- 423.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第2讲 整式与因式分解
考点一、整数指数幂的运算
【例1】 1.已知xm=a,xn=b(x≠0),则x3m﹣2n的值等于( )
A.3a﹣2b B.a3﹣b2 C.a3b2 D.
2.若a2n=5,b2n=16,则(ab)n= .
方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方,以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.
举一反三 1.若ax=2,ay=3,则a2x+y= .
2.若x=2m﹣1,y=1+4m+1,用含x的代数式表示y为 .
考点二、整式的运算
【例2】 1.若a﹣b=1,则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 .
2.7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A.a=b B.a=3b C.a=b D.a=4b
方法总结 对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用
举一反三 1.已知a+b=2,ab=﹣1,则3a+ab+3b= ;a2+b2= .
2.将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2
考点三、乘法公式
【例3】 1.下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是( )
A.(x+a)(x﹣a) B.(a+b)(﹣a﹣b) C.(﹣x﹣b)(x﹣b) D.(b+m)(m﹣b)
2.若m为正实数,且m﹣=3,则m2﹣= .
方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式,求出m的值代入前,一定要把代数式分解完全,可简化计算步骤.
举一反三 1.填空:
(a﹣b)(a+b)= ;
(a﹣b)(a2+ab+b2)= ;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= .
(2)猜想:(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1)= (其中n为正整数,且n≥2).
2.如果a+b+,那么a+2b﹣3c= .
3.已知(2008﹣a)2+(2007﹣a)2=1,则(2008﹣a)•(2007﹣a)= .
考点四、因式分解
【例4】 分解因式:(1)20a3x﹣45ay2x (2)1﹣9x2 (3)4x2﹣12x+9
(4)4x2y2﹣4xy+1 (5)p2﹣5p﹣36
方法总结 因式分解的一般步骤:
(1)“一提”:先考虑是否有公因式,如果有公因式,应先提公因式;
(2)“二套”:再考虑能否运用公式法分解因式.一般根据多项式的项数选择公式,二项式考虑用平方差公式,三项式考虑用完全平方公式;
(3)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
举一反三 分解因式(1) y2﹣7y+12(2)3﹣6x+3x2
(3)﹣a+2a2﹣a3(4)m3﹣m2﹣20m
一、选择题
1.下列计算正确的是( )
A. 23+24=27 B. 23−24=2-1 C. 23×24=27 D. 23÷24=21
2.下列各式变形中,正确的是( )
A.x2•x3=x6 B.=|x| C.(x2﹣)÷x=x﹣1 D.x2﹣x+1=(x﹣)2+
3.( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.在下列各式的变形中,正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
8.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
9.分解因式的结果是 ( )
A. B. C. D.
10.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列各等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.下列运算正确的是( )
A.()3= B.3a3•2a2=6a6 C.4a6÷2a2=2a3 D.(3a2)3=27a6
13.下列运算中,计算正确的是( )
A.a3•a6=a9 B.(a2)3=a5 C.4a3﹣2a2=2 D.(3a)2=6a2
14.下面计算正确的是( )
A.a2+a2=a4 B.(﹣a2)3=(﹣a)6 C.[(﹣a)2]3=a6 D.(a2)3÷a2=a3
15.下列计算正确的是( )
A.a3+a4=a7 B.a3﹣a4=a﹣1 C.a3•a4=a7 D.a3÷a4=a
16.设a,b是实数,定义@的一种运算如下:a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2,则下列结论:
①若a@b=0,则a=0或b=0
②a@(b+c)=a@b+a@c
③不存在实数a,b,满足a@b=a2+5b2
④设a,b是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当a=b时,a@b最大.
其中正确的是( )
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
二、填空题
1.若整式x2+ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解,则k的值可以是 (写出一个即可).
2.分解因式:m3n−4mn= .
3.在实数范围内分解因式:= .
4.因式分解:a3b﹣ab3= .
5.分解因式:9a2﹣b2= .
6.分解因式:2a2﹣4a+2= .
三、解答题
1.先化简,再求值: ,其中.
1.要使二次三项式x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解,那么整数m的值可取( )
A.1 B.﹣3 C.1或﹣3 D.有无数个
2.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1),则mn的值是( )
A.100 B.0 C.﹣100 D.50
3.现有一列式子:①552﹣452;②5552﹣4452;③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为( )
A.1.1111111×1016 B.1.1111111×1027
C.1.111111×1056 D.1.1111111×1017
4.下列从左到右边的变形,是因式分解的是( )
A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2 B.(y+1)(y﹣3)=﹣(3﹣y)(y+1)
C.4yz﹣2y2z+z=2y(2z﹣yz)+z D.﹣8x2+8x﹣2=﹣2(2x﹣1)2
5.已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m= ,n= .
8.因式分解:x2﹣y2+6y﹣9= .
9.计算(1﹣)()﹣(1﹣﹣)()的结果是 .
10.若,则= .
11.将多项式x2+4加上一个整式,使它成为完全平方式,试写出满足上述条件的三个整式:
, , .
12.若m2﹣5m+1=0,则= .
13.定义运算“@”的运算法则为:x@y=xy﹣1,下面给出关于这种运算的几种结论:
①(2@3)@(4)=19;
②x@y=y@x;
③若x@x=0,则x﹣1=0;
④若x@y=0,则(xy)@(xy)=0,
其中正确结论的序号是 .(在横线上填上你认为所有正确的序号)
14. 因式分解:
(1)4m2n﹣8mn2﹣2mn
(2) m2(m+1)﹣(m+1)
(3)4x2y+12xy+9y
(4) (x2﹣6)2+2(x2﹣6)﹣15
15. 已知a,b,c为△ABC的三条边的长,当b2+2ab=c2+2ac时,
(1)试判断△ABC属于哪一类三角形;
(2)若a=4,b=3,求△ABC的周长.
16.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(x﹣2)2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.
答案:
【例1】 1. D
2.
举一反三 1. 12
2. y=4(x+1)2+1
考点二、整式的运算
【例2】 1. 1
2. B
举一反三 1. 5 ; 6
2. C
考点三、乘法公式
【例3】 1. B
2.3.
举一反三 1.填空:
(a﹣b)(a+b)= a2﹣b2 ;
(a﹣b)(a2+ab+b2)= a3﹣b3 ;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= a4﹣b4 .
(2)猜想:(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1)= an﹣bn (其中n为正整数,且n≥2).
2.0
解:原等式可变形为:
a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5
(a﹣2)+(b+1)+|﹣1|﹣4﹣2+5=0
(a﹣2)﹣4+4+(b+1)﹣2+1+|﹣1|=0
(﹣2)2+(﹣1)2+|﹣1|=0;
即:﹣2=0,﹣1=0,﹣1=0,
∴=2,=1,=1,
∴a﹣2=4,b+1=1,c﹣1=1,
解得:a=6,b=0,c=2;
∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0.
3.0
解:∵(2008﹣a)2+(2007﹣a)2=1,
∴(2008﹣a)2﹣2(2008﹣a)(2007﹣a)+(2007﹣a)2=1﹣2(2008﹣a)(2007﹣a),
即(2008﹣a﹣2007+a)2=1﹣2(2008﹣a)(2007﹣a),
整理得﹣2(2008﹣a)(2007﹣a)=0,
∴(2008﹣a)(2007﹣a)=0.
考点四、因式分解
【例4】
解:(1)原式=5ax(4a2﹣9y2)=5ax(2a+3y)(2a﹣3y);(2)原式=(1+3x)(1﹣3x);
(3)原式=(2x)2﹣12x+9=(2x﹣3)2;(4)原式=(2xy﹣1)2;(5)原式=(p+4)(p﹣9);
举一反三 解:(1)原式=(y﹣3)(y﹣4);
(2)原式=3(x2﹣2x+1)=3(x﹣1)2;
(3)原式=﹣a(a2﹣2a+1)=﹣a(a﹣1)2;
(4)原式=m(m2﹣m﹣20)=m(m+4)(m﹣5).
一、选择题
1. C
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. C
8. C
9. A
10.B
11.A
12.D
13.A
14.C
15.C
16.C
解:①根据题意得:a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2
∴(a+b)2﹣(a﹣b)2=0,
整理得:(a+b+a﹣b)(a+b﹣a+b)=0,即4ab=0,
解得:a=0或b=0,正确;
②∵a@(b+c)=(a+b+c)2﹣(a﹣b﹣c)2=4ab+4ac
a@b+a@c=(a+b)2﹣(a﹣b)2+(a+c)2﹣(a﹣c)2=4ab+4ac,
∴a@(b+c)=a@b+a@c正确;
③a@b=a2+5b2,a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2,
令a2+5b2=(a+b)2﹣(a﹣b)2,
解得,a=0,b=0,故错误;
④∵a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,
(a﹣b)2≥0,则a2﹣2ab+b2≥0,即a2+b2≥2ab,
∴a2+b2+2ab≥4ab,
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab,此时a2+b2+2ab=4ab,
解得,a=b,
∴a@b最大时,a=b,故④正确,
故选C.
二、填空题
1. ﹣1
2.m n(m-2)(m+2)
3.
4.ab(a+b)(a﹣b)
5.(3a+b)(3a﹣b)
6. 2(a﹣1)2
三、解答题
1.解:原式=4 =-求得值为6
1. D
解:设x2﹣2x+m=(x+a)(x+b),
∵x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解,
∴a+b=﹣2,ab=m,
∵a+b=﹣2有无数对整数解,
∴整数m的值可取无数个.
故选D.
2. C
解:设x4+mx3+nx﹣16=(x﹣1)(x﹣2)(x2+ax+b),
则x4+mx3+nx﹣16=x4+(a﹣3)x3+(b﹣3a+2)x2+(2a﹣3b)x+2b.
比较系数得:,
解得,
所以mn=﹣5×20=﹣100.
故选:C.
3. D
4. D
5.B
解:∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,
∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0,
∴(2a2﹣c2)2+(2b2﹣c2)2=0,
∴2a2﹣c2=0,2b2﹣c2=0,
∴c=a,c=b,
∴a=b,且a2+b2=c2.
∴△ABC为等腰直角三角形.
6. D
解:由题意可知a﹣b=﹣1,b﹣c=﹣1,a﹣c=﹣2,
所求式=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca),
=[(a2﹣2ab+b2)+(b2﹣2bc+c2)+(a2﹣2ac+c2)],
=[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2],
=[(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣2)2],
=3.
7. 6 , 1
8.(x﹣y+3)(x+y﹣3)
9.
解:设a=1﹣﹣﹣﹣,b=+++,
则原式=a(b+)﹣(a﹣)•b
=ab+a﹣ab+b
=(a+b),
∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1,
∴原式=.
10. 6
解:∵,
∴+(b+1)2=0,
∴a2﹣3a+1=0,b+1=0,
∴a+=3,
∴(a+)2=32,
∴a2+=7;
b=﹣1.
∴=7﹣1=6.
11. 4x , ﹣4x ,
12. 23
解:∵m2﹣5m+1=0,
∴m﹣5+=0,即m+=5,
∴(m+)2=25,
∴m2+2+=25,
∴m2+=23.
13. ①②④
解:根据题意得:①(2@3)@(4)=5@4=20﹣1=19,本选项正确;
②x@y=xy﹣1,y@x=yx﹣1,故x@y=y@x,本选项正确;
③若x@x=x2﹣1=0,则x﹣1=0或x+1=0,本选项错误;
④若x@y=xy﹣1=0,则(xy)@(xy)=x2y2﹣1=(xy+1)(xy﹣1)=0,本选项正确,
则其中正确的结论序号有①②④.
14. 因式分解:
(1)4m2n﹣8mn2﹣2mn=2mn(2m﹣4n﹣1)
(2)m2(m+1)﹣(m+1)=(m+1)2(m﹣1)
(3)4x2y+12xy+9y=y(2x+3)2
(4)(x2﹣6)2+2(x2﹣6)﹣15=(x+3)(x﹣3)(x+1)(x﹣1).
15.解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵a,b,c为△ABC的三条边的长,b2+2ab=c2+2ac,
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0,
因式分解得:(b﹣c)(b+c+2a)=0,
∴b﹣c=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵a=4,b=3,
∴b=c=3,
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10.
16.解:(1)x2﹣4x+2的三种配方分别为:
x2﹣4x+2=(x﹣2)2﹣2,
x2﹣4x+2=(x+)2﹣(2+4)x,
x2﹣4x+2=(x﹣)2﹣x2;
(2)a2+ab+b2=(a+b)2﹣ab,
a2+ab+b2=(a+b)2+b2;
(3)a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4,
=(a2﹣ab+b2)+(b2﹣3b+3)+(c2﹣2c+1),
=(a2﹣ab+b2)+(b2﹣4b+4)+(c2﹣2c+1),
=(a﹣b)2+(b﹣2)2+(c﹣1)2=0,
从而有a﹣b=0,b﹣2=0,c﹣1=0,
即a=1,b=2,c=1,
∴a+b+c=4.