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  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴题100题精选1120题

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‎2010年中考数学压轴题100题精选(11-20题)‎ ‎【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ ‎【012】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.‎ ‎(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.‎ O x y N C D E F B M A ‎【013】如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).‎ ‎(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;‎ ‎(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形 ‎ 旋转的度数;‎ ‎(3)设的周长为,在旋转正方形 的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.‎ ‎【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式;‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.‎ ‎(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;‎ ‎(3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;‎ ‎(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标;‎ 若不存在,请说明理由.‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎【017】如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;‎ ‎(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.‎ y x B A O D ‎(第26题)‎ ‎【018】如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标.‎ y x O A B C ‎【019】如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由 ‎(2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2‎ ‎+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。‎ ‎【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?‎ ‎(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)‎ ‎(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。‎ ‎2010年中考数学压轴题100题精选(11-20题)答案 ‎【011】解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴ CG= FD.………1分 同理,在Rt△DEF中,EG= FD.…………2分∴ CG=EG.…………………3分 ‎(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.‎ 在△DAG与△DCG中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,‎ ‎∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,‎ ‎∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG,‎ ‎∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG,‎ 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,‎ ‎∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ‎ ‎∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,‎ ‎∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.………8分 ‎(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分 ‎【012】解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,‎ ‎.点在抛物线上,将的坐标代入,得: 解之,得:‎ 抛物线的解析式为:. 4分 ‎(2)‎ 抛物线的对称轴为,‎ O x y N C D E F B M A P ‎. 6分 连结,‎ ‎,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎. 8分 ‎(3)点在抛物线上. 9分 设过点的直线为:,‎ 将点的坐标代入,得:,‎ 直线为:. 10分 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,‎ 将代入,得:.‎ 点的坐标为,当时,,‎ 所以,点在抛物线上. 12分 ‎【013】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)存在. (4分)‎ 如图,设点的横坐标为,‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ D P M E 则点的纵坐标为,‎ 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),. (6分)‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,. (7分)‎ 类似地可求出当时,. (8分)‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或. (9分)‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.由题意可求得直线的解析式为. (10分)‎ 点的坐标为.. (11分)‎ ‎.‎ 当时,面积最大.. (13分)‎ ‎【014】(1)解:∵点第一次落在直线上时停止旋转,∴旋转了.‎ ‎∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 ‎(2)解:∵∥,∴,.‎ ‎∴.∴.又∵,∴.‎ 又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为.……………………………………………8分 ‎(3)答:值无变化. 证明:延长交轴于点,则,‎ ‎,∴.又∵,.∴.∴. ‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N 又∵,, ∴.‎ ‎∴.∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴在旋转正方形的过程中,值无变化. ……………12分 ‎【015】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②由①②解得a=,k=∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO∴ ∴∴点P的坐标为(4,)‎ ‎⑶由⑴知点C(4,),又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,‎ ‎∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ∴QN=3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,),‎ 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)‎ ‎②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,),‎ 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 ‎ 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC ‎ 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).‎ ‎【016】解:(1)设正比例函数的解析式为,‎ 因为的图象过点,所以,解得.‎ 这个正比例函数的解析式为. (1分)‎ 设反比例函数的解析式为.因为的图象过点,所以 ‎,解得.这个反比例函数的解析式为. (2分)‎ ‎(2)因为点在的图象上,所以,则点. (3分)‎ 设一次函数解析式为.因为的图象是由平移得到的,‎ 所以,即.又因为的图象过点,所以 ‎,解得,一次函数的解析式为. (4分)‎ ‎(3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为.‎ 设二次函数的解析式为.‎ 因为的图象过点、、和,‎ 所以 (5分) 解得 这个二次函数的解析式为. (6分)‎ ‎(4)交轴于点,点的坐标是,‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E 如图所示,‎ ‎.‎ 假设存在点,使.‎ 四边形的顶点只能在轴上方,,‎ ‎ .‎ ‎,.在二次函数的图象上,‎ ‎.解得或.‎ 当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去,‎ 点的坐标为. (8分)‎ ‎【017】解:(1)已知抛物线经过,‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为. 2分 ‎(2),,‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时,由得,‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.‎ 平移后的抛物线解析式为:. 5分 ‎(3)点在上,可设点坐标为 将配方得,其对称轴为. 6分 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ ‎①当时,如图①,‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为. 8分 ‎②当时,如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为.‎ 综上,点的坐标为或. 10分 ‎【018】解:(1)抛物线经过,两点,‎ ‎ 解得 抛物线的解析式为.‎ y x O A B C D E ‎(2)点在抛物线上,,‎ 即,或.‎ 点在第一象限,点的坐标为.‎ 由(1)知.‎ 设点关于直线的对称点为点.‎ ‎,,且,‎ ‎,‎ 点在轴上,且.‎ ‎,.‎ 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).‎ ‎(3)方法一:作于,于.‎ y x O A B C D E P F 由(1)有:,‎ ‎.‎ ‎,且.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,,,‎ ‎.‎ 设,则,,‎ ‎.‎ 点在抛物线上,‎ ‎,‎ ‎(舍去)或,.‎ y x O A B C D P Q G H 方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于.‎ ‎.‎ ‎,‎ 又,.‎ ‎,,.‎ 由(2)知,.‎ ‎,直线的解析式为.‎ 解方程组得 点的坐标为.‎ ‎【019】(1)EO>EC,理由如下:‎ 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分 ‎(2)m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎(3)∵CO=1, ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°,‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分 作QI⊥EO于I,EI=,IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1‎ ‎∴可求得,c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎(4)由(3),‎ 当时,<AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:‎ ‎①时,∴K点坐标为或 ‎②时, ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时,‎ ‎②当∠RTP=60°时,‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎【020】解:(1)①CF⊥BD,CF=BD ‎ ‎②成立,理由如下:∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA ,AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1分)‎ ‎(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:‎ 如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………(1分)‎ ‎∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分)‎ ‎(3)如图:作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC …(1分)‎ ‎∴=‎ 设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x则= …………(1分)‎ ‎∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1‎ 当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分)‎