綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求的值．‎ D A B C E F ‎【解析】（1）在矩形中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ‎ ‎（2）由（1）知 在直角中，‎ 在直角中，‎ ‎．‎ ‎12.（2008·宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．‎ ‎【解析】在中, ∠=90°, =15‎ ‎==, ∴ ‎ ‎∴周长为36,‎ ‎13.（2008·肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sinA和tanA的值.‎ ‎【解析】在Rt △ABC中，c=5，a=3．‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ． ‎ ‎14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，‎ ‎(1) 求证：AC=BD；‎ ‎(2)若，BC=12，求AD的长．‎ ‎【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．‎ ‎∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． ‎ 在Rt△ABD和Rt△ADC中，‎ ‎∵=，=‎ 又已知 ‎ ∴=．∴AC=BD． ‎ ‎(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．‎ 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 ‎1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎2.（2009·长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）‎ A．8米 B．米 C．米 D．米 答案：C ‎4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（ ）‎ Ａ．　　 Ｂ．　 　Ｃ．　 　Ｄ．‎ 答案：Ｃ ‎5.（2008·毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）‎ A． B． C． 　D． ‎ 答案：A ‎6.（2007·襄樊中考）计算：等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：C 二、填空 ‎ ‎7. （2009·荆门中考）=______．‎ ‎【解析】‎ 答案：‎ ‎8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）．‎ 答案： ‎ ‎9.（2008·江西中考）计算：（1） 　　 ．‎ ‎【解析】‎ 答案：‎ ‎10.（2007·济宁中考）计算的值是 。‎ 答案：0‎ 三、解答题 ‎11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°‎ ‎【解析】3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°‎ ‎12.（2009·崇左中考）计算：．‎ ‎【解析】原式==0．‎ ‎13.（2008·义乌中考）计算：‎ ‎【解析】 =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题 ‎1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）‎ A．8米 B．米 C．米 D．米 ‎【解析】选C. 梯子的长至少为（米）.‎ ‎2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ 答案：A ‎3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ α ‎5米 A B 答案：B ‎4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）‎ A．5m B．6m C．7m D．8m ‎【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则，则h＝3m，所以坡面距离为5m；‎ ‎5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．‎ A．25 B． C． D．‎ ‎【解析】选B 过点B作BE⊥AD 于点E，在直角三角形BAE中，‎ 则在直角三角形BCE中，则。‎ 所以AE-CE=AC=50,即解得BE＝；‎ 二、填空题 ‎6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 m．‎ ‎【解析】因为sin∠ACB =,所以AC=10‎ 答案：10.‎ ‎7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.‎ 答案：1:2‎ ‎8. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 _____________海里（结果保留根号）．‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴‎ 答案：‎ ‎9 (2009·安徽中考) 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．‎ ‎【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；‎ 当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，‎ 所以梯子顶端升高了 答案：；‎ ‎10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB = 米.‎ 答案：4‎ ‎11.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97） ‎ 答案：1.28‎ 三、解答题 ‎12.（2009·庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°， ∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（，结果精确到整数）‎ ‎【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C ‎∵ ∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC． ‎ 设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，‎ ‎∴ AC=BC×tan60°=x．‎ ‎∵ OC+CA=OA，∴x+x=60， ‎ ‎ ∴ x=≈22（cm）． ‎ 即点B到OA 边的距离是22 cm．‎ ‎13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）‎ ‎【解析】在直角三角形中，，米 MP=10·tan300 =10×≈5.773米 因为米 所以MN=1.5+5.77=7.27米 ‎ 答：路灯的高度为7.27米 ‎14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。‎ ‎【解析】如图，过B点作BD⊥AC于D ‎∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°‎ 设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝‎ 在Rt△BDC中，BD＝DC＝x BC＝‎ 又AC＝5×2＝10 ∴， 得， ‎ ‎ ∴（海里）‎ 答：灯塔B距C处海里 ‎15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．‎ ‎【解析】设山高BC =，则AB=， ‎ ‎，得 ‎， ‎ 解得米 ‎16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C ‎ 在同一水平地面上．‎ ‎（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）‎ ‎（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。‎ ‎ (参考数据： )‎ ‎【解析】（1）在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中 ‎ ‎ 改善后的滑滑板会加长2.07m．‎ ‎（2）这样改造能行．‎ 因为，而