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- 2021-05-10 发布
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2018 年全国各地中考数学选择、填空压轴题汇编(五)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 20 小题)
1.(2018•北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以
看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:
m)近似满足函数关系 y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组
数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离
为( )
A.10m B.15m C.20m D.22.5m
解:根据题意知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,
57.9),
则
解得 ,
所以 x=﹣ = =15(m).
故选:B.
2.(2018•天津)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P 为对角线 BD
上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是( )
A.AB B.DE C.BD D.AF
解:如图,连接 CP,
由 AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,DP=DP,可得△ADP≌△CDP,
∴AP=CP,
∴AP+PE=CP+PE,
∴当点 E,P,C 在同一直线上时,AP+PE 的最小值为 CE 长,
此时,由 AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,
∴AP+EP 最小值等于线段 AF 的长,
故选:D.
3.(2018•河北)如图,点 I 为△ABC 的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB 平移使其
顶点与 I 重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
解:连接 AI、BI,
∵点 I 为△ABC 的内心,
∴AI 平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI,
由平移得:AC∥DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI,
同理可得:BE=EI,
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,
即图中阴影部分的周长为 4,
故选:B.
4.(2018•山西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC 绕点 C
按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点 A'恰好在 AB 边上,则点 B'与点 B 之间的距离为
( )
A.12 B.6 C. D.
解:连接 B'B,
∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴AC=A'C,AB=A'B,∠A=∠CA'B'=60°,
∴△AA'C 是等边三角形,
∴∠AA'C=60°,
∴∠B'A'B=180°﹣60°﹣60°=60°,
∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴∠ACA'=∠BAB'=60°,BC=B'C,∠CB'A'=∠CBA=90°﹣60°=30°,
∴△BCB'是等边三角形,
∴∠CB'B=60°,
∵∠CB'A'=30°,
∴∠A'B'B=30°,
∴∠B'BA'=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,
∴AB=12,
∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6,
∴B'B=6 ,
故选:D.
5.(2018•天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)经过点(﹣1,0),
(0,3),其对称轴在 y 轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根;
③﹣3<a+b<3
其中,正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:①∵抛物线过点(﹣1,0),对称轴在 y 轴右侧,
∴当 x=1 时 y>0,结论①错误;
②过点(0,2)作 x 轴的平行线,如图所示.
∵该直线与抛物线有两个交点,
∴方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根,结论②正确;
③∵当 x=1 时 y=a+b+c>0,
∴a+b>﹣c.
∵抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)经过点(0,3),
∴c=3,
∴a+b>﹣3.
∵当 x=﹣1 时,y=0,即 a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∴a+b=2a+c.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴a+b<c=3,
∴﹣3<a+b<3,结论③正确.
故选:C.
6.(2018•山西)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为 2,以点 A 为圆心,以
AC 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,则图中阴影部分的面积
为( )
A.4π﹣4 B.4π﹣8 C.8π﹣4 D.8π﹣8
解:利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形 AEF 的面积﹣△ABD 的面积= ﹣
×4×2=4π﹣4,
故选:A.
7.(2018•包头)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ADE 的顶点 D,E 分别在 BC,AC 上,
且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC 的度数为( )
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°,
又∵∠C+∠BAC=145°,
∴∠C=35°,
∵∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠AED=45°,
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°,
故选:D.
8.(2018•呼和浩特)若满足 <x≤1 的任意实数 x,都能使不等式 2x3﹣x2﹣mx>2 成
立,则实数 m 的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m≥﹣5 C.m<﹣4 D.m≤﹣4
解:∵满足 <x≤1 的任意实数 x,都能使不等式 2x3﹣x2﹣mx>2 成立,
∴m< ,
∴m≤﹣4
故选:D.
9.(2018•包头)如图,在平面直角坐标系中,直线 l1:y=﹣ x+1 与 x 轴,y 轴分别交
于点 A 和点 B,直线 l2:y=kx(k≠0)与直线 l1 在第一象限交于点 C.若∠BOC=∠BCO,
则 k 的值为( )
A. B. C. D.2
解:直线 l1:y=﹣ x+1 中,令 x=0,则 y=1,令 y=0,则 x=2 ,
即 A(2 ,0)B(0,1),
∴Rt△AOB 中,AB= =3,
如图,过 C 作 CD⊥OA 于 D,
∵∠BOC=∠BCO,
∴CB=BO=1,AC=2,
∵CD∥BO,
∴OD= AO= ,CD= BO= ,
即 C( , ),
把 C( , )代入直线 l2:y=kx,可得
= k,
即 k= ,
故选:B.
10.(2018•赤峰)如图,直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,点 P 是以 C
(﹣1,0)为圆心,1 为半径的圆上一点,连接 PA,PB,则△PAB 面积的最小值是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
解:作 CH⊥AB 于 H 交⊙O 于 E、F.
∵C(﹣1,0),直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+3,
∴直线 CH 的解析式为 y= x+ ,
由 解得 ,
∴H( , ),
∴CH= =3,
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,AB=5,
∴EH=3﹣1=2,
当点 P 与 E 重合时,△PAB 的面积最小,最小值= ×5×2=5,
故选:A.
11.(2018•包头)如图,在四边形 ABCD 中,BD 平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E 为 BC
的中点,AE 与 BD 相交于点 F.若 BC=4,∠CBD=30°,则 DF 的长为( )
A. B. C. D.
解:如图,
在 Rt△BDC 中,BC=4,∠DBC=30°,
∴BD=2 ,
连接 DE,
∵∠BDC=90°,点 D 是 BC 中点,
∴DE=BE=CE BC=2,
∵∠DCB=30°,
∴∠BDE=∠DBC=30°,
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE∥AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴ ,
在 Rt△ABD 中,∠ABD=30°,BD=2 ,
∴AB=3,
∴ ,
∴ ,
∴DF= BD= ×2 = ,
故选:D.
12.(2018•通辽)如图,▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,DE 平分∠ADC 交 AB 于点
E,∠BCD=60°,AD= AB,连接 OE.下列结论:①S▱ABCD=AD•BD;②DB 平分∠CDE;③
AO=DE;④S△ADE=5S△OFE,其中正确的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解:∵∠BAD=∠BCD=60°,∠ADC=120°,DE 平分∠ADC,
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED,
∴△ADE 是等边三角形,
∴AD=AE= AB,
∴E 是 AB 的中点,
∴DE=BE,
∴∠BDE= ∠AED=30°,
∴∠ADB=90°,即 AD⊥BD,
∴S▱ABCD=AD•BD,故①正确;
∵∠CDE=60°,∠BDE30°,
∴∠CDB=∠BDE,
∴DB 平分∠CDE,故②正确;
∵Rt△AOD 中,AO>AD,
∴AO>DE,故③错误;
∵O 是 BD 的中点,E 是 AB 的中点,
∴OE 是△ABD 的中位线,
∴OE∥AD,OE= AD,
∴△OEF∽△ADF,
∴S△ADF=4S△OEF,且 AF=2OF,
∴S△AEF=2S△OEF,
∴S△ADE=6S△OFE,故④错误;
故选:B.
13.(2018•黑龙江)如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AE 平分∠
BAD,分别交 BC、BD 于点 E、P,连接 OE,∠ADC=60°,AB= BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD= ③S 平行四边形 ABCD=AB•AC④OE= AD⑤S△APO= ,正确的个数是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解:①∵AE 平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE 是等边三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,
∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正确;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE= AB= ,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
Rt△EOC 中,OC= = ,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD 中,OD= = ,
∴BD=2OD= ,
故②正确;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S▱ABCD=AB•AC,
故③正确;
④由②知:OE 是△ABC 的中位线,
∴OE= AB,
∵AB= BC,
∴OE= BC= AD,
故④正确;
⑤∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC= ,
∴S△AOE=S△EOC= OE•OC= = ,
∵OE∥AB,
∴ ,
∴ = ,
∴S△AOP= = = ;
故⑤正确;
本题正确的有:①②③④⑤,5 个,
故选:D.
14.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,连接 AD,点 G 在线段 AD 上,
GE∥BD,且交 AB 于点 E,GF∥AC,且交 CD 于点 F,则下列结论一定正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
解:∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴ = , = ,
∴ = = .
故选:D.
15.(2018•齐齐哈尔)抛物线 C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 与平行于 x 轴的直线交于 A、B
两点,且 A 点坐标为(﹣1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线 x=2;②
抛物线与 y 轴交点坐标为(0,﹣1);③m> ;④若抛物线 C2:y2=ax2(a≠0)与线段 AB
恰有一个公共点,则 a 的取值范围是 ≤a<2;⑤不等式 mx2﹣4mx+2n>0 的解作为函
数 C1 的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
解:抛物线对称轴为直线 x=﹣ 故①正确;
当 x=0 时,y=2n﹣1 故②错误;
把 A 点坐标(﹣1,2)代入抛物线解析式
得:2=m+4m+2n﹣1
整理得:2n=3﹣5m
带入 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1
整理的:y1=mx2﹣4mx+2﹣5m
由图象可知,抛物线交 y 轴于负半轴,
则:2﹣5m<0
即 m> 故③正确;
由抛物线的对称性,点 B 坐标为(5,2)
当 y2=ax2 的图象分别过点 A、B 时,其与线段分别有且只有一个公共点
此时,a 的值分别为 a=2、a=
a 的取值范围是 ≤a<2;故④正确;
不等式 mx2﹣4mx+2n>0 的解可以看做是,抛物线 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 位于直线 y=﹣1
上方的部分,由图象可知,其此时 x 的取值范围使 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 函数图象分别位
于轴上下方故⑤错误;
故选:B.
16.(2018•大庆)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣1,0)、点 B(3,
0)、点 C(4,y1),若点 D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则 0≤y2≤5a;
③若 y2>y1,则 x2>4;
④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:抛物线解析式为 y=a(x+1)(x﹣3),
即 y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵y=a(x﹣1)2﹣4a,
∴当 x=1 时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;
当 x=4 时,y=a•5•1=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;
∵点 C(1,5a)关于直线 x=1 的对称点为(﹣2,﹣5a),
∴当 y2>y1,则 x2>4 或 x<﹣2,所以③错误;
∵b=﹣2a,c=﹣3a,
∴方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,
整理得 3x2+2x﹣1=0,解得 x1=﹣1,x2= ,所以④正确.
故选:B.
17.(2018•抚顺)如图,菱形 ABCD 的边 AD 与 x 轴平行,A、B 两点的横坐标分别为 1
和 3,反比例函数 y= 的图象经过 A、B 两点,则菱形 ABCD 的面积是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
解:作 AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H,
∵反比例函数 y= 的图象经过 A、B 两点,A、B 两点的横坐标分别为 1 和 3,
∴A、B 两点的纵坐标分别为 3 和 1,即点 A 的坐标为(1,3),点 B 的坐标为(3,
1),
∴AH=3﹣1=2,BH=3﹣1=2,
由勾股定理得,AB= =2 ,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴BC=AB=2 ,
∴菱形 ABCD 的面积=BC×AH=4 ,
故选:A.
18.(2018•盘锦)如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,
顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上,反比例函数 y= (k≠0,x>0)的图象与正方形 OABC
的两边 AB、BC 分别交于点 M、N,ND⊥x 轴,垂足为 D,连接 OM、ON、MN,则下列
选项中的结论错误的是( )
A.△ONC≌△OAM B.四边形 DAMN 与△OMN 面积相等
C.ON=MN D.若∠MON=45°,MN=2,则点 C 的坐标为(0, +1)
解:∵点 M、N 都在 y= 的图象上,
∴S△ONC=S△OAM= k,即 OC•NC= OA•AM,
∵四边形 ABCO 为正方形,
∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,
∴NC=AM,
∴△OCN≌△OAM,
∴A 正确;
∵S△OND=S△OAM= k,
而 S△OND+S 四边形 DAMN=S△OAM+S△OMN,
∴四边形 DAMN 与△MON 面积相等,
∴B 正确;
∵△OCN≌△OAM,
∴ON=OM,
∵k 的值不能确定,
∴∠MON 的值不能确定,
∴△ONM 只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形,
∴ON≠MN,
∴C 错误;
作 NE⊥OM 于 E 点,如图所示:
∵∠MON=45°,∴△ONE 为等腰直角三角形,
∴NE=OE,
设 NE=x,则 ON= x,
∴OM= x,
∴EM= x﹣x=( ﹣1)x,
在 Rt△NEM 中,MN=2,
∵MN2=NE2+EM2,即 22=x2+[( ﹣1)x]2,
∴x2=2+ ,
∴ON2=( x)2=4+2 ,
∵CN=AM,CB=AB,
∴BN=BM,
∴△BMN 为等腰直角三角形,
∴BN= MN= ,
设正方形 ABCO 的边长为 a,则 OC=a,CN=a﹣ ,
在 Rt△OCN 中,∵OC2+CN2=ON2,
∴a2+(a﹣ )2=4+2 ,解得 a1= +1,a2=﹣1(舍去),
∴OC= +1,
∴C 点坐标为(0, +1),
∴D 正确.
故选:C.
19.(2018•抚顺)已知抛物线 y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与 x 轴最多有一个交点.以下四
个结论:
①abc>0;
②该抛物线的对称轴在 x=﹣1 的右侧;
③关于 x 的方程 ax2+bx+c+1=0 无实数根;
④ ≥2.
其中,正确结论的个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解:①∵抛物线 y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与 x 轴最多有一个交点,
∴抛物线与 y 轴交于正半轴,
∴c>0,
∴abc>0.
故正确;
②∵0<2a≤b,
∴ >1,
∴﹣ <﹣1,
∴该抛物线的对称轴在 x=﹣1 的左侧.
故错误;
③由题意可知:对于任意的 x,都有 y=ax2+bx+c≥0,
∴ax2+bx+c+1≥1>0,即该方程无解,
故正确;
④∵抛物线 y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与 x 轴最多有一个交点,
∴当 x=﹣1 时,y>0,
∴a﹣b+c>0,
∴a+b+c≥2b,
∵b>0,
∴ ≥2.
故正确.
综上所述,正确的结论有 3 个.
故选:C.
20.(2018•葫芦岛)如图,在▱ABCD 中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,点 P 从点 B 出发沿着
B→A→C 的路径运动,同时点 Q 从点 A 出发沿着 A→C→D 的路径以相同的速度运动,当
点 P 到达点 C 时,点 Q 随之停止运动,设点 P 运动的路程为 x,y=PQ2,下列图象中大致
反映 y 与 x 之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
解:在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,
∴AC= =8.
当 0≤x≤6 时,AP=6﹣x,AQ=x,
∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36;
当 6≤x≤8 时,AP=x﹣6,AQ=x,
∴y=PQ2=(AQ﹣AP)2=36;
当 8≤x≤14 时,CP=14﹣x,CQ=x﹣8,
∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260.
故选:B.
二.填空题(共 20 小题)
.(2018•北京)如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角线 AC 于点
F,若 AB=4,AD=3,则 CF 的长为 .
解:∵四边形 ABCD 为矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∴∠FAE=∠FCD,
又∵∠AFE=∠CFD,
∴△AFE∽△CFD,
∴ = =2.
∵AC= =5,
∴CF= •AC= ×5= .
故答案为: .
22.(2018•河北)如图 1,作∠BPC 平分线的反向延长线 PA,现要分别以∠APB,∠
APC,∠BPC 为内角作正多边形,且边长均为 1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后
成为一个图案.例如,若以∠BPC 为内角,可作出一个边长为 1 的正方形,此时∠
BPC=90°,而 =45 是 360°(多边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为 1
的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图 2 所示.
图 2 中的图案外轮廓周长是 14 ;
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长
是 .
解:图 2 中的图案外轮廓周长是:8﹣2+2+8﹣2=14;
设∠BPC=2x,
∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为: = ,
以∠APB 为内角的正多边形的边数为: ,
∴图案外轮廓周长是= ﹣2+ ﹣2+ ﹣2= + ﹣6,
根据题意可知:2x 的值只能为 60°,90°,120°,144°,
当 x 越小时,周长越大,
∴当 x=30 时,周长最大,此时图案定为会标,
则会标的外轮廓周长是= + ﹣6=,
故答案为:14,.
23.(2018•天津)如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,EF
⊥AC 于点 F,G 为 EF 的中点,连接 DG,则 DG 的长为 .
解:连接 DE,
∵在边长为 4 的等边△ABC 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE=2,且 DE∥AC,BD=BE=EC=2,
∵EF⊥AC 于点 F,∠C=60°,
∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°,
∴FC= EC=1,
故 EF= = ,
∵G 为 EF 的中点,
∴EG= ,
∴DG= = .
故答案为: .
24.(2018•山西)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是 AB 的中点,
以 CD 为直径作⊙O,⊙O 分别与 AC,BC 交于点 E,F,过点 F 作⊙O 的切线 FG,交 AB
于点 G,则 FG 的长为 .
解:如图,
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得,AB=10,
∴点 D 是 AB 中点,
∴CD=BD= AB=5,
连接 DF,
∵CD 是⊙O 的直径,
∴∠CFD=90°,
∴BF=CF= BC=4,
∴DF= =3,
连接 OF,
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF∥AB,
∴∠OFC=∠B,
∵FG 是⊙O 的切线,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴FG⊥AB,
∴S△BDF= DF×BF= BD×FG,
∴FG= = = ,
故答案为 .
25.(2018•包头)以矩形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点,以平行于两边的方向
为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为 E.若双曲线 y= (x>
0)经过点 D,则 OB•BE 的值为 3 .
解:如图,
∵双曲线 y= (x>0)经过点 D,
∴S△ODF= k= ,
则 S△AOB=2S△ODF= ,即 OA•BE= ,
∴OA•BE=3,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴OA=OB,
∴OB•BE=3,
故答案为:3.
26.(2018•呼和浩特)如图,已知正方形 ABCD,点 M 是边 BA 延长线上的动点(不与
点 A 重合),且 AM<AB,△CBE 由△DAM 平移得到.若过点 E 作 EH⊥AC,H 为垂足,
则有以下结论:①点 M 位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点 M 运动到何
处,都有 DM= HM;③无论点 M 运动到何处,∠CHM 一定大于 135°.其中正确结论的
序号为 ①②③ .
解:由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD,
∵四边形 ABCD 是正方形,EH⊥AC,
∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,
∴EH=AH,
∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM 是等腰直角三角形,
∴DM= HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,
∴∠ADM=45°﹣15°=30°,
∴Rt△ADM 中,DM=2AM,
即 DM=2BE,故①正确;
∵点 M 是边 BA 延长线上的动点(不与点 A 重合),且 AM<AB,
∴∠AHM<∠BAC=45°,
∴∠CHM>135°,故③正确;
故答案为:①②③.
27.(2018•包头)如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 AB 上的一个动点
(不与点 A,B 重合),连接 CD,将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE,连接 DE,DE 与
AC 相交于点 F,连接 AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;
③DE2=2CF•CA;
④若 AB=3 ,AD=2BD,则 AF= .
其中正确的结论是 ①②③ .(填写所有正确结论的序号)
解:∵∠ACB=90°,
由旋转知,CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD 和△ACE 中, ,
∴△BCD≌△ACE,故①正确;
∵∠ACB=90°,BC=AC,
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°,
∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠AEC=∠BDC=110°,
∵∠DCE=90°,CD=CE,
∴∠CED=45°,
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°,故②正确;
∵△BCD≌△ACE,
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF,
∵∠ECF=∠ACE,
∴△CEF∽△CAE,
∴ ,
∴CE2=CF•AC,
在等腰直角三角形 CDE 中,DE2=2CE2=2CF•AC,故③正确;
如图,过点 D 作 DG⊥BC 于 G,
∵AB=3 ,
∴AC=BC=3,
∵AD=2BD,
∴BD= AB= ,
∴DG=BG=1,
∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2,
在 Rt△CDG 中,根据勾股定理得,CD= = ,
∵△BCD≌△ACE,
∴CE= ,
∵CE2=CF•AC,
∴CF= = ,
∴AF=AC﹣CF=3﹣ = ,故④错误,
故答案为:①②③.
28.(2018•赤峰)如图,P 是▱ABCD 的边 AD 上一点,E、F 分别是 PB、PC 的中点,若▱ABCD
的面积为 16cm2,则△PEF 的面积(阴影部分)是 2 cm2.
解:∵▱ABCD 的面积为 16cm2,
∴S△PBC= S▱ABCD=8,
∵E、F 分别是 PB、PC 的中点,
∴EF∥BC,且 EF= BC,
∴△PEF∽△PBC,
∴ =( )2,即 = ,
∴S△PEF=2,
故答案为:2.
29.(2018•通辽)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y= (k>0)的图象与半径
为 5 的⊙O 交于 M、N 两点,△MON 的面积为 3.5,若动点 P 在 x 轴上,则 PM+PN 的最
小值是 5 .
解:如图,
设点 M(a,b),N(c,d),
∴ab=k,cd=k,
∵点 M,N 在⊙O 上,
∴a2+b2=c2+d2=25,
作出点 N 关于 x 轴的对称点 N'(c,﹣d),
∴S△OMN= k+ (b+d)(a﹣c)﹣ k=3.5,
∴ad﹣bc=7,
∴ =7
∴ac= ,
同理:bd= ,
∴ac﹣bc= ﹣ = [(c2+d2)﹣(a2+b2)]=0,
∵M(a,b),N'(c,﹣d),
∴MN'2=(a﹣c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2(ac﹣bd)=50,
∴MN'=5 ,
故答案为:5 .
30.(2018•黑龙江)如图,已知正方形 ABCD 的边长是 4,点 E 是 AB 边上一动点,连接
CE,过点 B 作 BG⊥CE 于点 G,点 P 是 AB 边上另一动点,则 PD+PG 的最小值为
2 .
解:如图:
取点 D 关于直线 AB 的对称点 D′.以 BC 中点 O 为圆心,OB 为半径画半圆.
连接 OD′交 AB 于点 P,交半圆 O 于点 G,连 BG.连 CG 并延长交 AB 于点 E.
由以上作图可知,BG⊥EC 于 G.
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知,此时 PD+PG 最小.
∵D′C=4,OC′=6
∴D′O=
∴D′G=2
∴PD+PG 的最小值为 2
故答案为:2
31.(2018•哈尔滨)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,
AB=OB,点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点,连接 EF,∠CEF=45°,EM⊥BC 于点 M,EM
交 BD 于点 N,FN= ,则线段 BC 的长为 4 .
解:设 EF=x,
∵点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点,
∴EF 是△OAD 的中位线,
∴AD=2x,AD∥EF,
∴∠CAD=∠CEF=45°,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=2x,
∴∠ACB=∠CAD=45°,
∵EM⊥BC,
∴∠EMC=90°,
∴△EMC 是等腰直角三角形,
∴∠CEM=45°,
连接 BE,
∵AB=OB,AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°,
∴BM=EM=MC=x,
∴BM=FE,
易得△ENF≌△MNB,
∴EN=MN= x,BN=FN= ,
Rt△BNM 中,由勾股定理得:BN2=BM2+MN2,
∴ ,
x=2 或﹣2 (舍),
∴BC=2x=4 .
故答案为:4 .
32.(2018•齐齐哈尔)四边形 ABCD 中,BD 是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD= ,
AB=20,BC=10,AD=13,则线段 CD= 17 或 .
解:当四边形 ABCD 是凸多边形时,作 AH⊥BD 于 H,CG⊥BD 于 G,
设 AH=3x,则 BH=4x,
由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,
解得,x=4,
则 AH=12,BH=16,
在 Rt△AHD 中,HD= =5,
∴BD=BH+HD=,
∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCH+∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠CBH,
∴ = ,又 BC=10,
∴BG=6,CG=8,
∴DG=BD﹣BG=15,
∴CD= =17,
当四边形 ABCD′是凹多边形时,CD′= = ,
故答案为:17 或 .
33.(2018•大庆)已知直线 y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移 m(m>
0)个单位,若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交(点 O 为坐标原点),则 m 的
取值范围为 m< .
解:把点(12,﹣5)代入直线 y=kx 得,
﹣5=12k,
∴k=﹣ ;
由 y=﹣ x 平移平移 m(m>0)个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣
x+m(m>0),
设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,(如下图所示)
当 x=0 时,y=m;当 y=0 时,x= m,
∴A( m,0),B(0,m),
即 OA= m,OB=m;
在 Rt△OAB 中,
AB= ,
过点 O 作 OD⊥AB 于 D,
∵S△ABO= OD•AB= OA•OB,
∴ OD• = × ,
∵m>0,解得 OD=
由直线与圆的位置关系可知 <6,解得 m< .
故答案为:m< .
34.(2018•长春)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于点
A.点 B 是 y 轴正半轴上一点,点 A 关于点 B 的对称点 A′恰好落在抛物线上.过点 A′作 x
轴的平行线交抛物线于另一点 C.若点 A′的横坐标为 1,则 A′C 的长为 3 .
解:当 y=0 时,x2+mx=0,解得 x1=0,x2=﹣m,则 A(﹣m,0),
∵点 A 关于点 B 的对称点为 A′,点 A′的横坐标为 1,
∴点 A 的坐标为(﹣1,0),
∴抛物线解析式为 y=x2+x,
当 x=1 时,y=x2+x=2,则 A′(1,2),
当 y=2 时,x2+x=2,解得 x1=﹣2,x2=1,则 C(﹣2,1),
∴A′C 的长为 1﹣(﹣2)=3.
故答案为 3.
35.(2018•沈阳)如图,△ABC 是等边三角形,AB= ,点 D 是边 BC 上一点,点 H 是
线段 AD 上一点,连接 BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH= .
解:作 AE⊥BH 于 E,BF⊥AH 于 F,如图,
∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,
∴∠ABH=∠CAH,
在△ABE 和△CAH 中
,
∴△ABE≌△CAH,
∴BE=AH,AE=CH,
在 Rt△AHE 中,∠AHE=∠BHD=60°,
∴sin∠AHE= ,HE= AH,
∴AE=AH•sin60°= AH,
∴CH= AH,
在 Rt△AHC 中,AH2+( AH)2=AC2=( )2,解得 AH=2,
∴BE=2,HE=1,AE=CH= ,
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1,
在 Rt△BFH 中,HF= BH= ,BF= ,
∵BF∥CH,
∴△CHD∽△BFD,
∴ = = =2,
∴DH= HF= × = .
故答案为 .
36.(2018•大连)如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,点 E 为 AD 上一点,且∠
ABE=30°,将△ABE 沿 BE 翻折,得到△A′BE,连接 CA′并延长,与 AD 相交于点 F,则 DF
的长为 6﹣2 .
解:如图作 A′H⊥BC 于 H.
∵∠ABC=90°,∠ABE=∠EBA′=30°,
∴∠A′BH=30°,
∴A′H= BA′=1,BH= A′H= ,
∴CH=3﹣ ,
∵△CDF∽△A′HC,
∴ = ,
∴ = ,
∴DF=6﹣2 ,
故答案为 6﹣2 .
37.(2018•阜新)甲、乙两人分别从 A,B 两地相向而行,他们距 B 地的距离 s(km)
与时间 t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是 3.6 km/h.
解:由题意,甲速度为 6km/h.当甲开始运动时相距 36km,两小时后,乙开始运动,经
过 2.5 小时两人相遇.
设乙的速度为 xkm/h
2.5×(6+x)=36﹣12
解得 x=3.6
故答案为:3.6
38.(2018•盘锦)如图,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 +4,点 M、N
分别在线段 AC、AB 上,将△ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC
上,当△DCM 为直角三角形时,折痕 MN 的长为 或 .
解:分两种情况:
①如图,当∠CDM=90°时,△CDM 是直角三角形,
∵在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 +4,
∴∠C=30°,AB= AC= ,
由折叠可得,∠MDN=∠A=60°,
∴∠BDN=30°,
∴BN= DN= AN,
∴BN= AB= ,
∴AN=2BN= ,
∵∠DNB=60°,
②如图,当∠CMD=90°时,△CDM 是直角三角形,
由题可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,
∴∠BDN=60°,∠BND=30°,
∴BD= DN= AN,BN= BD,
又∵AB= ,
∴AN=2,BN= ,
过 N 作 NH⊥AM 于 H,则∠ANH=30°,
∴AH= AN=1,HN= ,
由折叠可得,∠AMN=∠DMN=45°,
∴△MNH 是等腰直角三角形,
∴HM=HN= ,
∴MN= ,
故答案为: 或 .
39.(2018•葫芦岛)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 CD 的中点,将△BCE 沿 BE 折叠后
得到△BEF、且点 F 在矩形 ABCD 的内部,将 BF 延长交 AD 于点 G.若 = ,则 = .
解:连接 GE,
∵点 E 是 CD 的中点,
∴EC=DE,
∵将△BCE 沿 BE 折叠后得到△BEF、且点 F 在矩形 ABCD 的内部,
∴EF=DE,∠BFE=90°,
在 Rt△EDG 和 Rt△EFG 中
,
∴Rt△EDG≌Rt△EFG(HL),
∴FG=DG,
∵ = ,
∴设 DG=FG=a,则 AG=7a,
故 AD=BC=8a,
则 BG=BF+FG=9a,
∴AB= =4 a,
故 = = .
故答案为: .
40.(2018•盘锦)如图①,在矩形 ABCD 中,动点 P 从 A 出发,以相同的速度,沿
A→B→C→D→A 方向运动到点 A 处停止.设点 P 运动的路程为 x,△PAB 面积为 y,如果 y
与 x 的函数图象如图②所示,则矩形 ABCD 的面积为 24 .
解:从图象②和已知可知:AB=4,BC=10﹣4=6,
所以矩形 ABCD 的面积是 4×6=24,
故答案为:24.