中考复习相似专题 15页

相似专题 ‎【类型一】借助比例端点作平行线 例1、已知:中,为的中点,E为AB上一点,且为上一点,且,EF交AD于P. (1)求的值. (2)求的值.‎ 例2、是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，().‎ ‎（1）如图1，当为等边三角形且时，证明：.‎ ‎（2）如图2，证明：。‎ ‎（3）当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，，（，），猜想：是否成立？并说明理由。（4分）‎ 检测、如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE=AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，求的值.‎ ‎【类型二】作垂直 例3、如图，在四边形中，，，，，，则的长为_____ 。‎ 例4、如图,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使,,过D作AB的垂线,交半圆于C. 求证:CD平分EF. ‎ 例5、类比转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图(1),在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是BC边上一点,AE与BD交于点G,过点E作交AC于点F,若,求的值. (1)尝试探究 在图(1)中,过点E作于点,作于点N,则EM和EN的数量关系是_______,的值是______． (2)类比延伸 如图(2),在原题的条件下,若,的值是_____(用含的代数式表示),试写出解答过程. (3)拓展迁移 如图(3),在矩形中,过点B作于点,交相于点,点是BC边上一点,与相交于点,过点作交于点若,，（）,则的值是________(用含的代数式表示). ‎ 检测1、如图,在中,,,直线,与之间距离是1,与之间距离是2,且,,分别经过点A,B,C,则边AC的长为_______.‎ 检测2、已知:在,,,现将一个足够大的直角三角板的顶点P放在斜边AC上. (1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N. ①当点P是AC的中点时,分别作于点E,于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形； ②在①的条件下,写出与相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系. (2)移动点P,使,将三角板绕点旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边于点(不与边垂直,不与边垂直)；或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N. (3)请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论； (4)在(3)的条件下,当是等腰三角形时,若,则线段BN的长是__________．‎ ‎【类型三】借助中位线作平行线 例6、已知：如图，分别是的中线和角平分线，，，则的长等于____。‎ 例7、在中，为边上一点。‎ ‎（1）如图1，若，求证：。‎ ‎（2）若为的中点，。‎ ‎①如图2，若，，求的长。‎ ‎②如图3，若，，直接写出的长。‎ 检测1、在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，其中E,F是AD，BC的重点，EF分别交AC,BD于M,N，且MO=ON,求证AC=BD.‎ 检测2、如图°，分别是、的中点，则下列结论，①，‎ ‎②，③，④，其中正确的是（　　）  ‎ A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④‎ ‎【类型四】延长线段 例8、如图,四边形ABCD中,,,,于E,AC交DE于F (1)求的值； (2)若,求的值； (3)若,过A点作交CE的延长线于M,求的值. ‎ 例9、如图,梯形ABCD中,,N、M分别是腰AD、CB上的点,已知.求证:.‎ 检测1、如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）  ‎ A. B. C. D.‎ 检测2、如图所示,在中,,E,F分别是AB,AC的中点,点P在射线EF上,BP交CE于D,点Q在CE上且BQ平分,设,.当时,y与x之间的函数关系式是_______； 当(为不小于2的常数)时,与之间的函数关系式是________．‎ ‎【类型五】借助三大变换作辅助线 例10、在中,,D、E分别为AB、AC上的点. (1)如图1,,,过点C作,且,连接DF交EB于点G,连接BF,请你直接写出的值； (2)如图2,,,,求的值.‎ 例11、已知:在中, (1)如图1,若,点在内,且,,,直接写出的度数.  (2)如图2,若,点在外,且,,,求的度数；  (3)如图3,若,点在内,且,,,直接写出的长. ‎ 检测1、在平面内,先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为,并且原多边形上的任一点P,它的对应点在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心,逆时针旋转一个角度,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为,其中点叫做旋转相似中心,叫做相似比,叫做旋转角. (1)填空: (1)如图1,将以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转,得到,这个旋转相似变换记为A(_____，_____）； (2)如图2,是边长为的等边三角形,将它作旋转相似变换,得到,则线段BD的长为_______； (2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点,,分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用与,与之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系.‎ 检测2、点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=70°，直线AE，BD交于点F． （1）如图（1），求证：△BCD∽△ACE，并求∠AFB的度数； （2）如图（1）中的△ABC绕点C旋转一定角度，得图（2），求∠AFB的度数； （3）拓展：如图（3），矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1，AD=ED=，DG=3，直线AG，BF交于点H，请直接写出∠AHB的度数． ‎ ‎【综合训练】‎ ‎1、如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=. 上述结论中正确的个数为（　　）‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎2、问题背景：已知在中，边上的动点由向运动（与，不重合），点与点同时出发，由点沿的延长线方向运动（不与重合），连结交于点，点是线段上一点。‎ ‎（1）【初步尝试】：如图1，若是等边三角形，，且点，的运动速度相等，求证：。‎ 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题。‎ 思路一：过点作，交于点，先证，再证，从而证得结论成立。‎ 思路二：过点作，交的延长线于点，先证，再证，从而证得结论成立。‎ 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）。‎ ‎（2）【类比探究】：如图2，若在中，，，且点，的运动速度之比是，求的值。‎ ‎（3）【延伸拓展】：如图3，若在中，，，记，且点、的运动速度相等，试用含的代数式表示。（直接写出结果，不必写解答过程）‎ ‎3、在中,,,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:.‎ ‎4、如图,在中,点D为BC边的中点,以点D为顶点的的两边分别与边AB,AC交于点E,F,且与互补. (1)如图1,若,且,则线段DE与DF有何数量关系?请直接写出结论； (2)如图2,若,那么(1)中的结论是否还成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由； (3)如图3,若,探索线段DE与DF的数量关系,并证明你的结论. ‎ ‎5、如图，已知直线，线段在直线上，交于点，且，是线段上异于两端点的一点，过点的直线分别交、于点、（点、位于点的两侧），满足，连接、。‎ ‎（1）求证：。‎ ‎（2）连结、，与相交于点，如图2所示。‎ ‎①当时，求证：。‎ ‎②当（）时，设的面积为，的面积为，求的值。‎ ‎6、如图,在中,D、E分别为BC的三等分点,CM为AB上的中线,CM分别交AE、AD于F、G,求证:.‎ ‎ ‎ ‎7、以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°． （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM． ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______； ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（‎ ‎），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； ‎ ‎ （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______． ‎ ‎8、如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为、，是的中点，过点做轴的垂线，垂足为，动点从点出发，沿向点匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接，。当所在直线与所在直线第一次垂直时，点的坐标为_____ 。‎ ‎9、如图，点为外接圆上的一动点（点不在弧上，且不与点，重合），。‎ ‎（1）求证：是该外接圆的直径。‎ ‎（2）连结，求证：。‎ ‎（3）若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。‎