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  • 2021-05-10 发布

2016连云港中考数学试题含解析

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‎ ‎ 江苏省连云港市2016年中考数学试卷 一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.) ‎ ‎1.有理数﹣1,﹣2,0,3中,最小的数是(  ) ‎ A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.3‎ ‎【分析】先求出|﹣1|=1,|﹣2|=2,根据负数的绝对值越大,这个数就越小得到﹣2<﹣1,而0大于任何负数,小于任何正数,则有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3. ‎ ‎【解答】解:∵|﹣1|=1,|﹣2|=2, ‎ ‎∴﹣2<﹣1, ‎ ‎∴有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3. ‎ 故选B. ‎ ‎【点评】本题考查了有理数的大小比较:0大于任何负数,小于任何正数;负数的绝对值越大,这个数就越小. ‎ ‎  ‎ ‎2.据市统计局调查数据显示,我市目前常住人口约为4470000人,数据“4470000”用科学记数法可表示为(  ) ‎ A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. ‎ ‎【解答】解:数据“4470000”用科学记数法可表示为4.47×106. ‎ 故选:A. ‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. ‎ ‎  ‎ ‎3.如图是一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“美”字一面相对面是的字是(  ) ‎ ‎ ‎ A.丽 B.连 C.云 D.港 ‎【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是必须相隔一个正方形,据此作答. ‎ ‎【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, ‎ ‎“美”与“港”是相对面, ‎ ‎“丽”与“连”是相对面, ‎ ‎“的”与“云”是相对面. ‎ 故选D. ‎ ‎【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题. ‎ ‎  ‎ ‎4.计算:5x﹣3x=(  ) ‎ A.2x B.2x2 C.﹣2x D.﹣2‎ ‎【分析】原式合并同类项即可得到结果. ‎ ‎【解答】解:原式=(5﹣3)x=2x, ‎ 故选A ‎ ‎【点评】此题考查了合并同类项,熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎5.若分式的值为0,则(  ) ‎ A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2‎ ‎【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可. ‎ ‎【解答】解:∵分式的值为0, ‎ ‎∴,解得x=1. ‎ 故选:C. ‎ ‎【点评】本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎6.姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y值随x值的增大而减小.根据他们的描述,姜老师给出的这个函数表达式可能是(  ) ‎ A.y=3x B. C. D.y=x2‎ ‎【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点,与题目描述相符的即为正确的,不符的就是错误的,本题得以解决. ‎ ‎【解答】解:y=3x的图象经过一三象限过原点的直线,y随x的增大而增大,故选项A错误; ‎ 的图象在一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,故选项B正确; ‎ 的图象在二、四象限,故选项C错误; ‎ y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线,在一、二象限,故选项D错误; ‎ 故选B. ‎ ‎【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质,解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质. ‎ ‎  ‎ ‎7.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=(  ) ‎ ‎ ‎ A.86 B.64 C.54 D.48‎ ‎【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系.同理,得出S4、S5、S6的关系. ‎ ‎【解答】解:如图1,S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2. ‎ ‎∵AB2=AC2+BC2, ‎ ‎∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3, ‎ 如图2,S4=S5+S6, ‎ ‎∴S3+S4=16+45+11+14=86. ‎ 故选A. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. ‎ ‎  ‎ ‎8.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(  ) ‎ ‎ ‎ A.2<r< B.<r<3 C.<r<5 D.5<r<‎ ‎【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题. ‎ ‎【解答】解:如图,∵AD=2,AE=AF=,AB=3, ‎ ‎∴AB>AE>AD, ‎ ‎∴<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内, ‎ 故选B. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识,解题的关键是正确画出图形,理解题意,属于中考常考题型. ‎ ‎  ‎ 二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.) ‎ ‎9.化简:═ 2 . ‎ ‎【分析】直接利用立方根的定义即可求解. ‎ ‎【解答】解:∵23=8 ‎ ‎∴=2. ‎ 故填2. ‎ ‎【点评】本题主要考查立方根的概念,如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根. ‎ ‎  ‎ ‎10.分解因式:x2﹣36= (x+6)(x﹣6) . ‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可. ‎ ‎【解答】解:原式=(x+6)(x﹣6), ‎ 故答案为:(x+6)(x﹣6) ‎ ‎【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎11.在新年晚会的投飞镖游戏环节中,7名同学的投掷成绩(单位:环)分别是:7,9,9,4,9,8,8,则这组数据的众数是 9 . ‎ ‎【分析】直接利用众数的定义得出答案. ‎ ‎【解答】解:∵7,9,9,4,9,8,8,中9出现的次数最多, ‎ ‎∴这组数据的众数是:9. ‎ 故答案为:9. ‎ ‎【点评】此题主要考查了众数的定义,正确把握定义是解题关键. ‎ ‎  ‎ ‎12.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=54°,则∠2= 72° . ‎ ‎ ‎ ‎【分析】由AB∥CD,根据平行线的性质找出∠ABC=∠1,由BC平分∠ABD,根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC,再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论. ‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,∠1=54°, ‎ ‎∴∠ABC=∠1=54°, ‎ 又∵BC平分∠ABD, ‎ ‎∴∠CBD=∠ABC=54°. ‎ ‎∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°,∠1=∠DCB,∠2=∠BDC, ‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°. ‎ 故答案为:72°. ‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理,解题的关键是找出各角的关系.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线的性质找出相等(或互补)的角是关键. ‎ ‎  ‎ ‎13.已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0,则a=  . ‎ ‎【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,把x=0代入方程,即可得到一个关于a的方程,即可求得a的值. ‎ ‎【解答】解:根据题意得:0+0+2a﹣1=0 ‎ 解得a=. ‎ 故答案为:. ‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程的解析式. ‎ ‎  ‎ ‎14.如图,正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10= 75° . ‎ ‎ ‎ ‎【分析】如图,作辅助线,首先证得=⊙O的周长,进而求得∠A3OA10==150°,运用圆周角定理问题即可解决. ‎ ‎【解答】解:设该正十二边形的圆心为O,如图,连接A10O和A3O, ‎ 由题意知, =⊙O的周长, ‎ ‎∴∠A3OA10==150°, ‎ ‎∴∠A3A7A10=75°, ‎ 故答案为:75°. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理,作出恰当的辅助线,灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎15.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N.若AD=2,则MN=  . ‎ ‎ ‎ ‎【分析】设正方形的边长为2a,DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根据相似三角形的判定性质,可得NE的长,根据线段的和差,可得答案. ‎ ‎【解答】解:设DH=x,CH=2﹣x, ‎ 由翻折的性质,DE=1, ‎ EH=CH=2﹣x, ‎ 在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2, ‎ 即12+x2=(2﹣x)2, ‎ 解得x=,EH=2﹣x=. ‎ ‎∵∠MEH=∠C=90°, ‎ ‎∴∠AEN+∠DEH=90°, ‎ ‎∵∠ANE+∠AEN=90°, ‎ ‎∴∠ANE=∠DEH, ‎ 又∠A=∠D, ‎ ‎∴△ANE∽△DEH, ‎ ‎=,即=, ‎ 解得EN=, ‎ MN=ME﹣BC=2﹣=, ‎ 故答案为:. ‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,锐角三角函数,设出DH的长,然后利用勾股定理列出方程是解题的关键,也是本题的难点. ‎ ‎  ‎ ‎16.如图,⊙P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 9π . ‎ ‎ ‎ ‎【分析】连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,根据垂径定理可得出AE=BE=AB,利用勾股定理即可求出PE的长度,再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通过勾股定理即可求出线段PD的长度,根据边与边的关系可找出PF的长度,分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环,根据圆环的面积公式即可得出结论. ‎ ‎【解答】解:连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,如图所示. ‎ ‎ ‎ ‎∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB, ‎ ‎∴AE=BE=AB=3. ‎ 在Rt△AEP中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°, ‎ ‎∴PE==4. ‎ ‎∵四边形ABCD为正方形, ‎ ‎∴AB∥CD,AB=BC=6, ‎ 又∵PE⊥AB, ‎ ‎∴PF⊥CD, ‎ ‎∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10. ‎ 在Rt△PFD中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°, ‎ ‎∴PD==. ‎ ‎∵若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环. ‎ ‎∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π. ‎ 故答案为:9π. ‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式,解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,结合AB边的旋转,找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键. ‎ ‎  ‎ 三、解答题(本大题共11小题,共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.计算:(﹣1)2016﹣(2﹣)0+. ‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义,零指数幂法则,以及算术平方根定义计算即可得到结果. ‎ ‎【解答】解:原式=1﹣1+5 ‎ ‎=5. ‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎18.解方程:. ‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. ‎ ‎【解答】解:去分母得:2+2x﹣x=0, ‎ 解得:x=﹣2, ‎ 经检验x=﹣2是分式方程的解. ‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程时注意要检验. ‎ ‎  ‎ ‎19.解不等式,并将解集在数轴上表示出来. ‎ ‎ ‎ ‎【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集,再在数轴上表示出其解集即可. ‎ ‎【解答】解:去分母,得:1+x<3x﹣3, ‎ 移项,得:x﹣3x<﹣3﹣1, ‎ 合并同类项,得:﹣2x<﹣4, ‎ 系数化为1,得:x>2, ‎ 将解集表示在数轴上如图: ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集的应用,解此题的关键是能正确求出不等式的解集. ‎ ‎  ‎ ‎20.某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况,随机抽取部分学生进行问卷,结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型,分别记为A、B、C、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图. ‎ ‎ ‎ ‎(1)本次问卷共随机调查了 50 名学生,扇形统计图中m= 32 . ‎ ‎(2)请根据数据信息补全条形统计图. ‎ ‎(3)若该校有1000名学生,估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人? ‎ ‎【分析】(1)由A的数据即可得出调查的人数,得出m=×100%=32%; ‎ ‎(2)求出C的人数即可; ‎ ‎(3)由1000×(16%+40%),计算即可. ‎ ‎【解答】解:(1)8÷16%=50(人),m=×100%=32% ‎ 故答案为:50,32; ‎ ‎(2)50×40%=20(人), ‎ 补全条形统计图如图所示: ‎ ‎(3)1000×(16%+40%)=560(人); ‎ 答:估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有560人. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想. ‎ ‎  ‎ ‎21.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教. ‎ ‎(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名,则所选的2名教师性别相同的概率是  . ‎ ‎(2)若从报名的4名教师中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率. ‎ ‎【分析】(1)根据甲、乙两校分别有一男一女,列出树状图,得出所有情况,再根据概率公式即可得出答案; ‎ ‎(2)根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案. ‎ ‎【解答】解:(1)根据题意画图如下: ‎ ‎ ‎ 共有4种情况,其中所选的2名教师性别相同的有2种, ‎ 则所选的2名教师性别相同的概率是=; ‎ 故答案为:; ‎ ‎ ‎ ‎(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男教师,2表示女教师),树状图如图所示: ‎ ‎ ‎ 所以P(两名教师来自同一所学校)==. ‎ ‎【点评】本题考查列表法和树状图法,注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求,使用列举法,注意按一定的顺序列举,做到不重不漏. ‎ ‎  ‎ ‎22.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F. ‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CBF; ‎ ‎(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO. ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论; ‎ ‎(2)如图,连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,根据平行四边形的性质即可得到结论. ‎ ‎【解答】证明:(1)∵BE=DF, ‎ ‎∴BE﹣EF=DF﹣EF, ‎ 即BF=DE, ‎ ‎∵AE⊥BD,CF⊥BD, ‎ ‎∴∠AED=∠CFB=90°, ‎ 在Rt△ADE与Rt△CBF中,, ‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBF; ‎ ‎ ‎ ‎(2)如图,连接AC交BD于O, ‎ ‎∵Rt△ADE≌Rt△CBF, ‎ ‎∴∠ADE=∠CBF, ‎ ‎∴AD∥BC, ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形, ‎ ‎∴AO=CO. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎23.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房. ‎ ‎(1)求该店有客房多少间?房客多少人? ‎ ‎(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算? ‎ ‎【分析】(1)设该店有客房x间,房客y人;根据题意得出方程组,解方程组即可; ‎ ‎(2)根据题意计算:若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,求出所需付费;若一次性定客房18间,求出所需付费,进行比较,即可得出结论. ‎ ‎【解答】解:(1)设该店有客房x间,房客y人; ‎ 根据题意得:, ‎ 解得:. ‎ 答:该店有客房8间,房客63人; ‎ ‎(2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱; ‎ 若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288千<320钱; ‎ 答:诗中“众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算. ‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用;根据题意得出方程组是解决问题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎24.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. ‎ ‎(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式; ‎ ‎(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么? ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)分情况讨论:①当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;把A(0,0),B(3,4)代入得出方程组,解方程组即可;②当x>3时,设y=,把(3,4)代入求出m的值即可; ‎ ‎(2)令y==1,得出x=12<15,即可得出结论. ‎ ‎【解答】解:(1)分情况讨论: ‎ ‎①当0≤x≤3时, ‎ 设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b; ‎ 把A(0,0),B(3,4)代入得, ‎ 解得:, ‎ ‎∴y=﹣2x+10; ‎ ‎②当x>3时,设y=, ‎ 把(3,4)代入得:m=3×4=12, ‎ ‎∴y=; ‎ 综上所述:当0≤x≤3时,y=﹣2x+10;当x>3时,y=; ‎ ‎(2)能;理由如下: ‎ 令y==1,则x=12<15, ‎ 故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L. ‎ ‎【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用;根据题意得出函数关系式是解决问题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎25.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=. ‎ ‎(1)求BC的长; ‎ ‎(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据: =1.4, =1.7, =2.2) ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2,由三角函数求出CD=2,在Rt△ABD中,由三角函数求出BD=16,即可得出结果; ‎ ‎(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=即可得出结果. ‎ ‎【解答】解:(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示: ‎ 在Rt△ADC中,AC=4, ‎ ‎∵∠C=150°, ‎ ‎∴∠ACD=30°, ‎ ‎∴AD=AC=2, ‎ CD=ACcos30°=4×=2, ‎ 在Rt△ABD中,tanB===, ‎ ‎∴BD=16, ‎ ‎∴BC=BD﹣CD=16﹣2; ‎ ‎(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ‎ ‎∵∠ACB=150°, ‎ ‎∴∠AMC=∠MAC=15°, ‎ tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键. ‎ ‎  ‎ ‎26.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(﹣1,1),B(2,2).过点B作BC∥x轴,交抛物线于点C,交y轴于点D. ‎ ‎(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标; ‎ ‎(2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为,求出点M的坐标; ‎ ‎(3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标. ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=x2﹣x,由于BC∥x轴,设C(x0,2).于是得到方程x02﹣x0=2,即可得到结论; ‎ ‎(2)设△BCM边BC上的高为h,根据已知条件得到h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,于是得到M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0,或令y=x2﹣x=4,解方程即可得到结论; ‎ ‎(3)解直角三角形得到OB=2,OA=,OC=,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=①如图1,当△AOC∽△BON时,求得ON=2OC=5,过N作NE⊥x轴于E,根据三角函数的定义得到OE=4,NE=3,于是得到结果;②如图2,根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5,过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4,NF=3于是得到结论. ‎ ‎【解答】解:(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得:,解得, ‎ 故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x, ‎ ‎∵BC∥x轴, ‎ 设C(x0,2). ‎ ‎∴x02﹣x0=2,解得:x0=﹣或x0=2, ‎ ‎∵x0<0, ‎ ‎∴C(﹣,2); ‎ ‎ ‎ ‎(2)设△BCM边BC上的高为h, ‎ ‎∵BC=, ‎ ‎∴S△BCM=h=, ‎ ‎∴h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点, ‎ ‎∴M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0, ‎ 解得:x1=0,x2=, ‎ ‎∴M1(0,0),M2(,0),令y=x2﹣x=4, ‎ 解得:x3=,x4= ‎ ‎,∴M3(,0),M4(,4), ‎ 综上所述:M点的坐标为:(0,0),(,0),(,0),(,4); ‎ ‎ ‎ ‎(3)∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣,2),D(0,2), ‎ ‎∴OB=2,OA=,OC=, ‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=, ‎ ‎①如图1,当△AOC∽△BON时,,∠AOC=∠BON, ‎ ‎∴ON=2OC=5, ‎ 过N作NE⊥x轴于E, ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE, ‎ 在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD=, ‎ ‎∴OE=4,NE=3, ‎ ‎∴N(4,3)同理可得N(3,4); ‎ ‎②如图2,当△AOC∽△OBN时,,∠AOC=∠OBN, ‎ ‎∴BN=2OC=5, ‎ 过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F, ‎ ‎∴NF⊥BF, ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF, ‎ ‎∴tan∠NBF=tan∠COD=, ‎ ‎∴BF=4,NF=3, ‎ ‎∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1), ‎ 综上所述:使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1). ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,难度较大,解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质. ‎ ‎  ‎ ‎27.我们知道:光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如右图,AO为入射光线,入射点为O,ON为法线(过入射点O且垂直于镜面的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON. ‎ 问题思考: ‎ ‎(1)如图1,一束光线从点A处入射到平面镜上,反射后恰好过点B,请在图中确定平面镜上的入射点P,保留作图痕迹,并简要说明理由; ‎ ‎(2)如图2,两平面镜OM、ON相交于点O,且OM⊥ON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰好经过点B.小昕说,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外,你还有其它做法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作图痕迹,并简要说明理由; ‎ ‎ ‎ 问题拓展: ‎ ‎(3)如图3,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=30°,一束光线从点S出发,且平行于平面镜OM,第一次在点A处反射,经过若干次反射后又回到了点S,如果SA和AO的长均为1m,求这束光线经过的路程; ‎ ‎(4)如图4,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=15°,一束光线从点P出发,经过若干次反射后,最后反射出去时,光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ(0°<θ<180°),请直接写出满足条件的所有θ的度数(注:OM、ON足够长) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求,只要证明∠3=∠4即可. ‎ ‎(2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q. ‎ ‎(3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S,则光线的行进路线为A→P→Q→B,求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可. ‎ ‎(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°,分别作出图形即可解决问题. ‎ ‎【解答】解:(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求. ‎ ‎ ‎ 证明:如图作PN⊥ML, ‎ ‎∵A与A′关于ML对称, ‎ ‎∴∠1=∠2, ‎ ‎∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ‎ ‎∴∠1+∠4=90°, ‎ ‎∴∠3=∠4, ‎ ‎∴AP是入射光线,PB是反射光线,P即为入射点. ‎ ‎(2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q. ‎ 则光线的行进路线为A→P→Q→B. ‎ ‎ ‎ ‎(3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S. ‎ ‎ ‎ ‎∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°, ‎ ‎∴OB=BA, ‎ ‎∵BC⊥ON, ‎ ‎∴CA=OA=, ‎ ‎∴AB=,BC=, ‎ ‎∴这束光线经过的路程为:SA+AB+BC+CB+BA+AS=(1++)×2=2+. ‎ ‎(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°.理由如图所示, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识,解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决问题,第四个问题容易漏解,考虑问题要全面,属于中考压轴题. ‎ ‎  ‎