数学同步练习题考试题试卷教案中考数学系统复习提高测试相似形 10页

‎《相似形》提高测试 姓名 ‎ ‎（一）选择题：（每题2分，共24分）‎ ‎1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（　　）（A）　（B）　（C）　（D）‎ ‎2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）‎ ‎（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD ‎ 题2 题4 题5‎ ‎3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有……………（　　）‎ ‎（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条 ‎4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是……………（　　）‎ ‎（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5‎ ‎5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是……………………………………………………（　　）‎ ‎（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3‎ ‎6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：‎ ‎（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有………………………………（　　）‎ ‎（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个 ‎ 题6 题7 题8‎ ‎7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是………………（　　）‎ ‎（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB︰FC＝HB︰EC ‎8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有…………………（　　）‎ ‎（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 ‎（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 ‎（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC ‎9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于……………………………（　　）‎ ‎（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25‎ ‎ 题9 题10 题11‎ ‎10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．‎ ‎（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2‎ ‎11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为……………………………（　　）‎ ‎（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2‎ ‎12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为………………………………（　　）‎ ‎（A）4 cm、 cm　（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm 题15‎ ‎（二）填空题：（每题2分，共20分）‎ ‎13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与 a－b的比例中项是_____cm．‎ ‎14．若＝＝＝－m2，则m＝______．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．‎ ‎16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．‎ ‎ 题16 题17 题18‎ ‎17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．‎ ‎18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件 ‎______（只要写出一种合适的条件）．‎ ‎19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．‎ ‎ 题19 题20 题21‎ ‎20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则 ‎△ABC的面积是______．‎ ‎21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD 面积是_________．‎ ‎22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，‎ 则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．‎ ‎（三）画图题：（4分）‎ ‎23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．‎ ‎（四）证明题：（每题7分，共28分）‎ ‎24．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，‎ 求证＝．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．‎ ‎26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．‎ 求证：＋＝1．‎ ‎27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：‎ ‎（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．‎ ‎（五）解答题：（每题8分，共24分）‎ ‎28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．‎ ‎（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？‎ ‎（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．‎ 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．‎ ‎29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC ‎（AB＞AE）．‎ ‎（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；‎ ‎（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出 发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使 S△BCP＝S△ABC？‎ ‎《相似形》提高试题 ‎（一）选择题：（每题2分，共24分）‎ ‎1．B 2。B 3。C 4。C 5。C 6。A 7。C 8。B 9。A 10。C 11。A 12。B ‎（二）填空题：（每题2分，共20分）‎ ‎13． 【答案】；4． 14．【提示】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况． 【答案】±1．‎ ‎15．【提示】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED． 【答案】10．‎ ‎16．【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AF＝BH，考虑△AFG∽△CHG． 【答案】1︰5．‎ ‎17．【提示】分“”类和“”类两类． 【答案】6对．‎ ‎18． 【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB．‎ ‎19． 【答案】6．‎ ‎20．【提示】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长． 【答案】144．‎ ‎21． 【提示】作AE∥DC交BC于E点，由Rt△ABE∽Rt△CBA，依次算出BE、AB的长，最后求出AE的长，即可求出梯形面积． 【答案】36．‎ ‎22．【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC． 【答案】．‎ ‎（三）画图题：（4分）‎ ‎23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．‎ ‎【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形．‎ ‎（四）证明题：（每题7分，共28分）‎ ‎24．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，‎ 求证＝．‎ ‎【提示】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．‎ ‎【答案】方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G．‎ ‎∵　BC∥GF，‎ ‎∴　＝．‎ 又　∠BDC＝90°，BE＝EC，‎ ‎∴　BE＝DE．‎ ‎∵　BE∥GF，‎ ‎∴　＝＝1． ∴　DF＝GF． ∴　＝．‎ 方法二：作EH∥AB交AC于点H．∵　＝，＝，‎ ‎∠BDC＝90°，BE＝EC，‎ ‎∴　BE＝DE． ∴　＝．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．‎ ‎【提示】先证△BCF∽△DBA，再证＝．‎ ‎【答案】∵　BC＝CD，EC⊥BD， ∴　BE＝DE，∠FBC＝∠D．‎ 又　AB＝AC， ∴　∠BCF＝∠DBA．‎ ‎∴　∠BCF∽△DBA． ∴　＝．‎ 又　BD＝2BC，AB＝AC， ∴　＝＝．‎ ‎∴　FC＝AC． 因此　AF＝FC．‎ ‎26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．‎ 求证：＋＝1．‎ ‎【提示】利用AC＝AF＋FC．‎ ‎【答案】∵　EF∥BC，FG∥AD，∴　＝，＝．‎ ‎∴　＋＝＋＝＝1．‎ ‎27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：‎ ‎（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．‎ ‎【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG．‎ ‎【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，‎ ‎∴　Rt△BDG∽Rt△DCG．∴　＝，即DG2＝BG·CG．‎ ‎（2）∵　DG⊥BC， ∴　∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．‎ ‎∴　∠ABC＋∠ECB＝90°．∴　∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴　∠H＝∠ECB．‎ 又　∠HGB＝∠FGC＝90°，∴　Rt△HBG∽Rt△CFG．∴　＝，‎ ‎∴　BG·GC＝GF·GH．‎ ‎（五）解答题：（每题8分，共24分）‎ ‎28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．‎ ‎（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？‎ ‎（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．‎ 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．‎ ‎【提示】利用三角形相似，推出BD＝．‎ ‎【答案】（1）∵　∠ABC＝∠CDB＝90°，∴　当＝时，△ABC∽△CDB．‎ 即　＝．∴　BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．‎ ‎∵　△ABC∽△CDB，∴　∠ACB＝∠CBD．∴　AC∥ED．‎ 又　∠D＝90°，∴　∠ACD＝90°．∴　∠E＝90°．∴　四边形AEDC为矩形．‎ ‎29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC ‎（AB＞AE）．‎ ‎（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；‎ ‎（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．‎ ‎（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．‎ ‎【答案】如图，是相似．‎ ‎【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．‎ 在Rt△AEF与Rt△DEG中，‎ ‎∵　E是AD的中点，∴　AE＝ED．‎ ‎∵　∠AEF＝∠DEG，∴　△AFE≌△DGE．‎ ‎∴　∠AFE＝∠DGE．∴　E为FG的中点．‎ 又　CE⊥FG，∴　FC＝GC．∴　∠CFE＝∠G．∴　∠AFE＝∠EFC．‎ 又　△AEF与△EFC均为直角三角形，∴　△AEF∽△EFC．‎ ‎① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．‎ 证明：当＝时，＝，∴　∠ECG＝30°．‎ ‎∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．‎ 又　△AEF和△BCF均为直角三角形，∴　△AEF∽△BCF．‎ ‎② 因为EF不平行于BC，∴　∠BCF≠∠AFE．∴　不存在第二种相似情况．‎ ‎30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出 发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使 S△BCP＝S△ABC？‎ ‎【提示】先求CP，再求DP．‎ ‎【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若S△BCP＝S△ABC，则 ‎·CP·BC＝·AC·BC，‎ ‎∴　CP＝·AC＝2（cm）．‎ 故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有S△BCP＝S△ABC．当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PD⊥BC于D．‎ 若S△BCP＝S△ABC，则 PD·BC＝·AC·BC．‎ ‎∴　PD＝AC＝2（cm）．‎ ‎∵　Rt△BAC∽Rt△BPD，‎ ‎∴　＝．‎ 又　AB＝＝10，‎ 故　BP＝＝，AP＝AB－BP＝10－＝7.5．‎ 也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时S△BCP＝S△ABC．‎ 答：1秒或7.75秒．‎