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- 2021-05-10 发布
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2017年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为( )
A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃
2.(3分)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为( )
A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011
4.(3分)二次根式中,x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1
5.(3分)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)下列计算正确的是( )
A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6
7.(3分)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:
得分(分)
60
70
80
90
100
人数(人)
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为( )
A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分
8.(3分)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:
9.(3分)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
10.(3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0
C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.(4分)(﹣1)0= .
12.(4分)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 .
13.(4分)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1 y2.(填“>”或“<”).
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 .
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.(12分)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;
(2)解不等式组:.
16. (6分)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.
17.(8分)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.
(1)本次调查的学生共有 人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人;
(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
18.(8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
20.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.(4分)如图,数轴上点A表示的实数是 .
22.(4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a= .
23.(4分)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则= .
24.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k= .
25.(4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG= cm.
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.(8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=
x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.
27.(10分)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;
迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.
①求证:△ADB≌△AEC;
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;
拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.
①证明△CEF是等边三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的长.
28.(10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
2017年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数,若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为( )
A.零上3℃ B.零下3℃ C.零上7℃ D.零下7℃
【解答】解:若气温为零上10℃记作+10℃,则﹣3℃表示气温为零下3℃.
故选:B.
2.(3分)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从上边看一层三个小正方形,
故选:C.
3.(3分)总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工,届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区,晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为( )
A.647×108 B.6.47×109 C.6.47×1010 D.6.47×1011
【解答】解:647亿=647 0000 0000=6.47×1010,
故选:C.
4.(3分)二次根式中,x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1
【解答】解:由题意可知:x﹣1≥0,
∴x≥1,
故选(A)
5.(3分)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确.
故选D.
6.(3分)下列计算正确的是( )
A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6 C.a3•a2=a6 D.(﹣a3)2=﹣a6
【解答】解:A.a5+a5=2a5,所以此选项错误;
B.a7÷a=a6,所以此选项正确;
C.a3•a2=a5,所以此选项错误;
D.(﹣a3)2=a6,所以此选项错误;
故选B.
7.(3分)学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:
得分(分)
60
70
80
90
100
人数(人)
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为( )
A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分
【解答】解:70分的有12人,人数最多,故众数为70分;
处于中间位置的数为第20、21两个数,都为80分,中位数为80分.
故选:C.
8.(3分)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A.4:9 B.2:5 C.2:3 D.:
【解答】解:∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,OA:OA′=2:3,
∴DA:D′A′=OA:OA′=2:3,
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为:()2=,
故选:A.
9.(3分)已知x=3是分式方程﹣=2的解,那么实数k的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【解答】解:将x=3代入﹣=2,
∴
解得:k=2,
故选(D)
10.(3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+
c的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.abc<0,b2﹣4ac>0 B.abc>0,b2﹣4ac>0
C.abc<0,b2﹣4ac<0 D.abc>0,b2﹣4ac<0
【解答】解:根据二次函数的图象知:
抛物线开口向上,则a>0;
抛物线的对称轴在y轴右侧,则x=﹣>0,即b<0;
抛物线交y轴于负半轴,则c<0;
∴abc>0,
∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴△=b2﹣4ac>0,
故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.(4分)(﹣1)0= 1 .
【解答】解:(﹣1)0=1.
故答案为:1.
12.(4分)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A的度数为 40° .
【解答】解:∵∠A:∠B:∠C=2:3:4,
∴设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2x+3x+4x=180°,
解得:x=20°,
∴∠A的度数为:40°.
故答案为:40°.
13.(4分)如图,正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1),当x<2时,y1 < y2.(填“>”或“<”).
【解答】解:由图象知,当x<2时,y2的图象在y1上右,
∴y1<y2.
故答案为:<.
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 15 .
【解答】解:∵由题意可知,AQ是∠DAB的平分线,
∴∠DAQ=∠BAQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,BC=AD=3,∠BAQ=∠DQA,
∴∠DAQ=∠DQA,
∴△AQD是等腰三角形,
∴DQ=AD=3.
∵DQ=2QC,
∴QC=DQ=,
∴CD=DQ+CQ=3+=,
∴平行四边形ABCD周长=2(DC+AD)=2×(+3)=15.
故答案为:15.
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.(12分)(1)计算:|﹣1|﹣+2sin45°+()﹣2;
(2)解不等式组:.
【解答】解:(1)原式=﹣1﹣2+2×+4
=﹣1﹣2++4
=3;
(2),
①可化简为2x﹣7<3x﹣3,
﹣x<4,
x>﹣4,
②可化简为2x≤1﹣3,则x≤﹣1.
不等式的解集是﹣4<x≤﹣1.
16.(6分)化简求值:÷(1﹣),其中x=﹣1.
【解答】解:÷(1﹣)=•=,
∵x=﹣1,
∴原式==.
17.(8分)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.
(1)本次调查的学生共有 50 人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 360 人;
(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
【解答】解:(1)4÷8%=50(人),
1200×(1﹣40%﹣22%﹣8%)=360(人);
故答案为:50,360;
(2)画树状图,共有12根可能的结果,恰好抽到一男一女的结果有8个,
∴P(恰好抽到一男一女的)==.
18.(8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.
【解答】解:过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中,AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2(千米),
BD=AB•sin∠BAD=4×=2(千米),
∵△BCD中,∠CBD=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴CD=BD=2(千米),
∴BC=BD=2(千米).
答:B,C两地的距离是2千米.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
【解答】解:(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得a=﹣4,
∴A(﹣4,﹣2),
把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得k=8,
∴反比例函数的表达式为y=,
∵点B与点A关于原点对称,
∴B(4,2);
(2)如图所示,过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,
设P(m,),则C(m,m),
∵△POC的面积为3,
∴m×|m﹣|=3,
解得m=2或2,
∴P(2,)或(2,4).
20.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.
【解答】证明:(1)连接OD,如图1,
∵OB=OD,
∴△ODB是等腰三角形,
∠OBD=∠ODB①,
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB②,
由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,
∴DH⊥OD,
∴DH是圆O的切线;
(2)如图2,在⊙O中,∵∠E=∠B,
∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,
∴△EDC是等腰三角形,
∵DH⊥AC,且点A是EH中点,
设AE=x,EC=4x,则AC=3x,
连接AD,则在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,
∵AB=AC,
∴D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,OD=AC=×3x=,
∵OD∥AC,
∴∠E=∠ODF,
在△AEF和△ODF中,
∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,
∴△AEF∽△ODF,
∴,
∴==,
∴=;
(3)如图2,设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,
∵EF=EA,
∴∠EFA=∠EAF,
∵OD∥EC,
∴∠FOD=∠EAF,
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,
∴DF=OD=r,
∴DE=DF+EF=r+1,
∴BD=CD=DE=r+1,
在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,
∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,
∴BF=BD=r+1,
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1,
在△BFD和△EFA中,
∵,
∴△BFD∽△EFA,
∴,
∴=,
解得:r1=,r2=(舍),
综上所述,⊙O的半径为.
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.(4分)如图,数轴上点A表示的实数是 ﹣1 .
【解答】解:由图形可得:﹣1到A的距离为=,
则数轴上点A表示的实数是:﹣1.
故答案为:﹣1.
22.(4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+
a=0的两个实数根,且x12﹣x22=10,则a= .
【解答】解:由两根关系,得根x1+x2=5,x1•x2=a,
由x12﹣x22=10得(x1+x2)(x1﹣x2)=10,
若x1+x2=5,即x1﹣x2=2,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=25﹣4a=4,
∴a=,
故答案为:.
23.(4分)已知⊙O的两条直径AC,BD互相垂直,分别以AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则= .
【解答】解:设⊙O的半径为1,则AD=,
故S圆O=π,
阴影部分面积为:π×2+×﹣π=2,
则P1=,P2=,
故=.
故答案为:.
24.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P′(,)称为点P的“倒影点”,直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数y=的图象上.若AB=2,则k= ﹣ .
【解答】解:设点A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则A′(,),B′(,),
∵AB===(b﹣a)=2,
∴b﹣a=2,即b=a+2.
∵点A′,B′均在反比例函数y=的图象上,
∴,
解得:k=﹣.
故答案为:﹣.
25.(4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠,如图2,点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A′处,折痕是FG,若原正方形纸片的边长为6cm,则FG= cm.
【解答】解:作GM⊥AC′于M,A′N⊥AD于N,AA′交EC′于K.易知MG=AB=AC′,
∵GF⊥AA′,
∴∠AFG+∠FAK=90°,∠MGF+∠MFG=90°,
∴∠MGF=∠KAC′,
∴△AKC′≌△GFM,
∴GF=AK,
∵AN=4.5cm,A′N=1.5cm,C′K∥A′N,
∴=,
∴=,
∴C′K=1cm,
在Rt△AC′K中,AK==cm,
∴FG=AK=cm,
故答案为.
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.(8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.
【解答】解:(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入得:
,
解得:,
故y1关于x的函数表达式为:y1=2x+2;
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80,
∴当x=9时,y有最小值,ymin==39.5,
答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.
27.(10分)问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是==;
迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.
①求证:△ADB≌△AEC;
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;
拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.
①证明△CEF是等边三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的长.
【解答】迁移应用:①证明:如图②
∵∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠DAB=∠CAE,
在△DAE和△EAC中,
,
∴△DAB≌△EAC,
②解:结论:CD=AD+BD.
理由:如图2﹣1中,作AH⊥CD于H.
∵△DAB≌△EAC,
∴BD=CE,
在Rt△ADH中,DH=AD•cos30°=AD,
∵AD=AE,AH⊥DE,
∴DH=HE,
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.
拓展延伸:①证明:如图3中,作BH⊥AE于H,连接BE.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴△ABD,△BDC是等边三角形,
∴BA=BD=BC,
∵E、C关于BM对称,
∴BC=BE=BD=BA,FE=FC,
∴A、D、E、C四点共圆,
∴∠ADC=∠AEC=120°,
∴∠FEC=60°,
∴△EFC是等边三角形,
②解:∵AE=5,EC=EF=2,
∴AH=HE=2.5,FH=4.5,
在Rt△BHF中,∵∠BFH=30°,
∴=cos30°,
∴BF==3.
28.(10分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(﹣2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,
把A(﹣2,0)代入可得a=﹣,
∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4.
(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为y=(x﹣2m)2﹣4,
由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,
由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,
则有,解得2<m<2,
∴满足条件的m的取值范围为2<m<2.
(3)结论:四边形PMP′N能成为正方形.
理由:1情形1,如图,作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.
由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,
∴PF=FM,∠PFM=90°,
易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,
∴M(m+2,m﹣2),
∵点M在y=﹣x2+4上,
∴m﹣2=﹣(m+2)2+4,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍弃),
∴m=﹣3时,四边形PMP′N是正方形.
情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),
把M(m﹣2,2﹣m)代入y=﹣x2+4中,2﹣m=﹣(m﹣2)2+4,解得m=6或0(舍弃),
∴m=6时,四边形PMP′N是正方形.
综上,四边形PMP′N能成为正方形,m=﹣3或6.