2018中考专题复习——动点问题 10页

动点问题（讲义） 一、知识点睛 动点问题操作规程： 1. 研究______________． 2. 分析运动过程，分段，定范围． 根据起点、终点，确定_____________． 根据状态转折点确定_______________；常见状态转折点有拐点、碰撞点等． 3. 分析_____________、表达、建等式． 画出符合题意的图形，表达线段长，根据_____________建等式求解，结合范围验证结果． 二、精讲精练 1. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A→C→B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C→D 的方向运动，当点 Q 运动到点 D 时，P，Q 两点同时停止运动．设 P，Q 运动 x 秒时， △APQ 与△ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米，解答下列问题： （1）点 P，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒； （2）在点 P，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为__________________； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式． 2. 如图，已知△ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点． （1）点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 提前 4 秒出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 出发，都沿△ABC 的三边逆时针运动，当点 Q 首次回到点 C 时停止运动．设△CQP 的面积为 S，点 Q 运动的时间为 t， 求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围．（这里规定：线段是面积为 0 的三角形） 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点 P 从点 C 出发，沿 CA 以每秒 1 个单位长度的速 度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 1 个单位 长度的速度向点 B 匀速运动．伴随着 P，Q 的运动，DE 始终保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交 折线 QBBCCP 于点 E．点 P，Q 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，两点同时停止运动．设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（ 0t  ）． （1）当 t=2 时，AP=_______，点 Q 到 AC 的距离是_______． （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式（不必写出 t 的取值范围）． （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求出 t 的值；若不能， 请说明理由． （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值． 4. 如图，在 Rt ABC△ 中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点．点 P 从 点 D 出发，沿折线 DEEFFCCD 以每秒 7 个单位长度的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向以每秒 4 个单位长度的速度匀速运动．过点 Q 作射线 QK⊥AB，交折线 BCCA 于点 G．点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时，P，Q 两点都停止运动，设点 P，Q 运动的时间是t 秒（ 0t  ）． （1）D，F 两点间的距离是__________________． （2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理 由． （3）当点 P 运动到折线 EFFC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求t 的值． （4）连接 PG，当 PG∥AB 时，请直接．．写出 t 的值． 三、回顾与思考 【参考答案】 知识点睛 1．基本图形． 2．时间范围；分段． 3．几何特征；几何特征． 精讲精练 1．（1）6 （2）8 （3） 2 2 2 3 0 3 2 3 3 3 3 6 2 3 7 3 15 3 6 9 6 2 x x y x x x x x x                ≤ ≤ （ ） （ ） （ ） 2．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由略； ②当点 Q 的运动速度为 15 4 厘米/秒时，能够使△BPD 与 △CQP 全等． （2） 2 2 83 21 0 3 83 21 16 21 4 3 9 21 27 21 1640 21 4 8 2 3 16 200 3 3 9 21 8 t x t x S t t x x t          ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ （ ） （ ） （ ） （ ） 159 21 20 11256 21 10 3 15t x               ≤（ ） 3．（1）1； 8 5 ． （2） 22 6 5 5S t t   ． （3）四边形 QBED 能成为直角梯形， 9 8t  或 15 8t  ． （4） 5 2t  或 45 14t  ． 4．（1）25． （2）射线 QK 能把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分， 57 8t  ． （3） 185 41t  或 15 2t  ． （4） 5 3t  或 340 43t  ． 动点问题（随堂测试） 1. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD 于点 E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初 始时刻开始，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，速度均为 1cm/s，动点 P 沿 A→B→C→E 的方向运 动 ， 到 点 E 停 止 ； 动 点 Q 沿 B → C → E → D 的 方 向 运 动 ， 到 点 D 停 止 ． 设 运 动 时 间 为 x s ， △PAQ 的面积为 y cm2（这里规定：线段是面积为 0 的三角形），解答下列问题： （1）当 x=2 时，y=_________；当 9 2x  时，y=_________； （2）当5 14x≤ ≤ 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当动点 P 在线段 BC 上运动，且 15 4y S 梯形 ABCD 时，求 x 的值． 【参考答案】 1．（1）2；9． （2） 2 2 1 657 5 9 2 2 1 19 35 9 13 2 2 4 56 13 14 x x x y x x x x x              ≤ ≤ ≤ ≤ （ ） （ ） （ ） ． （3） 7x  ． 动点问题（作业） 1、 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=5 3 ，∠C=30°．点 D 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 2 个 单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度 向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间为 t 秒（ 0t  ），过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF． （1）求证：AE=DF． （2）四边形 AEFD 能成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由． （3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E 分别为边 AC，BC 的中点．点 P 从点 A 出发， 沿折线 ADDEEB 以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 匀速运动；点 Q 也从点 A 出发，沿射线 AB 以 每秒 2 个单位长度的速度运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动．设点 P，Q 运动的时 间为 t 秒（ 0t  ）． （1）当点 P 到达点 B 时，求 t 的值． （2）设△BPQ 的面积为 S，当点 Q 在线段 AB 上运动时，求出 S 与 t 之间的函数关系式． （3）是否存在 t 值，使 PQ∥DB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 Q 在斜边 AB 上，且 AQ=2，过点 Q 作 QR⊥AB， 交折线 AC-CB 于点 R．当点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动时，点 P 同时从点 A 出发， 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 ABBCCA 运动，设运动的时间为 t 秒． （1）当 t=1 时，QR=________，△AQR 的面积为________． （2）设△AQR 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式． （3）当 t 为何值时，PQ∥AC？ （4）当 t 为何值时，直线 QR 经过点 P？ （5）当点 P 在 AB 上运动时，以 PQ 为边在 AB 上方作正方形 PQMN，若正方形 PQMN 在 Rt△ABC 的 内部，请求出此时 t 的取值范围． 【参考答案】 1．（1）证明略． （2）四边形 AEFD 能成为菱形， 10 3t  ． （3） 5 2t  或 4t  ． 2．（1） 4t  ． （2） 2 2 43 9 0 3 4 74 12 3 3 12 84 144 7 3 5 5 5 3 t t t S t t t t t             ≤ ≤ ≤ （ ） （ ） （ ） ． （3）存在， 66 19t  ． 3．（1） 9 4 ； 27 8 ． （2） 2 2 3 3 3 22 0 8 2 2 5 2 32 224 8 3 3 5 t t t S t t t          ≤ ≤（ ） （ ） ． （3） 37 9t  ． （4） 1t  或 5t  ． （5） 8 23 17 9t≤ ≤ 且 1t ≠ ．