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- 2021-05-10 发布
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江苏省连云港市2016年中考数学试卷
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.)
1.有理数﹣1,﹣2,0,3中,最小的数是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.3
【分析】先求出|﹣1|=1,|﹣2|=2,根据负数的绝对值越大,这个数就越小得到﹣2<﹣1,而0大于任何负数,小于任何正数,则有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3.
【解答】解:∵|﹣1|=1,|﹣2|=2,
∴﹣2<﹣1,
∴有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3.
故选B.
【点评】本题考查了有理数的大小比较:0大于任何负数,小于任何正数;负数的绝对值越大,这个数就越小.
2.据市统计局调查数据显示,我市目前常住人口约为4470000人,数据“4470000”用科学记数法可表示为( )
A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:数据“4470000”用科学记数法可表示为4.47×106.
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.如图是一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“美”字一面相对面是的字是( )
A.丽 B.连 C.云 D.港
【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是必须相隔一个正方形,据此作答.
【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“美”与“港”是相对面,
“丽”与“连”是相对面,
“的”与“云”是相对面.
故选D.
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
4.计算:5x﹣3x=( )
A.2x B.2x2 C.﹣2x D.﹣2
【分析】原式合并同类项即可得到结果.
【解答】解:原式=(5﹣3)x=2x,
故选A
【点评】此题考查了合并同类项,熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键.
5.若分式的值为0,则( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可.
【解答】解:∵分式的值为0,
∴,解得x=1.
故选:C.
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键.
6.姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y值随x值的增大而减小.根据他们的描述,姜老师给出的这个函数表达式可能是( )
A.y=3x B. C. D.y=x2
【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点,与题目描述相符的即为正确的,不符的就是错误的,本题得以解决.
【解答】解:y=3x的图象经过一三象限过原点的直线,y随x的增大而增大,故选项A错误;
的图象在一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,故选项B正确;
的图象在二、四象限,故选项C错误;
y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线,在一、二象限,故选项D错误;
故选B.
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质,解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质.
7.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=( )
A.86 B.64 C.54 D.48
【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系.同理,得出S4、S5、S6的关系.
【解答】解:如图1,S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2.
∵AB2=AC2+BC2,
∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3,
如图2,S4=S5+S6,
∴S3+S4=16+45+11+14=86.
故选A.
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
8.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( )
A.2<r< B.<r<3 C.<r<5 D.5<r<
【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题.
【解答】解:如图,∵AD=2,AE=AF=,AB=3,
∴AB>AE>AD,
∴<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,
故选B.
【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识,解题的关键是正确画出图形,理解题意,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)
9.化简:═ 2 .
【分析】直接利用立方根的定义即可求解.
【解答】解:∵23=8
∴=2.
故填2.
【点评】本题主要考查立方根的概念,如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根.
10.分解因式:x2﹣36= (x+6)(x﹣6) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(x+6)(x﹣6),
故答案为:(x+6)(x﹣6)
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
11.在新年晚会的投飞镖游戏环节中,7名同学的投掷成绩(单位:环)分别是:7,9,9,4,9,8,8,则这组数据的众数是 9 .
【分析】直接利用众数的定义得出答案.
【解答】解:∵7,9,9,4,9,8,8,中9出现的次数最多,
∴这组数据的众数是:9.
故答案为:9.
【点评】此题主要考查了众数的定义,正确把握定义是解题关键.
12.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=54°,则∠2= 72° .
【分析】由AB∥CD,根据平行线的性质找出∠ABC=∠1,由BC平分∠ABD,根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC,再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论.
【解答】解:∵AB∥CD,∠1=54°,
∴∠ABC=∠1=54°,
又∵BC平分∠ABD,
∴∠CBD=∠ABC=54°.
∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°,∠1=∠DCB,∠2=∠BDC,
∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°.
故答案为:72°.
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理,解题的关键是找出各角的关系.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线的性质找出相等(或互补)的角是关键.
13.已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0,则a= .
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,把x=0代入方程,即可得到一个关于a的方程,即可求得a的值.
【解答】解:根据题意得:0+0+2a﹣1=0
解得a=.
故答案为:.
【点评】本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程的解析式.
14.如图,正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10= 75° .
【分析】如图,作辅助线,首先证得=⊙O的周长,进而求得∠A3OA10==150°,运用圆周角定理问题即可解决.
【解答】解:设该正十二边形的圆心为O,如图,连接A10O和A3O,
由题意知, =⊙O的周长,
∴∠A3OA10==150°,
∴∠A3A7A10=75°,
故答案为:75°.
【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理,作出恰当的辅助线,灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键.
15.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N.若AD=2,则MN= .
【分析】设正方形的边长为2a,DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根据相似三角形的判定性质,可得NE的长,根据线段的和差,可得答案.
【解答】解:设DH=x,CH=2﹣x,
由翻折的性质,DE=1,
EH=CH=2﹣x,
在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2,
即12+x2=(2﹣x)2,
解得x=,EH=2﹣x=.
∵∠MEH=∠C=90°,
∴∠AEN+∠DEH=90°,
∵∠ANE+∠AEN=90°,
∴∠ANE=∠DEH,
又∠A=∠D,
∴△ANE∽△DEH,
=,即=,
解得EN=,
MN=ME﹣BC=2﹣=,
故答案为:.
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,锐角三角函数,设出DH的长,然后利用勾股定理列出方程是解题的关键,也是本题的难点.
16.如图,⊙P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 9π .
【分析】连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,根据垂径定理可得出AE=BE=AB,利用勾股定理即可求出PE的长度,再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通过勾股定理即可求出线段PD的长度,根据边与边的关系可找出PF的长度,分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环,根据圆环的面积公式即可得出结论.
【解答】解:连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,如图所示.
∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB,
∴AE=BE=AB=3.
在Rt△AEP中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°,
∴PE==4.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB∥CD,AB=BC=6,
又∵PE⊥AB,
∴PF⊥CD,
∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10.
在Rt△PFD中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°,
∴PD==.
∵若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环.
∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π.
故答案为:9π.
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式,解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,结合AB边的旋转,找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键.
三、解答题(本大题共11小题,共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.计算:(﹣1)2016﹣(2﹣)0+.
【分析】原式利用乘方的意义,零指数幂法则,以及算术平方根定义计算即可得到结果.
【解答】解:原式=1﹣1+5
=5.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.解方程:.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2+2x﹣x=0,
解得:x=﹣2,
经检验x=﹣2是分式方程的解.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程时注意要检验.
19.解不等式,并将解集在数轴上表示出来.
【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集,再在数轴上表示出其解集即可.
【解答】解:去分母,得:1+x<3x﹣3,
移项,得:x﹣3x<﹣3﹣1,
合并同类项,得:﹣2x<﹣4,
系数化为1,得:x>2,
将解集表示在数轴上如图:
【点评】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集的应用,解此题的关键是能正确求出不等式的解集.
20.某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况,随机抽取部分学生进行问卷,结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型,分别记为A、B、C、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
(1)本次问卷共随机调查了 50 名学生,扇形统计图中m= 32 .
(2)请根据数据信息补全条形统计图.
(3)若该校有1000名学生,估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人?
【分析】(1)由A的数据即可得出调查的人数,得出m=×100%=32%;
(2)求出C的人数即可;
(3)由1000×(16%+40%),计算即可.
【解答】解:(1)8÷16%=50(人),m=×100%=32%
故答案为:50,32;
(2)50×40%=20(人),
补全条形统计图如图所示:
(3)1000×(16%+40%)=560(人);
答:估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有560人.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想.
21.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教.
(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名,则所选的2名教师性别相同的概率是 .
(2)若从报名的4名教师中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率.
【分析】(1)根据甲、乙两校分别有一男一女,列出树状图,得出所有情况,再根据概率公式即可得出答案;
(2)根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.
【解答】解:(1)根据题意画图如下:
共有4种情况,其中所选的2名教师性别相同的有2种,
则所选的2名教师性别相同的概率是=;
故答案为:;
(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男教师,2表示女教师),树状图如图所示:
所以P(两名教师来自同一所学校)==.
【点评】本题考查列表法和树状图法,注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求,使用列举法,注意按一定的顺序列举,做到不重不漏.
22.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.
【分析】(1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
(2)如图,连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,根据平行四边形的性质即可得到结论.
【解答】证明:(1)∵BE=DF,
∴BE﹣EF=DF﹣EF,
即BF=DE,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,
在Rt△ADE与Rt△CBF中,,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF;
(2)如图,连接AC交BD于O,
∵Rt△ADE≌Rt△CBF,
∴∠ADE=∠CBF,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
23.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?
【分析】(1)设该店有客房x间,房客y人;根据题意得出方程组,解方程组即可;
(2)根据题意计算:若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,求出所需付费;若一次性定客房18间,求出所需付费,进行比较,即可得出结论.
【解答】解:(1)设该店有客房x间,房客y人;
根据题意得:,
解得:.
答:该店有客房8间,房客63人;
(2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱;
若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288千<320钱;
答:诗中“众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用;根据题意得出方程组是解决问题的关键.
24.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么?
【分析】(1)分情况讨论:①当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;把A(0,0),B(3,4)代入得出方程组,解方程组即可;②当x>3时,设y=,把(3,4)代入求出m的值即可;
(2)令y==1,得出x=12<15,即可得出结论.
【解答】解:(1)分情况讨论:
①当0≤x≤3时,
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;
把A(0,0),B(3,4)代入得,
解得:,
∴y=﹣2x+10;
②当x>3时,设y=,
把(3,4)代入得:m=3×4=12,
∴y=;
综上所述:当0≤x≤3时,y=﹣2x+10;当x>3时,y=;
(2)能;理由如下:
令y==1,则x=12<15,
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.
【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用;根据题意得出函数关系式是解决问题的关键.
25.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据: =1.4, =1.7, =2.2)
【分析】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2,由三角函数求出CD=2,在Rt△ABD中,由三角函数求出BD=16,即可得出结果;
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=即可得出结果.
【解答】解:(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示:
在Rt△ADC中,AC=4,
∵∠C=150°,
∴∠ACD=30°,
∴AD=AC=2,
CD=ACcos30°=4×=2,
在Rt△ABD中,tanB===,
∴BD=16,
∴BC=BD﹣CD=16﹣2;
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示:
∵∠ACB=150°,
∴∠AMC=∠MAC=15°,
tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3.
【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键.
26.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(﹣1,1),B(2,2).过点B作BC∥x轴,交抛物线于点C,交y轴于点D.
(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;
(2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为,求出点M的坐标;
(3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标.
【分析】(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=x2﹣x,由于BC∥x轴,设C(x0,2).于是得到方程x02﹣x0=2,即可得到结论;
(2)设△BCM边BC上的高为h,根据已知条件得到h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,于是得到M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0,或令y=x2﹣x=4,解方程即可得到结论;
(3)解直角三角形得到OB=2,OA=,OC=,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=①如图1,当△AOC∽△BON时,求得ON=2OC=5,过N作NE⊥x轴于E,根据三角函数的定义得到OE=4,NE=3,于是得到结果;②如图2,根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5,过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4,NF=3于是得到结论.
【解答】解:(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得:,解得,
故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x,
∵BC∥x轴,
设C(x0,2).
∴x02﹣x0=2,解得:x0=﹣或x0=2,
∵x0<0,
∴C(﹣,2);
(2)设△BCM边BC上的高为h,
∵BC=,
∴S△BCM=h=,
∴h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,
∴M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0,
解得:x1=0,x2=,
∴M1(0,0),M2(,0),令y=x2﹣x=4,
解得:x3=,x4=
,∴M3(,0),M4(,4),
综上所述:M点的坐标为:(0,0),(,0),(,0),(,4);
(3)∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣,2),D(0,2),
∴OB=2,OA=,OC=,
∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=,
①如图1,当△AOC∽△BON时,,∠AOC=∠BON,
∴ON=2OC=5,
过N作NE⊥x轴于E,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE,
在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD=,
∴OE=4,NE=3,
∴N(4,3)同理可得N(3,4);
②如图2,当△AOC∽△OBN时,,∠AOC=∠OBN,
∴BN=2OC=5,
过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F,
∴NF⊥BF,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF,
∴tan∠NBF=tan∠COD=,
∴BF=4,NF=3,
∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1),
综上所述:使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1).
【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,难度较大,解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.
27.我们知道:光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如右图,AO为入射光线,入射点为O,ON为法线(过入射点O且垂直于镜面的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON.
问题思考:
(1)如图1,一束光线从点A处入射到平面镜上,反射后恰好过点B,请在图中确定平面镜上的入射点P,保留作图痕迹,并简要说明理由;
(2)如图2,两平面镜OM、ON相交于点O,且OM⊥ON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰好经过点B.小昕说,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外,你还有其它做法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作图痕迹,并简要说明理由;
问题拓展:
(3)如图3,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=30°,一束光线从点S出发,且平行于平面镜OM,第一次在点A处反射,经过若干次反射后又回到了点S,如果SA和AO的长均为1m,求这束光线经过的路程;
(4)如图4,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=15°,一束光线从点P出发,经过若干次反射后,最后反射出去时,光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ(0°<θ<180°),请直接写出满足条件的所有θ的度数(注:OM、ON足够长)
【分析】(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求,只要证明∠3=∠4即可.
(2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q.
(3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S,则光线的行进路线为A→P→Q→B,求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可.
(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°,分别作出图形即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求.
证明:如图作PN⊥ML,
∵A与A′关于ML对称,
∴∠1=∠2,
∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴AP是入射光线,PB是反射光线,P即为入射点.
(2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q.
则光线的行进路线为A→P→Q→B.
(3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S.
∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°,
∴OB=BA,
∵BC⊥ON,
∴CA=OA=,
∴AB=,BC=,
∴这束光线经过的路程为:SA+AB+BC+CB+BA+AS=(1++)×2=2+.
(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°.理由如图所示,
【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识,解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决问题,第四个问题容易漏解,考虑问题要全面,属于中考压轴题.